Logaritmik Denklemler

Logaritma ifadesini üstel ifadeye çevirelim.

\( 4 + x = (x - 2)^2 \)

\( 4 + x = x^2 - 4x + 4 \)

\( x^2 - 5x = 0 \)

\( x(x - 5) = 0 \)

\( x = 0 \) veya \( x - 5 = 0 \) olur.

\( x = 0 \) veya \( x = 5 \) olur.

\( x = 0 \) için logaritma tabanı negatif olacağı için \( x = 0 \) geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x = 5 \)

(a) seçeneği:

\( \ln(y + 3) = \ln(y - 7) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinde logaritma içleri eşittir.

\( y + 3 = 2y - 7 \)

\( y = 10 \)

(b) seçeneği:

\( 2\ln{x} = \ln(2x + 8) \)

\( \ln{x^2} = \ln(2x + 8) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinde logaritma içleri eşittir.

\( x^2 = 2x + 8 \)

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 4) = 0 \)

\( x = 4 \) veya \( x = -2 \)

Logaritma içi sıfır ya da negatif olamayacağı için \( x = -2 \) geçerli bir çözüm değildir.

\( x = 4 \)

\( \log_2(7 + \log_2(3 + \log_7(3x + 2))) = 3 \)

\( 7 + \log_2(3 + \log_7(3x + 2)) = 2^3 = 8 \)

\( \log_2(3 + \log_7(3x + 2)) = 1 \)

\( 3 + \log_7(3x + 2) = 2^1 = 2 \)

\( \log_7(3x + 2) = -1 \)

\( 3x + 2 = 7^{-1} = \dfrac{1}{7} \)

\( 3x = -\dfrac{13}{7} \)

\( x = -\dfrac{13}{21} \) bulunur.

\( \log(x - 2) = \log[5(x + 3)] \)

\( \log(x - 2) = \log(5x + 15) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( x - 2 = 5x + 15 \)

\( 4x = -17 \)

\( x = -\dfrac{17}{4} \) bulunur.

\( x = -\dfrac{17}{4} \) için her iki logaritma içi de negatif olacağı için bu değer geçerli bir çözüm değildir, dolayısıyla çözüm kümesi boş küme olur.

Çözüm kümesi: \( x = \emptyset \)

Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.

\( \log{(\sqrt[3]{x})^6} = \log{3} + \log(x + 6) \)

\( \log{x^2} = \log{3} + \log(x + 6) \)

Logaritma çarpma kuralını uygulayalım.

\( \log{x^2} = \log(3x + 18) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( x^2 = 3x + 18 \)

\( x^2 - 3x - 18 = 0 \)

\( (x + 3)(x - 6) = 0 \)

\( x = -3 \) değeri \( \log{\sqrt[3]{x}} \) ifadesinin içini negatif yaptığı için geçersiz çözümdür.

\( x = 6 \) bulunur.

\( x \)'i yalnız bırakmak için dıştaki logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \log_4(2x + 5) = 10^0 = 1 \)

İçteki logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( 2x + 5 = 4^1 = 4 \)

\( x = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.

Bulduğumuz değer her iki logaritma içini de pozitif sayı yaptığı için geçerli bir çözümdür.

(1) \( 2x + 5 = 2(-\frac{1}{2}) + 5 = 4 \gt 0 \)

(2) \( \log_4(2x + 5) = \log_4{4} = 1 \gt 0 \)

İlk önce \( x \) sayısını bulalım.

\( \log_3(7 + \log_6{x}) = 2 \)

\( 7 + \log_6{x} = 3^2 = 9 \)

\( \log_6{x} = 2 \)

\( x = 6^2 = 36 \)

Şimdi \( y \) sayısını bulalım.

\( \log_8(2x - 10 + \log_7{y}) = 2 \)

\( 72 - 10 + \log_7{y} = 8^2 = 64 \)

\( \log_7{y} = 2 \)

\( y = 7^2 = 49 \)

Buna göre \( x + y = 36 + 49 = 85 \) olarak bulunur.

\( \log_3(4x - 5) = \log_3(2x + 4) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( 4x - 5 = 2x + 4 \)

\( 2x = 9 \)

\( x = \dfrac{9}{2} \) bulunur.

Bulduğumuz \( x \) değeri her iki logaritma içini de pozitif yaptığı için geçerli bir çözümdür.

Çözüm kümesi: \( x = \frac{9}{2} \)

\( \log_{25}{x} + \log_{125}{x^2} = 14 \)

\( \log_{5^2}{x} + \log_{5^3}{x^2} = 14 \)

Logaritmanın tabanının üssü logaritmanın başına çarpmanın tersi olarak, logaritmanın içinin üssü ise normal olarak gelir.

