Kutupsal Denklem Tanımı
Önceki bölümde kutupsal koordinat sisteminde tek tek noktaların nasıl temsil edildiğini gördük. Bu bölümde \( r \) değerinin \( \theta \) açısına göre değiştiği kutupsal denklemleri inceleyeceğiz.
Bir kartezyen denkleminde \( x \) değişkeninin belirli bir değeri için \( y \) değişkeninin değeri hesaplanır, daha sonra elde edilen \( (x, y) \) ikilisi denklemin grafiğinde bir nokta olarak işaretlenir.
Bir kutupsal denklemde ise \( \theta \) değişkeninin belirli bir değeri için \( r \) değişkeninin değeri hesaplanır, daha sonra elde edilen \( (r, \theta) \) ikilisi denklemin grafiğinde bir nokta olarak işaretlenir.
\( r = r(\theta) \)
\( r(\theta) = 1 + 2\sin{\theta} \) olmak üzere,
\( r(0) = 1 + 2\sin{0} = 1 \)
\( r\left( \dfrac{\pi}{6} \right) = 1 + 2\sin{\dfrac{\pi}{6}} = 2 \)
\( r\left( \dfrac{3\pi}{2} \right) = 1 + 2\sin{\dfrac{3\pi}{2}} = -1 \)
\( (1, 0) \), \( \left( 2, \dfrac{\pi}{6} \right) \) ve \( \left( -1, \dfrac{3\pi}{2} \right) \) kutupsal eğri üzerinde üç noktadır.
Belirli bir noktayı referans alan ya da bir nokta etrafında simetrik olan eğriler kutupsal koordinat sistemi ve kutupsal denklemlerle daha kolay modellebilir.
Kutupsal denklemler standart anlamda parametrik denklemler değildir. Bununla birlikte \( r = r(\theta) \) şeklinde kapalı formdaki bir kutupsal denklem, kartezyen dönüşüm formülleri kullanılarak parametresi \( \theta \) olan bir parametrik gösterime dönüştürülebilir.
\( 0 \le \theta \lt \pi \) olmak üzere,
\( r(\theta) = 2\cos(3\theta) \)
kutupsal denklemi aşağıdaki şekilde parametrik olarak ifade edilebilir.
\( x(\theta) = r(\theta)\cos{\theta} = 2\cos(3\theta)\cos{\theta} \)
\( y(\theta) = r(\theta)\sin{\theta} = 2\cos(3\theta)\sin{\theta} \)
Bir kutupsal denklemin grafiğini bir değer tablosu kullanarak çizelim.
Aşağıdaki kutupsal denklem için bir değer tablosu oluşturup daha sonra bu değerleri kullanarak kutupsal denklemin grafiğini çizelim.
\( \theta \in [0, \pi) \) olmak üzere,
\( r(\theta) = \sin(3\theta) \)
Farklı \( \theta \) değerleri için kutupsal koordinat değerlerini hesapladığımız bir değer tablosu oluşturalım.
| \( \theta \) | \( r(\theta) \) | \( (r(\theta), \theta) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( \sin(3(0)) = 0 \) | \( (0, 0) \) |
| \( \frac{\pi}{12} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{12})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{12}) \) |
| \( \frac{\pi}{6} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{6})) = 1 \) | \( (1, \frac{\pi}{6}) \) |
| \( \frac{\pi}{4} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4}) \) |
| \( \frac{\pi}{3} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{3})) = 0 \) | \( (0, \frac{\pi}{3}) \) |
| \( \frac{5\pi}{12} \) | \( \sin(3(\frac{5\pi}{12})) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5\pi}{12}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{17\pi}{12}) \) |
| \( \frac{\pi}{2} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{2})) = -1 \) | \( (-1, \frac{\pi}{2}) = (1, \frac{3\pi}{2}) \) |
| \( \frac{7\pi}{12} \) | \( \sin(3(\frac{7\pi}{12})) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7\pi}{12}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{19\pi}{12}) \) |
| \( \frac{2\pi}{3} \) | \( \sin(3(\frac{2\pi}{3})) = 0 \) | \( (0, \frac{2\pi}{3}) \) |
| \( \frac{3\pi}{4} \) | \( \sin(3(\frac{3\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\pi}{4}) \) |
| \( \frac{5\pi}{6} \) | \( \sin(3(\frac{5\pi}{6})) = 1 \) | \( (1, \frac{5\pi}{6}) \) |
| \( \frac{11\pi}{12} \) | \( \sin(3(\frac{11\pi}{12})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{11\pi}{12}) \) |
Elde ettiğimiz \( (r(\theta), \theta) \) ikililerini koordinat düzleminde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
Basit Kutupsal Denklemler ve Bölgeler
Daha karmaşık kutupsal eğrileri görmeden önce bazı basit kutupsal denklem ve eşitsizliklerin kutupsal koordinat düzleminde nasıl temsil edildiğini inceleyelim.
