Logaritmik Eşitsizlikler
Bu bölümde bazı logaritmik eşitsizlik tiplerini ve her biri için çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Eşitsizliklerin çözümünde her logaritma ifadesi için aşağıdaki iki koşul da çözüme ek birer koşul olarak eklenmelidir.
- Logaritma içinin pozitif olması
- Logaritma tabanı değişken içeriyorsa tabanın pozitif ve 1'den farklı olması
Logaritma kaynaklı tanımsızlıklar dışında fonksiyonların tanım ve görüntü kümesi bölümünde listelediğimiz tüm tanımsızlık tipleri eşitsizlik çözümlerinde akılda tutulmalıdır.
Sabit Değer
Bir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilir.
Logaritma tabanı birden büyükse eşitsizlik işareti yön değiştirmez.
\( a \gt 1 \) olmak üzere,
\( m \le \log_a{x} \lt n \) ise,
\( a^m \le x \lt a^n \)
\( -3 \le \log_2(x + 1) \lt 6 \)
\( 2^{-3} \le x + 1 \lt 2^6 \)
\( \frac{1}{8} \le x + 1 \lt 64 \)
\( -\frac{7}{8} \le x \lt 63 \)
\( x + 1 \) aralığındaki tüm değerler pozitif olduğu için bu aralıktaki tüm değerler geçerli birer çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in [-\frac{7}{8}, 63) \)
\( \log_4(x - 3) \lt 2 \)
\( x - 3 \lt 4^2 \)
\( x \lt 19 \)
Ayrıca logaritma içi sıfırdan büyük olmalıdır.
\( x - 3 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (3, 19) \)
Logaritma tabanı sıfır ve bir aralığındaysa eşitsizlik işareti yön değiştirir.
\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,
\( m \le \log_a{x} \lt n \) ise,
\( a^m \ge x \gt a^n \)
\( -4 \le \log_{\frac{1}{3}}(3x) \lt 2 \)
\( (\frac{1}{3})^{-4} \ge 3x \gt (\frac{1}{3})^2 \)
\( 81 \ge 3x \gt \frac{1}{9} \)
\( 27 \ge x \gt \frac{1}{27} \)
\( 3x \) aralığındaki tüm değerler pozitif olduğu için bu aralıktaki tüm değerler geçerli birer çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in (\frac{1}{27}, 27] \)
Eşit Tabanlar
Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitsizlik logaritma içleri arasında eşitsizliğe dönüştürülebilir.
Logaritma tabanı birden büyükse logaritma içi daha büyük olan taraf daha büyüktür.
\( a \gt 1 \) olmak üzere,
\( \log_a{x_1} \gt \log_a{x_2} \) ise,
\( x_1 \gt x_2 \)
\( \log_3{x} \le \log_3{8} \Longrightarrow 0 \lt x \le 8 \)
Logaritma tabanı sıfır ve bir aralığındaysa logaritma içi daha küçük olan taraf daha büyüktür.
\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,
\( \log_a{x_1} \gt \log_a{x_2} \) ise,
\( x_1 \lt x_2 \)
\( \log_{\frac{1}{2}}{x} \ge \log_{\frac{1}{2}}{4} \Longrightarrow 0 \lt x \le 4 \)
Eşitlenebilir Tabanlar
İki logaritma ifadesi arasındaki eşitsizlikte tabanlar farklı ama eşitlenebilir ise önce tabanlar eşitlenir, daha sonra tabanın birden büyük ya da (0, 1) aralığında olma durumuna göre yukarıdaki iki eşit taban kuralından biri uygulanır.
\( \log_{\frac{1}{64}}{x} \gt \log_{8}{\sqrt{2}} \)
\( \log_{2^{-6}}{x} \gt \log_{2^3}{2^{\frac{1}{2}}} \)
\( -\frac{1}{6} \cdot \log_{2}{x} \gt \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \)
\( \log_{2}{x} \lt -1 \)
\( 0 \lt x \lt \frac{1}{2} \)
Bir Sayının Logaritma Değer Aralığını Tahmin Etme
Bir sayının logaritma değerinin hangi iki tam sayı arasında bulunduğunu bulmak için aşağıdaki gibi bir yöntem izlenebilir.
20'nin 2 tabanında logaritmasının bulunduğu tam sayı aralığı bulalım.
Önce 20'nin 2 tabanında hangi iki tam sayının üsleri arasında bulunduğunu bulalım.
