Karmaşık Sayıların Kuvvetleri
Kutupsal Gösterimde Sayıların Kuvvetleri
Kutupsal gösterim bölümünde incelediğimiz çarpma kuralı bir karmaşık sayıya tekrarlı şekilde uygulandığında görülür ki, kutupsal gösterimdeki bir karmaşık sayının pozitif tam sayı üssü alınırken sayının modülünün aynı sayı üssü, argümanının ise üs ile çarpımı alınır.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \) olmak üzere,
\( z^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)] \)
\( z = 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{5}} + i\sin{\dfrac{\pi}{5}} \right) \)
\( z^2 = 2^2\left( \cos{\dfrac{2\pi}{5}} + i\sin{\dfrac{2\pi}{5}} \right) \)
\( z^3 = 2^3\left( \cos{\dfrac{3\pi}{5}} + i\sin{\dfrac{3\pi}{5}} \right) \)
İSPATI GÖSTER
Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.
\( p(n): z^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)] \)
Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.
\( n = 1 \) için ifade \( z \) sayısının polar gösterimine eşittir.
\( p(1): z^1 = z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \)
Buna göre \( p(1) \) doğrudur.
Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.
\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)
Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.
\( z^k = r^k[\cos(k\theta) + i\sin(k\theta)] \)
\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.
\( z^{k+1} \stackrel{?}{=} r^{k+1}[\cos((k + 1)\theta) + i\sin((k + 1)\theta)] \)
\( z^{k+1} \) ifadesini \( z^k \) ve \( z \) ifadelerinin çarpımı şeklinde yazarak yukarıdaki eşitliği elde etmeye çalışalım.
\( z^{k+1} = z^kz \)
\( = [r^k(\cos(k\theta) + i\sin(k\theta))][r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})] \)
Kutupsal gösterimdeki iki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde sayıların modüllerinin çarpımı, argümanlarının toplamı alınır.
\( = (r^kr)[\cos(k\theta + \theta) + i\sin(k\theta + \theta)] \)
\( = r^{k+1}[\cos((k + 1)\theta) + i\sin((k + 1)\theta)] \)
\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.
O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.
Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.
Bu kuralın negatif tam sayı üsler için de, dolayısıyla tüm tam sayılar için geçerli olduğu gösterilebilir.
\( m \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( z^{-m} = r^{-m}[\cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta)] \)
\( z = 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{\pi}{4}} \right) \)
\( z^{-3} = 2^{-3}\left( \cos{\dfrac{(-3)\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{(-3)\pi}{4}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{8}\left( \cos\left( -\dfrac{3\pi}{4} \right) + i\sin\left( -\dfrac{3\pi}{4} \right) \right) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \)
\( m \in \mathbb{Z^+} \) şeklinde bir pozitif tam sayı tanımlayalım.
Eşitliğin taraflarının \( -m \) kuvvetini alalım.
\( z^{-m} = [r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})]^{-m} \)
\( = r^{-m}(\cos{\theta} + i\sin{\theta})^{-m} \)
\( = r^{-m}\dfrac{1}{(\cos{\theta} + i\sin{\theta})^m} \)
Paydadaki ifadeye pozitif tam sayı üs formülünü uygulayalım.
\( = r^{-m}\dfrac{1}{\cos(m\theta) + i\sin(m\theta)} \)
İkinci çarpanda paydayı rasyonelleştirmek için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = r^{-m}\dfrac{\cos(m\theta) - i\sin(m\theta)}{(\cos(m\theta) + i\sin(m\theta))(\cos(m\theta) - i\sin(m\theta))} \)
\( = r^{-m}\dfrac{\cos(m\theta) - i\sin(m\theta)}{\cos^2(m\theta) + \sin^2(m\theta)} \)
Pisagor özdeşliğine göre paydadaki ifade 1'e eşittir.
\( = r^{-m}(\cos(m\theta) - i\sin(m\theta)) \)
Kosinüs çift, sinüs tek fonksiyondur, dolayısıyla iki fonksiyon için aşağıdaki özdeşlikler geçerlidir.
\( \cos(-m\theta) = \cos(m\theta) \)
\( \sin(-m\theta) = -\sin(m\theta) \)
Elde ettiğimiz son ifadede bu özdeşliklerin sağ tarafı yerine sol tarafını yazalım.
