Logaritma Fonksiyonu Tanım ve Görüntü Kümesi
Logaritma ve üstel fonksiyonların birbirinin tersi fonksiyonlar olduğunu görmüştük.
\( y = \log_a{x} \Longleftrightarrow a^y = x \)
Tanım gereği \( a \) tabanı 1'den farklı pozitif bir sayı olduğu için, \( a \)'nın tüm reel sayı kuvvetleri (\( y \)) tanımlıdır ve sonucu (\( x \)) her zaman bir pozitif reel sayıdır.
Buna göre logaritma fonksiyonunun tanım kümesi (\( x \)) pozitif reel sayılarla sınırlıdır ve görüntü kümesi (\( y \)) tüm reel sayılardır.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
|
\( y = \log_a{x} \) \( a \in \mathbb{R^+} - \{ 1 \} \) |
\( \mathbb{R^+} \) | \( \mathbb{R} \) |
Logaritma fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümeleri farklı tabanlar için aşağıda verilen grafikler üzerinden de teyit edilebilir.
\( f(x) = \log_5(10 - x) + 8\log_3(x - 4) \)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayı \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterLogaritma işleminde logaritması alınan ifadeler sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 10 - x \gt 0 \Longrightarrow x \lt 10 \)
\( x - 4 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 4 \)
İki aralığın kesişimi \( 4 \lt x \lt 10 \) olur.
En geniş tanım kümesi: \( x \in (4, 10) \)
Bu aralıktaki tam sayıların toplamı \( 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35 \) olur.
\( f(x) = \log_{x - 2}(5 - x) \)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterLogaritma işleminde logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 5 - x \gt 0 \Longrightarrow x \lt 5 \)
Logaritma işleminde taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır.
\( x - 2 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 2 \)
\( x - 2 \ne 1 \Longrightarrow x \ne 3 \)
En geniş tanım kümesi: \( x \in (2, 5) - \{3\} \)
\( f(x) = \log_7(x^2 - ax + 9) \)
fonksiyonu tüm reel sayılarda tanımlı olduğuna göre, \( a \)'nın değer aralığını bulunuz.
Çözümü GösterLogaritma ifadesinin içi sıfır ya da negatif olamaz.
\( x^2 - ax + 9 \gt 0 \)
İkinci dereceden bu ifadenin her zaman pozitif olması için başkatsayısı pozitif olmalıdır ve \( x \) eksenini kesmemelidir. Buna göre ifadenin deltası 0'dan küçük olmalıdır (yani bir kökü olmamalıdır).
\( \Delta \lt 0 \)
\( (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \lt 0 \)
\( a^2 - 36 \lt 0 \)
\( a^2 \lt 36 \)
\( -6 \lt a \lt 6 \) bulunur.
\( f(x) = 5\log_4{\dfrac{x - 7}{3 - x}} \)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterLogaritma işleminde logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
Paydadaki \( x \)'in işareti negatif olduğu için aşağıdaki rasyonel ifade payı ve paydayı sıfır yapan kritik değerlerin arasında kalan aralıkta pozitif olur.
\( \dfrac{x - 7}{3 - x} \gt 0 \Longrightarrow 3 \lt x \lt 7 \)
En geniş tanım kümesi: \( x \in (3, 7) \)
Aşağıdaki fonksiyonun en geniş tanım aralığını bulunuz.
\( f(x) = \log_{x - 3}(-x^2 + 5x + 6) \)
Çözümü GösterFonksiyonun tanımlı olması için logaritma tabanı birden farklı ve pozitif olmalı, logaritma içi de pozitif olmalıdır.
\( x - 3 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 3 \)
\( x - 3 \ne 1 \Longrightarrow x \ne 4 \)
\( -x^2 + 5x + 6 \gt 0 \)
\( -(x - 6)(x + 1) \gt 0 \)
\( (x - 6)(x + 1) \lt 0 \)
\( -1 \lt x \lt 6 \)
Bulduğumuz aralıkların kesişimi fonksiyonun en geniş tanım aralığını verir.
Tanım kümesi: \( x \in (3, 6) - \{4\} \)
\( f(x) = \log_{x - 3}(x^3 - 1) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü GösterLogaritma fonksiyonunda taban negatif, 0 ya da 1 olamaz.
\( x - 3 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 3 \)
\( x - 3 \ne 1 \Longrightarrow x \ne 4 \)
Ayrıca logaritma tanımı gereği logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( x^3 - 1 \gt 0 \)
\( x^3 \gt 1 \)
\( x \gt 1 \)
Bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi fonksiyonun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in (3, \infty) - \{4\} \)
\( f(x) = \ln(\dfrac{17}{2} - x) + \sqrt{x - \dfrac{16}{5}} \)
fonksiyonunun en geniş tanım aralığındaki tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir logaritma ifadesinin tanımlı olması için logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \dfrac{17}{2} - x \gt 0 \)
\( x \lt \dfrac{17}{2} \)
Bir karekök ifadesinin tanımlı olması için kök içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
\( x - \dfrac{16}{5} \ge 0 \)
\( x \ge \dfrac{16}{5} \)
İki aralığın kesişimi fonksiyonun en geniş tanım aralığını verir.
\( \dfrac{16}{5} \le x \lt \dfrac{17}{2} \)
\( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerin toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \) olarak bulunur.
