Karmaşık Sayılarda İşlemler
Bu bölümde karmaşık sayılar arasındaki işlemleri aşağıdaki üç örnek sayı üzerinden inceleyeceğiz.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( z_3 = a_3 + b_3i \)
Karmaşık Sayılarda Toplama
İki karmaşık sayı arasındaki toplama işleminde sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.
\( z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \)
\( z_1 = 3 - 4i \)
\( z_2 = 2 + 7i \)
\( z_1 + z_2 = (3 + 2) + (-4 + 7)i = 5 + 3i \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 0 + 0i = 0 \) sayısıdır.
\( z_e = 0 + 0i = 0 \)
\( z_1 + z_e = (a_1 + 0) + (b_1 + 0)i = z_1 \)
Karmaşık Sayıların Toplamaya Göre Tersi
Bir \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi, \( z \) ile toplandığında 0 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi \( -z \) sayısıdır.
\( -z_1 = -(a_1 + b_1i) = -a_1 - b_1i \)
\( z_1 + (-z_1) = 0 \)
\( z_1 = -2 + 5i \)
\( -z_1 = -(-2 + 5i) = 2 - 5i \)
\( z_1 + (-z_1) = (-2 + 2) + (5 + (-5))i = 0 \)
Karmaşık Sayılarda Çıkarma
İki karmaşık sayı arasındaki çıkarma işleminde sayıların reel ve sanal kısımlarının kendi aralarında farkı alınır.
\( z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \)
\( z_1 = 5 + i \)
\( z_2 = 5 - 3i \)
\( z_1 - z_2 = (5 - 5) + (1 - (-3))i = 4i \)
Karmaşık Sayılarda Çarpma
Bir karmaşık sayının bir reel sayı ile çarpımında karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı reel sayı ile çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( cz_1 = c(a_1 + b_1i) \)
\( = ca_1 + cb_1i \)
\( z = 4 - 5i \)
\( 3z = 12 - 15i \)
İki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde birinci sayının her terimi ikinci sayının her terimiyle çarpılır ve bu çarpımların toplamı alınır.
Sayıların sanal kısımlarının çarpımında oluşan \( i^2 \) ifadeleri \( -1 \) olarak sadeleşir ve sonucun reel kısmına dahil olur.
\( z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i) \cdot (a_2 + b_2i) \)
\( = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2 \)
\( = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \)
\( z_1 = 3 - 2i \)
\( z_2 = 4 + 3i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (3 - 2i) \cdot (4 + 3i) \)
\( = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3i - 4 \cdot 2i - 2i \cdot 3i \)
\( = 12 + 9i - 8i - 6i^2 \)
\( = 18 + i \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır.
\( z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \)
\( z_1 \cdot (z_2 - z_3) = z_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot z_3 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 1 + 0i = 1 \) sayısıdır.
\( z_e = 1 + 0i \)
\( z_1 \cdot z_e = (a_1 + b_1i) \cdot (1 + 0i) = z_1 \)
Aşağıdaki iki karmaşık sayının karelerinin akılda tutulması faydalı olacaktır.
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Karmaşık Sayılarda Bölme
İki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde amaç paydadaki sanal bileşenden kurtulmaktır, bunun için pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \)
\( = \dfrac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 - a_1b_2i + a_2b_1i - b_1b_2i^2}{a_2^2 - a_2b_2i + a_2b_2i - b_2^2i^2} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
\( z_1 = 5 - 10i \)
\( z_2 = 2 + i \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{5 - 10i}{2 + i} \)
\( = \dfrac{(5 - 10i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} \)
\( = \dfrac{10 - 5i - 20i - 10}{4 - 2i + 2i + 1} \)
\( = \dfrac{-25i}{5} = -5i \)
Karmaşık Sayıların Çarpmaya Göre Tersi
Bir \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi, \( z \) ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi \( z^{-1} = \frac{1}{z} \) sayısıdır.
Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini bulmak için, pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z \ne 0 \) olmak üzere,
\( z \cdot z^{-1} = 1 \)
\( z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{a + bi} \)
\( = \dfrac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} \)
\( = \dfrac{a - bi}{a^2 - b^2i^2} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2} \)
\( = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i \)
\( z = 4 - 3i \)
\( z^{-1} = \dfrac{4}{4^2 + 3^2} - \dfrac{-3}{4^2 + 3^2}i \)
\( = \dfrac{4}{25} + \dfrac{3}{25}i \)
\( z_1 = 2 + 3i \)
\( z_2 = 4 - 2i \)
Yukarıdaki iki karmaşık sayı için aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( z_1 + z_2 \)
(b) \( z_1 - z_2 \)
(c) \( 2z_1 + 4z_2 \)
(d) \( z_1z_2\)
(e) \( \dfrac{z_1}{z_2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (4 - 2i) \)
\( = (2 + 4) + (3 - 2)i \)
\( = 6 + i \)
(b) seçeneği:
\( z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (4 - 2i) \)
\( = (2 - 4) + (3 - (-2))i \)
\( = - 2 + 5i \)
(c) seçeneği:
\( 2z_1 + 4z_2 = 2(2 + 3i) + 4(4 - 2i) \)
\( = 4 + 6i + 16 - 8i \)
\( = (4 + 16) + (6 - 8)i \)
\( = 20 - 2i \)
(d) seçeneği:
\( z_1z_2 = (2 + 3i)(4 - 2i) \)
\( = 8 - 4i + 12i - 6i^2 \)
\( = 8 + 8i + 6 \)
\( = 14 + 8i \)
(e) seçeneği:
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2 + 3i}{4 - 2i} \)
Paydayı eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(2 + 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} \)
\( = \dfrac{8 + 4i + 12i + 6i^2}{16 + 8i - 8i - 4i^2} \)
\( = \dfrac{2 + 16i}{20} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{5}i \)
\( (3m - 2i)(1 + i) = (3 - i)(2 + mi) \)
olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterÇarpanlarına ayrılmış ifadeleri genişletelim.
\( 3m + 3mi - 2i - 2i^2 = 6 + 3mi - 2i - mi^2 \)
\( 3m - 2i^2 = 6 - mi^2 \)
\( 3m + 2 = 6 + m \)
\( m = 2 \) bulunur.
\( \dfrac{a + bi}{2 - 3i} = -2 + 5i \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamınının sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSol tarafın paydasını karşı tarafa atalım.
\( a + bi = (-2 + 5i)(2 - 3i) \)
\( = -4 + 6i + 10i - 15i^2 \)
\( a + bi = 11 + 16i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = 11, \quad b = 16 \)
\( a + b = 11 + 16 = 27 \) bulunur.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{-4} + (1 + i)^2 + mi - 1 = (1 - i)^2 + 3 - n \)
olduğuna göre, \( mn \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikteki terimleri sadeleştirelim.
\( \sqrt{-4} = 2\sqrt{-1} = 2i \)
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Bulduğumuz değerleri eşitlikte yerine koyalım.
\( 2i + 2i + mi - 1 = -2i + 3 - n \)
\( 6i + mi - 4 + n = 0 \)
\( (6 + m)i - 4 + n = 0 \)
Bir karmaşık sayı 0'a eşitse reel ve sanal kısımları ayrı ayrı 0'a eşittir.
\( 6 + m = 0 \Longrightarrow m = -6 \)
\( - 4 + n = 0 \Longrightarrow n = 4 \)
\( mn = -6(4) = -24 \) bulunur.
\( (a - 1) + (b + 2)i = i \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( \dfrac{a + bi}{a - bi} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü Göster\( (a - 1) + (b + 2)i = 0 + i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a - 1 = 0 \Longrightarrow a = 1 \)
\( b + 2 = 1 \Longrightarrow b = -1 \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( \dfrac{a + bi}{a - bi} = \dfrac{1 - i}{1 + i} \)
Payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \)
\( = \dfrac{1 - 2i + i^2}{1^2 - i^2} \)
\( = \dfrac{-2i}{2} = -i \) bulunur.
\( (2 + 2i)^{40} - (2 - 2i)^{40} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( (2 + 2i)^2 = 2^2 + 8i + (2i)^2 \)
\( = 4 + 8i - 4 = 8i \)
\( (2 - 2i)^2 = 2^2 - 8i + (2i)^2 \)
\( = 4 - 8i - 4 = -8i \)
Soruda verilen işlemdeki ifadeleri düzenleyelim.
\( (2 + 2i)^{40} - (2 - 2i)^{40} = [(2 + 2i)^2]^{20} - [(2 - 2i)^2]^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (-8i)^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (-1)^{20}(8i)^{20} \)
\( = (8i)^{20} - (8i)^{20} \)
\( = 0 \) bulunur.