\( \dfrac{1}{2}\log_{5}{x} + \dfrac{2}{3}\log_{5}{x} = 14 \)

\( \dfrac{7}{6}\log_{5}{x} = 14 \)

\( \log_{5}{x} = 12 \)

\( x = 5^{12} \) bulunur.

\( (\log_2{x})^2 - 5\log_2{x} + 4 = 0 \)

\( \log_2{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - 5t + 4 = 0 \)

\( (t - 1)(t - 4) = 0 \)

\( t - 1 = 0 \) veya \( t - 4 = 0 \)

\( t = 1 \) veya \( t = 4 \)

\( t = 1 \) için:

\( \log_2{x} = t = 1 \)

\( x = 2^1 = 2 \)

\( t = 4 \) için:

\( \log_2{x} = t = 4 \)

\( x = 2^4 = 16 \)

Çözüm kümesi: \( x = \{2, 16\} \)

\( e^{\ln{m^x}} \cdot e^{\ln{n^x}} = \sqrt[3]{mn} \)

Bir sayının kendisiyle aynı tabandaki bir logaritma üssü, logaritması alınan değere eşittir.

\( m^x \cdot n^x = \sqrt[3]{mn} \)

\( (m \cdot n)^x = (m \cdot n)^{\frac{1}{3}} \)

\( x = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

\( \log_5(3^x + 27) = \log_5{4} + x\log_5{3} \)

\( \log_5(3^x + 27) = \log_5{4} + \log_5{3^x} \)

\( \log_5(3^x + 27) = \log_5(4 \cdot 3^x) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( 3^x + 27 = 4 \cdot 3^x \)

\( 27 = 3 \cdot 3^x \)

\( 9 = 3^x \)

\( x = 2 \) bulunur.

Doğal logaritmanın içi 1 olduğunda sonuç 0 olur.

\( \dfrac{3}{\ln(x - e)} = 1 \)

\( \ln(x - e) = 3 \)

\( x - e = e^3 \)

\( x = e^3 + e \) bulunur.

(a) seçeneği:

\( \ln(3y + 2) - 3 = \ln{y} \)

\( \ln(3y + 2) - \ln{y} = 3 \)

\( \ln{\dfrac{3y + 2}{y}} = 3 \)

\( \dfrac{3y + 2}{y} = e^3 \)

\( 3 + \dfrac{2}{y} = e^3 \)

\( \dfrac{2}{y} = e^3 - 3 \)

\( \dfrac{y}{2} = \dfrac{1}{e^3 - 3} \)

\( y = \dfrac{2}{e^3 - 3} \)

(b) seçeneği:

\( \ln(5z + 3) + 2 = \ln(2z - 1) \)

\( \ln(5z + 3) - \ln(2z - 1) = -2 \)

\( \ln{\dfrac{5z + 3}{2z - 1}} = -2 \)

\( \dfrac{5z + 3}{2z - 1} = e^{-2} \)

\( 5z + 3 = e^{-2}(2z - 1) \)

\( 5z = 2ze^{-2} - e^{-2} - 3 \)

\( 5z - 2ze^{-2} = -e^{-2} - 3 \)

\( z(5 - 2e^{-2}) = -e^{-2} - 3 \)

\( z = \dfrac{-e^{-2} - 3}{5 - 2e^{-2}} \)

\( z = \dfrac{e^{-2} + 3}{2e^{-2} - 5} \)

(a) seçeneği:

\( 2e^x + 4e^{-x} = 9 \)

\( 2e^x + \dfrac{4}{e^{x}} = 9 \)

\( e^x = t \) değişken değiştirmesi yapalım.

\( 2t + \dfrac{4}{t} = 9 \)

\( 2t^2 + 4 = 9t \)

\( 2t^2 - 9t + 4 = 0 \)

\( (t - 4)(2t - 1) = 0 \)

\( t = 4 \) veya \( t = \frac{1}{2} \)

\( t = 4 \) için:

\( e^x = t = 4 \)

\( x = \ln{4} \)

\( t = \frac{1}{2} \) için:

\( e^x = t = \dfrac{1}{2} \)

\( x = \ln{\dfrac{1}{2}} \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{\ln{4}, \ln{\frac{1}{2}}\} \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{6e^y}{e^{2y} + 1} = 3 \)

\( \dfrac{6e^y}{(e^{y})^2 + 1} = 3 \)

\( e^y = t \) değişken değiştirmesi yapalım.

\( \dfrac{6t}{t^2 + 1} = 3 \)

\( 6t = 3t^2 + 3 \)

\( 3t^2 - 6t + 3 = 0 \)

Eşitliğin her iki tarafını 3'e bölelim.

