Kutupsal Denklemlerin İntegrali
Bu bölümde kutupsal denklemlerin bazı integral uygulamalarını inceleyeceğiz.
Bir Eğrinin Altında Kalan Alan
Kartezyen denklemlerinde alanı belirli bir \( x \in [a, b] \) aralığında eğri ile \( x \) ekseni arasında kalan bölge için hesaplamıştık. Kutupsal denklemlerde ise alan \( \theta \in [\alpha, \beta] \) aralığında eğri ile kutup noktası arasında kalan bölge için hesaplanır.
Kutupsal bir eğrinin belirli bir aralıkta kutup noktası ile arasında kalan alan aşağıdaki formülle bulunur.
\( r(\theta) \) fonksiyonu \( [\alpha, \beta] \) aralığında sürekli ve \( r(\theta) \ge 0 \) olmak üzere,
\( \alpha \le \theta \le \beta \) aralığındaki alan:
\( A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} [r(\theta)]^2\ d\theta \)
İSPATI GÖSTER
Kartezyen denklemi verilen bir eğrinin \( x \in [a, b] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulurken önce aralığı alanını geometrik yöntemlerle yaklaşık olarak hesaplayabileceğimiz dikdörtgen şeklinde alt aralıklara bölmüş, daha sonra bu aralıkların Riemann toplamını almış ve aralık sayısı sonsuza giderken bu toplamın limitini almıştık.
Benzer bir yaklaşımı birkaç farkla kutupsal denklemlere de uygulayabiliriz.
Bir \( \theta \) açısının taradığı daire diliminin geometrik alanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( A = \pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{2\pi} = \dfrac{1}{2}r^2\theta \)
Kutupsal denklemi \( r = r(\theta) \) olan aşağıdaki gibi sürekli bir eğrinin kutup noktası ile arasında kalan alanı bulmak istiyor olalım.
Bu aralığı ölçüleri eşit \( n \) alt aralığa bölelim.
\( \Delta\theta = \dfrac{\beta - \alpha}{n} \) olmak üzere,
\( \theta_0 = \alpha \lt \theta_1 \lt \ldots \lt \theta_n = \beta \)
\( i \). alt aralığın alanını bu bölgeyi bir daire dilimi şeklinde düşünerek yaklaşık olarak hesaplayalım.
\( A_i = \dfrac{1}{2}[r(\theta_i^*)]^2\Delta\theta \)
Bu formülde \( \theta_i^* \) değeri \( [\theta_{i-1}, \theta_i] \) aralığında daire diliminin yarıçapını bulmak için herhangi bir yöntemle seçilen açı değeridir. Önceki alan hesaplamalarında \( n \) sonsuza giderken bu değerin hangi yöntemle seçildiğinin sonucu değiştirmediğini göstermiştik.
\( r(\theta_i^*) \) değeri \( i \). aralıktaki daire diliminin yarıçapıdır.
Tüm aralıklar için bu alanların toplamı Riemann toplamını verir.
\( S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^n {\dfrac{1}{2}[r(\theta_i^*)]^2\Delta\theta} \)
Bu Riemann toplamı hesaplamak istediğimiz alanın yaklaşık değerini verir.
\( S_n \approx A \)
Bu toplamın \( n \) sonsuza, \( \Delta\theta \) da sıfıra giderkenki limiti alanın gerçek değerini verir.
\( A = \lim\limits_{n \to \infty} S_n \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} {\displaystyle\sum_{i = 1}^n {\dfrac{1}{2}[r(\theta_i^*)]^2\Delta\theta}} \)
\( = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} {\dfrac{1}{2}[r(\theta)]^2\ d\theta} \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} {[r(\theta)]^2\ d\theta} \)
Bu formülün doğru sonuç vermesi için, \( \alpha \le \theta \le \beta \) aralığında alanı hesaplanacak bölge birden fazla kez taranmamalıdır.
Bu formülü bir kutupsal eğrinin alan hesaplamasında kullanalım.
Aşağıda tanımı ve grafiği verilen kutupsal eğrinin çevrelediği toplam alanı bulalım.
\( r(\theta) = 6\sin(3\theta) \)
Grafikteki eğrinin yaprakları özdeş olduğu için sadece I. bölgedeki yaprağın alanını hesaplayalım.
Denklemin orijinden geçtiği ilk üç noktayı bulalım.
\( 6\sin{3\theta} = 0 \)
\( 3\theta \in \{0, \pi, 2\pi\} \)
\( \theta \in \left\{ 0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3} \right\} \)
Buna göre 1. bölgedeki yaprak \( \theta \in [0, \frac{\pi}{3}] \) aralığında oluşur, dolayısıyla bu yaprağın alanı için integrali bu aralıkta almalıyız.
İntegral alan formülünü yazalım.