\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( f(x) = x + xi \) ve \( g(x) = 2x - xi \) fonksiyonları için,
\( f(a) + g(b) = 5 + 2i \) eşitliğini sağlandığına göre, \( a + b \) toplamını bulunuz.
Çözümü Göster\( f(a) + g(b) = (a + ai) + (2b - bi) = 5 + 2i \)
\( a + 2b + (a - b)i = 5 + 2i \)
İki karmaşık sayı birbirine eşitse sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a + 2b = 5 \)
\( a - b = 2 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 3, \quad b = 1 \)
\( a + b = 3 + 1 = 4 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = \dfrac{a^2 + 9}{a - 3i} \) olduğuna göre, \( Im(z) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z = \dfrac{a^2 - 9i^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{a^2 - (3i)^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{(a - 3i)(a + 3i)}{a - 3i} \)
\( = a + 3i \)
\( Im(z) = 3 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere,
\( \dfrac{a - i}{a + i} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \) çarpımının sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin birinci çarpanının payını ve paydasını \( i \) ile çarpalım.
\( \dfrac{i(a - i)}{i(a + i)} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai - i^2}{ai + i^2} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai + 1}{ai - 1} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Birinci çarpanın paydasını düzenleyelim.
\( = -\dfrac{1 + ai}{1 - ai} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Pay ve paydadaki çarpanlar sadeleşir.
\( = -1 \) bulunur.
\( \sqrt{48 + 14i} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{48 + 14i} = a + bi \) diyelim.
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (a + bi)^2 = 48 + 14i \)
\( a^2 + 2abi + b^2i^2 = 48 + 14i \)
\( a^2 - b^2 + 2abi = 48 + 14i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a^2 - b^2 = 48, \quad 2ab = 14 \)
\( b \)'yi \( a \) cinsinden yazıp ilk denklemde yerine koyalım.
\( b = \dfrac{7}{a} \)
\( a^2 - \left( \dfrac{7}{a} \right)^2 = 48 \)
\( a^2 - \dfrac{49}{a^2} = 48 \)
Paydaları eşitleyip tüm terimleri tek tarafta toplayalım.
\( a^4 - 49 = 48a^2 \)
\( a^4 - 48a^2 - 49 = 0 \)
\( (a^2 - 49)(a^2 + 1) = 0 \)
\( (a - 7)(a + 7)(a^2 + 1) = 0 \)
\( a \)'nın reel çözümleri iki tanedir.
Durum 1:
\( a - 7 = 0 \)
\( a = 7 \)
\( b = \dfrac{7}{a} = 1 \)
\( a + bi = 7 + i \)
Durum 2:
\( a + 7 = 0 \)
\( a = -7 \)
\( b = \dfrac{7}{a} = -1 \)
\( a + bi = -7 - i = -(7 + i) \)
Buna göre verilen ifade iki farklı değer alabilir.
\( \sqrt{48 + 14i} = \pm(7 + i) \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^2 = 7 - 24i \) olduğuna göre, \( z \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = a + bi \) diyelim.
\( (a + bi)^2 = 7 - 24i \)
\( a^2 + 2abi + b^2i^2 = 7 - 24i \)
\( a^2 - b^2 + 2abi = 7 - 24i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a^2 - b^2 = 7, \quad 2ab = -24 \)
\( b \)'yi \( a \) cinsinden yazıp ilk denklemde yerine koyalım.
\( b = \dfrac{-12}{a} \)
\( a^2 - \left( \dfrac{-12}{a} \right)^2 = 7 \)
\( a^2 - \dfrac{144}{a^2} = 7 \)
Paydaları eşitleyip tüm terimleri tek tarafta toplayalım.
\( a^4 - 144 = 7a^2 \)
\( a^4 - 7a^2 - 144 = 0 \)
\( (a^2 - 16)(a^2 + 9) = 0 \)
\( (a - 4)(a + 4)(a^2 + 9) = 0 \)
\( a \)'nın reel çözümleri iki tanedir.
Durum 1:
\( a - 4 = 0 \)
\( a = 4 \)
\( b = \dfrac{-12}{a} = -3 \)
\( z = a + bi = 4 - 3i \)
Durum 2:
\( a + 4 = 0 \)
\( a = -4 \)
\( b = \dfrac{-12}{a} = 3 \)
\( z = a + bi = -4 + 3i = -(4 - 3i) \)
Buna göre \( z \) iki farklı değer alabilir.
\( z = \pm(4 - 3i) \)