\( t^2 - 2t + 1 = 0 \)

\( (t - 1)^2 = 0 \)

\( t = 1 \)

\( e^y = t = 1 \) diyelim.

\( y = \ln{1} = 0 \)

(a) seçeneği:

\( 2\log_2{\dfrac{x}{2}} + \log_2{\sqrt{x}} = 8 \)

Logaritma içlerini üslü ifade biçiminde yazalım.

\( \log_2(\dfrac{x}{2})^2 + \log_2{x^{\frac{1}{2}}} = 8 \)

Logaritma çarpma kuralını kullanalım.

\( \log_2(\dfrac{x^2}{4} \cdot x^{\frac{1}{2}}) = 8 \)

\( \dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{4} = 2^8 \)

\( x^{\frac{5}{2}} = 2^8 \cdot 4 = 2^{10} \)

\( (x^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = (2^{10})^{\frac{2}{5}} \)

\( x = 2^4 = 16 \) bulunur.

(b) seçeneği:

\( \log_2(128y^2) = 1 + 2\log_2(\dfrac{y^2}{2}) \)

Logaritma içlerini üslü ifade biçiminde yazalım.

\( \log_2(128y^2) = \log_2{2} + \log_2(\dfrac{y^2}{2})^2 \)

\( \log_2(128y^2) = \log_2{2} + \log_2(\dfrac{y^4}{4}) \)

Logaritma çarpma kuralını kullanalım.

\( \log_2(128y^2) = \log_2(2 \cdot \dfrac{y^4}{4}) \)

\( \log_2(128y^2) = \log_2(\dfrac{y^4}{2}) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin içleri eşittir.

\( 128y^2 = \dfrac{y^4}{2} \)

\( 256y^2 = y^4 \)

\( 256 = y^2 \)

\( y \)'nin negatif değeri logaritma içini negatif yapmadığı için geçerli bir çözümdür.

\( y \in \{-16, 16\} \) bulunur.

Eşitliğin sağ tarafına taban değiştirme uygulayalım.

\( \log_3{\dfrac{2x}{5}} = \log_9{x} = \log_{3^2}{x} \)

\( \log_3{\dfrac{2x}{5}} = \dfrac{1}{2}\log_3{x} \)

\( \log_3{\dfrac{2x}{5}} = \log_3{\sqrt{x}} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( \dfrac{2x}{5} = \sqrt{x} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( \dfrac{4x^2}{25} = x \)

\( 4x^2 - 25x = 0 \)

\( x(4x - 25) = 0 \)

\( x = 0 \) veya \( 4x - 25 = 0 \)

\( x = 0 \) veya \( x = \dfrac{25}{4} \)

\( x = 0 \) iki logaritma içini sıfır yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{25}{4} \)

\( \log_3(x^2 - x - 2) - \log_3(x - 2) - \log_4{4^2} = 0 \)

\( \log_3{\dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}} = 2 \)

\( \log_3{\dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}} = \log_3{3^2} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} = 9 \)

\( x^2 - x - 2 = 9x - 18 \)

\( x^2 - 10x + 16 = 0 \)

\( (x - 2)(x - 8) = 0 \)

\( x - 2 = 0 \) veya \( x - 8 = 0 \)

\( x = 2 \) veya \( x = 8 \)

\( x = 2 \) iki logaritma içini de sıfır yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x = 8 \)

\( \log_3{2} \) denklemin bir kökü ise \( x \) yerine yazdığımızda denklem sağlanır.

\( (\log_3{2})^2 - \log_3{6} \cdot \log_3{2} + a = 0 \)

\( (\log_3{2})^2 - (\log_3{2} + \log_3{3}) \cdot \log_3{2} + a = 0 \)

\( (\log_3{2})^2 - (\log_3{2} + 1) \cdot \log_3{2} + a = 0 \)

\( (\log_3{2})^2 - (\log_3{2})^2 - \log_3{2} + a = 0 \)

\( a = \log_3{2} \) bulunur.

Eşitliğin her iki tarafını eşit tabanlı iki logaritma ifadesine dönüştürelim.

\( x(\log_6{6} - \log_6{2}) = \log_6(9^x - 2) \)

\( x\log_6{3} = \log_6(9^x - 2) \)

\( \log_6{3^x} = \log_6(9^x - 2) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( 3^x = 9^x - 2 \)

\( 9^x - 3^x - 2 = 0 \)

\( 3^{2x} - 3^x - 2 = 0 \)

\( 3^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - t - 2 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)

\( t + 1 = 0 \) veya \( t - 2 = 0 \)

\( t = -1 \) veya \( t = 2 \)

\( 3^x = t \) ifadesinin sonucu negatif olamayacağı için \( t = -1 \) geçersiz bir çözümdür.

