Karmaşık Sayıların Modülü
Bir \( z \) karmaşık sayısının karmaşık düzlemde karşılık geldiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o sayının modülü ya da mutlak değeri denir ve \( \abs{z} \) ile gösterilir.
\( z = a + bi \) olmak üzere,
\( \abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( z = -3 + 4i \) olmak üzere,
\( \abs{z} = \abs{-3 + 4i} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \)
Bir karmaşık sayının eşleniğinin, negatifinin ve eşleniğinin negatifinin modülleri sayının modülüne eşittir.
\( \abs{z} = \abs{\overline{z}} = \abs{-z} = \abs{-\overline{z}} \)
\( z = -3 + 4i \) olmak üzere,
\( \abs{z} = \abs{-3 + 4i} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \)
\( \abs{\overline{z}} = \abs{-3 - 4i} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5 \)
\( \abs{-z} = \abs{3 - 4i} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \)
\( \abs{-\overline{z}} = \abs{3 + 4i} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \)
Sayının eşleniğini, negatifini ve eşleniğinin negatifini bulalım.
\( \overline{z} = a - bi \)
\( -z = -a - bi \)
\( -\overline{z} = -a + bi \)
Her bir ifadenin modülünü bulalım.
\( \abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( \abs{\overline{z}} = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = \abs{z} \)
\( \abs{-z} = \sqrt{(-a)^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = \abs{z} \)
\( \abs{-\overline{z}} = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = \abs{z} \)
Buna göre bir karmaşık sayının eşleniğinin, negatifinin ve eşleniğinin negatifinin modülleri sayının modülüne eşittir.
Modül İşlem Özellikleri
Bir karmaşık sayı sıfıra eşitse modülü de sıfırdır. Bunun karşıtı da doğrudur, yani sayının modülü sıfırsa sayının kendisi de sıfırdır.
\( z = 0 \Longleftrightarrow \abs{z} = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Bir çift yönlü koşullu önermeyi ispatlamak için her iki yöndeki koşullu önermeyi ayrı ayrı ispatlamalıyız.
Aşağıdaki şekilde bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \)
İspat 1: \( (\Longrightarrow) \)
\( z = 0 \Longrightarrow \abs{z} = 0 \)
\( z = 0 \) olduğunu kabul edelim.
Sıfıra eşit olan bir karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri sıfırdır.
\( a = b = 0 \)
\( \abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \)
Buna göre \( z = 0 \) ise \( \abs{z} = 0 \) olur.
İspat 2: \( (\Longleftarrow) \)
\( z = 0 \Longleftarrow \abs{z} = 0 \)
\( \abs{z} = 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( \abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = 0 \)
Karekökü sıfır olan ifadenin kendisi de sıfırdır.
\( a^2 + b^2 = 0 \)
Bir reel sayının karesi negatif olamayacağı için, iki reel sayının karelerinin toplamı sıfır ise bu iki kare ifadesi ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
\( a^2 = b^2 = 0 \)
Karesi sıfır olan ifadenin kendisi de sıfırdır.
\( a = b = 0 \)
\( z = a + bi = 0 + 0i = 0 \)
Buna göre \( \abs{z} = 0 \) ise \( z = 0 \) olur.
Her iki koşullu önerme doğru olduğuna göre, verilen çift yönlü koşullu önerme doğrudur.
Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımı modülünün karesine eşittir.
\( z\overline{z} = {\abs{z}}^2 = a^2 + b^2 \)
\( z = 5 - 2i \) olmak üzere,
\( z\overline{z} = (5 - 2i)(5 + 2i) = 25 + 10i - 10i - 4i^2 = \textcolor{red}{29} \)
\( {\abs{z}}^2 = 5^2 + (-2)^2 = \textcolor{red}{29} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \)
Sayının eşleniği ile çarpımını alalım.
\( z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) \)
\( = a^2 - abi + abi - b^2i^2 \)
\( = a^2 + b^2 \)
Bu ifade \( z \) karmaşık sayısının modülünün karesine eşittir.
