Kutupsal Koordinat Sistemi
Bir koordinat sistemi, bir noktanın düzlemdeki (ya da \( n \) boyutlu uzaydaki) konumunu belirli eksenleri veya noktaları referans alarak bir sıralı ikili (ya da sıralı \( n \)'li) şeklinde temsil eder. Bu konuma noktanın o koordinat sistemindeki koordinatları denir.
En sık kullanılan koordinat sistemi olan kartezyen koordinat sisteminde bir noktanın koordinatları, noktanın birbirine dik eksenlere olan yönlü (pozitif ve negatif olabilen) uzaklıkları ile ifade edilir. İki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde eksenler \( x \) ve \( y \), noktanın koordinatları da \( (x, y) \) sıralı ikilisidir. Üç boyutlu koordinat sisteminde ise eksenler \( x \), \( y \) ve \( z \), noktanın koordinatları da \( (x, y, z) \) sıralı üçlüsüdür.
Bu bölümde inceleyeceğimiz kutupsal koordinat sisteminde ise bir noktanın koordinatları, noktanın orijine olan yönlü uzaklığı ve noktayı orijinle birleştiren doğru parçasının yatay eksen ile yaptığı yönlü açıdan oluşan \( (r, \theta) \) sıralı ikilisi ile ifade edilir.
Kutupsal koordinat sisteminde orijine kutup noktası, yatay eksene kutup ekseni denir. Kutup ekseni kartezyen koordinat sistemindeki \( x \) ekseninin pozitif tarafına karşılık gelir.
Kutupsal denklemlerin grafiklerine kutupsal eğri adı verilir.
Aşağıdaki şekilde bazı noktaların kutupsal koordinat sistemindeki koordinatları verilmiştir.
Kutupsal koordinat sisteminde \( \theta \) açısı yönlü bir büyüklüktür. Bir noktaya ait \( \theta \) açısının ölçüsü pozitif ise açı yatay eksenin pozitif tarafından başlayarak saat yönünün tersi yönde, negatif ise saat yönünde ölçülür.
Kutupsal koordinat sisteminde noktanın orijine olan \( r \) uzaklığı da yönlü bir büyüklüktür ve (iki nokta arasındaki en kısa düz çizgi mesafeyi ölçen) Öklid uzaklığından farklı olarak negatif değer de alabilir. Bir nokta için \( r \gt 0 \) ise nokta açının bitiş kolu boyunca orijinden \( r \) birim uzaklıktadır, \( r \lt 0 \) ise bitiş kolu ile aynı doğrultuda ve ters yönde orijinden \( \abs{r} \) birim uzaklıktadır. Bu nokta aynı zamanda birinci noktanın orijine göre simetriğidir ve iki doğru arasındaki açı \( \pi \) radyandır.
Noktanın Farklı Gösterimleri
Bir noktanın kartezyen koordinat sisteminde tek bir gösterimi varken kutupsal koordinat sisteminde sonsuz sayıda farklı gösterimi vardır. Bu farklı gösterimler üç şekilde olabilir.
Denk Açılar
Trigonometride tanımladığımız yönlü açılara \( 2\pi \) radyanın herhangi bir tam sayı katı eklendiğinde ya da çıkarıldığında elde edilen açı orijinal açıya denktir. Bu sebeple kutupsal koordinat sisteminde aynı nokta birbirine denk açılarla sonsuz sayıda farklı şekilde ifade edilebilir.
Aşağıda \( A \) noktasının kutupsal koordinatlarının farklı gösterimleri, birbirine denk üç açı ile verilmiştir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( (r, \theta) = (r, \theta + 2\pi k) \)
\( \ldots = (5, -\frac{11\pi}{6}) = (5, \frac{\pi}{6}) = (5, \frac{13\pi}{6}) = \ldots \)
Negatif Uzaklık
Kutupsal koordinat sisteminde uzaklık yönlü bir büyüklük olduğu için negatif olabilir.