\( 3^x = 2 \)

\( x = \log_3{2} \) bulunur.

Logaritmadan kurtulmak için eşitliği üstel ifade şeklinde yazalım.

\( 14x^4 - 4x^2 + 8 = (x^2 + 2)^3 \)

\( 14x^4 - 4x^2 + 8 = x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8 \)

Tüm terimleri tek tarafta toplayalım.

\( x^6 - 8x^4 + 16x^2 = 0 \)

\( x^2(x^4 - 8x^2 + 16) = 0 \)

\( x^2(x^2 - 4)^2 = 0 \)

\( x^2(x - 2)^2(x + 2)^2 = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 0, 2\} \)

Bu değerlerin hiçbirinin logaritma tabanını 0, 1 ya da negatif, logaritma içini de sıfır ya da negatif yapmadığını değer vererek teyit edebiliriz.

Buna göre denklemin çözüm kümesi 3 elemanlıdır.

\( 3^x \cdot 2^x - 2^x \cdot 2 = 3^x \cdot 3 - 6 \)

\( 2^x \cdot (3^x - 2) = 3 \cdot (3^x - 2) \)

\( 2^x = 3 \) veya \( 3^x - 2 = 0 \)

\( 2^x = 3 \Longrightarrow x = \log_2{3} \)

\( 3^x = 2 \Longrightarrow x = \log_3{2} \)

Çözüm kümesi: \( x = \{\log_2{3}, \log_3{2}\} \)

\( (\log{x})^3 - 16\log{x} = 0 \)

\( \log{x}((\log{x})^2 - 16) = 0 \)

\( \log{x}(\log{x} - 4)(\log{x} + 4) = 0 \)

\( \log{x} = 0 \) için:

\( x = 10^0 = 1 \)

\( \log{x} - 4 = 0 \) için:

\( x = 10^4 \)

\( \log{x} + 4 = 0 \) için:

\( x = 10^{-4} \) bulunur.

Çözüm kümesi: \( x = \{1, 10^4, 10^{-4}\} \)

\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t = \dfrac{3}{t} + 2 \)

\( t^2 = 3 + 2t \)

\( t^2 - 2t - 3 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 3) = 0 \)

\( t = -1 \) veya \( t = 3 \)

Bu değerleri \( \ln{x} = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.

\( \ln{x} = t = -1 \Longrightarrow x = e^{-1} \)

\( \ln{x} = t = 3 \Longrightarrow x = e^3 \)

Her iki değer de pozitif olduğu için logaritma içleri pozitif olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{e^{-1}, e^3\} \)

\( \ln(x^2 - 2x - 3) - \ln(x^2 + 3x + 2) = 2 \)

Logaritma bölme kuralını kullanalım.

\( \ln(\dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 3x + 2}) = 2 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 3x + 2} = e^2 \)

\( \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x + 2)(x + 1)} = e^2 \)

\( x = -1 \)'in bir çözüm olamayacağını not ederek \( x + 1 \) çarpanlarını sadeleştirelim.

\( \dfrac{x - 3}{x + 2} = e^2 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( x - 3 = (x + 2)e^2 \)

\( x - 3 = e^2x + 2e^2 \)

\( x - e^2x = 3 + 2e^2 \)

\( x(1 - e^2) = 3 + 2e^2 \)

Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{3 + 2e^2}{1 - e^2} \)

\( \ln{x^2} + \dfrac{15}{\ln{x}} = 13 \)

\( 2\ln{x} + \dfrac{15}{\ln{x}} = 13 \)

\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( 2t + \dfrac{15}{t} = 13 \)

\( 2t^2 + 15 = 13t \)

\( 2t^2 - 13t + 15 = 0 \)

\( (2t - 3)(t - 5) = 0 \)

\( t = \frac{3}{2} \) veya \( t = 5 \)

Bu değerleri \( \ln{x} = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.

\( \ln{x} = t = \frac{3}{2} \Longrightarrow x = e^{\frac{3}{2}} \)

\( \ln{x} = t = 5 \Longrightarrow x = e^5 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{e^{\frac{3}{2}}, e^5\} \)

\( \log_2{(2^2)^{2x}} = \log_3{(3^2)^{x + 1}} \)

\( \log_2{2^{4x}} = \log_3{3^{2x + 2}} \)

Logaritma içinin üssü logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( 4x\log_2{2} = (2x + 2)\log_3{3} \)

Logaritma tabanı ve içi aynı ise sonuç 1'dir.

\( 4x \cdot 1 = (2x + 2) \cdot 1 \)

\( 4x = 2x + 2 \)

\( x = 1 \) bulunur.