\( = \abs{z}^2 \)
Bir karmaşık sayının modülü, reel/sanal bileşenleri ve mutlak değerleri arasında aşağıdaki eşitsizlikler yazılabilir.
\( Re(z) \le \abs{Re(z)} \le \abs{z} \)
\( Im(z) \le \abs{Im(z)} \le \abs{z} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = a + bi \)
Bir reel sayının mutlak değeri sayının kendisinden büyük ya da ona eşittir.
\( a \le \abs{a} \)
Bir reel sayının karesinin karekökü sayının mutlak değerine eşittir.
\( a \le \abs{a} = \sqrt{a^2} \)
Bir reel sayının karesi negatif olamaz.
\( b^2 \ge 0 \)
Eşitsizlikte kök içine \( b^2 \) eklediğimizde kök ifadesinin değeri büyür ya da eşit kalır.
\( a \le \abs{a} = \sqrt{a^2} \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( a \le \abs{a} \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( a = Re(z) \) ve \( \abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} \) yazdığımızda verilen eşitsizliği elde ederiz.
\( Re(z) \le \abs{Re(z)} \le \abs{z} \)
Yukarıdaki adımlar \( a \) ve \( Re(z) \) yerine \( b \) ve \( Im(z) \) için tekrarlandığında ikinci eşitsizlik elde edilir.
İki karmaşık sayının çarpımının modülü, modüllerinin çarpımına eşittir.
\( \abs{z_1z_2} = \abs{z_1}\abs{z_2} \)
\( z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 1 - 7i \)
\( \abs{z_1z_2} = \abs{z_1}\abs{z_2} \)
\( = \abs{2 + i}\abs{1 - 7i} \)
\( = \sqrt{2^2 + 1^2}\sqrt{1^2 + (-7)^2} = 5\sqrt{10} \)
İSPATI GÖSTER
\( \abs{z_1z_2} \) ifadesinin karesini alalım.
Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımı modülünün karesine eşittir.
\( \abs{z_1z_2}^2 = (z_1z_2)(\overline{z_1z_2}) \)
İki karmaşık sayının çarpımının eşleniği, sayıların eşleniklerinin çarpımına eşittir.
\( = (z_1z_2)(\overline{z_1}\ \overline{z_2}) \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme ve değişme özellikleri vardır.
\( = (z_1\overline{z_1})(z_2\overline{z_2}) \)
Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımı modülünün karesine eşittir.
\( \abs{z_1z_2}^2 = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2 \)
Bir karmaşık sayının modülü negatif olamayacağı için tarafların karekökünü alabiliriz.
\( \abs{z_1z_2} = \abs{z_1}\abs{z_2} \)
İki karmaşık sayının bölümünün modülü, modüllerinin bölümüne eşittir.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \abs{\dfrac{z_1}{z_2}} = \dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}} \)
\( z_1 = 7 - i, \quad z_2 = -1 + 2i \)
\( \abs{\dfrac{z_1}{z_2}} = \dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}} = \dfrac{\abs{7 - i}}{\abs{-1 + 2i}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}} = \sqrt{10} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) ve \( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( z_1 = a + bi \)
\( z_2 = c + di \)
Yeni bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( w = \dfrac{z_1}{z_2} \)
\( z_1 = wz_2 \)
Eşitliğin taraflarının modülünü alalım.
\( \abs{z_1} = \abs{wz_2} \)
Yukarıda ispatıyla birlikte verdiğimiz çarpma kuralını kullanalım.
\( = \abs{w}\abs{z_2} \)
\( z_2 \ne 0 \) olduğuna göre \( \abs{z_2} \ne 0 \) olur, dolayısıyla eşitliğin taraflarını \( \abs{z_2} \) ifadesine bölebiliriz.
\( \abs{w} = \dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}} \)
\( w \) yerine tanımını yazdığımızda aradığımız eşitliği buluruz.