\( f(x) = \log_{64 - x^2}(\abs{3 - \abs{2 - \abs{x - 1}}}) \)
fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz.
Çözümü GösterLogaritma tabanı sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 64 - x^2 \gt 0 \)
\( x^2 \lt 64 \)
\( -8 \lt x \lt 8 \)
Logaritma tabanı 1 olamaz.
\( 64 - x^2 \ne 1 \)
\( x^2 \ne 63 \)
\( x \ne \pm 3\sqrt{7} \)
Logaritma içi pozitif olmalıdır. Logaritma içi mutlak değer ifadesi olduğu için değeri her zaman sıfır ya da pozitiftir, dolayısıyla mutlak değer ifadesinin sıfır olmama durumunu kontrol etmemiz yeterlidir.
Mutlak değer ifadesini sıfır yapan ve tanım kümesi dışında bırakılması gereken değerleri bulalım.
\( \abs{3 - \abs{2 - \abs{x - 1}}} = 0 \)
\( \abs{2 - \abs{x - 1}} = 3 \)
Durum 1: \( 2 - \abs{x - 1} = 3 \)
\( \abs{x - 1} = -1 \)
Bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.
Durum 2: \( 2 - \abs{x - 1} = -3 \)
\( \abs{x - 1} = 5 \)
\( x - 1 = 5 \) veya \( x - 1 = -5 \)
\( x = 6 \) veya \( x = -4 \)
Bu iki değer fonksiyonu tanımsız yapar, dolayısıyla tanım kümesi dışında bırakılmalıdır.
O halde fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş aralık aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in (-8, 8) - \{-3\sqrt{7}, 3\sqrt{7}, -4, 6\} \)
\( f(x) = \sqrt{\log_{0,32}{\dfrac{x + 3}{x - 2}}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDerecesi çift sayı olan bir köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( \log_{0,32}{\dfrac{x + 3}{x - 2}} \ge 0 \)
Logaritmadan kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının \( 0,32 \) tabanında üssünü alalım.
\( \dfrac{x + 3}{x - 2} \le (0,32)^0 \)
\( \dfrac{x + 3}{x - 2} \le 1 \)
\( \dfrac{x + 3}{x - 2} - 1 \le 0 \)
\( \dfrac{x + 3 - x + 2}{x - 2} \le 0 \)
\( \dfrac{5}{x - 2} \le 0 \)
Rasyonel ifadenin payı 5 olduğu için ifadenin değeri sıfır olamaz.
İfadenin negatif olması için payda negatif olmalıdır.
\( x - 2 \lt 0 \)
\( x \in (-\infty, 2) \)
Ayrıca logaritma tanımı gereği logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \dfrac{x + 3}{x - 2} \gt 0 \)
Bu eşitsizliği çözmek için işaret tablosu yapalım.
Buna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki aralıktır.
\( x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty) \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi fonksiyonun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in (-\infty, -3) \)
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{\ln{\dfrac{2x^2 - x}{10}}} \) ifadesinin sonucunu reel sayı yapan \( x \) değer aralığı nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadenin sonucunun reel sayı olması için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: Karekök içindeki ifade sıfır ya da pozitif olmalıdır.
\( \ln{\dfrac{2x^2 - x}{10}} \ge 0 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2x^2 - x}{10} \ge e^0 \)
\( \dfrac{2x^2 - x}{10} \ge 1 \)
\( 2x^2 - x \ge 10 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( 2x^2 - x - 10 \ge 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (2x - 5)(x + 2) \ge 0 \)
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{5}{2}, \infty) \)
Koşul 2: Logaritma fonksiyonu tanımına göre logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \dfrac{2x^2 - x}{10} \gt 0 \)
\( 2x^2 - x \gt 0 \)
\( x(2x - 1) \gt 0 \)
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, \infty) \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi sorudaki ifadenin sonucunu reel sayı yapan \( x \) değer aralığını verir.
\( x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{5}{2}, \infty) \)
\( f(x) = \log{x} \) olduğuna göre, \( (f \circ f)(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( x \) yerine \( f(x) \) yazarak \( f \circ f \) fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ f)(x) = f(f(x)) \)
\( = \log{f(x)} = \log{\log{x}} \)
Logaritma tanımı gereği logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \log{x} \gt 0 \)
Logaritmadan kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının 10 tabanında üssünü alalım.
\( x \gt 10^0 \)
\( x \gt 1 \)
Tanım kümesi: \( x \in (1, \infty) \)
\( m, n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 3(\ln{m})^2 \ + 2(\ln{n})^2 = 243 \) ise,
\( m \)'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü GösterHerhangi bir \( a \in \mathbb{R} \) sayısı için \( a^2 \ge 0 \) eşitsizliği her zaman sağlanır.
Doğal logaritma fonksiyonunun görüntü kümesi tüm reel sayılardır.
\( -\infty \lt \ln{x} \lt \infty \)
\( 0 \le (\ln{x})^2 \lt \infty \)
Buna göre verilen ifadede \( m \)'nin en büyük değerini alabilmesi için \( \ln{n} \) ifadesi sıfır olmalıdır.
\( 3(\ln{m})^2 + 0 = 243 \)
\( (\ln{m})^2 = 81 \)
\( \ln{m} = \pm 9 \)
\( \ln{m} = 9 \) olduğunda \( m \) en büyük değerini alır.
\( m = e^9 \) bulunur.