Karmaşık Sayılarda İşlemler
Bu bölümde karmaşık sayılarda işlemleri aşağıdaki üç örnek sayı üzerinden inceleyeceğiz.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( z_3 = a_3 + b_3i \)
Karmaşık Sayıların Eşitliği
İki karmaşık sayının eşitliğinde sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.
\( z_1 = z_2 \Longleftrightarrow a_1 = a_2 \) ve \( b_1 = b_2 \)
\( z_1 = a - \sqrt{2}i \)
\( z_2 = 4 + bi \)
\( z_1 = z_2 \) ise,
\( a = 4, \quad b = -\sqrt{2} \)
Bir karmaşık sayı sıfıra eşitse sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı sıfıra eşittir. Benzer şekilde, bir karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı sıfıra eşitse bu sayı sıfıra eşittir.
\( z_1 = 0 \Longleftrightarrow a_1 = 0 \) ve \( b_1 = 0 \)
\( z_1 = a - 2 + (b + 1)i \)
\( z_1 = 0 \) ise,
\( a = 2, \quad b = -1 \)
Karmaşık Sayılarda Toplama
İki karmaşık sayı arasındaki toplama işleminde sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.
\( z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \)
\( z_1 = 3 - 4i \)
\( z_2 = 2 + 7i \)
\( z_1 + z_2 = (3 + 2) + (-4 + 7)i = 5 + 3i \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 0 + 0i = 0 \) sayısıdır.
\( z_e = 0 + 0i = 0 \)
\( z_1 + z_e = (a_1 + 0) + (b_1 + 0)i = z_1 \)
Karmaşık Sayıların Toplamaya Göre Tersi
Bir \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi, \( z \) ile toplandığında 0 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi \( -z \) sayısıdır.
\( -z_1 = -(a_1 + b_1i) = -a_1 - b_1i \)
\( z_1 + (-z_1) = 0 \)
\( z_1 = -2 + 5i \)
\( -z_1 = -(-2 + 5i) = 2 - 5i \)
\( z_1 + (-z_1) = (-2 + 2) + (5 + (-5))i = 0 \)
Karmaşık Sayılarda Çıkarma
İki karmaşık sayı arasındaki çıkarma işleminde sayıların reel ve sanal kısımlarının kendi aralarında farkı alınır.
\( z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \)
\( z_1 = 5 + i \)
\( z_2 = 5 - 3i \)
\( z_1 - z_2 = (5 - 5) + (1 - (-3))i = 4i \)
Karmaşık Sayılarda Çarpma
Bir karmaşık sayının bir reel sayı ile çarpımında karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı reel sayı ile çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( c \cdot z_1 = c(a_1 + b_1i) \)
\( = ca_1 + cb_1i \)
\( z_1 = 4 - 5i \)
\( 3 \cdot z_1 = 12 - 15i \)
İki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde birinci sayının her terimi ikinci sayının her terimiyle çarpılır ve bu çarpımların toplamı alınır.
Sayıların sanal kısımlarının çarpımında oluşan \( i^2 \) ifadeleri \( -1 \) olarak sadeleşir ve sonucun reel kısmına dahil olur.
\( z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i) \cdot (a_2 + b_2i) \)
\( = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2 \)
\( = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \)
\( z_1 = 3 - 2i \)
\( z_2 = 4 + 3i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (3 - 2i) \cdot (4 + 3i) \)
\( = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3i - 4 \cdot 2i - 2i \cdot 3i \)
\( = 12 + 9i - 8i - 6i^2 \)
\( = 18 + i \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır.
\( z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \)
\( z_1 \cdot (z_2 - z_3) = z_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot z_3 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 1 + 0i = 1 \) sayısıdır.
\( z_e = 1 + 0i \)
\( z_1 \cdot z_e = (a_1 + b_1i) \cdot (1 + 0i) = z_1 \)
Aşağıdaki iki karmaşık sayının karelerinin akılda tutulması faydalı olacaktır.
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Karmaşık Sayıların Çarpmaya Göre Tersi
Bir \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi, \( z \) ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi \( z^{-1} = \frac{1}{z} \) sayısıdır.
Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini bulmak için, bölme işleminde olduğu gibi pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z \ne 0 \) olmak üzere,
\( z \cdot z^{-1} = 1 \)
\( z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{a + bi} \)
\( = \dfrac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} \)
\( = \dfrac{a - bi}{a^2 - b^2i^2} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2} \)
\( = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i \)
\( z = 4 - 3i \)
\( z^{-1} = \dfrac{4}{4^2 + 3^2} - \dfrac{-3}{4^2 + 3^2}i \)
\( = \dfrac{4}{25} + \dfrac{3}{25}i \)
Karmaşık Sayılarda Bölme
İki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde amaç paydadaki sanal bileşenden kurtulmaktır, bunun için pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \)
\( = \dfrac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 - a_1b_2i + a_2b_1i - b_1b_2i^2}{a_2^2 - a_2b_2i + a_2b_2i - b_2^2i^2} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
\( z_1 = 5 - 10i \)
\( z_2 = 2 + i \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{5 - 10i}{2 + i} \)
\( = \dfrac{(5 - 10i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} \)
\( = \dfrac{10 - 5i - 20i - 10}{4 - 2i + 2i + 1} \)
\( = \dfrac{-25i}{5} = -5i \)
\( z_1 = 2 + 3i \)
\( z_2 = 4 - 2i \)
Yukarıdaki iki karmaşık sayı için aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( z_1 + z_2 \)
(b) \( z_1 - z_2 \)
(c) \( 2z_1 + 4z_2 \)
(d) \( z_1z_2\)
(e) \( \dfrac{z_1}{z_2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (4 - 2i) \)
\( = (2 + 4) + (3 - 2)i \)
\( = 6 + i \)
(b) seçeneği:
\( z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (4 - 2i) \)
\( = (2 - 4) + (3 - (-2))i \)
\( = - 2 + 5i \)
(c) seçeneği:
\( 2z_1 + 4z_2 = 2(2 + 3i) + 4(4 - 2i) \)
\( = 4 + 6i + 16 - 8i \)
\( = (4 + 16) + (6 - 8)i \)
\( = 20 - 2i \)
(d) seçeneği:
\( z_1z_2 = (2 + 3i)(4 - 2i) \)
\( = 8 - 4i + 12i - 6i^2 \)
\( = 8 + 8i + 6 \)
\( = 14 + 8i \)
(e) seçeneği:
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2 + 3i}{4 - 2i} \)
Paydayı eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(2 + 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} \)
\( = \dfrac{8 + 4i + 12i + 6i^2}{16 + 8i - 8i - 4i^2} \)
\( = \dfrac{2 + 16i}{20} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{5}i \)
\( (3m - 2i)(1 + i) = (3 - i)(2 + mi) \)
olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterÇarpanlarına ayrılmış ifadeleri genişletelim.
\( 3m + 3mi - 2i - 2i^2 = 6 + 3mi - 2i - mi^2 \)
\( 3m - 2i^2 = 6 - mi^2 \)
\( 3m + 2 = 6 + m \)
\( m = 2 \) bulunur.
\( \dfrac{a + bi}{2 - 3i} = -2 + 5i \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamınının sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSol tarafın paydasını karşı tarafa atalım.
\( a + bi = (-2 + 5i)(2 - 3i) \)
\( = -4 + 6i + 10i - 15i^2 \)
\( a + bi = 11 + 16i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = 11, \quad b = 16 \)
\( a + b = 11 + 16 = 27 \) bulunur.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{-4} + (1 + i)^2 + mi - 1 = (1 - i)^2 + 3 - n \)
olduğuna göre, \( mn \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikteki terimleri sadeleştirelim.
\( \sqrt{-4} = 2\sqrt{-1} = 2i \)
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Bulduğumuz değerleri eşitlikte yerine koyalım.
\( 2i + 2i + mi - 1 = -2i + 3 - n \)
\( 6i + mi - 4 + n = 0 \)
\( (6 + m)i - 4 + n = 0 \)
Bir karmaşık sayı 0'a eşitse reel ve sanal kısımları ayrı ayrı 0'a eşittir.
\( 6 + m = 0 \Longrightarrow m = -6 \)
\( - 4 + n = 0 \Longrightarrow n = 4 \)
\( mn = -6(4) = -24 \) bulunur.
\( (a - 1) + (b + 2)i = i \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( \dfrac{a + bi}{a - bi} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü Göster\( (a - 1) + (b + 2)i = 0 + i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a - 1 = 0 \Longrightarrow a = 1 \)
\( b + 2 = 1 \Longrightarrow b = -1 \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( \dfrac{a + bi}{a - bi} = \dfrac{1 - i}{1 + i} \)
Payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \)
\( = \dfrac{1 - 2i + i^2}{1^2 - i^2} \)
\( = \dfrac{-2i}{2} = -i \) bulunur.
\( (2 + 2i)^{40} - (2 - 2i)^{40} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( (2 + 2i)^2 = 2^2 + 8i + (2i)^2 \)
\( = 4 + 8i - 4 = 8i \)
\( (2 - 2i)^2 = 2^2 - 8i + (2i)^2 \)
\( = 4 - 8i - 4 = -8i \)
Soruda verilen işlemdeki ifadeleri düzenleyelim.