\( \abs{\dfrac{z_1}{z_2}} = \dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}} \)
Bir karmaşık sayının tam sayı üssünün modülü, modülünün üssüne eşittir.
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \abs{z^n} = \abs{z}^n \)
\( \abs{(1 - \sqrt{2}i)^{10}} \) sonucunu bulalım.
10. dereceden binom açılımını yazmak çok işlem gerektireceği için üs kuralını kullanabiliriz.
\( \abs{(1 - \sqrt{2}i)^{10}} = \abs{1 - \sqrt{2}i}^{10} \)
\( = \left( \sqrt{1^2 + (-\sqrt{2})^2} \right)^{10} = (\sqrt{3})^{10} = 243 \)
İSPATI GÖSTER
Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.
\( p(n): \abs{z^n} = \abs{z}^n \)
Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.
\( n = 1 \) için \( \abs{z} \) ifadesi kendisine eşittir.
\( p(1): \abs{z^1} = \abs{z}^1 \Longrightarrow \abs{z} = \abs{z} \)
Buna göre \( p(1) \) doğrudur.
Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.
\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)
Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.
\( \abs{z^k} = \abs{z}^k \)
\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.
\( \abs{z^{k+1}} \stackrel{?}{=} \abs{z}^{k+1} \)
\( z^{k+1} \) ifadesini iki ifadenin çarpımı şeklinde yazalım.
\( \abs{z^{k+1}} = \abs{z^kz} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz çarpma kuralını kullanalım.
\( = \abs{z^k}\abs{z} \)
Tümevarım hipotezine göre \( \abs{z^k} = \abs{z}^k \) olur.
\( = \abs{z}^k\abs{z} \)
\( = \abs{z}^{k+1} \)
\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.
O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.
Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.
Üçgen Eşitsizlikleri
Üçgenler ve vektörler konularında gördüğümüz üçgen eşitsizlikleri karmaşık sayılar için de geçerlidir.
\( \abs{z_1 + z_2} \le \abs{z_1} + \abs{z_2} \)
\( \abs{\abs{z_1} - \abs{z_2}} \le \abs{z_1 - z_2} \)
İki Karmaşık Sayı Arasındaki Uzaklık
Karmaşık düzlemdeki iki nokta arasındaki uzaklık, sayıların farkının modülüne eşittir.
\( d = \abs{z_1 - z_2} \)
\( z_1 = -8 + 2i \)
\( z_2 = -4i \) olmak üzere,
\( d = \abs{z_1 - z_2} \)
\( = \abs{(-8 + 2i) - (-4i)} \)
\( = \abs{-8 + 6i} \)
\( = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = 10 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
Sayıları karmaşık düzlemde işaretleyelim.
İki nokta arasındaki uzaklığa \( d \) diyelim.
Noktalardan yatay ve dikey doğrular çizdiğimizde hipotenüs uzunluğu \( d \) olan bir dik üçgen oluşur.
Dik üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.
\( d^2 = (a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2 \)
\( d = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2} \)
Şimdi de \( z_1 - z_2 \) farkını hesaplayalım.
\( z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \)
\( z_1 - z_2 \) farkının modülünü hesaplayalım.
\( \abs{z_1 - z_2} = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} \)
Görebileceğimiz üzere, iki nokta arasındaki \( d \) uzaklığı sayıların farkının modülüne eşittir.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z_1 = 2 + 3i \) ve \( z_2 = a + i \) karmaşık sayıları için,
\( \abs{z_1 - z_2} = \sqrt{53} \) koşulu sağlandığına göre, \( a \)'nın alabileceği değerlerin toplamı nedir?
