Kutupsal Denklemlerin Türevi
Bu bölümde kutupsal denklemlerin bazı türev uygulamalarını inceleyeceğiz.
Kutupsal Denklemin Birinci Türevi
\( r = r(\theta) \) formundaki bir kutupsal denklem \( \theta \) parametresine bağlı bir parametrik denklem olarak yazılabilir, dolayısıyla türevi de parametrik denklemlerin türev formülü ile alınabilir.
\( dx/d\theta \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \)
\( r(\theta) = 2\sin{\theta} \)
Kutupsal denklemin birinci türevini bulalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \)
Kutupsal koordinatların kartezyen koordinatlarına dönüşüm formüllerini kullanarak denklemi parametrik denklem şeklinde yazalım.
\( x = r(\theta)\cos{\theta} \)
\( = 2\sin{\theta}\cos{\theta} = \sin(2\theta) \)
\( y = r(\theta)\sin{\theta} \)
\( = 2\sin{\theta}\sin{\theta} = 2\sin^2{\theta} \)
Pay ve paydadaki türevleri bulalım.
\( \dfrac{dx}{d\theta} = 2\cos(2\theta) \)
\( \dfrac{dy}{d\theta} = 4\sin{\theta}\cos{\theta} = 2\sin(2\theta) \)
Bulduğumuz ifadeleri türev formülünde yerine koyalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2\sin(2\theta)}{2\cos(2\theta)} = \tan(2\theta) \)
Yukarıdaki örnekte kullandığımız kartezyen dönüşüm formülleri türev formülünde yerine konduğunda aşağıdaki alternatif formül elde edilir. Bu formülü ezberlemek yerine, parametrik ve kutupsal denklemlerin türevi için yukarıdaki standart formülün bilinmesi ve kullanılması önerilir.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'(\theta)\sin{\theta} + r\cos{\theta}}{r'(\theta)\cos{\theta} - r\sin{\theta}} \)
İSPATI GÖSTER
Kutupsal koordinat sistemindeki \( (r, \theta) \) noktasının kartezyen koordinat sistemindeki \( (x, y) \) noktasına dönüşüm formüllerini yazalım.
\( x = r\cos{\theta} \)
\( y = r\sin{\theta} \)
\( r = r(\theta) \) formundaki bir kutupsal denklemde \( r \) değişkeni \( \theta \) parametresine bağlı olarak değişir.
\( x = r(\theta)\cos{\theta} \)
\( y = r(\theta)\sin{\theta} \)
Elde ettiğimiz koordinat denklemleri \( \theta \) parametresine bağlı bir parametrik denklem olarak düşünülebilir.
Bu denkleme parametrik denklemlerin türev formülünü uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin \( \theta \) parametresine göre türevlerini çarpma kuralını kullanarak alalım.
\( \dfrac{dx}{d\theta} = (r(\theta)\cos{\theta})' \)
\( = r'(\theta)\cos{\theta} - r(\theta)\sin{\theta} \)
\( \dfrac{dy}{d\theta} = (r(\theta)\sin{\theta})' \)
\( = r'(\theta)\sin{\theta} + r(\theta)\cos{\theta} \)
Bu ifadeleri türev formülünde yerine koyduğumuzda \( r = r(\theta) \) kutupsal denklemi için \( dy/dx \) türevini elde ederiz.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'(\theta)\sin{\theta} + r(\theta)\cos{\theta}}{r'(\theta)\cos{\theta} - r(\theta)\sin{\theta}} \)
Bir kutupsal denklem kartezyen koordinatları \( (x, y) \) olan belirli bir noktadan birden fazla kez ve farklı \( (r, \theta) \) değerleri ile geçebileceği için, aynı noktada birden fazla türev değeri oluşabilir.
Bir kutupsal denklem orijinden geçiyorsa bu nokta(lar)daki türev değerleri yukarıdaki formülde \( r = 0 \) konarak bulunabilir.
\( r = 0 \) ve \( r'(\theta_0) \ne 0 \) olmak üzere,
Bir kutupsal denklemin \( (0, \theta_0) \) noktasındaki türevi:
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'(\theta_0)\sin{\theta_0} + 0\cos{\theta_0}}{r'(\theta_0)\cos{\theta_0} - 0\sin{\theta_0}} \)
\( = \dfrac{r'(\theta_0)\sin{\theta_0}}{r'(\theta_0)\cos{\theta_0}} = \tan{\theta_0} \)
\( 0 \le \theta \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( r(\theta) = 1 + 2\sin{\theta} \) eğrisinin orijindeki türev değerlerini bulalım.