\( z^{-m} = r^{-m}(\cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta)) \)
Buna göre ispatıyla birlikte verdiğimiz pozitif tam sayı üs kuralı, negatif tam sayı üs değerleri için de geçerlidir.
De Moivre Formülü
Pozitif ve negatif tam sayılar için geçerli olduğunu gösterdiğimiz üs kuralı formülünde \( r = 1 \) yazıldığında aşağıdaki de Moivre formülü olarak bilinen özdeşlik elde edilir.
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( (\cos{\theta} + i\sin{\theta})^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \)
Bu formül ilk kez Fransız matematikçi Abraham de Moivre tarafından bulunmuştur ve karmaşık sayılarla trigonometri arasında bir köprü kurar.
Trigonometride gördüğümüz sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini de Moivre formülünü kullanarak türetelim.
De Moivre formülünde \( n = 2 \) yazalım.
\( (\cos{\theta} + i\sin{\theta})^2 = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta) \)
Eşitliğin sol tarafının açılımını yazalım.
\( \cos^2{\theta} + 2i\sin{\theta}\cos{\theta} + i^2\sin^2{\theta} = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta) \)
Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.
\( (\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) + 2i\sin{\theta}\cos{\theta} = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta) \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( \cos(2\theta) = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} \)
\( \sin(2\theta) = 2\sin{\theta}\cos{\theta} \)
Yukarıdaki iki özdeşlik sırasıyla trigonometride bulduğumuz kosinüs ve sinüs iki kat açı formülleridir.
Üstel Gösterimde Sayıların Kuvvetleri
Üstel gösterimdeki bir karmaşık sayının pozitif ve negatif tam sayı kuvvetleri de benzer şekilde alınabilir.
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( z^n = (re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta} \)
\( z^{-n} = (re^{i\theta})^{-n} = r^{-n}e^{-in\theta} \)
\( z = 3e^{i\frac{3\pi}{4}} \)
\( z^{100} = 3^{100}e^{i\frac{100 \cdot 3\pi}{4}} \)
\( = 3^{100}e^{i75\pi} \)
\( 75\pi \) açısının esas ölçüsünü yazalım.
\( = 3^{100}e^{i(37 \cdot 2\pi + \pi)} \)
\( = 3^{100}e^{i\pi} \)
Aşağıdaki ifadeleri De Moivre formülünü kullanarak \( a + bi \) formunda ifade ediniz.
(a) \( (2 - 2i)^5 \)
(b) \( \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}i}{4} \right)^9 \)
(c) \( \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2} \right)^{20} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( z_1 = 2 - 2i \) diyelim.
\( z_1 \) sayısının kutupsal gösterimini bulalım.
\( r = \abs{2 - 2i} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2} \)
\( \tan{\theta} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-2}{2} = -1 \)
\( z_1 = (x, y) = (2, -2) \) noktası IV. bölgededir.
IV. bölgede tanjant değeri \( -1 \) olan açı \( \theta = -\frac{\pi}{4} \) açısıdır.
Buna göre \( z_1 \) sayısının kutupsal gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z_1 = 2\sqrt{2}\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right) \)
De Moivre formülünü kullanalım.
\( (z_1)^5 = (2\sqrt{2})^5\left( \cos\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right) \right) \)
\( = 128\sqrt{2}\left( \cos{\dfrac{3\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{3\pi}{4}} \right) \)
\( = 128\sqrt{2}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}i}{2} \right) \)
\( = -128 + 128i \)
(b) seçeneği:
\( z_2 = -\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}i}{4} \) diyelim.
\( z_2 \) sayısının kutupsal gösterimini bulalım.
\( r = \abs{-\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}i}{4}} = \sqrt{\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)^2 + \left( \dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)^2} = \dfrac{1}{2} \)
\( \tan{\theta} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{4}} = -1 \)
\( z_2 = (x, y) = (-\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}) \) noktası II. bölgededir.
II. bölgede tanjant değeri \( -1 \) olan açı \( \theta = \frac{3\pi}{4} \) açısıdır.
Buna göre \( z_2 \) sayısının kutupsal gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z_2 = \dfrac{1}{2}\left( \cos{\dfrac{3\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{3\pi}{4}} \right) \)
De Moivre formülünü kullanalım.