\( \ln(3x - y) - \ln{y^2} = \ln{2x} \)

\( \ln{\dfrac{3x - y}{y^2}} = \ln{2x} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( \dfrac{3x - y}{y^2} = 2x \)

\( 3x - y = 2xy^2 \)

\( 3x - 2xy^2 = y \)

\( x(3 - 2y^2) = y \)

\( x = \dfrac{y}{3 - 2y^2} \) bulunur.

Aşağıdaki gibi bir ifadede üslü ifadenin tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirilirse sonuç değişmez.

\( a^{\log_b{c}} = c^{\log_b{a}} \)

Buna göre verilen ifadedeki terimleri düzenleyelim.

\( 27^{\log_3{x}} = x^{\log_3{27}} \)

\( = x^{\log_3{3^3}} = x^3 \)

\( 25^{\log_5{x}} = x^{\log_5{25}} \)

\( = x^{\log_5{5^2}} = x^2 \)

\( e^{\ln{x}} = x^{\ln{e}} = x \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( 2x = 4 \cdot 27^{\log_3{x}} - 3 \cdot 25^{\log_5{x}} + e^{\ln{x}} \)

\( 2x = 4x^3 - 3x^2 + x \)

\( 4x^3 - 3x^2 - x = 0 \)

\( x(4x^2 - 3x - 1) = 0 \)

\( x(x - 1)(4x + 1) = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi her çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{1}{4}, 0, 1\} \)

Logaritma çarpma kuralını kullanalım.

\( (\ln{e} + \ln{x^2})\ln{x} = 3 \)

\( (1 + 2\ln{x})\ln{x} = 3 \)

\( \ln(x) + 2(\ln{x})^2 = 3 \)

\( 2(\ln{x})^2 + \ln(x) - 3 = 0 \)

\( (2\ln{x} + 3)(\ln{x} - 1) = 0 \)

\( \ln{x} = -\frac{3}{2} \) veya \( \ln{x} = 1 \)

\( \ln{x} = -\frac{3}{2} \Longrightarrow x = e^{-\frac{3}{2}} \)

\( \ln{x} = 1 \Longrightarrow x = e \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{e^{-\frac{3}{2}}, e\} \)

Her iki tarafın 3 tabanında logaritmasını alalım.

\( \log_3{x^{\log_3{x}}} = \log_3{9x} \)

\( \log_3{x} \cdot \log_3{x} = \log_3{9} + \log_3{x} \)

\( (\log_3{x})^2 = 2 + \log_3{x} \)

\( \log_3{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - t - 2 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)

\( t + 1 = 0 \) veya \( t - 2 = 0 \)

\( t = -1 \) veya \( t = 2 \)

\( t = -1 \) için:

\( \log_3{x} = t = -1 \)

\( x = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \)

\( t = 2 \) için:

\( \log_3{x} = t = 2 \)

\( x = 3^2 = 9 \)

Çözüm kümesi: \( x = \{\frac{1}{3}, 9\} \)

İki logaritma ifadesinin birbirine eşit olabilmesi için tabanlar ve logaritma içleri birbirinin aynı kuvvetine eşit olmalıdır.

\( \log_2{3} = \frac{n}{n} \log_2{3} = \log_{2^n}{3^n} \)

\( \log_{2^n}{3^n} = \log_{3x}{2x} \)

Buna göre aşağıdaki iki eşitliği yazabiliriz.

\( 2^n = 3x \Longrightarrow 2^{n + 1} = 6x \)

\( 3^n = 2x \Longrightarrow 3^{n + 1} = 6x \)

\( 6x \)'e eşit olan iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.

\( 2^{n + 1} = 3^{n + 1} \)

\( (\dfrac{2}{3})^{n + 1} = 1 \)

\( n + 1 = 0 \Longrightarrow n = -1 \)

Bu \( n \) değerini yukarıdaki eşitliklerden birinde yerine koyalım.

\( 2^{n + 1} = 6x \)

\( 2^{-1 + 1} = 1 = 6x \)

\( x = \dfrac{1}{6} \) bulunur.

\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( x = e^t \) olur.

\( (e^t)^t = e^2 \cdot e^t \)

\( e^{t^2} = e^{t + 2} \)

Üstel ifadelerin eşitliğinde tabanlar eşitse üsler de eşit olur.

\( t^2 = t + 2 \)

\( t^2 - t - 2 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)

\( t + 1 = 0 \) veya \( t - 2 = 0 \)

\( t = -1 \) veya \( t = 2 \)

\( t = -1 \) için:

\( x = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \)

\( t = 2 \) için:

\( x = e^2 \)

Çözüm kümesi: \( x = \{\frac{1}{e}, e^2\} \)

Logaritmalı ifadelerin hepsini 10 tabanına çevirelim.