\( 16 \lt 20 \lt 32 \)
\( 2^4 \lt 20 \lt 2^5 \)
Üç ifadenin de 2 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_2{2^4} \lt \log_2{20} \lt \log_2{2^5} \)
\( 4\log_2{2} \lt \log_2{20} \lt 5\log_2{2} \)
\( 4 \lt \log_2{20} \lt 5 \)
Buna göre 20'nin 2 tabanında logaritma değeri \( (4, 5) \) aralığındadır.
\( 2 \lt \log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \lt 3 \)
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2 \lt \log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \lt \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^3 \)
\( f(x) = \log_{\frac{1}{3}}{x} \) fonksiyonu pozitif reel sayılarda azalan olduğu için fonksiyon değeri büyük olan tarafın logaritma içi küçüktür.
\( (\frac{1}{3})^2 \gt x - 1 \gt (\frac{1}{3})^3 \)
\( \dfrac{1}{9} \gt x - 1 \gt \dfrac{1}{27} \)
\( \dfrac{10}{9} \gt x \gt \dfrac{28}{27} \)
Ayrıca logaritma tanımı gereği logaritma içi sıfırdan büyük olmalıdır.
\( x - 1 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 1 \)
Çözüm kümesi: \( x = (\frac{28}{27}, \frac{10}{9}) \) bulunur.
\( \log_{\frac{1}{2}}(x - 5) \gt -2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizliğin sadece bir tarafı logaritmik ifade ise ve logaritma tabanı sıfır ve bir aralığındaysa, eşitsizlik işareti tersine çevrilerek logaritmik ifade üstel ifadeye çevrilir.
\( x - 5 \lt (\dfrac{1}{2})^{-2} \)
\( x - 5 \lt 4 \)
\( x \lt 9 \) bulunur.
Ayrıca logaritma tanımı gereği logaritma içi sıfırdan büyük olmalıdır.
\( x - 5 \gt 0 \Longrightarrow x \gt 5 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (5, 9) \)
\( \log_3(\log_2(x - 7)) \lt 1 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) aralığı nedir?
Çözümü GösterEn dıştaki logaritma ifadesini üstel ifadeye çevirelim.
\( \log_3(\log_2(x - 7)) \lt 1 \)
\( \log_2(x - 7) \lt 3^1 \)
Logaritma ifadesini üstel ifadeye çevirelim.
\( x - 7 \lt 2^3 \)
\( x \lt 15 \)
Logaritma tanımı gereği içteki logaritma ifadesinin içi sıfırdan büyük olmalıdır.
\( x - 7 \gt 0 \)
\( x \gt 7 \)
Logaritma tanımı gereği dıştaki logaritma ifadesinin de içi sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \log_2(x - 7) \gt 0 \)
\( x - 7 \gt 2^0 \)
\( x \gt 8 \)
Elde ettiğimiz üç aralığın kesişimi \( x \) çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in (8, 15) \)
\( \log_{\sqrt{3}}(8 - x) \le \log_3(x^2 - 2) \) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( \log_{3^\frac{1}{2}}(8 - x) \le \log_3(x^2 - 2) \)
\( 2\log_3(8 - x) \le \log_3(x^2 - 2) \)
\( \log_3(8 - x)^2 \le \log_3(x^2 - 2) \)
Tabanları aynı ve birden büyük iki logaritma ifadesinde logaritma içi büyük olan taraf daha büyüktür.
\( (8 - x)^2 \le x^2 - 2 \)
\( 64 - 16x + x^2 \le x^2 - 2 \)
\( 66 \le 16x \)
\( \dfrac{66}{16} \le x \)
\( \dfrac{33}{8} \le x \)
Ayrıca logaritma tanımı gereği logaritma içi sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 8 - x \gt 0 \)
\( x \lt 8 \)
\( x^2 - 2 \gt 0 \)
\( x \gt \sqrt{2} \cup x \lt -\sqrt{2} \)
Elde ettiğimiz üç aralığın kesişimi \( x \) çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in [\frac{33}{8}, 8) \)
Bu aralıktaki tam sayıların toplamı \( 5 + 6 + 7 = 18 \) olarak bulunur.
Aşağıda verilen eşitsizliği sağlayan kaç tam sayı \( x \) değeri vardır?
