Karmaşık Sayıların Eşleniği
Bir \( z \) karmaşık sayısının eşleniği, reel kısmı \( z \) sayısınınki ile aynı, sanal kısmı \( z \) sayısınınkinin ters işaretlisi olan sayıdır. \( z \) karmaşık sayısının eşleniği \( \overline{z} \) ile gösterilir.
\( z = a + bi \)
\( \overline{z} = a - bi \)
\( z_1 = 3 + 2i \)
\( \overline{z_1} = 3 - 2i \)
\( z_2 = -5 - \sqrt{2}i \)
\( \overline{z_2} = -5 + \sqrt{2}i \)
Bir karmaşık sayının ve eşleniğinin reel kısımları birbirine eşittir, sanal kısımları ise birbirinin ters işaretlisidir.
\( Re(z) = Re(\overline{z}) \)
\( Im(z) = -Im(\overline{z}) \)
Sadece reel kısımdan oluşan bir karmaşık sayının eşleniği sayının kendisine eşittir. Sadece sanal kısımdan oluşan bir karmaşık sayının eşleniği sayının toplamaya göre tersine eşittir.
\( z_1 = 7 + 0i = 7 \)
\( \overline{z_1} = 7 - 0i = 7 \)
\( z_2 = 0 + 3i = 3i \)
\( \overline{z_2} = 0 - 3i = -3i \)
Buna göre bir karmaşık sayı eşleniğine eşitse bu karmaşık sayı bir reel sayıdır.
\( z = a + bi \) olmak üzere,
\( z = \overline{z} \) ise,
\( b = 0 \)
Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir.
\( \overline{\left( \overline{z} \right)} = z \)
\( z = 7 - 2i \)
\( \overline{z} = 7 + 2i \)
\( \overline{\left( \overline{z} \right)} = 7 - 2i = z \)
Bir karmaşık sayının reel ve sanal kısımları sayının kendisi ve eşleniği cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( Re(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2} \)
\( Im(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i} \)
\( z = 5 + 2i \)
\( \overline{z} = 5 - 2i \)
\( Re(z) = \dfrac{(5 + 2i) + (5 - 2i)}{2} = 5 \)
\( Im(z) = \dfrac{(5 + 2i) - (5 - 2i)}{2i} = 2 \)
Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımının sonucu bir reel sayıdır ve karmaşık sayının reel ve sanal kısımlarının kareleri toplamına eşittir. Bu değer aynı zamanda bir sonraki bölümde göreceğimiz karmaşık sayının mutlak değerinin (modülünün) karesine eşittir.
\( z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = {\abs{z}}^2 \)
\( z = 2 - 3i \)
\( z \cdot \overline{z} = (2 - 3i)(2 + 3i) \)
\( = 2^2 + 6i - 6i - 3^2i^2 \)
\( = 2^2 + 3^2 = 13 \)
Bir karmaşık sayının eşleniği ile toplamının sonucu da bir reel sayıdır.
\( z + \overline{z} = 2a \)
\( z = 5 + 2i \)
\( z + \overline{z} = (5 + 2i) + (5 - 2i) \)
\( = 10 \)
Karmaşık sayıların eşleniği ile ilgili diğer işlem özellikleri aşağıdaki gibidir.
İki karmaşık sayının toplamının/farkının eşleniği, sayıların eşleniklerinin toplamına/farkına eşittir.
\( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \)
\( \overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2} \)
\( z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 5 - 3i \)
\( \overline{z_1 + z_2} = \overline{(2 + i) + (5 - 3i)} \)
\( = \overline{7 - 2i} = \textcolor{red}{7 + 2i} \)
\( \overline{z_1} + \overline{z_2} = \overline{(2 + i)} + \overline{(5 - 3i)} \)
\( = (2 - i) + (5 + 3i) = \textcolor{red}{7 + 2i} \)
\( \overline{z_1 + {\overline{z_2}}} = \overline{z_1} + z_2 \)
\( z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 5 - 3i \)
\( \overline{z_1 + {\overline{z_2}}} = \overline{(2 + i) + {\overline{5 - 3i}}} \)
\( = \overline{(2 + i) + (5 + 3i)} = \overline{7 + 4i} \) \( = \textcolor{red}{7 - 4i} \)
\( \overline{z_1} + z_2 = \overline{2 + i} + (5 - 3i) \)
\( = (2 - i) + (5 - 3i) = \textcolor{red}{7 - 4i} \)
İki karmaşık sayının çarpımının eşleniği, sayıların eşleniklerinin çarpımına eşittir. Bunun bir sonucu olarak, bir karmaşık sayının \( n \). dereceden üssünün eşleniği, sayının eşleniğinin \( n \). dereceden üssüne eşittir.