\( \dfrac{\dfrac{\log{x}}{\log{12}} + \dfrac{\log{x}}{\log{18}}}{\dfrac{\log{x}}{\log{12}} \cdot \dfrac{\log{x}}{\log{18}}} = 5 \)

Gerekli düzenlemeleri yapalım.

\( \dfrac{\log{x} \cdot (\dfrac{1}{\log{12}} + \dfrac{1}{\log{18}})}{\dfrac{(\log{x})^2}{\log{12} \cdot \log{18}}} = 5 \)

\( \dfrac{\dfrac{\log{18} + \log{12}}{\log{12} \cdot \log{18}}}{\dfrac{\log{x}}{\log{12} \cdot \log{18}}} = 5 \)

\( \dfrac{\log{18} + \log{12}}{\log{x}} = 5 \)

\( 5\log{x} = \log(18 \cdot 12) \)

\( \log{x^5} = \log{216} \)

\( x^5 = 216 \)

\( 32 \lt 216 \lt 243 \)

\( 2^5 \lt x^5 \lt 3^5 \)

\( 2 \lt x \lt 3 \)

Buna göre \( x \) sayısı \( (2, 3) \) aralığında bir sayıdır.

\( \log(-3x) = \log(x + 1)^2 \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( -3x = (x + 1)^2 \)

\( -3x = x^2 + 2x + 1 \)

\( x^2 + 5x + 1 = 0 \)

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım.

\( x_1 = \dfrac{-5 - \sqrt{21}}{2} \)

\( x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{21}}{2} \)

Ayrıca logaritma ifadelerinin içleri pozitif olmalıdır.

\( -3x \gt 0 \Longrightarrow x \lt 0 \)

\( x + 1 \gt 0 \Longrightarrow x \gt -1 \)

Buna göre \( x \) aşağıdaki aralıkta bulunmalıdır.

\( -1 \lt x \lt 0 \)

Bulduğumuz iki kök değerinden ikincisi bu aralıktadır.

\( x = \dfrac{-5 + \sqrt{21}}{2} \) bulunur.

Eşitliği düzenleyelim.

\( \log_{7^{-2}}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6}) \)

Logaritma tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma önüne katsayı olarak alınabilir.

\( -\dfrac{1}{2}\log_{7}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6}) \)

\( \log_{7}(\log_{36}{n}) = -2\log_{7}(\log_{n}{6}) \)

Logaritma ifadesinin katsayısı logaritma içine üs olarak alınabilir.

\( \log_{7}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6})^{-2} \)

Tabanları eşit olan iki logaritma ifadesinin içleri de eşittir.

\( \log_{36}{n} = (\log_{n}{6})^{-2} \)

\( \log_{6^2}{n} = \dfrac{1}{(\log_{n}{6})^{2}} \)

Logaritma tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma önüne katsayı olarak alınabilir.

\( \dfrac{1}{2}\log_{6}{n} \cdot (\log_{n}{6})^{2} = 1 \)

\( (\log_{6}{n} \cdot \log_{n}{6}) \cdot \log_{n}{6} = 2 \)

Zincir kuralına göre parantez içindeki çarpım 1'e eşit olur.

\( 1 \cdot \log_{n}{6} = 2 \)

\( n^2 = 6 \)

\( n = \sqrt{6} \) bulunur.

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

\( 7^a \cdot 2^a - 2^a \cdot 2^3 - 7^a \cdot 7 = -7 \cdot 2^3 \)

\( 7^a \cdot 2^a - 2^a \cdot 2^3 - 7^a \cdot 7 + 7 \cdot 2^3 = 0 \)

\( 2^a(7^a - 8) - 7(7^a - 8) = 0 \)

\( (7^a - 8)(2^a - 7) = 0 \)

\( 7^a - 8 = 0 \) veya \( 2^a - 7 = 0 \)

\( 7^a = 8 \) veya \( 2^a = 7 \)

\( 7^a = 8 \Longrightarrow a = \log_7{8} \)

\( 2^a = 7 \Longrightarrow a = \log_2{7} \)

Bu iki değerin çarpımı zincir kuralı ile \( \log_7{8} \cdot \log_2{7} = \log_2{8} = 3 \) olarak bulunur.

Birinci logaritma ifadesini düzenleyelim.

\( \log{\sqrt{(x - 1)(x + 1)}} - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)

\( \log(\sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}) - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)

İki ifadenin çarpımının logaritması ifadelerin logaritmalarının toplamına eşittir.