\( (z_2)^9 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^9\left( \cos{\dfrac{27\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{27\pi}{4}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{512}\left( \cos{\dfrac{3\pi}{4}} + i\sin{\dfrac{3\pi}{4}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{512}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}i}{2} \right) \)
\( = -\dfrac{\sqrt{2}}{1024} + \dfrac{\sqrt{2}}{1024} \)
(c) seçeneği:
\( z_3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2} \) diyelim.
\( z_3 \) sayısının kutupsal gösterimini bulalım.
\( r = \abs{\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{1}{2} \right)^2} = 1 \)
\( \tan{\theta} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( z_3 = (x, y) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \) noktası I. bölgededir.
I. bölgede tanjant değeri \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) olan açı \( \theta = \frac{\pi}{6} \) açısıdır.
Buna göre \( z_3 \) sayısının kutupsal gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z_3 = \cos{\dfrac{\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{\pi}{6}} \)
De Moivre formülünü kullanalım.
\( (z_3)^{20} = \cos{\dfrac{20\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{20\pi}{6}} \)
\( = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) \)
\( = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}i}{2} \)
\( z = (\sqrt{3} + i)^{10} + (\sqrt{3} - i)^{10} \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü Göster\( z_1 = \sqrt{3} + i, \quad z_2 = \sqrt{3} - i \) diyelim.
\( z_1 \) ve \( z_2 \) sayılarını kutupsal gösterimde yazalım.
\( r_1 = \abs{\sqrt{3} + i} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2 \)
\( \tan{\theta_1} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( z_1 = (x, y) = (\sqrt{3}, 1) \) noktası I. bölgededir.
I. bölgede tanjant değeri \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) olan açı \( \theta = \frac{\pi}{6} \) açısıdır.
\( r_2 = \abs{\sqrt{3} - i} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2 \)
\( \tan{\theta_2} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( z_2 = (x, y) = (\sqrt{3}, -1) \) noktası IV. bölgededir.
IV. bölgede tanjant değeri \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) olan açı \( \theta = -\frac{\pi}{6} \) açısıdır.
Buna göre \( z_1 \) ve \( z_2 \) sayılarının kutupsal gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z_1 = 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{\pi}{6}} \right) \)
\( z_2 = 2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{6}} - i\sin{\dfrac{\pi}{6}} \right) \)
\( (z_1)^{10} = 2^{10}\left( \cos{\dfrac{10\pi}{6}} + i\sin{\dfrac{10\pi}{6}} \right) = 1024\left( \cos{\dfrac{5\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{5\pi}{3}} \right) \)
\( (z_2)^{10} = 2^{10}\left( \cos{\dfrac{10\pi}{6}} - i\sin{\dfrac{10\pi}{6}} \right) = 1024\left( \cos{\dfrac{5\pi}{3}} - i\sin{\dfrac{5\pi}{3}} \right) \)
\( z = 1024\left( \cos{\dfrac{5\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{5\pi}{3}} \right) + 1024\left( \cos{\dfrac{5\pi}{3}} - i\sin{\dfrac{5\pi}{3}} \right) \)
\( = 1024\left( 2\cos{\dfrac{5\pi}{3}} \right) = 1024\left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} \right) \)
\( = 1024 \)
\( z = \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}i}{2} \right)^7(1 - i)^{10} \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü Göster\( z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}i}{2}, \quad z_2 = 1 - i \) diyelim.
\( z_1 \) ve \( z_2 \) sayılarını üstel gösterimde yazalım.
\( r_1 = \abs{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}i}{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{\sqrt{3}i}{2} \right)^2} = 1 \)
\( \tan{\theta_1} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \)
\( z_1 = (x, y) = (2, 2\sqrt{3}) \) noktası I. bölgededir.
I. bölgede tanjant değeri \( \sqrt{3} \) olan açı \( \theta = \frac{\pi}{3} \) açısıdır.
\( r_2 = \abs{1 - i} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \)
\( \tan{\theta_2} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
\( z_2 = (x, y) = (1, -1) \) noktası IV. bölgededir.