Çözümü Göster\( z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (a + i) \)
\( = (2 - a) + (3 - 1)i \)
\( = (2 - a) + 2i \)
\( \abs{z_1 - z_2} = \sqrt{53} = \sqrt{(2 - a)^2 + 2^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( 53 = (2 - a)^2 + 4 \)
\( (2 - a)^2 = 49 \)
\( 2 - a = 7 \) ya da \( 2 - a = -7 \)
\( 2 - a = 7 \Longrightarrow a = -5 \)
\( 2 - a = -7 \Longrightarrow a = 9 \)
\( a \)'nın alabileceği değerlerin toplamı \( -5 + 9 = 4 \) olur.
\( z = \dfrac{(5 + 12i)(1 + 2i)(3 - 5i)}{(5 + 3i)(2 - i)} \)
olduğuna göre, \( \abs{z} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z = \dfrac{(5 + 12i)(3 - 5i + 6i - 10i^2)}{(10 - 5i + 6i - 3i^2)} \)
\( = \dfrac{(5 + 12i)(13 + i)}{13 + i} \)
\( = 5 + 12i \)
\( z \) karmaşık sayısının modülünü bulalım.
\( \abs{z} = \sqrt{5^2 + 12^2} \)
\( = \sqrt{169} = 13 \) bulunur.
\( z_1 = (k + 4) + 6i \)
\( z_2 = 5 + (5 - k)i \)
karmaşık sayıları arasındaki uzaklık \( \sqrt{10} \) birim olduğuna göre, \( k \)'nın pozitif değeri nedir?
Çözümü Göster\( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z_1 = a + bi \)
\( z_2 = c + di \) diyelim.
İki karmaşık sayı arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle bulunur.
\( \abs{z_1 - z_2} = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2} \)
\( = \sqrt{(k + 4 - 5)^2 + (6 - (5 - k))^2} = \sqrt{10} \)
\( \sqrt{(k - 1)^2 + (k + 1)^2} = \sqrt{10} \)
\( \sqrt{k^2 - 2k + 1 + k^2 + 2k + 1} = \sqrt{10} \)
\( \sqrt{2k^2 + 2} = \sqrt{10} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( 2k^2 + 2 = 10 \)
\( k^2 = 4 \)
\( k = \pm 2 \)
\( k \)'nın her iki değeri de yukarıdaki köklü denklemi sağlar.
\( k \)'nın pozitif değeri 2 olarak bulunur.
\( \abs{-z} + iz - 2 = 4i \)
eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayısı nedir?
Çözümü Göster\( z = ai + b \) diyelim.
Bir karmaşık sayının, eşleniğinin, negatifinin ve negatifinin eşleniğinin modülleri birbirine eşittir.
\( \abs{-z} = \abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Verilen eşitlikte yerlerine yazalım.
\( \sqrt{a^2 + b^2} + i(ai + b) - 2 = 4i \)
\( \sqrt{a^2 + b^2} + ai^2 + bi - 2 = 4i \)
\( \sqrt{a^2 + b^2} - a + bi - 2 = 4i \)
\( (\sqrt{a^2 + b^2} - a - 2) + bi = 4i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( b = 4 \)
\( \sqrt{a^2 + b^2} - a - 2 = 0 \)
\( \sqrt{a^2 + 4^2} = a + 2 \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( a^2 + 16 = a^2 + 4a + 4 \)
\( 16 = 4a + 4 \)
\( a = 3 \)
\( z \) karmaşık sayısını yazalım.
\( z = ai + b = 3i + 4 \) bulunur.
\( z = \dfrac{(i - \sqrt{7})^4(2 + 2i)^2}{\sqrt{2} - \sqrt{2}i} \)
olduğuna göre, \( \abs{z^2} + \abs{z}^2 \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{z} = \abs{\dfrac{(i - \sqrt{7})^4(2 + 2i)^2}{\sqrt{2} - \sqrt{2}i}} \)
İki karmaşık sayının bölümünün modülü, modüllerinin bölümüne eşittir.
\( = \dfrac{\abs{(i - \sqrt{7})^4(2 + 2i)^2}}{\abs{\sqrt{2} - \sqrt{2}i}} \)
İki karmaşık sayının çarpımının modülü, modüllerinin çarpımına eşittir.
