Parabolde Eşitsizlikler
Koordinat düzleminde bir parabol denkleminin çözüm kümesi, o parabolün grafiğidir. Bir parabol eşitsizliğinin çözüm kümesi ise parabolün üstündeki ya da altındaki bölgedir, eşitsizliğin türüne göre parabol eğrisi bu kümeye dahil olabilir ya da olmayabilir.
Bir noktanın bir parabole göre konumu üç şekilde olabilir. Buna göre nokta parabolün;
- Üzerinde olabilir (\( A \) noktası)
- Üst bölgesinde olabilir (\( B \) noktası)
- Alt bölgesinde olabilir (\( C \) noktası)
Bir noktanın parabole göre konumunu belirlemek için, noktanın koordinatları parabolün \( y = f(x) \) formundaki denkleminde yerine konur ve iki tarafın değerleri karşılaştırılır.
\( y_1 = f(x_1) \Longleftrightarrow \) Nokta parabolün üzerindedir (\( A \) noktası)
\( y_2 \gt f(x_1) \Longleftrightarrow \) Nokta parabolün üst bölgesindedir (\( B \) noktası)
\( y_3 \lt f(x_1) \Longleftrightarrow \) Nokta parabolün alt bölgesindedir (\( C \) noktası)
\( A(3, 18) \) noktasının \( y = 2x^2 - 2x + 5 \) parabolüne göre konumunu bulalım.
\( A \) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım ve taraflar arasında oluşan eşitlik ya da eşitsizlik durumunu inceleyelim.
\( 18 \stackrel{?}{\lesseqgtr} 2(3)^2 - 2(3) + 5 \)
\( 18 \gt 17 \)
Buna göre \( A \) noktası verilen parabolün üst bölgesindedir.
Eşitsizliklerin Gösterimi
Bir parabol koordinat düzlemini parabolün kendisi, üst ve alt bölgeleri olmak üzere üç ayrık kümeye ayırır. Bu kümeler aşağıdaki eşitlik ya da eşitsizliklerle ifade edilir.
Bu gösterimlerde taralı bölge eşitsizliği sağlayan noktaları temsil eder. Parabol çözüm kümesine dahilse sürekli, dahil değilse kesikli çizgiyle gösterilir.
| Grafik | Eşitsizlik |
|---|---|
|
Açık üst bölge: \( y \gt f(x) \) Parabolün üst bölgesindeki noktalar |
|
Kapalı alt bölge: \( y \le f(x) \) Parabolün üzerindeki ve alt bölgesindeki noktalar |
|
Kapalı üst bölge: \( y \ge f(x) \) Parabolün üzerindeki ve üst bölgesindeki noktalar |
|
Açık alt bölge: \( y \lt f(x) \) Parabolün alt bölgesindeki noktalar |
Eşitsizliklerin Koordinat Düzleminde Gösterimi
\( y \lesseqgtr f(x) \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümeleri koordinat düzleminde aşağıdaki adımlarla gösterilebilir.
- \( y = f(x) \) parabolü çizilir. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) ya da \( \le \) ise parabol sürekli bir çizgi ile, \( \gt \) ya da \( \lt \) ise kesikli bir çizgi ile çizilir.
- Eşitsizlik sembolü \( \ge \) ya da \( \gt \) ise parabolün üst, \( \le \) ya da \( \lt \) ise alt bölgesi taranır.
Alternatif ve pratik bir yöntem olarak, parabol üzerinde bulunmayan bir test noktası seçilir ve koordinatları eşitsizlikte yerine konur. Eşitsizlik sağlanıyorsa noktanın bulunduğu taraf, sağlanmıyorsa diğer taraf taranır. İşlem kolaylığı açısından bu nokta (parabol üzerinde değilse) \( (0, 0) \) olarak seçilebilir.
Eşitsizlik Sistemlerinin Gösterimi
Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemdeki tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan noktaların kümesidir. Geometrik olarak bu küme, eşitsizliklerin ayrı ayrı taradığı bölgelerin kesişimidir.
Aşağıda örnek bazı eşitsizlik sistemleri ve koordinat düzleminde karşılık geldikleri bölgeler gösterilmiştir.