\( \log{\sqrt{x - 1}} + \log{\sqrt{x + 1}} - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)

\( \log{\sqrt{x - 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)

\( 3\log{\sqrt{x - 1}} = -3 \)

\( \log{\sqrt{x - 1}} = -1 \)

\( \sqrt{x - 1} = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( x - 1 = \dfrac{1}{100} \)

\( x = \dfrac{101}{100} \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafına taban değiştirme uygulayalım.

\( \dfrac{\log_5{25}}{\log_5{4x}} = \dfrac{\log_5{125}}{\log_5{7x}} \)

\( \dfrac{\log_5{5^2}}{\log_5{4x}} = \dfrac{\log_5{5^3}}{\log_5{7x}} \)

\( \dfrac{2}{\log_5{4x}} = \dfrac{3}{\log_5{7x}} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2\log_5{7x} = 3\log_5{4x} \)

Logaritmanın önündeki katsayıları içeriye üs olarak alalım.

\( \log_5{(7x)^2} = \log_5{(4x)^3} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin içleri eşittir.

\( (4x)^3 = (7x)^2 \)

\( 64x^3 = 49x^2 \)

\( 64x^3 - 49x^2 = 0 \)

\( x^2(64x - 49) = 0 \)

\( x = 0 \) değeri verilen eşitlikte logaritma tabanlarını sıfır yapacağı için geçerli bir çözüm değildir.

\( x = \dfrac{49}{64} \) bulunur.

1. denklem:

\( \log_2{y} = \log_2{x} + 4 \)

\( \log_2{y} - \log_2{x} = 4 \)

\( \log_2{\dfrac{y}{x}} = 4 \)

\( \dfrac{y}{x} = 2^4 = 16 \)

\( y = 16x \)

2. denklem:

\( 8^y = 4^{2x + 3} \)

\( (2^3)^y = (2^2)^{2x + 3} \)

\( 2^{3y} = 2^{4x + 6} \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin üsleri eşittir.

\( 3y = 4x + 6 \)

Bulduğumuz iki denklemi ortak çözelim.

2. denklemde \( y = 16x \) yazarak \( x \) değerini bulalım.

\( 3(16x) = 4x + 6 \)

\( 48x = 4x + 6 \)

\( x = \dfrac{6}{44} = \dfrac{3}{22} \)

1. denklemde \( x = \frac{3}{22} \) yazarak \( y \) değerini bulalım.

\( y = 16 \cdot \dfrac{3}{22} \)

\( y = \dfrac{24}{11} \)

\( \log_9{x} + \log_x{81} = 3 \)

Taban değiştirme formulü ile ifadeleri 3 tabanına çevirelim.

\( \dfrac{\log_3{x}}{\log_3{9}} + \dfrac{\log_3{81}}{\log_3{x}} = 3 \)

\( \dfrac{\log_3{x}}{\log_3{3^2}} + \dfrac{\log_3{3^4}}{\log_3{x}} = 3 \)

\( \dfrac{\log_{3}{x}}{2} + \dfrac{4}{\log_{3}{x}} = 3 \)

\( \log_{3}{x} = t \) şeklinde değişken değiştirme yapalım.

\( \dfrac{t}{2} + \dfrac{4}{t} = 3 \)

\( \dfrac{t^2 + 8}{2t} = 3 \)

\( t^2 + 8 = 6t \)

\( t^2 - 6t + 8 = 0 \)

\( (t - 2)(t - 4) = 0 \)

\( t = 2 \) veya \( t = 4 \)

\( t = 2 \) için:

\( \log_3{x} = t = 2 \)

\( x = 3^2 = 9 \)

\( t = 4 \) için:

\( \log_3{x} = t = 4 \)

\( x = 3^4 = 81 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{9, 81\} \)

\( 2 \cdot 2^{\log{x}} + \dfrac{2^2}{2^{\log{x}}} = 6 \)

Eşitliğin iki tarafını 2'ye bölelim.

\( 2^{\log{x}} + \dfrac{2}{2^{\log{x}}} = 3 \)

\( 2^{\log{x}} = t \) değişken değiştirmesi yapalım.

\( t + \dfrac{2}{t} = 3 \)

\( t^2 + 2 = 3t \)

\( t^2 - 3t + 2 = 0 \)

\( (t - 2)(t - 1) = 0 \)

\( t = 1 \) veya \( t = 2 \)

\( t = 1 \) için:

\( 2^{\log{x}} = t = 1 \)

\( \log{x} = 0 \)

\( x = 1 \)

\( t = 2 \) için:

\( 2^{\log{x}} = t = 2 \)

\( \log{x} = 1 \)

\( x = 10 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 10\} \)

İfadeyi düzenleyelim ve ikinci terimde taban ve üsteki logaritma içini aralarında yer değiştirelim.