\( \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \)
\( \overline{z_1^n} = (\overline{z_1})^n \)
\( z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 5 - 3i \)
\( \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{(2 + i)(5 - 3i)} \)
\( = \overline{10 - 6i + 5i - 3i^2} = \overline{13 - i} \) \( = \textcolor{red}{13 + i} \)
\( \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = \overline{2 + i} \cdot \overline{5 - 3i} \)
\( = (2 - i)(5 + 3i) = 10 + 6i - 5i - 3i^2 \) \( = \textcolor{red}{13 + i} \)
İki karmaşık sayının birbirine bölümünün eşleniği, sayıların eşleniklerinin birbirine bölümüne eşittir.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \overline{\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \)
\( z_1 = 11 + 3i, \quad z_2 = -2 - i \)
\( \overline{\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right)} = \overline{\left( \dfrac{11 + 3i}{-2 - i} \right)} \)
\( = \overline{\left( \dfrac{11 + 3i}{-2 - i} \cdot \dfrac{-2 + i}{-2 + i} \right)} \) \( = \overline{\left( \dfrac{-22 + 11i - 6i + 3i^2}{4 - 2i + 2i - i^2} \right)} \)
\( = \overline{\left( \dfrac{-25 + 5i}{5} \right)} = \overline{-5 + i} \) \( = \textcolor{red}{-5 - i} \)
\( \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \dfrac{\overline{11 + 3i}}{\overline{-2 - i}} \)
\( \dfrac{11 - 3i}{-2 + i} = \dfrac{11 - 3i}{-2 + i} \cdot \dfrac{-2 - i}{-2 - i} \) \( = \dfrac{-22 - 11i + 6i + 3i^2}{4 + 2i - 2i - i^2} \)
\( = \dfrac{-25 - 5i}{5} = \textcolor{red}{-5 - i} \)
Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniklerini bulunuz.
(a) \( -21i + 8 \)
(b) \( \sqrt{2} + \sqrt{5}i \)
(c) \( -\sqrt{11}i \)
(d) \( \pi \)
Çözümü GösterBir \( z \) karmaşık sayısının eşleniği, reel kısmı \( z \) sayısınınki ile aynı, sanal kısmı \( z \) sayısınınkinin ters işaretlisi olan sayıdır.
(a) seçeneği:
\( -21i + 8 = 8 - 21i \)
\( \overline{8 - 21i} = 8 + 21i \)
(b) seçeneği:
\( \overline{\sqrt{2} + \sqrt{5}i} = \sqrt{2} - \sqrt{5}i \)
(c) seçeneği:
\( -\sqrt{11}i = 0 - \sqrt{11}i \)
\( \overline{0 -\sqrt{11}i} = 0 + \sqrt{11}i \)
\( = \sqrt{11}i \)
(d) seçeneği:
\( \pi = \pi + 0i \)
\( \overline{\pi + 0i} = \pi - 0i \)
\( = \pi \)
Dikkat edilirse bir reel sayının karmaşık sayılar kümesinde eşleniği yine kendisidir.
\( (i^{-2} - i^{-3})^{-1} \) ifadesinin sadeleştirilmiş halini yazınız.
Çözümü Göster\( (i^{-2} - i^{-3})^{-1} = (\dfrac{1}{i^2} - \dfrac{1}{i^3})^{-1} \)
Paydaları eşitleyelim.
\( = (\dfrac{i - 1}{i^3})^{-1} = (\dfrac{i - 1}{-i})^{-1} \)
Parantez içindeki ifadenin çarpmaya göre tersini alalım.
\( = \dfrac{-i}{i - 1} = \dfrac{i}{1 - i} \)
Payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{i}{1 - i} \cdot \dfrac{1 + i}{1 + i} = \dfrac{i + i^2}{1 - i^2} \)
\( = \dfrac{i - 1}{2} = \dfrac{i}{2} - \dfrac{1}{2} \) olarak bulunur.
