Mutlak Değerli İfadelerin Limiti
Mutlak değer içeren bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini bulmak için kullanılabilecek üç yöntem aşağıdaki gibidir.
- Doğrudan yerine koyma yöntemi: Limiti alınan fonksiyonun limit noktasında sürekli olduğu biliniyorsa doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti bulunabilir.
- Sabit işaret: Mutlak değer ifadelerinin içi limit noktası civarında sabit işaretli ise bu işaret kullanılarak ifadeler mutlak değerden çıkarılır, elde edilen mutlak değersiz fonksiyonun limiti diğer yöntemlerle bulunur.
- Parçalı fonksiyon: Bu yöntemde fonksiyon parçalı fonksiyon şeklinde yazılır.
Bu yöntemlerden üçüncüsü her mutlak değerli fonksiyona uygulanabilir, ancak daha fazla işlem gerektirebileceği için öncelikle verilen fonksiyonun ilk iki yöntemin koşullarını sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
Şimdi bu üç yöntemi detaylı inceleyelim.
Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi
Limiti alınan fonksiyonun limit noktasında sürekli olduğu biliniyorsa doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti bulunabilir. Fonksiyonun sürekliliği değerlendirilirken aşağıdaki iki noktanın bilinmesi önemlidir.
- Belirli bir noktada sürekli olan iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve (paydadaki fonksiyon bu noktada sıfır değilse) bölümü de aynı noktada süreklidir.
- \( f(x) \) fonksiyonu belirli bir noktada sürekli ise \( \abs{f(x} \) fonksiyonu da aynı noktada süreklidir.
\( \lim\limits_{x \to 4} {\dfrac{\abs{x^2 - 6x + 8} + 2x}{x - 2}} \) limitinin sonucunu bulalım.
\( x^2 - 6x + 8 \) ikinci dereceden ifadesi tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla mutlak değeri de süreklidir.
Belirli bir noktada sürekli olan iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve (paydadaki fonksiyon bu noktada sıfır değilse) bölümü de aynı noktada süreklidir.
Buna göre limit ifadesi \( x = 4 \) noktasında süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 4} {\dfrac{\abs{x^2 - 6x + 8} + 2x}{x - 2}} = \dfrac{\abs{4^2 - 6(4) + 8} + 2(4)}{4 - 2} \)
\( = \dfrac{\abs{0} + 8}{2} = 4 \)
Sabit İşaret
Limiti alınan fonksiyondaki mutlak değer ifadelerinin içi limit noktası civarında sabit işaretli ise bu işarete göre mutlak değerler kaldırılır ve elde edilen fonksiyonun limiti diğer yöntemlerle bulunur. Özellikle, mutlak değerin içindeki ifade limit noktası civarında sürekli ise ve limit noktası bu ifadeyi sıfır yapmıyorsa (limit noktası kritik olmayan bir nokta ise) bu koşul otomatik olarak sağlanır.
\( \lim\limits_{x \to 3} {\dfrac{\abs{2 - x} - 1}{x^2 - 9}} \) limitinin sonucunu bulalım.
Limiti alınan fonksiyonun paydası limit noktasında sıfır olduğu için fonksiyon bu noktada sürekli değildir, dolayısıyla birinci yöntemi kullanamayız.
Mutlak değer içindeki ifade sürekli olduğu ve \( x = 3 \) değeri mutlak değer içini sıfır yapmadığı için bu nokta civarında mutlak değer içinin işareti sabittir.
\( \abs{2 - 3} = \abs{-1} \)
Buna göre \( x = 3 \) noktası için mutlak değer içindeki ifadeyi mutlak değerden negatif işaretli çıkarabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 3} {\dfrac{\abs{2 - x} - 1}{x^2 - 9}} = \lim\limits_{x \to 3} {\dfrac{-(2 - x) - 1}{x^2 - 9}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 3} {\dfrac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)}} \)
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirebiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 3} {\dfrac{1}{x + 3}} \)
Elde ettiğimiz ifade \( x = 3 \) noktasında sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6} \)
Parçalı Fonksiyon
Tüm mutlak değerli fonksiyonların limiti, fonksiyon önce parçalı fonksiyona dönüştürülerek, daha sonra parçalı fonksiyonların limiti sayfasında gördüğümüz yöntem kullanılarak bulunabilir.
