0 . Sonsuz Belirsizliği
\( 0 \cdot \infty \) belirsizliği limiti 0 olan bir ifade ile limiti pozitif ya da negatif sonsuz olan bir ifadenin çarpımının limiti alındığında oluşur.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = 0 \) ve \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = \pm\infty \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için ifadenin önce \( \frac{f(x)}{g(x)} \) şeklinde rasyonel bir ifadeye dönüştürülmesi gerekir. Bu dönüşüm sonucunda \( \frac{0}{0} \) ya da \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliklerinden biri elde ediliyorsa ilgili belirsizliği giderme yöntemleri kullanılır. Bu aşamada gerekli koşulların sağlanması durumunda L'Hospital kuralı da kullanılabilir.
\( 0 \cdot \infty \) belirsizliğini \( \frac{0}{0} \) belirsizliğine dönüştürmek için \( \infty \) olan ifadenin, \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliğine dönüştürmek için de \( 0 \) olan ifadenin çarpmaya göre tersi paydaya alınır.
\( 0 \cdot \infty \Longrightarrow \dfrac{0}{\frac{1}{\infty}} \Longrightarrow \dfrac{0}{0} \)
\( 0 \cdot \infty \Longrightarrow \dfrac{\infty}{\frac{1}{0}} \Longrightarrow \dfrac{\infty}{\infty} \)
Bu tip belirsizliğin nasıl giderilebileceğini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (x^2e^{-2x}) \) limit değerini bulalım.
Çarpımı alınan iki ifadenin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {x^2} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {e^{-2x}} = 0 \)
Buna göre ifadede \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
İkinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (x^2e^{-2x}) = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{e^{2x}} \)
Elde edilen ifadede \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Üstel fonksiyonların büyüme hızı kuvvet fonksiyonlarının büyüme hızından büyük olduğu için bu ifadenin sonsuzdaki limiti sıfır olur.
\( = 0 \)
Şimdi de L'Hospital kuralını kullanmayı gerektiren bir örnek yapalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (x\ln{x}) \) limit değerini bulalım.
Çarpımı alınan iki ifadenin \( x = \) \) noktasındaki sağdan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} x = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln{x} = -\infty \)
Buna göre ifadede \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (x\ln{x}) = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln{x}}{\frac{1}{x}} \)
Elde edilen ifadede \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln{x})'}{(\frac{1}{x})'} = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} (-x) = 0 \)
L'Hospital kuralı ile elde ettiğimiz ifadenin limiti var olduğu için orijinal ifadenin limiti de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (x\ln{x}) = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (x^{10}\ln{x}) \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin \( x = 0 \) noktasındaki sağdan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {x^{10}} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{x}} = -\infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (x^{10}\ln{x}) = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\ln{x}}{\frac{1}{x^{10}}}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{(\ln{x})'}{(\frac{1}{x^{10}})'}} = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\frac{1}{x}}{-10x^{-11}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{x^{10}}{-10}} \)
Polinom fonksiyonlarının bir noktadaki limiti o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = \dfrac{0^{10}}{-10} = 0 \)
L'Hospital kuralı ile elde ettiğimiz ifadenin limiti tanımlı olduğu için orijinal ifadenin limiti de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (x^{10}\ln{x}) = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to \pi^-} ((x - \pi)\csc{x}) \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin \( x = \pi \) noktasındaki soldan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \pi^-} (x - \pi) = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to \pi^-} {\csc{x}} = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Kosekant fonksiyonunu sinüs cinsinden yazarak ifadeyi \( \frac{0}{0} \) belirsizliğine dönüştürelim.
\( \lim\limits_{x \to \pi^-} ((x - \pi)\csc{x}) = \lim\limits_{x \to \pi^-} {\dfrac{x - \pi}{\sin{x}}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to \pi^-} {\dfrac{(x - \pi)'}{(\sin{x})'}} = \lim\limits_{x \to \pi^-} {\dfrac{1}{\cos{x}}} \)
Kosinüs ifadesi tüm reel sayılarda tanımlı ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile ifadenin limitini hesaplayabiliriz.
\( = \dfrac{1}{\cos{\pi}} \)
\( = \dfrac{1}{-1} = -1 \)
L'Hospital kuralı ile elde ettiğimiz ifadenin limiti tanımlı olduğu için orijinal ifadenin limiti de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to \pi^-} ((x - \pi)\csc{x}) = -1 \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (e^{3x}\ln(1 + 2e^{-3x}) \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} e^{3x} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln(1 + 2e^{-3x}) \)
\( x \to \infty \) iken \( e^{-3x} \to 0 \) olur.
