Sonsuz Limit
Bu bölüme bir örnekle başlayalım.
\( f(x) = \dfrac{1}{x - 1} \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki tek taraflı limitlerini bir değer tablosu ile bulmaya çalışalım.
\( x = 1 \) noktasına soldan ve sağdan yaklaşan farklı değerler için bir değer tablosu oluşturalım.
Buna göre, \( x \) daha küçük değerlerden 1 değerine yaklaştıkça (tablonun üst kısmı), payda sıfıra negatif taraftan yaklaşan değerler almakta, dolayısıyla fonksiyon gitgide küçülen negatif değerler almaktadır.
Benzer şekilde, \( x \) daha büyük değerlerden 1 değerine yaklaştıkça (tablonun alt kısmı), payda sıfıra pozitif taraftan yaklaşan değerler almakta, dolayısıyla fonksiyon gitgide büyüyen pozitif değerler almaktadır.
Her iki durumda da, \( x \) 1'e sınırsız şekilde yaklaştıkça bu pozitif/negatif yöndeki büyümenin/küçülmenin de sınırsız olacağı görülebilir.
Buna göre, fonksiyonun \( x = 1 \) noktasına soldan yaklaşırkenki limitinin negatif sonsuz, sağdan yaklaşırkenki limitinin pozitif sonsuz olacağı tahmin edebiliriz.
Fonksiyonun bu noktadaki davranışı aşağıda grafik üzerinde gösterilmiştir.
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni bir \( a \) noktasına soldan ya da sağdan yaklaşırken \( f(x) \) değeri pozitif (ya da negatif) yönde sınırsız büyüyorsa \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki tek taraflı limiti pozitif (ya da negatif) sonsuz olur. Bu şekilde tanımlı limite sonsuz limit denir.
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = \pm\infty \)
veya
\( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = \pm\infty \)
ise \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki tek taraflı limiti pozitif/negatif sonsuzdur.
Aşağıda grafiği verilen \( f \) fonksiyonunun \( x = -3 \) noktasındaki soldan limiti pozitif sonsuz, sağdan limiti negatif sonsuz iken \( x = 4 \) noktasındaki soldan limiti negatif sonsuz, sağdan limiti pozitif sonsuzdur.
Tek yönlü sonsuz limitler en sık \( \frac{f(x)}{g(x)} \) formundaki ifadelerde, payın limiti sıfırdan farklı bir reel sayı, paydanın limiti ise \( 0 \) olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda oluşabilecek dört farklı işaret durumu aşağıda gösterilmiştir.
| \( f(x) \) | \( g(x) \) | \( \frac{f(x)}{g(x)} \) |
|---|---|---|
| \( f(x) \to c \gt 0 \) | \( g(x) \to 0^+ \) | \( \frac{f(x)}{g(x)} \to \infty \) |
| \( f(x) \to c \gt 0 \) | \( g(x) \to 0^- \) | \( \frac{f(x)}{g(x)} \to -\infty \) |
| \( f(x) \to c \lt 0 \) | \( g(x) \to 0^+ \) | \( \frac{f(x)}{g(x)} \to -\infty \) |
| \( f(x) \to c \lt 0 \) | \( g(x) \to 0^- \) | \( \frac{f(x)}{g(x)} \to \infty \) |
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitlerinin ikisi de pozitif (ya da negatif) sonsuz ise bu noktadaki iki taraflı limiti pozitif (ya da negatif) sonsuz olur.
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = \infty \) ve \( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = \infty \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = -\infty \) ve \( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = -\infty \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = -\infty \)
Aşağıda grafiği verilen \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitleri pozitif sonsuz olduğu için bu noktadaki iki taraflı limiti de pozitif sonsuzdur.
Yukarıdaki iki örnekte görülebileceği üzere, bir fonksiyonun belirli bir noktasındaki tek taraflı limitler aynı ya da farklı yönlerde sonsuz olabilir.
NOT: Yaptığımız limit tanıma göre, bir noktada limitin var olması için limit değeri bir reel sayıya eşit olmalıdır. Bir noktadaki limit için "pozitif ya da negatif sonsuz" ifadesi kullanmamız o noktada limitin var olduğu anlamına gelmez, sadece limitin bulunmamasına ek olarak fonksiyonun bu noktadaki davranışı ile ilgili ek bir bilgi verir ve bu noktada limitin olmadığı kabul edilmelidir.
Sonsuz limit en çok paydasının limiti sıfır olan rasyonel ifadelerde karşımıza çıkmaktadır. Bu tip ifadelerde sonsuz limiti belirlemek dışında yönünü de bulmak önem taşır. Bunun için ifadenin tüm çarpanlarının limit noktasındaki işaretleri belirlenmelidir.
\( f(x) = \dfrac{x - 3}{x^2 + x - 2} \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki tek taraflı limitlerini bulalım.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{x - 3}{(x + 2)(x - 1)} \)
Verilen noktadaki soldan limiti bulalım.