Sabit \( r \) ve \( \theta \) değerleri, sırasıyla birer çember ve doğru oluşturur.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Sabit \( r \): \( r = 5 \) \( \theta \) açısından bağımsız, orijinden uzaklığı 5 olan noktalar kümesi Bu noktalar yarıçapı \( r = 5 \) olan bir çember oluşturur. |
|
Sabit \( \theta \): \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) \( r \) uzaklığından bağımsız, kutup ekseni ile yaptığı açı \( \frac{\pi}{4} \) olan noktalar kümesi Bu noktalar orijinden geçen ve eğim açısı \( \theta = \frac{\pi}{4} \) olan bir doğru oluşturur. \( r \)'nin negatif değer almadığı bir standart benimsendiği durumda, bu denklemin geometrik yeri başlangıç noktası orijin olan bir ışın olur. |
Tek başına \( r \) ve \( \theta \) değer aralıkları, ilgili aralıktaki tüm çember ve doğruların taradığı bir bölge oluşturur.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( r \) değer aralığı: \( 2 \le r \lt 5 \) \( \theta \) açısından bağımsız, orijinden uzaklığı \( [2, 5) \) aralığında olan noktalar kümesi Bu noktalar iç yarıçağı 2, dış yarıçapı 5 olan bir halka oluşturur. \( r \)'nin negatif değer alabildiği bir standart benimsediğimiz için, \( r \le 5 \) şeklindeki bir eşitsizliğin geometrik yeri yarıçapı 5 olan bir daire değil, tüm kutupsal düzlem olur. |
|
\( \theta \) değer aralığı: \( \dfrac{\pi}{4} \lt \theta \le \dfrac{5\pi}{6} \) \( r \) uzaklığından bağımsız, kutup ekseni ile yaptığı açı \( (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}] \) aralığında olan noktalar kümesi Bu noktalar orijinden geçen ve eğim açıları sırasıyla \( \theta = \frac{\pi}{4} \) ve \( \theta = \frac{5\pi}{6} \) olan doğrular arasında kalan taralı bölgeye karşılık gelir. |
Hem \( r \) ve \( \theta \) değer ve değer aralıklarından oluşan bir denklem/eşitsizlik sistemi, her bir denklemin/eşitsizliğin karşılık geldiği noktalar kümesinin kesişimine karşılık gelir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( r \) aralığı: \( 0 \lt r \le 5 \) \( \dfrac{\pi}{3} \le \theta \lt \dfrac{3\pi}{4} \) Orijinden uzaklığı \( (0, 5] \) ve kutup ekseni ile yaptığı açı \( [\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}) \) aralığında olan noktalar kümesi Bu noktalar merkezi orijin, yarıçapı 5 ve kutup ekseni ile yaptığı açı \( [\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}) \) aralığında olan bir daire dilimi oluşturur. |
|
\( \theta \) aralığı: \( r \ge -1 \) \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) Orijinden kutup ekseni ile yaptığı açı \( \frac{\pi}{4} \) olan noktalar kümesi Bu noktalar başlangıç noktası \( (-1, \frac{\pi}{4}) = (1, \frac{3\pi}{4}) \) olan, orijinden geçen ve kutup ekseni ile yaptığı açı \( \frac{\pi}{4} \) olan bir ışın oluşturur. |
Karmaşık sayıların kutupsal gösterimini karmaşık sayılar konu anlatımındaki karmaşık sayıların kutupsal gösterimi bölümünde inceleyeceğiz.