IV. bölgede tanjant değeri \( -1 \) olan açı \( \theta = -\frac{\pi}{4} \) açısıdır.
Buna göre \( z_1 \) ve \( z_2 \) sayılarının üstel gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z_1 = e^{i\frac{\pi}{3}} \)
\( z_2 = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} \)
\( (z_1)^7 = (e^{i\frac{\pi}{3}})^7 = e^{i\frac{7\pi}{3}} \)
\( (z_2)^{10} = (\sqrt{2})^{10}(e^{-i\frac{\pi}{4}})^{10} = 32e^{-i\frac{5\pi}{2}} \)
\( z = e^{i\frac{7\pi}{3}} \cdot 32e^{-i\frac{5\pi}{2}} \)
\( = 32e^{i(\frac{7\pi}{3} - \frac{5\pi}{2})} = 32e^{-i\frac{\pi}{6}} \)
\( = 32\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) \)
\( = 32\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{i}{2} \right) \)
\( = 16\sqrt{3} - 16i \)
\( z = \dfrac{(2 + 2i)^4}{(-1 + i)^{21}} \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü Göster\( z_1 = 2 + 2i, \quad z_2 = -1 + i \) diyelim.
\( z_1 \) ve \( z_2 \) sayılarını üstel gösterimde yazalım.
\( r_1 = \abs{2 + 2i} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \)
\( \tan{\theta_1} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{2}{2} = 1 \)
\( z_1 = (x, y) = (2, 2) \) noktası I. bölgededir.
I. bölgede tanjant değeri \( 1 \) olan açı \( \theta = \frac{\pi}{4} \) açısıdır.
\( r_2 = \abs{-1 + i} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( \tan{\theta_2} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{-1} = -1 \)
\( z_2 = (x, y) = (-1, 1) \) noktası II. bölgededir.
II. bölgede tanjant değeri \( -1 \) olan açı \( \theta = \frac{3\pi}{4} \) açısıdır.
Buna göre \( z_1 \) ve \( z_2 \) sayılarının üstel gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z_1 = 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \)
\( z_2 = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} \)
\( (z_1)^4 = (2\sqrt{2})^4(e^{i\frac{\pi}{4}})^4 = 64e^{i\pi} \)
\( (z_2)^{21} = (\sqrt{2})^{21}(e^{i\frac{3\pi}{4}})^{21} = 1024\sqrt{2}e^{i\frac{63\pi}{4}} \)
\( = 1024\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}} \)
\( z = \dfrac{64e^{i\pi}}{1024\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{2}}{32}(e^{i(\pi - \frac{7\pi}{4})}) \)
\( = \dfrac{\sqrt{2}}{32}(e^{-i\frac{3\pi}{4}}) \)
\( = \dfrac{\sqrt{2}}{32}\left( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \right) \)
\( = \dfrac{\sqrt{2}}{32}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}i}{2} \right) \)
\( = -\dfrac{1}{32} - \dfrac{i}{32} \)
De Moivre formülünü kullanarak aşağıdaki özdeşlikleri türetiniz.
\( \cos(3\theta) = \cos^3{\theta} - 3\sin^2{\theta}\cos{\theta} \)
\( \sin(3\theta) = 3\sin{\theta}\cos^2{\theta} - \sin^3{\theta} \)
Çözümü GösterDe Moivre formülünde \( n = 3 \) yazalım.
\( (\cos{\theta} + i\sin{\theta})^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) \)
Eşitliğin sol tarafının açılımını yazalım.
\( \cos^3{\theta} + 3i\sin{\theta}\cos^2{\theta} + 3i^2\sin^2{\theta}\cos{\theta} + i^3\sin^3{\theta} = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) \)
\( \cos^3{\theta} + 3i\sin{\theta}\cos^2{\theta} - 3\sin^2{\theta}\cos{\theta} - i\sin^3{\theta} = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) \)
Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.
\( (\cos^3{\theta} - 3\sin^2{\theta}\cos{\theta}) + i(3\sin{\theta}\cos^2{\theta} - \sin^3{\theta}) = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( \cos(3\theta) = \cos^3{\theta} - 3\sin^2{\theta}\cos{\theta} \)
\( \sin(3\theta) = 3\sin{\theta}\cos^2{\theta} - \sin^3{\theta} \)