\( \log_9{27} \le \log_4{x} \lt \log_{\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} \)
Çözümü Göster\( \log_{3^2}{3^3} \le \log_{2^2}{x} \lt \log_{5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}} \)
\( \dfrac{3}{2}\log_3{3} \le \dfrac{1}{2}\log_2{x} \lt \dfrac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}}\log_5{5} \)
\( 3 \le \log_2{x} \lt 6 \)
\( 2^3 \le x \lt 2^6 \)
\( 8 \le x \lt 64 \)
Bu aralıkta \( 63 - 8 + 1 = 56 \) tam sayı vardır.
\( \log_5(x^2 + 8x + 41) \le 3 \)
eşitsizliğini sağlayan \( x \) değer aralığını bulunuz.
Çözümü GösterLogaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( x^2 + 8x + 41 \le 5^3 \)
\( x^2 + 8x - 84 \le 0 \)
\( (x + 14)(x - 6) \le 0 \)
Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlanır.
\( -14 \le x \le 6 \)
Çözüm kümesi: \( x \in [-14, 6] \)
Aşağıda verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\( \log_{0,25}(x + 3) \ge -2 \)
Çözümü GösterBir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilirken eğer logaritma tabanı birden küçükse eşitsizlik yön değiştirir.
\( x + 3 \le (\dfrac{1}{4})^{-2} \)
\( x + 3 \le (2^{-2})^{-2} \)
\( x + 3 \le 2^4 \)
\( x \le 13 \)
Ayrıca logaritma tanımına göre logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( x + 3 \gt 0 \)
\( x \gt -3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (-3, 13] \)
Aşağıda verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\( \log_3{\dfrac{x - 2}{x - 3}} \gt 0 \)
Çözümü GösterBir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilirken eğer logaritma tabanı birden büyükse eşitsizlik yön değiştirmez.
\( \dfrac{x - 2}{x - 3} \gt 3^0 \)
\( \dfrac{x - 2}{x - 3} \gt 1 \)
\( \dfrac{x - 2}{x - 3} - 1 \gt 0 \)
\( \dfrac{x - 2 - x + 3}{x - 3} \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{x - 3} \gt 0 \)
Bu eşitsizlik payda sıfırdan büyük olduğunda pozitif olur.
\( x - 3 \gt 0 \)
Ayrıca logaritma tanımıına göre logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \dfrac{x - 2}{x - 3} \gt 0 \)
\(x \lt 2 \) veya \( x \gt 3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (3, \infty) \)
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( -2,50 \le 2^{3n - 1} - 3 \le 347 \)
Yukarıdaki eşitsizliği sağlayan \( n \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterEşitsizliğin taraflarına 3 ekleyelim.
\( 0,50 \le 2^{3n-1} \le 350 \)
\( 2^{-1} \le 2^{3n-1} \le 350 \)
Eşitsizliğin her tarafının 2 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_2{2^{-1}} \le \log_2{2^{3n-1}} \le \log_2{350} \)
\( 2^8 \lt 350 \lt 2^9 \) olduğu için \( \log_2{350} \) değeri \( (8, 9) \) aralığındadır.
\( -1 \le 3n - 1 \le 8,\dots \)
Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.
\( 0 \le 3n \le 9,\dots \)
Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.
\( 0 \le n \le 3,\dots \)
\( n \) tam sayısının bu aralıkta alabileceği değerler 0, 1, 2 ve 3'tür.
\( 0 + 1 + 2 + 3 = 6 \) bulunur.
\( x^{\ln{x}} \lt (e^6 \cdot x) \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{x}^{\ln{x}} \lt \ln(e^6 \cdot x) \)
\( \ln{x} \cdot \ln{x} \lt \ln{e^6} + \ln{x} \)
\( (\ln{x})^2 \lt 6 + \ln{x} \)
\( (\ln{x})^2 - \ln{x} - 6 \lt 0 \)
\( (\ln{x} - 3)(\ln{x} + 2) \lt 0 \)
Bu eşitsizliğin çözümü \( \ln{x} \) için \( (-2, 3) \) aralığıdır.
\( \ln{x} = -2 \Longrightarrow x = e^{-2} \)
\( \ln{x} = 3 \Longrightarrow x = e^3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (e^{-2}, e^3) \)
Aşağıda verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\( \log_{0,5}(x^2 - x + 1) \gt 0 \)
Çözümü GösterBir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilirken eğer logaritma tabanı birden küçükse eşitsizlik yön değiştirir.
