Karmaşık Sayıların Geometrik Yeri
Bir eşitlik ya da eşitsizlik sistemini sağlayan karmaşık sayıların karmaşık düzlemde karşılık geldikleri noktaların kümesine, bu sistemin geometrik yeri denir.
Geometrik yer problemlerini içerdikleri ifadelerin tipine göre (modül, reel/sanal bileşen ve argüment olmak üzere) üç başlık altında inceleyeceğiz.
Modül Bazlı Geometrik Yer
Karmaşık düzlemdeki iki nokta arasındaki uzaklık, sayıların farkının modülüne eşittir.
\( r \gt 0 \) olmak üzere, \( \abs{z - z_0} = r \) formundaki bir eşitliğin geometrik yeri, merkezi \( z_0 \) noktası ve yarıçapı \( r \) birim olan bir çemberdir.
\( \abs{z + 3 - 4i} = 2 \) eşitliğinin geometrik yerini bulalım.
Modül ifadesini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( \abs{z - (-3 + 4i)} = 2 \)
Soruyu önce geometrik yöntemle çözelim.
Bu eşitlik karmaşık düzlemde \( (-3, 4) \) noktasına 2 birim uzaklıktaki noktaların kümesidir.
Bu noktalar merkezi \( (-3, 4) \) noktası ve yarıçapı 2 birim olan bir çember oluşturur.
Soruyu şimdi de cebirsel yöntemle çözelim.
Bu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim ve iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 4)^2} = 2 \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 4 \)
Bu denklem merkezi \( (-3, 4) \) noktası ve yarıçapı 2 birim olan çemberin denklemidir.
\( \abs{z - z_0} \lt r \) ya da \( \abs{z - z_0} \gt r \) formundaki bir eşitsizliği sağlayan \( z \) noktaları, merkezi \( z_0 \) noktası ve yarıçapı \( r \) birim olan bir çemberin sırasıyla iç ve dış bölgelerini oluşturur. Eşitsizlik sembolünün \( \le \) ya da \( \ge \) olması durumunda bu geometrik yer çemberin üzerindeki noktaları da kapsar.
\( \abs{z - 5} \lt 3 \) eşitlizliğinin geometrik yerini bulalım.
Modül ifadesini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( \abs{z - (5 + 0i)} \lt 3 \)
Bu eşitsizlik karmaşık düzlemde \( (5, 0) \) noktasına 3 birimden daha az uzaklıktaki noktalar kümesidir.
Bu noktalar merkezi \( (5, 0) \) noktası ve yarıçapı 3 birim olan çemberin iç bölgesini oluşturur.
Analitik geometri konusunda gördüğümüz üzere, iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesi olan (iki noktanın orta noktasından geçen ve noktaları birleştiren doğru parçasına dik olan) doğrudur. Buna göre, \( \abs{z - z_1} = \abs{z - z_2} \) formundaki eşitliklerin geometrik yeri de \( z_1 \) ve \( z_2 \) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta dikmesi olan doğrudur.
\( \abs{z - 4} = \abs{z - 1 - 3i} \) eşitliğinin geometrik yerini bulalım.
Sağdaki modül ifadesini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( \abs{z - 4} = \abs{z - (1 + 3i)} \)
Buna göre verilen eşitliğin geometrik yeri, \( z_1 = 4 + 0i \) ve \( z_2 = 1 + 3i \) noktalarına eşit uzaklıktaki karmaşık sayıların kümesidir.
Soruyu önce geometrik yöntemle çözelim.
\( z_1 \) ve \( z_2 \) noktalarının orta noktasına \( z_0 \) diyelim.
\( z_0 = \left( \dfrac{4 + 1}{2}, \dfrac{0 + 3}{2} \right) = \left( \dfrac{5}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \)
\( z_1 \) ve \( z_2 \) noktalarını birleştiren doğru parçasının eğimine \( m_1 \), bu doğruya dik olan doğrunun eğimine \( m_2 \) diyelim.
\( m_1 = \dfrac{3 - 0}{1 - 4} = -1 \)
Birbirine dik iki doğrunun eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olur.
\( m_1m_2 = -1 \Longrightarrow m_2 = 1 \)
\( (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) \) noktasından geçen ve eğimi 1 olan doğrunun denklemini bulalım.