Aşağıda \( A \) noktasının kutupsal koordinatları, standart gösterime ek olarak orijine göre simetriği olan \( B \) noktasının koordinatları cinsinden ve negatif uzaklıkla verilmiştir. Buna göre, bir noktanın sonsuz sayıdaki \( (r, \theta + 2\pi k) \) gösterimlerinin her biri için \( (-r, \theta + \pi + 2\pi k) \) şeklinde bir negatif uzaklık gösterimi de vardır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( (r, \theta) = (-r, \theta + (2k + 1)\pi) \)
\( (5, \frac{\pi}{6}) = (-5, \frac{5\pi}{6}) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki iki kutupsal gösterimin geometrik olarak aynı noktaya karşılık geldiğini gösterelim.
\( (r, \theta) = (-r, \theta + (2k + 1)\pi) \)
Eşitliğin sağ tarafındaki kutupsal gösterimin kartezyen koordinatlarının \( x \) bileşenini yazalım.
\( (-r)\cos(\theta + (2k + 1)\pi) = (-r)\cos(\theta + 2\pi k + \pi) \)
Bir açının ölçüsüne \( 2\pi \) radyanın herhangi bir tam sayı katı eklendiğinde/çıkarıldığında açının trigonometrik oranları değişmez.
\( = (-r)\cos(\theta + \pi) \)
Kosinüs fonksiyonu III. bölgede negatiftir.
\( = (-r)(-\cos{\theta}) \)
\( = r\cos{\theta} \)
Aynı gösterimin kartezyen koordinatlarının \( y \) bileşenini yazalım.
\( (-r)\sin(\theta + (2k + 1)\pi) = (-r)\sin(\theta + 2\pi k + \pi) \)
\( = (-r)\sin(\theta + \pi) \)
Sinüs fonksiyonu III. bölgede negatiftir.
\( = (-r)(-\sin{\theta}) \)
\( = r\sin{\theta} \)
Elde ettiğimiz iki bileşen, \( (r, \theta) \) kutupsal gösteriminin kartezyen koordinatlarıdır.
\( (-r, \theta + (2k + 1)\pi) = (r, \theta) \)
Orijin Noktası
Orijin noktası \( r = 0 \) alınarak herhangi bir \( \theta \) açısı ile ifade edilebilir.
\( (0, \theta) \)
\( (0, 0) = (0, \frac{\pi}{3}) = (0, -\frac{3\pi}{4}) \)
Orijin noktası dışındaki her nokta, kutupsal koordinat sisteminde \( r \gt 0 \) ve \( 0 \le \theta \lt 2\pi \) olacak şekilde benzersiz şekilde ifade edilebilir.
Kutupsal > Kartezyen Denklemi Dönüşümü
Kutupsal koordinatları verilen bir noktanın kartezyen koordinatları dik üçgenin trigonometrik özellikleri kullanılarak aşağıdaki formüllerle bulunabilir.
Kutupsal koordinatları \( (r, \theta) \) olan noktanın kartezyen koordinatları \( (x, y) \) olmak üzere,
\( x = r\cos{\theta} \)
\( y = r\sin{\theta} \)
Kutupsal koordinatları \( (8, \frac{\pi}{3}) \) olan noktanın kartezyen koordinatları:
\( x = 8\cos{\dfrac{\pi}{3}} = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4 \)
\( y = 8\sin{\dfrac{\pi}{3}} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \)
Buna göre noktanın kartezyen koordinatları \( (4, 4\sqrt{3}) \) olur.
Bu dönüşümler bir noktanın sonsuz sayıdaki tüm gösterimleri için geçerlidir.