\( (\dfrac{5 + 3i}{1 + 4i})^4 \) ifadesinin sonucunu en sade haliyle yazınız.
Çözümü GösterÖnce parantez içindeki ifadenin paydasındaki karmaşık sayıdan kurtulmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( \dfrac{(5 + 3i)(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)} = \dfrac{5 - 20i + 3i - 12i^2}{1^2 + 4^2} \)
\( = \dfrac{17 - 17i}{17} = 1 - i \)
Parantez içindeki ifade yerine bulduğumuz ifadeyi yazalım.
\( (1 - i)^4 = ((1 - i)^2)^2 = (1 - 2i +i^2)^2 \)
\( = (-2i)^2 = 4i^2 = -4 \) bulunur.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( \dfrac{65}{z} - \dfrac{1}{1 - i} = 3 + 4i \)
Yukarıda verilen eşitliğe göre \( z \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( \dfrac{65}{z} - \dfrac{1 + i}{(1 - i)(1 + i)} = 3 + 4i \)
\( \dfrac{65}{z} - \dfrac{1 + i}{2} = 3 + 4i \)
\( \dfrac{65}{z} = 3 + 4i + \dfrac{1 + i}{2} \)
\( \dfrac{65}{z} = \dfrac{7 + 9i}{2} \)
İki tarafın çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{z}{65} = \dfrac{2}{7 + 9i} \)
\( z = \dfrac{130}{7 + 9i} \)
Eşitliğin sağ tarafında payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{130(7 - 9i)}{(7 + 9i)(7 - 9i)} \)
\( = \dfrac{130(7 - 9i)}{7^2 + 9^2} \)
\( = \dfrac{130(7 - 9i)}{130} \)
\( = 7 - 9i \) bulunur.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{1 - i} = \dfrac{3 - i}{4} \)
olduğuna göre, \( z \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) ifadesini denklemde yalnız bırakalım.
\( \dfrac{1}{z} = \dfrac{3 - i}{4} - \dfrac{1}{1 - i} \)
\( = \dfrac{3 - i}{4} - \dfrac{1 + i}{(1 - i)(1 + i)} \)
\( = \dfrac{3 - i}{4} - \dfrac{1 + i}{1^2 + 1^2} \)
\( = \dfrac{1 - 3i}{4} \)
Eşitliğin iki tarafının çarpmaya göre tersini alalım.
\( z = \dfrac{4}{1 - 3i} \)
Eşitliğin sağ tarafında payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{4(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} \)
\( = \dfrac{4 + 12i}{1^2 + 3^2} \)
\( = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i \) bulunur.
\( z + 3i = \dfrac{2}{1 - i} \)
\( w + z = i \)
olduğuna göre, \( w \cdot z \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z = \dfrac{2}{1 - i} - 3i \)
\( = \dfrac{2 - 3i(1 - i)}{1 - i} \)
\( = \dfrac{2 - 3i + 3i^2}{1 - i} \)
\( = \dfrac{-1 - 3i}{1 - i} \)
Rasyonel ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniğiyle çarpalım.
\( z = \dfrac{(-1 - 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \)
\( = \dfrac{-1 - i - 3i - 3i^2}{1^2 - i^2} \)
\( = \dfrac{2 - 4i}{2} \)
\( = 1 - 2i \)
\( w + z = i \)
\( w + 1 - 2i = i \)
\( w = -1 + 3i \)
\( w \cdot z \) ifadesini bulalım.
\( w \cdot z = (-1 + 3i)(1 - 2i) \)
\( = -1 + 2i + 3i - 6i^2 \)
\( = 5 + 5i \) bulunur.
\( z, w \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( 3z = -5iw - 2i + 5 \)
\( z - 1 = w + 2i \)
olduğuna göre, \( z \cdot w \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z \) ve \( w \) değişkenlerine bağlı iki denklemden oluşan denklem sistemini çözelim.
İkinci denklemin taraflarını -3 ile çarpalım.
\( -3z + 3 = -3w - 6i \)
Elde ettiğimiz denklemi birinci denklemle taraf tarafa toplayalım.
\( 3 = -5iw - 3w - 8i + 5 \)
\( w \)'yi yalnız bırakalım.