\( y - \dfrac{3}{2} = 1\left( x - \dfrac{5}{2} \right) \)
\( y = x - 1 \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan noktaların kümesi, \( y = x - 1 \) doğrusudur.
Soruyu şimdi de cebirsel yöntemle çözelim.
Bu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim ve iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 3)^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (x - 4)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 \)
\( x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 \)
\( y = x - 1 \)
\( \abs{z - z_1} = k\abs{z - z_2} \) eşitliği, \( z_1 \) noktasına olan uzaklığı \( z_2 \) noktasına olan uzaklığının \( k \) katı olan noktaların kümesidir ve bu noktalar \( k \gt 1 \) olduğu durumda bir çember oluşturur.
\( \abs{z + 1} = 2\abs{z - 2} \) eşitliğinin geometrik yerini bulalım.
Modül ifadelerini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( \abs{z - (-1 + 0i)} = 2\abs{z - (2 + 0i)} \)
Buna göre verilen eşitliğin geometrik yeri, \( z_1 = -1 + 0i \) noktasına olan uzaklığı \( z_2 = 2 + 0i \) noktasına olan uzaklığının iki katı olan karmaşık sayıların kümesidir.
Bu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim ve iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = 2\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (x + 1)^2 + y^2 = 4((x - 2)^2 + y^2) \)
\( x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 \)
\( 3x^2 + 3y^2 - 18x + 15 = 0 \)
\( x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 \)
\( x^2 - 6x \) ifadesini tam kareye tamamlayalım.
\( (x^2 - 6x + 9) + y^2 = 4 \)
\( (x - 3)^2 + y^2 = 4 \)
Bu denklem merkezi \( (3, 0) \) noktası ve yarıçapı 2 birim olan çemberin denklemidir.
\( \abs{z - z_1} + \abs{z - z_2} = 2a \) formundaki eşitliklerin geometrik yeri bir elipstir.
\( \abs{z + 2} + \abs{z - 2} = 6 \) eşitliğinin geometrik yerini bulalım.
Modül ifadelerini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( \abs{z - (-2 + 0i)} + \abs{z - (2 + 0i)} = 6 \)
Buna göre verilen eşitliğin geometrik yeri, \( z_1 = -2 + 0i \) ve \( z_2 = 2 + 0i \) noktalarına olan uzaklıklarının toplamı 6 birim olan karmaşık sayıların kümesidir.
Bu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim ve iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \sqrt{(x - (-2))^2 + (y - 0)^2} + \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} = 6 \)
Soldaki köklü ifadeyi yalnız bırakalım.
\( \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 6 - \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (x + 2)^2 + y^2 = 36 - 12\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} + (x - 2)^2 + y^2 \)
\( x^2 + 4x + 4 + y^2 = 36 - 12\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} + x^2 - 4x + 4 + y^2 \)
Terimleri sadeleştirip köklü ifadeyi yalnız bırakalım.
\( 3\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = 9 - 2x \)
Eşitliğin taraflarının tekrar karesini alalım.
\( 9((x - 2)^2 + y^2) = (9 - 2x)^2 \)
\( 9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 = 81 - 36x + 4x^2 \)
\( 5x^2 + 9y^2 = 45 \)
Eşitliğin taraflarını 45'e bölelim.
\( \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1 \)
Bu denklem odak noktaları \( (-2, 0) \) ve \( (2, 0) \) ve köşe noktaları \( (\pm 3, 0) \) ve \( (0, \pm \sqrt{5}) \) olan elipsin denklemidir.
Reel/Sanal Bileşen Bazlı Geometrik Yer
Bu tipteki eşitlik ve eşitsizlikler bir karmaşık sayının reel ve sanal bileşenlerini veren \( Re(z) \) ve/veya \( Im(z) \) ifadelerini içerir.
\( Re(z - 2) \ge 0 \) eşitsizliğinin geometrik yerini bulalım.
İki karmaşık sayının farkının reel bileşeni, reel bileşenlerinin farkına eşittir.
\( Re(z) - Re(2) \ge 0 \)
\( Re(z) - 2 \ge 0 \)
\( Re(z) \ge 2 \)
Bu eşitsizlik, karmaşık düzlemde reel bileşeni 2 ve daha büyük olan noktalar kümesidir.
