Karmaşık Sayı Tanımı
Aşağıdaki formda yazılabilen sayılara karmaşık sayı denir.
\( a, b \in \mathbb{R}, \quad i \) sanal birim olmak üzere,
\( z = a + bi \)
\( z_1 = 3 + 2i \)
\( z_2 = 0 - 3i = -3i \)
\( z_3 = 5 + 0i = 5 \)
Görülebileceği üzere, karmaşık sayıların reel ve sanal bileşenleri vardır. Yukarıdaki \( z \) karmaşık sayısında \( a \) sayının reel (gerçek) kısmı, \( b \) sanal (imajiner) kısmıdır.
Karmaşık sayılar kümesi \( \mathbb{C} \) ile gösterilir.
\( \mathbb{C} = \{a + bi: a, b \in \mathbb{R}\} \)
Bir karmaşık sayı reel ve sanal kısımlardan oluşabildiği gibi, sadece reel ya da sadece sanal kısımdan da oluşabilir. Bunun bir sonucu olarak, tüm reel sayılar aynı zamanda sanal kısmı sıfır olan birer karmaşık sayıdır ve karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar.
Aşağıdaki şekil karmaşık sayılar, sanal sayılar ve diğer sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi göstermektedir.
\( z \) sayısının reel kısmı \( Re(z) \), sanal kısmı \( Im(z) \) şeklinde gösterilir.
\( z = a + bi \)
\( Re(z) = a \)
\( Im(z) = b \)
\( z = 3 - 7i \)
\( Re(z) = 3 \)
\( Im(z) = -7 \)
\( z = -2 \)
\( Re(z) = -2 \)
\( Im(z) = 0 \)
\( z = 4i \)
\( Re(z) = 0 \)
\( Im(z) = 4 \)
\( Im(z) \) ifadesinin sadece \( b \) katsayısını döndürdüğüne ve \( i \) sanal birimini içermediğine dikkat edilmelidir.
Karmaşık Sayıların Eşitliği
İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \) olmak üzere,
\( z_1 = z_2 \Longleftrightarrow a_1 = a_2 \) ve \( b_1 = b_2 \)
\( z_1 = a - \sqrt{2}i \)
\( z_2 = 4 + bi \)
\( z_1 = z_2 \) ise,
\( a = 4, \quad b = -\sqrt{2} \)
Bir karmaşık sayı sıfıra eşitse sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı sıfıra eşittir. Benzer şekilde, bir karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı sıfıra eşitse bu sayı sıfıra eşittir.
\( z_1 = 0 \Longleftrightarrow a_1 = 0 \) ve \( b_1 = 0 \)
\( z_1 = a - 2 + (b + 1)i \)
\( z_1 = 0 \) ise,
\( a = 2, \quad b = -1 \)
\( z = 1 + i + i^2 + \ldots + i^{1002} \)
karmaşık sayısı için \( Im(z) + Re(z) \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( i \)'nin ardışık 4 tam sayı kuvvetinin toplamı her zaman sıfırdır.
\( i^n + i^{n + 1} + i^{n + 2} + i^{n + 3} = 0 \)
\( z = 1 + i^1 + i^2 + \ldots + i^{1002} \)
Bu ifadede \( i^3 \) ve \( i^{1002} \) arasında toplam 1000 terim olduğu için bu terimleri 4'erli grupladığımızda toplamları 0 olur.
\( = 1 + i^1 + i^2 + 0 \)
\( = 1 + i + (-1) \)
\( = 0 + i = i \)
\( Re(z) = 0 \)
\( Im(z) = 1 \)
\( Re(z) + Im(z) = 0 + 1 = 1 \) bulunur.
\( z = (2 + 2i)^8 \) ve \( w = (8 - 8i)^4 \) olmak üzere,
\( Re(zw) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) karmaşık sayısını sadeleştirelim.
\( z = (2 + 2i)^8 \)
\( = [2(1 + i)]^8 \)
\( = 2^8(1 + i)^8 \)
\( = 2^8[(1 + i)^2]^4 \)
\( = 2^8(1 + 2i + i^2)^4 \)
\( = 2^8(2i)^4 \)
\( = 2^82^4i^4 \)
\( = 2^{12}i^4 \)
\( = 2^{12} \)
\( w \) karmaşık sayısını sadeleştirelim.
\( = (8 - 8i)^4 \)
\( = [8(1 - i)]^4 \)
\( = 8^4(1 - i)^4 \)
\( = 2^{12}[(1 - i)^2]^2 \)
\( = 2^{12}(1 - 2i + i^2)^2 \)
\( = 2^{12}(-2i)^2 \)
\( = 2^{12}(-2)^2i^2 \)
\( = 2^{14}i^2 \)
\( = -2^{14} \)
İki karmaşık sayının çarpımını bulalım.
\( zw = 2^{12} \cdot (-2^{14}) = -2^{26} \)
\( Re(zw) = -2^{26} \) bulunur.
\( P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 10 \) olduğuna göre,
\( P(3i + 1) \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen polinomu parantez küpü şeklinde yazalım.
\( P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 11 \)
\( = (x - 1)^3 + 11 \)
İfadedeki tüm \( x \)'lerin yerine \( 3i + 1 \) yazalım.
\(P(3i + 1) = (3i + 1 - 1)^3 + 11 \)
\( = (3i)^3 + 11 \)
\( = 27i^3 + 11 \)
\( = 11 - 27i \) bulunur.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları karmaşık sayılar kümesinde tanımlıdır.
\( f(z) = z - i \)
\( g(z) = zi \)
Buna göre \( (f \circ g)(1 + i)\) işleminin sonucunu nedir?
Çözümü Göster\( g(1 + i) = (1 + i)i \)
\( = i + i^2 = i - 1 \)
\( (f \circ g)(1 + i) = f[g(1 + i)] \)
\( = f(i - 1) \)
\( = (i - 1) - i = -1 \) bulunur.