\( w = \dfrac{2 - 8i}{3 + 5i} \)
Paydayı karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(2 - 8i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)} \)
\( = \dfrac{6 - 10i - 24i + 40i^2}{3^2 + 5^2} \)
\( = \dfrac{-34 - 34i}{34} = -1 - i \)
\( w \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( z - 1 = w + 2i \)
\( z - 1 = -1 - i + 2i \)
\( z = i \)
\( z \cdot w = i \cdot (-1 - i) = 1 - i \) bulunur.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( \dfrac{4z}{z - 1} = 5 - i \)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( z \)'yi yalnız bırakalım.
\( 4z = (z - 1)(5 - i) \)
\( 4z = 5z - iz - 5 + i \)
\( z - iz = 5 - i \)
\( z = \dfrac{5 - i}{1 - i} \)
Paydayı karmaşık sayıdan kurtarmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(5 - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \)
\( = \dfrac{5 + 5i - i - i^2}{1^2 + 1^2} \)
\( = \dfrac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i \) bulunur.
\( 2Re(z) + 3Im(\overline{z}) = -4 \)
\( 4Re(\overline{z}) - 3Im(z) = 6 \)
olduğuna göre, \( z \) karmaşık sayısı nedir?
Çözümü Göster\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = x + yi \) diyelim.
\( \overline{z} = x - yi \)
\( Re(z) = Re(\overline{z}) = x \)
\( Im(z) = y \)
\( Im(\overline{z}) = -y \)
Bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım.
\( 2x + 3(-y) = -4 \)
\( 4x - 3y = 6 \)
Birinci denklemde eşitliğin her iki tarafını \( -1 \) ile çarpalım.
\( -2x + 3y = 4 \)
\( 4x - 3y = 6 \)
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 2x = 10 \)
\( x = 5 \)
Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım.
\( 4(5) - 3y = 6 \)
\( y = \dfrac{14}{3} \)
\( z \) karmaşık sayısını yazalım.
\( z = x + yi = 5 + \dfrac{14}{3}i \)
\( z = 1 - 5i \) ve \( u = 1 - 7i \) olmak üzere,
\( (\dfrac{z + \overline{u}}{\overline{z} + u})^{22} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen karmaşık sayıların eşleniklerini bulalım.
\( \overline{z} = 1 + 5i \)
\( \overline{u} = 1 + 7i \)
Bu değerleri verilen işlemde yerine yazalım.
\( (\dfrac{1 - 5i + 1 + 7i}{1 + 5i + 1 - 7i})^{22} \)
\( = (\dfrac{2 + 2i}{2 - 2i})^{22} \)
\( = (\dfrac{1 + i}{1 - i})^{22} \)
\( = [(\dfrac{1 + i}{1 - i})^2]^{11} \)
\( = (\dfrac{(1 + i)^2}{(1 - i)^2})^{11} \)
\( = (\dfrac{1 + 2i + i^2}{1 - 2i + i^2})^{11} \)
\( = (\dfrac{2i}{-2i})^{11} \)
\( = (-1)^{11} = -1 \) bulunur.
\( \dfrac{(1 - i)^{10}}{(1 + i)^9} + (1 - 4i)^2 = \overline{z} + i \)
eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayısı nedir?
Çözümü Göster\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = x + yi \) diyelim.
\( \overline{z} = x - yi \)
Verilen eşitliği sadeleştirelim.
\( \dfrac{[(1 - i)^2]^5}{\frac{(1 + i)^{10}}{1 + i}} + (1 - 4i)^2 = \overline{z} + i \)
\( \dfrac{[(1 - i)^2]^5}{\frac{[(1 + i)^2]^5}{1 + i}} + (1 - 4i)^2 = \overline{z} + i \)
Aşağıdaki iki özdeşliği kullanalım.
\( (1 + i)^2 = 2i, \quad (1 - i)^2 = -2i \)
\( \dfrac{(-2i)^5 \cdot (1 + i)}{(2i)^5} + (1 - 4i)^2 = \overline{z} + i \)
\( -1 - i + (1 - 8i + 16i^2) = \overline{z} + i \)
\( -1 - i + 1 - 8i - 16 = \overline{z} + i \)
\( -16 - 9i = x - iy + i \)
\( -16 - 9i = x + (1 - y)i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( x = -16 \)
\( -9 = 1 - y \)
\( y = 10 \)
\( z \) karmaşık sayısını yazalım.
\( z = x + yi = -16 + 10i \) bulunur.