\( (2 + 2i)^{40} - (2 - 2i)^{40} = [(2 + 2i)^2]^{20} - [(2 - 2i)^2]^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (-8i)^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (-1)^{20}(8i)^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (8i)^{20} \)
\( = 0 \) bulunur.
\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( f(x) = x + xi \) ve \( g(x) = 2x - xi \) fonksiyonları için,
\( f(a) + g(b) = 5 + 2i \) eşitliğini sağlandığına göre, \( a + b \) toplamını bulunuz.
Çözümü Göster\( f(a) + g(b) = (a + ai) + (2b - bi) = 5 + 2i \)
\( a + 2b + (a - b)i = 5 + 2i \)
İki karmaşık sayı birbirine eşitse sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a + 2b = 5 \)
\( a - b = 2 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 3, \quad b = 1 \)
\( a + b = 3 + 1 = 4 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = \dfrac{a^2 + 9}{a - 3i} \) olduğuna göre, \( Im(z) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z = \dfrac{a^2 - 9i^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{a^2 - (3i)^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{(a - 3i)(a + 3i)}{a - 3i} \)
\( = a + 3i \)
\( Im(z) = 3 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere,
\( \dfrac{a - i}{a + i} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \) çarpımının sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin birinci çarpanının payını ve paydasını \( i \) ile çarpalım.
\( \dfrac{i(a - i)}{i(a + i)} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai - i^2}{ai + i^2} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai + 1}{ai - 1} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Birinci çarpanın paydasını düzenleyelim.
\( = -\dfrac{1 + ai}{1 - ai} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Pay ve paydadaki çarpanlar sadeleşir.
\( = -1 \) bulunur.
\( \sqrt{48 + 14i} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{48 + 14i} = a + bi \) diyelim.
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (a + bi)^2 = 48 + 14i \)
\( a^2 + 2abi + b^2i^2 = 48 + 14i \)
\( a^2 - b^2 + 2abi = 48 + 14i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a^2 - b^2 = 48, \quad 2ab = 14 \)
\( b \)'yi \( a \) cinsinden yazıp ilk denklemde yerine koyalım.
\( b = \dfrac{7}{a} \)
\( a^2 - \left( \dfrac{7}{a} \right)^2 = 48 \)
\( a^2 - \dfrac{49}{a^2} = 48 \)
Paydaları eşitleyip tüm terimleri tek tarafta toplayalım.
\( a^4 - 49 = 48a^2 \)
\( a^4 - 48a^2 - 49 = 0 \)
\( (a^2 - 49)(a^2 + 1) = 0 \)
\( (a - 7)(a + 7)(a^2 + 1) = 0 \)
\( a \)'nın reel çözümleri iki tanedir.
Durum 1:
\( a - 7 = 0 \)
\( a = 7 \)
\( b = \dfrac{7}{a} = 1 \)
\( a + bi = 7 + i \)
Durum 2:
\( a + 7 = 0 \)
\( a = -7 \)
\( b = \dfrac{7}{a} = -1 \)
\( a + bi = -7 - i = -(7 + i) \)
Buna göre verilen ifade iki farklı değer alabilir.
\( \sqrt{48 + 14i} = \pm(7 + i) \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^2 = 7 - 24i \) olduğuna göre, \( z \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \) diyelim.
\( (a + bi)^2 = 7 - 24i \)
\( a^2 + 2abi + b^2i^2 = 7 - 24i \)
\( a^2 - b^2 + 2abi = 7 - 24i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a^2 - b^2 = 7, \quad 2ab = -24 \)
\( b \)'yi \( a \) cinsinden yazıp ilk denklemde yerine koyalım.
\( b = \dfrac{-12}{a} \)
\( a^2 - \left( \dfrac{-12}{a} \right)^2 = 7 \)
\( a^2 - \dfrac{144}{a^2} = 7 \)
Paydaları eşitleyip tüm terimleri tek tarafta toplayalım.
\( a^4 - 144 = 7a^2 \)
\( a^4 - 7a^2 - 144 = 0 \)
\( (a^2 - 16)(a^2 + 9) = 0 \)
\( (a - 4)(a + 4)(a^2 + 9) = 0 \)
\( a \)'nın reel çözümleri iki tanedir.
Durum 1:
\( a - 4 = 0 \)
\( a = 4 \)
\( b = \dfrac{-12}{a} = -3 \)
\( z = a + bi = 4 - 3i \)
Durum 2:
\( a + 4 = 0 \)
\( a = -4 \)
\( b = \dfrac{-12}{a} = 3 \)
\( z = a + bi = -4 + 3i = -(4 - 3i) \)
Buna göre \( z \) iki farklı değer alabilir.
\( z = \pm(4 - 3i) \)