\( = \ln(1 + 0) = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (e^{3x}\ln{(1 + 2e^{-3x})}) = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln(1 + 2e^{-3x})}{e^{-3x}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left( \ln(1 + 2e^{-3x}) \right)'}{(e^{-3x})'} = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{-6e^{-3x}}{1 + 2e^{-3x}}}{-3e^{-3x}} \)
Pay ve paydadaki \( -e^{-3x} \) terimleri sadeleşir.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2}{1 + 2e^{-3x}} \)
\( x \to \infty \) iken \( e^{-3x} = \frac{1}{e^{3x}} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{2}{1 + 2(0)} = 2 \)
L'Hospital kuralı ile elde ettiğimiz ifadenin limiti tanımlı olduğu için orijinal ifadenin limiti de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (e^{3x}\ln(1 + 2e^{-3x})) = 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \left( \dfrac{1}{x}\ln{\dfrac{5 + x}{5}}\right) \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin \( x = 0 \) noktasındaki sağdan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{1}{x}} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{\dfrac{5 + x}{5}}} \)
\( x \to 0^+ \) iken \( \frac{5 + x}{5} \to 1^+ \) ve \( \ln{\frac{5 + x}{5}} \to 0^+ \) olur
\( = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \left( \dfrac{1}{x}\ln{\dfrac{5 + x}{5}}\right) = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\ln{\frac{5 + x}{5}}}{x}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\left( \ln{\dfrac{5 + x}{5}} \right)'}{(x)'}} = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\frac{1}{5 + x}}{1}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{1}{x + 5}} \)
Rasyonel fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktadaki limiti o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = \dfrac{1}{0 + 5} = \dfrac{1}{5} \)
L'Hospital kuralı ile elde ettiğimiz ifadenin limiti var olduğu için orijinal ifadenin limiti de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x}\ln{\dfrac{5 + x}{5}}\right) = \dfrac{1}{5} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (x^{10}e^{-x^{\frac{1}{10}}}) \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {x^{10}} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {e^{-x^{\frac{1}{10}}}} = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{1}{e^{x^{\frac{1}{10}}}}} = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
İfadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = x^{\frac{1}{10}} \Longrightarrow x = t^{10} \)
\( x \to \infty \) iken \( t \to \infty \) olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (x^{10}e^{-x^{\frac{1}{10}}}) = \lim\limits_{t \to \infty} [(t^{10})^{10}e^{-t}] \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{t^{100}}{e^{t}} \)
\( t \) sonsuza giderken paydadaki üstel fonksiyonun büyüme hızı paydaki kuvvet fonksiyonunun büyüme hızından büyük olduğu için ifadenin limiti sıfır olur.
\( = 0 \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \left( 3x\tan{\dfrac{1}{4x}} \right) \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (3x) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \tan{\dfrac{1}{4x}} = \tan{0} = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için tanjant fonksiyonunun içerisindeki ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = \dfrac{1}{x} \Longrightarrow x = \dfrac{1}{t} \)
\( x \to \infty \) iken \( t \to 0 \) olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \left( 3x\tan{\dfrac{1}{4x}} \right) = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{3}{t}\tan{\dfrac{1}{4}t} \right) \)
\( = 3\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{\tan{\dfrac{1}{4}t}}{t} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = 3 \cdot \dfrac{\frac{1}{4}}{1} = \dfrac{3}{4} \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\left( x \left( \ln{\dfrac{1}{x}} \right)^2 \right)} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin \( x = 0 \) noktasındaki sağdan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {x} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\left( \ln{\dfrac{1}{x}} \right)^2} = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\left( x \left( \ln{\dfrac{1}{x}} \right)^2 \right)} = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{(\ln{\frac{1}{x}})^2}{\frac{1}{x}}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{((\ln{\frac{1}{x}})^2)'}{(\frac{1}{x})'}} = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{2\ln{\frac{1}{x}} \cdot x \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\left( 2x\ln{\dfrac{1}{x}} \right)} \)
Çarpımı alınan iki ifadenin \( x = 0 \) noktasındaki sağdan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (2x) = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{\dfrac{1}{x}}} = \infty \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\ln{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{2x}}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
İfadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{(\ln{\frac{1}{x}})'}{(\frac{1}{2x})'}} = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{x(-\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{2}(-\frac{1}{x^2})}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} (2x) \)
Polinom fonksiyonlarının bir noktadaki limiti o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 2(0) = 0 \)
L'Hospital kuralını iki kez uygulayarak elde ettiğimiz ifadenin limiti tanımlı olduğu için orijinal ifadenin ve kuralı bir kez uyguladığımızda elde ettiğimiz ifadenin limitleri de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\left( x \left( \ln{\dfrac{1}{x}} \right)^2 \right)} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right)\cot\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin \( x = \frac{\pi}{2} \) noktasındaki sağdan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} {\cot\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right)} = -\infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için kotanjant fonksiyonunu tanjant fonksiyonuna çevirelim.
\( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right)\cot\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} {\dfrac{\frac{\pi}{2} - x}{\tan(\frac{\pi}{2} - x)}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} {\dfrac{(\frac{\pi}{2} - x)'}{(\tan(\frac{\pi}{2} - x))'}} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} {\dfrac{-1}{-\sec^2{(\frac{\pi}{2} - x)}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} {\cos^2\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right)} \)
Kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = \cos^2\left( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right) \)
\( = \cos^2{0} = 1 \)
L'Hospital kuralı ile elde ettiğimiz ifadenin limiti tanımlı olduğu için orijinal ifadenin limiti de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right)\cot\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0} (\cot(9x)\sin(5x)) \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterÇarpımı alınan iki ifadenin \( x = 0 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( x \to 0^- \) iken \( 9x \to 0^- \) ve \( \cot(9x) \to -\infty \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^-} \cot(9x) = - \infty \)
\( x \to 0^+ \) iken \( 9x \to 0^+ \) ve \( \cot(9x) \to \infty \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \cot(9x) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin(5x) = \sin{0} = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Kotanjant fonksiyonunu sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak ifadeyi \( \frac{0}{0} \) belirsizliğine dönüştürelim.
\( \lim\limits_{x \to 0} (\cot(9x)\sin(5x)) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos(9x)\sin(5x)}{\sin(9x)} \)
Payı ve paydayı \( x \) ile çarpalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\cos(9x)\sin(5x)}{x\sin(9x)} \)
Limit ifadesini düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin(5x)}{x} \cdot \dfrac{x}{\sin(9x)} \cdot \cos(9x) \right) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, üç çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi üç limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin(9x)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \cos(9x) \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = \dfrac{5}{1} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \cos(9x) \)
Kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = \dfrac{5}{9} \cdot \cos{0} \)
\( = \dfrac{5}{9} \cdot 1 = \dfrac{5}{9} \) bulunur.