\( 0 \lt x^2 - x + 1 \lt (0,5)^0 \)
\( 0 \lt x^2 - x + 1 \lt 1 \)
\( x^2 - x + 1 \gt 0 \) ve \( x^2 - x + 1 \lt 1 \)
\( x^2 - x + 1 \) ifadesinin deltası sıfırdan küçük olduğu için her zaman pozitiftir, dolayısıyla \( x^2 - x + 1 \gt 0 \) eşitsizliği her \( x \) değeri için sağlanır.
\( x^2 - x + 1 \lt 1 \)
\( x(x - 1) \lt 0 \)
Çözüm kümesi: \( 0 \lt x \lt 1 \)
Aşağıda verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\( x^{\log_3{x}} \gt 3 \)
Çözümü GösterEşitsizliğin her iki tarafının 3 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_3{x^{\log_3{x}}} \gt \log_3{3} \)
\( \log_3{x} \cdot \log_3{x} \gt 1 \)
\( (\log_3{x})^2 - 1 \gt 0 \)
\( (\log_3{x} - 1)(\log_3{x} + 1) \gt 0 \)
\( \log_3{x} \gt 1 \) veya \( \log_3{x} \lt -1 \)
\( x \gt 3 \) veya \( x \lt \dfrac{1}{3} \)
Logaritma tanımına göre logaritma için pozitif olmalıdır.
\( x \gt 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (3, \infty) \)
Aşağıda verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\( \log_3{\abs{x - 2}} \lt 1 \)
Çözümü GösterLogaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \abs{x - 2} \lt 3^1 \)
\( -3 \lt x - 2 \lt 3 \)
\( -1 \lt x \lt 5 \)
Ayrıca logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \abs{x - 2} \gt 0 \)
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitiftir.
\( x - 2 \ne 0 \)
\( x \ne 2 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (-1, 5) - \{2\} \)
Aşağıda verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\( \log_{0,5}{\abs{2x - 6}} \ge 0 \)
Çözümü GösterBir logaritma ifadesi ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik üstel ifadeye çevrilirken eğer logaritma tabanı birden küçükse eşitsizlik yön değiştirir.
\( \abs{2x - 6} \le (0,5)^0 \)
\( \abs{2x - 6} \le 1 \)
\( -1 \le 2x - 6 \le 1 \)
\( 5 \le 2x \le 7 \)
\( \dfrac{5}{2} \le x \le \dfrac{7}{2} \)
Ayrıca logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \abs{2x - 6} \gt 0 \)
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitiftir.
\( 2x - 6 \ne 0 \)
\( x \ne 3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in [\frac{5}{2}, \frac{7}{2}] - \{3\} \)
\( 3x^2 - 6x - \log_3{n} = 0 \) denkleminin reel kökü bulunmadığına göre, \( n \)'nin değer aralığı nedir?
Çözümü Gösterİkinci dereceden denklemin reel kökü yoksa deltası sıfırdan küçüktür.
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( a = 3, \quad b = -6, \quad c = -\log_3{n} \)
\( \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-\log_3{n}) \lt 0 \)
\( 36 + 12\log_3{n} \lt 0 \)
Eşitsizliğin taraflarını 12'ye bölelim.
\( 3 + \log_3{n} \lt 0 \)
\( \log_3{n} \lt -3 \)
\( 0 \lt n \lt \dfrac{1}{27} \) bulunur.
\( 11^2 \approx 125 \) yaklaşımını kullanarak \( \log_5{11} \) ifadesinin yaklaşık değerini hesaplayın.
Çözümü Göster\( 11^2 \approx 5^3 \)
Her iki tarafın 5 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_5{11^2} \approx \log_5{5^3} \)
\( 2\log_5{11} \approx 3 \)
\( \log_5{11} \approx \dfrac{3}{2} \)
Aşağıda verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\( (x + 2)\ln{\abs{x}} \gt 0 \)
Çözümü GösterEşitsizliğin sol tarafı \( x + 2 \) ve \( \ln{\abs{x}} \) ifadelerinin ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif olduğunda pozitif olur.