\( \left( 8, \dfrac{2\pi}{3} \right) = \left( -8, \dfrac{5\pi}{3} \right) \)
\( (8, \frac{2\pi}{3}) \) için:
\( x = 8\cos{\dfrac{2\pi}{3}} = 8 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) = -4 \)
\( y = 8\sin{\dfrac{2\pi}{3}} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \)
\( (-8, \frac{5\pi}{3}) \) için:
\( x = -8\cos{\dfrac{5\pi}{3}} = -8 \cdot \dfrac{1}{2} = -4 \)
\( y = -8\sin{\dfrac{5\pi}{3}} = -8 \cdot \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4\sqrt{3} \)
Kartezyen > Kutupsal Denklem Dönüşümü
Kartezyen koordinatları verilen bir noktanın kutupsal koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunabilir.
Kartezyen koordinatları \( (x, y) \) olan noktanın kutupsal koordinatları \( (r, \theta) \) olmak üzere,
\( r^2 = x^2 + y^2 \)
\( \theta \) açısı \( (x, y) \) noktası ile aynı bölgede olan ve tanjant değeri \( \frac{y}{x} \) olan açıdır.
\( \tan{\theta} = \dfrac{y}{x} \)
Kartezyen koordinatları \( (4, -4\sqrt{3}) \) olan noktanın kutupsal koordinatlarını bulalım.
\( r = \sqrt{4^2 + (-4\sqrt{3})^2} = 8 \)
\( \tan{\theta} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3} \)
\( (x, y) = (4, -4\sqrt{3}) \) noktası IV. bölgededir.
IV. bölgede tanjant değeri \( -\sqrt{3} \) olan açı \( \theta = \frac{5\pi}{3} \) açısıdır.
\( (r, \theta) = \left( 8, \dfrac{5\pi}{3} \right) \)
\( r^2 = x^2 + y^2 \) eşitliğinin \( r \) için çözümü pozitif ve negatif olmak üzere iki değer içerse de, standart gösterim için pozitif değer seçilir.
Bir noktanın kutupsal gösterimi bulunurken \( \theta = \arctan{\frac{y}{x}} \) formülünü kullanmak hatalı sonuç verebilir, çünkü tanjant fonksiyonu iki bölgede pozitif ve iki bölgede negatif değer alır, ancak ters tanjant fonksiyonu pozitif ve negatif değerler için sadece birer bölgede açı döndürür.
\( A(1, \sqrt{3}), \quad B(-1, -\sqrt{3}) \)
\( \arctan{\dfrac{\sqrt{3}}{1}} = \arctan{\dfrac{-\sqrt{3}}{-1}} = \dfrac{\pi}{3} \)
\( A \) ve \( B \) farklı bölgelerde bulunan ve farklı açılara sahip noktalar olsa da, ters tanjant fonksiyonu aynı açıyı vermektedir.
Bunun yerine, sayının kartezyen düzleminde bulunduğu bölge ve tanjant değeri birlikte yorumlanarak \( \theta \) açısını bulmak daha doğru bir yöntemdir.
\( A(1, \sqrt{3}) \) noktası I. bölgededir.
\( \tan{\theta_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \)
I. bölgede tanjant değeri \( \sqrt{3} \) olan açı \( \theta_1 = \frac{\pi}{3} \) açısıdır.
\( B(-1, -\sqrt{3}) \) noktası III. bölgededir.
\( \tan{\theta_2} = \dfrac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3} \)
III. bölgede tanjant değeri \( \sqrt{3} \) olan açı \( \theta_2 = \frac{4\pi}{3} \) açısıdır.
Tanjant değerinin tanımsız olduğu aşağıdaki üç özel duruma dikkat edilmelidir.
(1) \( x = 0, \quad y \gt 0 \) ise:
\( \theta = \dfrac{\pi}{2} \)
(2) \( x = 0, \quad y \lt 0 \) ise:
\( \theta = \dfrac{3\pi}{2} \)
(3) \( x = y = 0 \) ise:
\( r = 0 \) olacağı için \( \theta \) sıfır ya da herhangi bir değer seçilebilir.