Karmaşık Sayı Tanımı
\( a \) ve \( b \) birer reel sayı ve \( i \) sanal birim olmak üzere, \( z = a + bi \) biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir.
\( a, b \in \mathbb{R}, \quad i = \sqrt{-1} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \)
\( z_1 = 3 + 2i \)
\( z_2 = 0 - 3i = -3i \)
\( z_3 = 5 + 0i = 5 \)
\( a \) sayısı \( z \) karmaşık sayısının reel (gerçek) kısmı, \( b \) sayısı da sanal (imajiner) kısmıdır.
Karmaşık sayılar kümesi \( \mathbb{C} \) ile gösterilir.
\( \mathbb{C} = \{a + bi: a, b \in \mathbb{R}\} \)
Bir karmaşık sayı reel ve sanal kısımlardan oluşabildiği gibi, sadece reel ve sadece sanal kısımlardan da oluşabilir. Bunun bir sonucu olarak, tüm reel sayılar aynı zamanda sanal kısmı sıfır olan birer karmaşık sayıdır ve karmaşık sayılar kümesi reel sayıları da kapsar.
Aşağıdaki şekil karmaşık sayılar, sanal sayılar ve diğer sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi göstermektedir.
\( z \) sayısının reel kısmı \( Re(z) \), sanal kısmı da \( Im(z) \) şeklinde gösterilir.
\( z = a + bi \)
\( Re(z) = a \)
\( Im(z) = b \)
\( z = 3 - 7i \)
\( Re(z) = 3 \)
\( Im(z) = -7 \)
Karmaşık sayılar reel sayılar gibi bir büyüklük ifade etmezler, sıralama ve karşılaştırma işlemleri karmaşık sayılar kümesinde anlamlı değildir.
\( (i^2 + 2)(i^3 - 3)(i^4 + 4)(i^5 - 5)(i^6 + 6) \)
ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterHer sanal sayının yerine \( i^1 - i^4 \) arasındaki eşitini yazalım.
\( (i^2 + 2)(i^3 - 3)(i^4 + 4)(i^{4 + 1} - 5)(i^{4 + 2} + 6) \)
\( = (i^2 + 2)(i^3 - 3)(i^4 + 4)(i^1 - 5)(i^2 + 6) \)
\( = (-1 + 2)(-i - 3)(1 + 4)(i - 5)(-1 + 6) \)
\( = (1)(-i - 3)(5)(i - 5)(5) \)
\( = 25(-i^2 + 5i - 3i + 15) \)
\( = 25(2i + 16) \)
\( = 400 + 50i \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = 25^{a + 2} + i \cdot 5^{a^2 + 1} \)
karmaşık sayısı veriliyor.
\( Re(z) \cdot Im(z) = 625 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( Re(z) = 25^{a + 2} \)
\( Im(z) = 5^{a^2 + 1} \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerlerine yazalım.
\( 25^{a + 2} \cdot 5^{a^2 + 1} = 625 \)
\( 5^{2(a + 2)} \cdot 5^{a^2 + 1} = 5^4 \)
\( 5^{2a + 4} \cdot 5^{a^2 + 1} = 5^4 \)
\( 5^{a^2 + 2a + 5} = 5^4 \)
Tabanlar -1, 0 ve 1'den farklı olmak üzere, iki üslü ifadenin eşitliğinde tabanlar birbirine eşitse üsler de eşittir.
\( a^2 + 2a + 5 = 4 \)
\( a^2 + 2a + 1 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (a + 1)^2 = 0 \)
\( a = -1 \) bulunur.
\( z = (2 + 2i)^8 \) ve \( w = (8 - 8i)^4 \) olmak üzere,
\( Re(z \cdot w) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) karmaşık sayısını sadeleştirelim.
\( z = (2 + 2i)^8 \)
\( = 2^8(1 + i)^8 \)
\( = 2^8[(1 + i)^2]^4 \)
\( = 2^8(1 + 2i + i^2)^4 \)
\( = 2^8(2i)^4 \)
\( = 2^{12}i^4 \)
\( = 2^{12} \)
\( w \) karmaşık sayısını sadeleştirelim.