\( x \to 1^- \) iken \( x - 3 \to -2 \), \( x + 2 \to 3 \) ve \( x - 1 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(+)(0^-)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 1^-} {\dfrac{x - 3}{(x + 2)(x - 1)}} = \infty \)
Verilen noktadaki sağdan limiti bulalım.
\( x \to 1^+ \) iken \( x - 3 \to -2 \), \( x + 2 \to 3 \) ve \( x - 1 \to 0^+ \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(+)(0^+)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 3}{(x + 2)(x - 1)}} = -\infty \)
Düşey Asimptot
Rasyonel fonksiyonlar bölümünde düşey asimptotlara bir giriş yapmıştık ve matematiksel tanımını limit konusunda yapacağımızı belirtmiştik. Bir fonksiyonun \( x = a \) noktasındaki soldan veya sağdan limiti pozitif ya da negatif sonsuz ise bu noktada bir düşey asimptot oluşur. Bu düşey asimptot, denklemi \( x = a \) olan doğrudur.
\( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında aşağıdaki dört durumdan en az biri oluşuyorsa bu noktada bir düşey asimptot oluşur.
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = -\infty \)
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) doğruları fonksiyonun düşey asimptotlarıdır.
Düşey asimptotlar fonksiyon grafiğinin bir parçası olmayıp fonksiyonun asimptotun oluştuğu nokta civarındaki davranışının daha iyi anlaşılmasını sağlamak için çizilir.
Bir fonksiyonun herhangi bir sayıda düşey asimptotu olabilir ya da hiç olmayabilir.
Bir fonksiyon düşey asimptotun oluştuğu noktada tanımsızdır, dolayısıyla grafiği düşey asimptota yaklaşır, ama hiçbir zaman kesmez.
Aşağıdaki fonksiyonlarda belirtilen noktalarda düşey asimptot(lar) oluşur.
Rasyonel Fonksiyonlar
Rasyonel fonksiyonlar bölümünde detaylı incelediğimiz üzere, en sade halindeki bir rasyonel fonksiyonda paydayı sıfır yapan noktalarda birer düşey asimptot oluşur.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - x - 6} \) fonksiyonunun düşey asimptotlarını ve bu asimptotlar civarındaki davranışını bulalım.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} \)
Rasyonel fonksiyon en sade halindedir.
Paydayı sıfır yapan değerler \( x \in \{ -2, 3 \} \) olur, dolayısıyla fonksiyonun \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) doğruları olmak üzere iki düşey asimptotu vardır.
\( x = 3 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.
\( x \to 3^- \) iken \( x + 1 \to 4 \), \( x + 2 \to 5 \) ve \( x - 3 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(+)(0^-)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)}} = -\infty \)
\( x = 3 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.
\( x \to 3^+ \) iken \( x + 1 \to 4 \), \( x + 2 \to 5 \) ve \( x - 3 \to 0^+ \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(+)(0^+)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} {\dfrac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)}} = \infty \)
\( x = -2 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.
\( x \to -2^- \) iken \( x + 1 \to -1 \), \( x + 2 \to 0^- \) ve \( x - 3 \to -5 \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^-)(-)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)}} = -\infty \)
\( x = -2 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.
\( x \to -2^+ \) iken \( x + 1 \to -1 \), \( x + 2 \to 0^+ \) ve \( x - 3 \to -5 \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^+)(-)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to -2^+} {\dfrac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)}} = \infty \)
Fonksiyonun düşey asimptotları ve bu noktalar civarındaki davranışı aşağıda grafik üzerinde gösterilmiştir.
Trigonometrik Fonksiyonlar
Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarını tanımsız yapan noktalarda tek taraflı limitler sonsuz olduğu için bu noktalarda birer düşey asimptot oluşur.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Tanjant fonksiyonu: \( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^-} {\tan{x}} = \infty \) \( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} {\tan{x}} = -\infty \) Düşey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Kotanjant fonksiyonu: \( \lim\limits_{x \to \pi^-} {\cot{x}} = -\infty \) \( \lim\limits_{x \to \pi^+} {\cot{x}} = \infty \) Düşey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Sekant fonksiyonu: \( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^-} {\sec{x}} = \infty \) \( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} {\sec{x}} = -\infty \) Düşey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Kosekant fonksiyonu: \( \lim\limits_{x \to \pi^-} {\csc{x}} = \infty \) \( \lim\limits_{x \to \pi^+} {\csc{x}} = -\infty \) Düşey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) |
Logaritma Fonksiyonu
Logaritma fonksiyonlarında logaritma içini sıfır yapan noktalarda fonksiyonun tanımlı olduğu taraftaki tek taraflı limit sonsuz olduğu için bu noktalarda birer düşey asimptot oluşur.
\( f(x) = \log(2x - 5) \) fonksiyonunun düşey asimptotlarını ve bu asimptotlar civarındaki davranışını bulalım.
Logaritma içini sıfır yapan değer \( x = \frac{5}{2} \) olur.