\( = \dfrac{\abs{(i - \sqrt{7})^4}\abs{(2 + 2i)^2}}{\abs{\sqrt{2} - \sqrt{2}i}} \)
Bir karmaşık sayının üssünün modülü, modülünün üssüne eşittir.
\( = \dfrac{\abs{(i - \sqrt{7})}^4\abs{(2 + 2i)}^2}{\abs{\sqrt{2} - \sqrt{2}i}} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{(-\sqrt{7})^2 + 1^2})^4(\sqrt{2^2 + 2^2})^2}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{8})^4(\sqrt{8})^2}{\sqrt{4}} \)
\( = \dfrac{64 \cdot 8}{2} \)
\( = 256 = 2^8 \)
Bir karmaşık sayının üssünün modülü, modülünün üssüne eşittir.
\( \abs{z^2} = \abs{z}^2 \)
\( = (2^8)^2 = 2^{16} \)
\( \abs{z^2} + \abs{z}^2 = 2^{16} + 2^{16} \)
\( = 2 \cdot 2^{16} = 2^{17} \) bulunur.
\( \abs{-\overline{z}} + z = \dfrac{12}{1 + \sqrt{2}i} \)
olduğuna göre, \( Re(z) \) kaçtır?
Çözümü GösterBir karmaşık sayının, eşleniğinin, negatifinin ve negatifinin eşleniğinin modülleri birbirine eşittir.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = x + yi \) diyelim.
\( \abs{-\overline{z}} = \abs{z} = \sqrt{x^2 + y^2} \)
Bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım.
\( \sqrt{x^2 + y^2} + x + yi = \dfrac{12}{1 + \sqrt{2}i} \)
Rasyonel ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( \sqrt{x^2 + y^2} + x + yi = \dfrac{12(1 - \sqrt{2}i)}{(1 + \sqrt{2}i)(1 - \sqrt{2}i)} \)
\( \sqrt{x^2 + y^2} + x + yi = \dfrac{12 - 12\sqrt{2}i}{1^2 - (\sqrt{2}i)^2} \)
\( \sqrt{x^2 + y^2} + x + yi = \dfrac{12 - 12\sqrt{2}i}{3} \)
\( \sqrt{x^2 + y^2} + x + yi = 4 - 4\sqrt{2}i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( y = -4\sqrt{2} \)
\( \sqrt{x^2 + y^2} + x = 4 \)
\( \sqrt{x^2 + (-4\sqrt{2})^2} + x = 4 \)
\( \sqrt{x^2 + 32} + x = 4 \)
\( \sqrt{x^2 + 32} = 4 - x \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( x^2 + 32 = 16 - 8x + x^2 \)
\( 8x = -16 \)
\( x = -2 \)
Bulduğumuz değer yukarıda karesini aldığımız eşitliği sağlar.
\( z \) karmaşık sayısını yazalım.
\( z = x + yi = -2 - 4\sqrt{2}i \)
\( Re(z) = -2 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) ve \( a \gt 1 \) olmak üzere,
\( z = \sqrt{2a + 3} + \sqrt{1 - a} \) karmaşık sayısının modülü 3 olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a \gt 1 \) olduğuna göre, \( 2a + 3 \) pozitif ve \( 1 - a \) negatif olur.
\( z = \sqrt{2a + 3} + \sqrt{-(a - 1)} \)
\( = \sqrt{2a + 3} + \sqrt{a - 1}\sqrt{-1} \)
\( = \sqrt{2a + 3} + \sqrt{a - 1}i \)
Karmaşık sayının modülünü bulalım.
\( \abs{z} = \sqrt{(\sqrt{2a + 3})^2 + (\sqrt{a - 1})^2} \)
\( \sqrt{2a + 3 + a - 1} = 3 \)
\( \sqrt{3a + 2} = 3 \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( 3a + 2 = 9 \)
\( a = \dfrac{7}{3} \) bulunur.