\( = (8 - 8i)^4 \)
\( = 8^4(1 - i)^4 \)
\( = 2^{12}[(1 - i)^2]^2 \)
\( = 2^{12}(1 - 2i + i^2)^2 \)
\( = 2^{12}(-2i)^2 \)
\( = 2^{14}i^2 \)
\( = -2^{14} \)
Bulduğumuz karmaşık sayıları çarpalım.
\( z \cdot w = 2^{12} \cdot (-2^{14}) = -2^{26} \)
\( Re(z \cdot w) = -2^{26} \) bulunur.
\( z = 1 + i + i^2 + \ldots + i^{1002} \)
karmaşık sayısı için \( Im(z) + Re(z) \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterSanal birimin ardışık 4 tam sayı üssünün toplamı 0'dır.
\( i^{4n} = 1 \)
\( i^{4n + 1} = i \)
\( i^{4n + 2} = i^2 = -1 \)
\( i^{4n + 3} = i^3 = -i \)
\( 1 + i + (-1) + (-i) = 0 \)
\( z = 1 + i^1 + i^2 + \ldots + i^{1002} \)
Yukarıdaki ifadede \( i^3 \) ve \( i^{1002} \) arasında toplam 1000 terim olduğu için bu terimleri 4'erli grupladığımızda toplamları 0 olur.
\( = 1 + i^1 + i^2 + 0 \)
\( = 1 + i + (-1) = 0 + i \)
\( z = i \)
\( Re(z) = 0 \)
\( Im(z) = 1 \)
\( Re(z) + Im(z) = 0 + 1 = 1 \) olarak bulunur.
\( P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 10 \) olduğuna göre,
\( P(3i + 1) \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen polinomu parantez küpü şeklinde yazalım.
\( P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 11 \)
\( = (x - 1)^3 + 11 \)
İfadedeki tüm \( x \)'lerin yerine \( 3i + 1 \) yazalım.
\(P(3i + 1) = (3i + 1 - 1)^3 + 11 \)
\( = (3i)^3 + 11 \)
\( = 27i^3 + 11 \)
\( = 11 - 27i \) bulunur.
Karmaşık sayılar kümesinde aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanmıştır.
\( f(z) = z - i \)
\( g(z) = z \cdot i \)
Buna göre \( (f \circ g)(1 + i)\) işleminin sonucunu nedir?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(1 + i) = f[g(1 + i)] \)
\( g(1 + i) = (1 + i) \cdot i = i - 1 \)
\( f[g(1 + i)] = f(i - 1) \)
\( = (i - 1) - i = -1 \) bulunur.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (a_n) = i^{k + n} - i \)
\( (b_n) = i^{4n} + 3i^{2023} - 2i^{2024} \) dizileri veriliyor.
\( a_1 + a_2 + a_3 = b_{2003} \) olduğuna göre,
\( k \)'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster\( i \)'nin 4'ten büyük kuvvetleri periyodik olarak \(i^1 - i^4 \) arası değerleri alır.
\( i^{4n} = i^0 = 1 \)
\( i^{2023} = i^3 = -i \)
\( i^{2024} = i^0 = 1 \)
Bu değerleri \( (b_n) \) genel teriminde yerine koyalım.
\( (b_n) = i^{4n} + 3i^{2023} - 2i^{2024} \)
\( = 1 - 3i - 2 = -1 - 3i \)
\( a_1 + a_2 + a_3 = b_n \)
\( (i^{k + 1} - i) + (i^{k + 2} - i) + (i^{k + 3} - i) = -1 - 3i \)
\( i^{k + 1} + i^{k + 2} + i^{k + 3} = -1 \)
\( i \)'nin ardışık tam sayı üsleri periyodik olarak sırasıyla \( i^1 = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \) ve \( i^4 = 1 \) değerlerini alır.
\( k = 0 \) olduğunda ardışık üç terimin toplamı \( -1 \) olur, ancak \( k \) pozitif tam sayı olarak verildiği için \( k \)'nın bir sonraki periyottaki değeri \( k = 4 \) olarak bulunur.
\( i^5 + i^6 + i^7 = -1 \)
\( i^1 + i^2 + i^3 = -1 \)
\( i + (-1) + (-i) = -1 \)