Bu noktalar \( x = 2 \) doğrusu ve sağındaki bölgeyi oluşturur.
Argüment Bazlı Geometrik Yer
\( \text{Arg}(z - z_0) = \theta \) formundaki eşitlikler, \( z_0 \) noktasından başlayan ve pozitif \( x \) ekseni ile \( \theta \) radyanlık açı yapan ışına karşılık gelir ve \( z_0 \) noktasını içermez.
\( \text{Arg}(z + 2 - 5i) = -\dfrac{\pi}{4} \) eşitliğinin geometrik yerini bulalım.
Argüment ifadesini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( \text{Arg}(z - (-2 + 5i)) = -\dfrac{\pi}{4} \)
Bu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim.
Bu eşitlik karmaşık düzlemde \( (-2, 5) \) noktası ile negatif yönde \( \frac{\pi}{4} \) radyanlık açı yapan ışının üzerindeki noktalar kümesidir.
\( \alpha \le \text{Arg}(z - z_0) \le \beta \) formundaki eşitsizlikler, \( z_0 \) noktasından başlayan ve pozitif \( x \) ekseni ile yaptığı açı \( [\alpha, \beta] \) aralığında olan ışınların oluşturduğu bölgeye karşılık gelir.
\( \dfrac{\pi}{6} \le \text{Arg}(z - 2 + i) \lt \dfrac{\pi}{3} \) eşitliğinin geometrik yerini bulalım.
Argüment ifadesini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{\pi}{6} \le \text{Arg}(z - (2 - i)) \lt \dfrac{\pi}{3} \)
Bu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim.
Bu eşitlik karmaşık düzlemde \( (2, 1) \) noktasından başlayan ve pozitif \( x \) ekseni ile yaptığı açı \( \frac{\pi}{6} \) ve \( \frac{\pi}{3} \) aralığında olan ışınların oluşturduğu bölgeye karşılık gelir.
\( \abs{z + \overline{z}} \le 6 \) eşitsizliğinin geometrik yerini bulunuz.
Çözümü Göster\( z \) ve \( \overline{z} \) sayılarının sanal bileşenleri birbirini götürür.
\( \abs{z + \overline{z}} = \abs{2Re(z)} \le 6 \)
\( 2\abs{Re(z)} \le 6 \)
\( \abs{Re(z)} \le 3 \)
\( -3 \le Re(z) \le 3 \)
Bu eşitsizlik karmaşık düzlemde reel bileşeni \( -3 \) ve \( 3 \) arasında kalan noktalar kümesidir.
Bu noktalar \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) doğrularının arasında kalan bölgeyi ve sınırlarını oluşturur.
\( \overline{z} = 3z^{-1} \) eşitliğinin geometrik yerini bulunuz.
Çözümü GösterDenklemi düzenleyelim.
\( \overline{z} = \dfrac{3}{z} \)
\( z\overline{z} = 3 \)
Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımı modülünün karesine eşittir.
\( \abs{z}^2 = 3 \)
Eşitliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( \abs{z} = \sqrt{3} \)
Bu eşitlik karmaşık düzlemde \( (0, 0) \) noktasına \( \sqrt{3} \) uzaklıktaki noktaların kümesidir.
Bu noktalar merkezi \( (0, 0) \) noktası ve yarıçapı 2 birim olan bir çember oluşturur.
\( \abs{z} = Im(z) \) eşitliğinin geometrik yerini bulunuz.
Çözümü GösterBu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim ve iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \sqrt{x^2 + y^2} = y \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( x^2 + y^2 = y^2 \)
\( x^2 = 0 \)
\( x = 0 \)
Bu denklem karmaşık düzlemde orijin noktası ve pozitif sanal eksen üzerindeki tüm noktaları oluşturur. Eşitliğin sol tarafı pozitif olduğu için negatif sanal eksen üzerindeki noktalar çözüme dahil değildir.
\( Im(\overline{z} + 3i) \ge 0 \) eşitsizliğinin geometrik yerini bulunuz.
Çözümü GösterBu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim.