\( 3^{2\log_5{x}} - 10 \cdot 3^{\log_5{x}} + 3^{\log_7{7^2}} = 0 \)

\( (3^{\log_5{x}})^2 - 10 \cdot 3^{\log_5{x}} + 3^2 = 0 \)

\( 3^{\log_5{x}} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - 10t + 9 = 0 \)

\( (t - 1)(t - 9) = 0 \)

\( t = 1 \) veya \( t = 9 \)

Bu değerleri \( 3^{\log_5{x}} = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.

\( 3^{\log_5{x}} = t = 1 \)

\( \log_5{x} = 0 \)

\( x = 5^0 = 1 \)

\( 3^{\log_5{x}} = t = 9 \)

\( \log_5{x} = 2 \)

\( x = 5^2 = 25 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 25\} \)

\( \dfrac{x^{\log_3{x}}}{x^2} = 27 \)

\( x^{\log_3{x}} = 27x^2 \)

Eşitliğin her iki tarafının 3 tabanında logaritmasını alalım.

\( \log_3{x^{\log_3{x}}} = \log_3(27x^2) \)

\( \log_3{x} \cdot \log_3{x} = \log_3{3^3} + \log_3{x^2} \)

\( (\log_3{x})^2 = 3 + 2\log_3{x} \)

\( \log_3{x} = t \) değişken değiştirmesi yapalım.

\( t^2 = 3 + 2t \)

\( t^2 - 2t - 3 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 3) = 0 \)

\( t = -1 \) veya \( t = 3 \)

\( t = -1 \) için:

\( \log_3{x} = t = -1 \)

\( x = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \)

\( t = 3 \) için:

\( \log_3{x} = t = 3 \)

\( x = 3^3 = 27 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{1}{3}, 27\} \)

\( a\log_2{3^t} + b\log_2{9^t} + c\log_2{27^t} = 12 \)

Terimlerin katsayılarını logaritma içine üs olarak alalım.

\( \log_2{3^{at}} + \log_2{9^{bt}} + \log_2{27^{ct}} = 12 \)

İki sayının çarpımının logaritması sayıların logaritmalarının toplamına eşittir.

\( \log_2(3^{at} \cdot 9^{bt} \cdot 27^{ct}) = 12 \)

\( \log_2(3^{at} \cdot 3^{2bt} \cdot 3^{3ct}) = 12 \)

\( \log_2{3^{at + 2bt + 3ct}} = 12 \)

\( \log_2{3^{t(a + 2b + 3c)}} = 12 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( 3^{t(a + 2b + 3c)} = 2^{12} \)

\( 9^{6t} = 8^4 \) ifadesini en sade haliyle yazalım.

\( 3^{12t} = 2^{12} \)

\( 3^{t(a + 2b + 3c)} = 3^{12t} \)

Buna göre aşağıdaki eşitlik elde edilir.

\( a + 2b + 3c = 12 \)

\( c \)'ye farklı pozitif tam sayı değerleri vererek olası değerleri bulalım.

Durum 1: \( c = 3 \)

\( a + 2b = 3 \)

Bu eşitliği sağlayan 1 \( (a, b) \) ikilisi vardır.

\( (a, b, c) \in \{(1, 1, 3)\} \)

Durum 2: \( c = 2 \)

\( a + 2b = 6 \)

Bu eşitliği sağlayan 2 \( (a, b) \) ikilisi vardır.

\( (a, b, c) \in \{(2, 2, 2), (4, 1, 2)\} \)

Durum 3: \( c = 1 \)

\( a + 2b = 9 \)

Bu eşitliği sağlayan 4 \( (a, b) \) ikilisi vardır.

\( (a, b, c) \in \{(1, 4, 1), (3, 3, 1), (5, 2, 1), (7, 1, 1)\} \)

Toplam \( 1 + 2 + 4 = 7 \) tane farklı \( (a, b, c) \) üçlüsü bulunur.

Eşitliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritmasını alalım.

\( \log{x^{x^{x^{\ldots}}}} = \log{3} \)

Logaritması alınan ifadenin üssünü katsayı olarak yazabiliriz.

\( x^{x^{x^{\ldots}}} \cdot \log{x} = \log{3} \)

Birinci çarpan soruda verilen ifade ile aynıdır ve değeri 3'tür.

\( 3 \cdot \log{x} = \log{3} \)

\( \dfrac{\log{3}}{\log{x}} = 3 \)

Taban değiştirme uygulayalım.

\( \log_x{3} = 3 \)

\( x^3 = 3 \)

\( x = \sqrt[3]{3} \) bulunur.