| Grafik | Eşitsizlik Sistemi |
|---|---|
|
Grafikteki taralı alan aşağıdaki eşitsizliklerin kesişimini temsil eder. \( \begin{cases} y \ge f(x) \\ y \le 0 \end{cases} \) |
|
Grafikteki taralı alan aşağıdaki eşitsizliklerin kesişimini temsil eder. \( \begin{cases} y \gt f(x) \\ x \le 0 \\ y \le 0 \end{cases} \) |
|
Grafikteki taralı alan aşağıdaki eşitsizliklerin kesişimini temsil eder. \( \begin{cases} y \le f(x) \\ y \gt g(x) \end{cases} \) |
|
Grafikteki taralı alan aşağıdaki eşitsizliklerin kesişimini temsil eder. \( \begin{cases} y \gt f(x) \\ y \le g(x) \end{cases} \) |
|
Grafikteki taralı alan aşağıdaki eşitsizliklerin kesişimini temsil eder. \( \begin{cases} y \ge f(x) \\ y \lt g(x) \end{cases} \) |
|
Grafikteki taralı alan aşağıdaki eşitsizliklerin kesişimini temsil eder. \( \begin{cases} y \ge f(x) \\ y \lt g(x) \\ x \gt 0 \\ y \ge 0 \end{cases} \) |
\( A(2, 7) \) noktası \( f(x) = x^2 + nx - 5 \) parabolünün iç bölgesinde, \( B(3, -11) \) noktası parabolün dış bölgesinde yer almaktadır.
Buna göre \( n \) sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterBaşkatsayısı pozitif (kolları yukarı yönlü) olan bir parabolün iç bölgesindeki bir noktanın ordinatı, parabolün aynı apsis değerli noktadaki ordinatından büyük olur.
Buna göre \( f(x) \) parabolünün iç bölgesindeki \( A(2, 7) \) noktası için aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.
\( 7 \gt f(2) \)
\( 7 \gt 2^2 + n(2) - 5 \)
\( 4 \gt n \)
Başkatsayısı pozitif (kolları yukarı yönlü) olan bir parabolün dış bölgesindeki bir noktanın ordinatı, parabolün aynı apsis değerli noktadaki ordinatından küçük olur.
\( f(x) \) parabolünün dış bölgesindeki \( B(3, -11) \) noktası için aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.
\( -11 \lt f(3) \)
\( -11 \lt 3^2 + n(3) - 5 \)
\( -5 \lt n \)
Bulduğumuz iki eşitsizliğin kesişimi iki koşulu da sağlayan \( n \) değer aralığını verir.
\( -5 \lt n \lt 4 \)
\( n \) bu aralıkta \( 3 - (-4) + 1 = 8 \) tane tam sayı değer alabilir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 0 \lt x^2 - 6x - 7 \lt k \)
eşitsizliğini sağlayan toplam sekiz \( x \) tam sayısı olduğuna göre, \( k \)'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü GösterSoruda verilen eşitsizliği iki eşitsizlik şeklinde yazalım.
Birinci eşitsizlik parabolün \( x \) ekseninin üstünde kaldığı (parabol değerinin pozitif olduğu) \( x \) değerlerini ifade eder.
\( x^2 - 6x - 7 \gt 0 \)
\( (x + 1)(x - 7) \gt 0 \)
\( x \in (-\infty, -1) \cup (7, \infty) \)
İkinci eşitsizlik parabolün \( y = k \) doğrusunun altında kaldığı \( x \) değerlerini ifade eder.
\( x^2 - 6x - 7 \lt k \)
Verilen eşitsizliği sağlayan tam sayılar her iki eşitsizliği de sağlamalıdır.
\( y = x^2 - 6x - 7 \) parabolünün simetri eksenini bulalım.
\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = -7 \)
\( x = r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \)
Bir parabol üzerindeki simetri eksenine göre simetrik noktaların fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
Eşitsizlik bir parabolün değer aralığı için verildiği için, sekiz tam sayıdan oluşan çözüm kümesi simetri ekseninin her iki yanına eşit şekilde dağılmalıdır.
Buna göre, birinci eşitsizliğin çözüm aralığını baz alırsak soruda verilen eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olmalıdır.
Çözüm kümesi: \( \{ -5, -4, -3, -2, 8, 9, 10, 11 \} \)
\( k \) sayısının en büyük değerini bulmak için çözüme dahil olmayan ve çözüm kümesinin hemen sınırlarındaki tam sayı değerleri incelemeliyiz.
\( x = -6 \) ve \( x = 12 \) noktaları \( x = 3 \) simetri eksenine eşit uzaklıkta olup parabol değerleri birbirine eşittir.
\( y = (-6)^2 - 6(-6) - 7 = 12^2 - 6(12) - 7 = 65 \)
Buna göre \( x^2 - 6x - 7 \) ifadesi 65 değerini almamalıdır, aksi takdirde \( x = -6 \) ve \( x = 12 \) değerleri de eşitsizliği sağlar ve eşitsizliği sağlayan tam sayılar 10 tane olur.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için \( k = 65 \) seçmemiz durumunda \( x^2 - 6x - 7 \) ifadesi 65 değerini alamaz, dolayısıyla çözüm kümesi sekiz elemanlı olur.
Dolayısıyla \( k \)'nın alabileceği en büyük değer 65 olur.