\( r = 0 \) yapan \( \theta \) değerlerini bulalım.
\( \sin{\theta} = -\dfrac{1}{2} \)
\( \theta \in \left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6} \right\} \)
Buna göre eğri orijinden \( (0, \frac{\pi}{6}) \) ve \( (0, \frac{5\pi}{6}) \) değerlerinde geçer.
\( \dfrac{dy}{dx}|_{\theta = \frac{\pi}{6}} = \tan{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \dfrac{dy}{dx}|_{\theta = \frac{5\pi}{6}} = \tan{\dfrac{5\pi}{6}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Teğet ve Normal Doğrular
Türevin eğim anlamı kutupsal denklemler için de geçerlidir. Buna göre, \( r = r(\theta) \) kutupsal eğrisine \( \theta = a \) değerindeki \( (r(a), a) \) noktasında çizilen teğet doğrunun eğimi, \( dy/dx \) türevinin \( \theta = a \) için değerine eşittir.
Aşağıda denklemi verilen kutupsal eğriye \( \theta = \frac{5\pi}{2} \) açısının karşılık geldiği noktada çizilen teğet doğrunun denklemini bulalım.
\( r(\theta) = 2\theta \)
Kutupsal denklem türev formülünü yazalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'(\theta)\sin{\theta} + r\cos{\theta}}{r'(\theta)\cos{\theta} - r\sin{\theta}} \)
\( r'(\theta) = (2\theta)' = 2 \)
\( = \dfrac{2\sin{\theta} + 2\theta\cos{\theta}}{2\cos{\theta} - 2\theta\sin{\theta}} \)
\( = \dfrac{\sin{\theta} + \theta\cos{\theta}}{\cos{\theta} - \theta\sin{\theta}} \)
Türev ifadesinde \( \theta = \frac{5\pi}{2} \) koyarak eğrinin bu noktadaki eğimini bulalım.
\( \dfrac{dy}{dx}|_{\theta = \frac{5\pi}{2}} = \dfrac{\sin{\frac{5\pi}{2}} + \frac{5\pi}{2}\cos{\frac{5\pi}{2}}}{\cos{\frac{5\pi}{2}} - \frac{5\pi}{2}\sin{\frac{5\pi}{2}}} \)
\( = \dfrac{1 + \frac{5\pi}{2}(0)}{0 - \frac{5\pi}{2}(1)} = -\dfrac{2}{5\pi} \)
\( \theta = \frac{5\pi}{2} \) açısının karşılık geldiği noktanın kutupsal koordinatlarını bulalım.
\( r\left( \dfrac{5\pi}{2} \right) = 2 \cdot \dfrac{5\pi}{2} = 5\pi \)
\( \left( 5\pi, \dfrac{5\pi}{2} \right) \)
\( \theta = \frac{5\pi}{2} \) değerinin karşılık geldiği noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.
\( x = 5\pi\cos{\dfrac{5\pi}{2}} = 0 \)
\( y = 5\pi\sin{\dfrac{5\pi}{2}} = 5\pi \)
Kartezyen koordinatları \( (0, 5\pi) \) ve eğimi \( -\frac{2}{5\pi} \) olan doğrunun denklemini bulalım.
\( y - 5\pi = -\dfrac{2}{5\pi}(x - 0) \)
\( y = -\dfrac{2}{5\pi}x + 5\pi \)
Parametrik eğrinin grafiği ve bu noktadaki teğeti aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
\( dy/dx \) türevinin sıfır olduğu noktalarda kutupsal eğriye çizilen teğet doğrular yatay olur. Türev formülü düşünüldüğünde, bu noktalarda \( dy/d\theta \) türevi sıfır, \( dx/d\theta \) türevi sıfırdan farklı olur. Kutupsal eğrinin birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu bu noktalar eğrinin yatay teğet noktalarıdır.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'(\theta)\sin{\theta} + r\cos{\theta}}{r'(\theta)\cos{\theta} - r\sin{\theta}} = 0 \)
\( \Longrightarrow r'(\theta)\sin{\theta} + r\cos{\theta} = 0 \)
\( \Longrightarrow r'(\theta)\cos{\theta} - r\sin{\theta} \ne 0 \)
Bir kutupsal eğriye çizilen teğet doğrular \( dx/dy \) türevinin sıfır olduğu noktalarda düşey olur. Türev formülü düşünüldüğünde, bu noktalarda \( dx/d\theta \) türevi sıfır, \( dy/d\theta \) türevi sıfırdan farklı olur.