Bu noktadaki sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \frac{5}{2}^+} {f(x)} = -\infty \)
Bu noktadaki tek taraflı limitlerden en az biri sonsuz olduğu için bu noktada bir düşey asimptot oluşur.
Fonksiyonun düşey asimptotu ve bu nokta civarındaki davranışı aşağıda grafik üzerinde gösterilmiştir.
Aşağıdaki tek taraflı limitleri bulunuz.
(a) \( \lim\limits_{x \to -7^-} {\dfrac{2x}{x + 7}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 6^-} {\dfrac{1 - 3x}{x - 6}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to 8^+} {\dfrac{6}{8 - x}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -7^-} {\dfrac{2x}{x + 7}} \)
\( x \to -7^- \) iken \( x + 7 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^-)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to -7^-} {\dfrac{2x}{x + 7}} = \infty \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 6^-} {\dfrac{1 - 3x}{x - 6}} \)
\( x \to 6^- \) iken \( 1 - 3x \to -17 \) ve \( x - 6 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^-)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 6^-} {\dfrac{1 - 3x}{x - 6}} = \infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8^+} {\dfrac{6}{8 - x}} \)
\( x \to 8^+ \) iken \( 8 - x \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(0^-)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 8^+} {\dfrac{6}{8 - x}} = -\infty \)
Aşağıdaki tek taraflı limitleri bulunuz.
(a) \( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 2}{x^2 - 1}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{4}{9 - x^2}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{5x + 1}{x^2 - 4}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 2}{x^2 - 1}} \)
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 2}{(x - 1)(x + 1)}} \)
\( x \to 1^+ \) iken \( x - 2 \to -1 \), \( x - 1 \to 0^+ \) ve \( x + 1 \to 2 \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^+)(+)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 2}{x^2 - 1}} = -\infty \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{4}{9 - x^2}} \)
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{4}{(3 - x)(3 + x)}} \)
\( x \to 3^- \) iken \( 3 - x \to 0^+ \) ve \( 3 + x \to 6 \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(0^+)(+)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{4}{9 - x^2}} = \infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{5x + 1}{x^2 - 4}} \)
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{5x + 1}{(x - 2)(x + 2)}} \)
\( x \to -2^-\) iken \( 5x + 1 \to -9 \), \( x - 2 \to -4 \) ve \( x + 2 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(-)(0^-)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{5x + 1}{x^2 - 4}} = -\infty \)
\( f(x) = \dfrac{4 - x}{(x - 5)^2} \) fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasındaki tek taraflı limitlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen noktadaki soldan limiti bulalım.
\( x \to 5^- \) iken \( 4 - x \to -1 \) ve \( x - 5 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^-)(0^-)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 5^-} {\dfrac{4 - x}{(x - 5)^2}} = -\infty \)
Verilen noktadaki sağdan limiti bulalım.
\( x \to 5^+ \) iken \( 4 - x \to -1 \) ve \( x - 5 \to 0^+ \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^+)(0^+)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 5^+} {\dfrac{4 - x}{(x - 5)^2}} = -\infty \)
\( f(x) = \dfrac{3x - 2}{e^x - 1} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki tek taraflı limitlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen noktadaki soldan limiti bulalım.
\( x \to 0^- \) iken \( 3x - 2 \to -2 \), \( e^x \to 1^- \) ve \( e^x - 1 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^-)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^-} {\dfrac{3x - 2}{e^x - 1}} = \infty \)
Verilen noktadaki sağdan limiti bulalım.
\( x \to 0^+ \) iken \( 3x - 2 \to -2 \), \( e^x \to 1^+ \) ve \( e^x - 1 \to 0^+ \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(0^+)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{3x - 2}{e^x - 1}} = -\infty \)
\( f(x) = \dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1} \) fonksiyonunun \( x = e \) noktasındaki tek taraflı limitlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen noktadaki soldan limiti bulalım.
\( x \to e^- \) iken \( x^2 \to e^2 \), \( \ln{x} \to 1^- \) ve \( \ln{x} - 1 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(0^-)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to e^-} {\dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1}} = -\infty \)
Verilen noktadaki sağdan limiti bulalım.
\( x \to e^+ \) iken \( x^2 \to e^2 \), \( \ln{x} \to 1^+ \) ve \( \ln{x} - 1 \to 0^+ \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(0^+)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to e^+} {\dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1}} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to -2^+} {\dfrac{x}{\sqrt{4 - x^2}}} \) tek taraflı limitini bulunuz.
Çözümü GösterPaydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \lim\limits_{x \to -2^+} {\dfrac{x}{\sqrt{4 - x^2}}} = \lim\limits_{x \to -2^+} {\dfrac{x}{\sqrt{(2 - x)(2 + x)}}} \)
\( x \to -2^+ \) iken \( 2 - x \to 4 \) ve \( 2 + x \to 0^+ \) olur.
\( \dfrac{(-)}{(+)(0^+)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -2^+} {\dfrac{x}{\sqrt{4 - x^2}}} = -\infty \)