\( Im(\overline{x + yi} + 3i) \ge 0 \)
\( Im(x - yi + 3i) \ge 0 \)
\( Im(x + i(3 - y)) \ge 0 \)
\( 3 - y \ge 0 \)
\( y \le 3 \)
Bu eşitsizlik, karmaşık düzlemde sanal bileşeni 3 ve daha küçük olan noktalar kümesidir.
Bu noktalar \( y = 3 \) doğrusunun üzerini ve altında kalan bölgeyi oluşturur.
\( 1 \le \abs{z + 1 + 2i} \lt 3 \) eşitsizliğinin geometrik yerini bulunuz.
Çözümü GösterModül ifadesini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( 1 \le \abs{z - (-1 - 2i)} \lt 3 \)
Bu eşitsizlik karmaşık düzlemde \( (-1, -2) \) noktasına 1 birim ve daha fazla ve 3 birimden daha az uzaklıktaki noktalar kümesidir.
Bu noktalar merkezi \( (-1, -2) \) noktası ve yarıçapı 1 ve 3 birim olan çemberlerin arasında kalan bölgeyi ve içteki çemberin üzerini oluşturur.
\( Im(z) \gt 2Re(z) \) eşitsizliğinin geometrik yerini bulunuz.
Çözümü GösterBu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim.
\( y \gt 2x \)
Bu eşitsizlik, karmaşık düzlemde sanal bileşeni reel bileşeninin iki katından daha büyük olan noktalar kümesidir.
Bu noktalar \( y = 2x \) doğrusunun üstünde kalan bölgeyi oluşturur.
\( \abs{z - i} \ge Im(z) \) eşitsizliğinin geometrik yerini bulunuz.
Çözümü GösterBu eşitliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim ve iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \ge y \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( x^2 + (y - 1)^2 \ge y^2 \)
\( x^2 + y^2 - 2y + 1 \ge y^2 \)
\( x^2 - 2y + 1 \ge 0 \)
\( y \le \dfrac{x^2 + 1}{2} \)
Bu eşitsizlik \( y = \frac{x^2 + 1}{2} \) parabolünün altında kalan bölgeyi ve sınırlarını oluşturur.
\( \abs{z - 4i} + \abs{z + 4i} \le 10 \) eşitsizliğinin geometrik yerini bulunuz.
Çözümü GösterModül ifadelerini iki karmaşık sayının farkı şeklinde yazalım.
\( \abs{z - (0 + 4i)} + \abs{z - (0 - 4i)} \le 10 \)
Buna göre verilen eşitsizliğin geometrik yeri, \( z_1 = 0 + 4i \) ve \( z_2 = 0 - 4i \) noktalarına olan uzaklıklarının toplamı 10 birim ve daha az olan karmaşık sayıların kümesidir.
Bu eşitsizliği sağlayan sayıları \( z = x + yi \) şeklinde ifade edelim ve iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 4)^2} + \sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-4))^2} \le 10 \)
Soldaki köklü ifadeyi yalnız bırakalım.
\( \sqrt{x^2 + (y - 4)^2} \le 10 - \sqrt{x^2 + (y + 4)^2} \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( x^2 + (y - 4)^2 \le 100 - 20\sqrt{x^2 + (y + 4)^2} + x^2 + (y + 4)^2 \)
\( x^2 + y^2 - 8y + 16 \le 100 - 20\sqrt{x^2 + (y + 4)^2} + x^2 + y^2 + 8y + 16 \)
Terimleri sadeleştirip köklü ifadeyi yalnız bırakalım.
\( 5\sqrt{x^2 + (y + 4)^2} \le 4y + 25 \)
Eşitsizliğin taraflarının tekrar karesini alalım.
\( 25(x^2 + (y + 4)^2) \le (4y + 25)^2 \)
\( 25x^2 + 25y^2 + 200y + 400 \le 16y^2 + 200y + 625 \)
\( 25x^2 + 9y^2 \le 225 \)
Eşitsizliğin taraflarını 225'e bölelim.
\( \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} \le 1 \)
Bu eşitsizlik odak noktaları \( (0, -4) \) ve \( (0, 4) \) ve köşe noktaları \( (\pm 3, 0) \) ve \( (0, \pm 5) \) olan elipsin iç bölgesini ve sınırlarını oluşturur.