\( A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} [r(\theta)]^2\ d\theta \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} [6\sin(3\theta)]^2\ d\theta \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} 36\sin^2(3\theta)\ d\theta \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} 36 \cdot \dfrac{1 - \cos(2 \cdot 3\theta)}{2}\ d\theta \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (18 - 18\cos(6\theta))\ d\theta \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2}(18\theta - 3\sin(6\theta))|_0^{\frac{\pi}{3}} \)
\( = \dfrac{1}{2}[(18 \cdot \dfrac{\pi}{3} - 3\sin(6 \cdot \frac{\pi}{3})) - (18 \cdot 0 - 3\sin(6 \cdot 0))] \)
\( = \dfrac{1}{2}[(6\pi - 0) - (0 - 0)] = 3\pi \)
Buna göre eğrinin üç yaprağının çevrelediği toplam alan \( 3 \cdot 3\pi = 9\pi \) olur.
Yay Uzunluğu
Kutupsal bir eğrinin belirli bir aralıktaki yay uzunluğu aşağıdaki formülle bulunur.
\( r = r(\theta) \) olmak üzere,
\( \alpha \le \theta \le \beta \) aralığında eğrinin yay uzunluğu:
\( L = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{([r(\theta)]^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2}\ d\theta \)
İSPATI GÖSTER
Parametrik denklemlerin yay uzunluk formülünü hatırlayalım.
\( x = x(t), y = y(t) \) olmak üzere,
\( t_1 \le t \le t_2 \) aralığında eğrinin yay uzunluğu:
\( L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}\ dt \)
Kutupsal denklemleri parametresi \( \theta \) olan birer parametrik denklem olarak düşünebiliriz.
\( x(\theta) = r(\theta)\cos{\theta} \)
\( y(\theta) = r(\theta)\sin{\theta} \)
Bu durumda yay uzunluk formülü aşağıdaki gibi olur.
\( \alpha \le \theta \le \beta \) aralığında eğrinin yay uzunluğu:
\( L = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2}\ d\theta \)
Her iki denklemin çarpma kuralını kullanarak \( \theta \) parametresine göre türevini alalım.
\( \dfrac{dx}{d\theta} = (r(\theta)\cos{\theta})' \)
\( = \dfrac{dr}{d\theta}\cos{\theta} - r\sin{\theta} \)
\( \dfrac{dy}{d\theta} = (r(\theta)\sin{\theta})' \)
\( = \dfrac{dr}{d\theta}\sin{\theta} + r\cos{\theta} \)
Bu iki türev ifadesinin karelerinin toplamını alalım.
\( \left( \dfrac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{d\theta} \right)^2 = \left( \dfrac{dr}{d\theta} \right)^2\cos^2{\theta} - 2\dfrac{dr}{d\theta}\cos{\theta}\ r\sin{\theta} + r^2\sin^2{\theta} + \left( \dfrac{dr}{d\theta} \right)^2\sin^2{\theta} + 2\dfrac{dr}{d\theta}\sin{\theta}\ r\cos{\theta} + r^2\cos^2{\theta} \)
\( = \left( \dfrac{dr}{d\theta} \right)^2(\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}) + r^2(\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}) \)
\( \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( = \left( \dfrac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2 \)
Bu değeri parametrik eğri yay uzunluk formülünde yerine koyduğumuzda kutupsal eğri yay uzunluk formülünü elde ederiz.
\( L = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (\dfrac{dr}{d\theta})^2}\ d\theta \)
Yukarıdaki formülü kullanabilmemiz için \( r'(\theta) \) fonksiyonu \( \theta \in [\alpha, \beta] \) aralığında sürekli olmalı ve eğri bu aralıkta kendini tekrarlamamalıdır.
Bu formülü bir kutupsal eğrinin yay uzunluğu hesaplamasında kullanalım.
Aşağıda tanımı ve grafiği verilen parametrik denklemin belirtilen aralıktaki yay uzunluğunu bulalım.
\( 0 \le \theta \le 2\sqrt{3} \) olmak üzere,
\( r(\theta) = \theta^2 \)
İntegral yay uzunluğu formülünü yazalım.
\( L = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{([r(\theta)]^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2}\ d\theta \)
\( \dfrac{dr}{d\theta} = (\theta^2)' = 2\theta \)
\( = \displaystyle\int_0^{2\sqrt{3}} \sqrt{(\theta^2)^2 + (2\theta)^2}\ d\theta \)
\( = \displaystyle\int_0^{2\sqrt{3}} \sqrt{\theta^4 + 4\theta^2}\ d\theta \)
\( = \displaystyle\int_0^{2\sqrt{3}} \theta\sqrt{\theta^2 + 4}\ d\theta \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{1}{3}\sqrt{(\theta^2 + 4)^3} \right)\Bigg|_0^{2\sqrt{3}} \)
\( = \dfrac{1}{3}\sqrt{((2\sqrt{3})^2 + 4)^3} - \dfrac{1}{3}\sqrt{(0^2 + 4)^3} \)
\( = \dfrac{64}{3} - \dfrac{8}{3} = \dfrac{56}{3} \)