Durum 1: \( x + 2 \gt 0 \) ve \( \ln{\abs{x}} \gt 0 \)
\( x + 2 \gt 0 \)
\( x \gt -2 \)
\( \ln{\abs{x}} \gt 0 \)
\( \abs{x} \gt e^0 \)
\( x \gt 1 \) veya \( x \lt -1 \)
Bu durum için \( x \) çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( x \in (-2, -1) \cup (1, \infty) \)
Durum 2: \( x + 2 \lt 0 \) ve \( \ln{\abs{x}} \lt 0 \)
\( x + 2 \lt 0 \)
\( x \lt -2 \)
\( \ln{\abs{x}} \lt 0 \)
\( \abs{x} \lt e^0 \)
\( -1 \lt x \lt 1 \)
Bu durum için \( x \) çözüm kümesi boş küme olur.
\( x = \emptyset \)
Ayrıca logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \abs{x} \gt 0 \)
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfır ya da pozitiftir.
\( x \ne 0 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-2, -1) \cup (1, \infty) \)
\( f(x) = 9^{x + 1} \)
\( g(x) = \log_3{x} \)
olduğuna göre, aşağıda verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
\( (g \circ f^{-1})(x) \lt 0 \)
Çözümü Göster\( f(x) = 9^{x + 1} \)
\( f \) fonksiyonunun tersini bulalım.
\( y = 9^{x + 1} \)
\( \log_9{y} = x + 1 \)
\( \log_9{y} - 1 = x \)
\( y = f^{-1}(x) = \log_9{x} - 1 \)
Verilen eşitsizliği düzenleyelim.
\( (g \circ f^{-1})(x) \lt 0 \)
\( g(f^{-1}(x)) \lt 0 \)
\( g(\log_9{x} - 1) \lt 0 \)
\( \log_3(\log_9{x} - 1) \lt 0 \)
\( \log_9{x} - 1 \lt 3^0 \)
\( \log_9{x} \lt 2 \)
\( x \lt 9^2 \)
\( x \lt 81 \)
Logaritma tanımına göre logaritma içi pozitif olmalıdır.
\( \log_9{x} - 1 \gt 0 \)
\( \log_9{x} \gt 1 \)
\( x \gt 9 \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi eşitsizliğin çözüm kümesidir.
Çözüm kümesi: \( 9 \lt x \lt 81 \)
\( f(x) = \log_{\frac{1}{25}}{\dfrac{1}{x^3 - 22}} \) en geniş tanım aralığında tanımlı bir fonksiyondur.
\( f(x) \lt \frac{1}{2} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterLogaritma tabanını ve içini üslü ifade olarak yazalım.
\( f(x) = \log_{5^{-2}}(x^3 - 22)^{-1} \)
Logaritma içinin üssünün kendisini, tabanın üssünün çarpmaya göre tersini logaritma önüne katsayı olarak alabiliriz.
\( = \dfrac{-1}{-2}\log_5(x^3 - 22) \)
\( = \dfrac{1}{2}\log_5(x^3 - 22) \)
\( f(x) \lt \frac{1}{2} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
\( \dfrac{1}{2}\cdot \log_5(x^3 - 22) \lt \dfrac{1}{2} \)
\( \log_5(x^3 - 22) \lt 1 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade olarak yazalım.
\( x^3 - 22 \lt 5^1 \)
\( x^3 \lt 27 \)
\( x \lt 3 \)
Ek bir koşul olarak bir logaritma ifadesinin içi her zaman pozitif olmalıdır.
\( \dfrac{1}{x^3 - 22} \gt 0 \)
Bu eşitsizlik paydanın pozitif olduğu her durumda sağlanır.
\( x^3 - 22 \gt 0 \)
\( x^3 \gt 22 \)
\( x \gt \sqrt[3]{22} \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in (\sqrt[3]{22}, 3) \)
\( \dfrac{\log_3{a} - 3}{7 - \log_2{a}} \gt 0 \) olduğuna göre,
\(a\)'nın eşitsizliği sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadeleri sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \log_3{a} - 3 = 0 \)
\( \log_3{a} = 3 \)
\( a = 3^3 = 27 \)
\( 7 - \log_2{a} = 0 \)
\( \log_2{a} = 7 \)
\( a = 2^7 = 128 \)
Bu değerlere göre eşitsizlik için işaret tablosu çizelim.
Tablodan eşitsizliğin \( (27, 128) \) aralığında sağlandığını buluruz.
Terim sayısı formülünü kullanarak \( a \)'nın bu aralıkta alabileceği \( \frac{127 - 28}{1} + 1 = 100 \) farklı tam sayı değer bulunur.