\( \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{r'(\theta)\cos{\theta} - r\sin{\theta}}{r'(\theta)\sin{\theta} + r\cos{\theta}} = 0 \)
\( \Longrightarrow r'(\theta)\cos{\theta} - r\sin{\theta} = 0 \)
\( \Longrightarrow r'(\theta)\sin{\theta} + r\cos{\theta} \ne 0 \)
Aşağıdaki kutupsal denklemin yatay teğet noktalarını bulalım.
\( \theta \in [0, 2\pi) \) olmak üzere,
\( r(\theta) = \sqrt{3} + \sin{\theta} \)
Kutupsal denklem türev formülünü yazalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'(\theta)\sin{\theta} + r\cos{\theta}}{r'(\theta)\cos{\theta} - r\sin{\theta}} \)
\( r'(\theta) = (\sqrt{3} + \sin{\theta})' = \cos{\theta} \)
\( = \dfrac{\cos{\theta}\sin{\theta} + (\sqrt{3} + \sin{\theta})\cos{\theta}}{\cos{\theta}\cos{\theta} - (\sqrt{3} + \sin{\theta})\sin{\theta}} \)
\( = \dfrac{\cos{\theta}(2\sin{\theta} + \sqrt{3})}{\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} - \sqrt{3}\sin{\theta}} \)
Eğrinin yatay teğet noktaları birinci türev sıfır olduğunda oluşur.
Payı \( \theta \in [0, 2\pi) \) aralığında sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos{\theta}(2\sin{\theta} + \sqrt{3}) = 0 \)
\( \cos{\theta} = 0 \) ise:
\( \theta \in \left\{ \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2} \right\} \)
\( 2\sin{\theta} + \sqrt{3} = 0 \) ise:
\( \sin{\theta} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \theta \in \left\{ \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3} \right\} \)
Bulduğumuz dört \( \theta \) değerini yerine koyduğumuzda hiçbirinin paydayı sıfır yapmadığını görebiliriz.
Buna göre eğrinin \( \theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\} \) noktalarında yatay teğet noktaları vardır.
Bu \( \theta \) değerlerinde oluşan \( (r, \theta) \) noktalarını bulalım.
\( r\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \sqrt{3} + \sin{\dfrac{\pi}{2}} = \sqrt{3} + 1 \)
\( r\left( \dfrac{3\pi}{2} \right) = \sqrt{3} + \sin{\dfrac{3\pi}{2}} = \sqrt{3} - 1 \)
\( r\left( \dfrac{4\pi}{3} \right) = \sqrt{3} + \sin{\dfrac{4\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( r\left( \dfrac{5\pi}{3} \right) = \sqrt{3} + \sin{\dfrac{5\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Buna göre kutupsal koordinatları \( (\sqrt{3} + 1, \frac{\pi}{2}) \), \( (\sqrt{3} - 1, \frac{3\pi}{2}) \), \( (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{4\pi}{3}) \) ve \( (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{5\pi}{3}) \) olan noktalar eğrinin yatay teğet noktalarıdır.
Kutupsal eğrinin grafiği ve yatay teğet noktaları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Bir kutupsal eğriye belirli bir noktada çizilen normal doğru, bu noktadan geçen ve bu noktadaki teğet doğruyu dik kesen doğrudur.
Kutupsal Denklemin İkinci Türevi
Bir kutupsal denklemde \( \frac{d^2y}{dx^2} \) ikinci türevi, yukarıdaki şekilde alınan birinci türevin aynı formülle tekrar türevi alınarak elde edilir.
\( dx/d\theta \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{d\theta} (\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( r(\theta) = 2\sin{\theta} \)
Yukarıda bu parametrik denklemin birinci türevini aşağıdaki gibi bulmuştuk.
\( \dfrac{dy}{dx} = \tan(2\theta) \)
Denklemin ikinci türevini bulalım.
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{d\theta} (\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{d\theta}} \)
Pay ve paydadaki türevleri bulalım.
\( \dfrac{d}{d\theta} \left( \dfrac{dy}{dx} \right) = \dfrac{d}{d\theta} (\tan(2\theta)) \)
\( = 2\sec^2(2\theta) \)
\( \dfrac{dx}{d\theta} = 2\cos(2\theta) \)
Bulduğumuz ifadeleri türev formülünde yerine koyalım.
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{2\sec^2(2\theta)}{2\cos(2\theta)} \)
\( = \sec^3(2\theta) \)