\( f(x) = \dfrac{\abs{x}}{x} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki soldan, sağdan ve iki taraflı limit değerlerini bulalım.
\( f \) fonksiyonu \( x = 0 \) noktasında tanımsızdır.
Önce mutlak değerli ifadenin kritik noktasını bulalım.
\( x = 0 \)
Fonksiyonu geçiş noktası \( x = 0 \) olacak şekilde parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( x \lt 0 \) aralığı için:
\( f(x) = \dfrac{-x}{x} = -1 \)
\( x \gt 0 \) aralığı için:
\( f(x) = \dfrac{x}{x} = 1 \)
\( f(x) = \begin{cases} -1 & x \lt 0 \\ 1 & x \gt 0 \end{cases} \)
Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini hesaplayalım.
Soldan limit için \( x \lt 0 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız.
\( L_1 = \lim\limits_{x \to 0^-} {f(x)} = -1 \)
Sağdan limit için \( x \gt 0 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız.
\( L_2 = \lim\limits_{x \to 0^+} {f(x)} = 1 \)
\( L_1 \ne L_2 \) olduğu için, fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında limiti yoktur.
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{\abs{x - 2}} \)
fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki soldan, sağdan ve iki taraflı limitlerini bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu \( x = 2 \) noktasında tanımsızdır.
Önce mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Fonksiyonu geçiş noktası \( x = 2 \) olacak şekilde parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( x \lt 2 \) aralığı için:
\( f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{-(x - 2)} = -x - 2 \)
\( x \gt 2 \) aralığı için:
\( f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \)
\( f(x) = \begin{cases} -x - 2 & x \lt 2 \\ x + 2 & x \gt 2 \end{cases} \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini hesaplayalım.
Soldan limit için \( x \lt 2 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} (-x - 2) = -2 - 2 = -4 \)
Sağdan limit için \( x \gt 2 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \)
Bu noktada soldan ve sağdan limitler olsa da birbirinden farklı oldukları için fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında iki taraflı limiti yoktur.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{\abs{x - 2}}{x - 2} + \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{x^2 - 4}{\abs{x + 2}} \) toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİlk önce ilk limit ifadesinin değerini bulalım.
\( x = 2 \) noktası \( \abs{x - 2} \) ifadesinin kritik noktasıdır.
\( x \to 2^+ \) iken \( x - 2 \to 0^+ \) olur, dolayısıyla ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{\abs{x - 2}}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{x - 2}{x - 2} \)
\( = \lim\limits_{x \to 2^+} 1 = 1 \)
Şimdi ikinci limit ifadesinin değerini bulalım.
\( x = -2 \) noktası \( \abs{x + 2} \) ifadesinin kritik noktasıdır.
\( x \to -2^- \) iken \( x + 2 \to 0^- \) olur, dolayısıyla ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{x^2 - 4}{\abs{x + 2}} = \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{x^2 - 4}{-(x + 2)} \)
\( = \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{-(x + 2)} \)
\( = \lim\limits_{x \to -2^-} [-(x - 2)] = -(-2 - 2) = 4 \)
İki limit ifadesinin toplamı \( 1 + 4 = 5 \) olarak bulunur.
\( \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\abs{2x + 4}}{x^2 - 4} \) limitini bulunuz.
Çözümü GösterLimiti alınan ifadeyi düzenleyelim.
\( \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{2\abs{x + 2}}{(x - 2)(x + 2)} \)
\( x = -2 \) noktası \( \abs{x + 2} \) ifadesinin kritik noktasıdır. Bu noktadaki limiti bulmak için soldan ve sağdan limit değerlerini hesaplayalım.
\( x = -2 \) için soldan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{2\abs{x + 2}}{(x - 2)(x + 2)} \)
\( x \to -2^- \) iken \( x + 2 \to 0^- \) olur, dolayısıyla ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( = \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{-2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \)
\( = \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{-2}{x - 2} \)
\( = \dfrac{-2}{-2 - 2} = \dfrac{1}{2} \)
\( x = -2 \) için sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{2\abs{x + 2}}{(x - 2)(x + 2)} \)
\( x \to -2^+ \) iken \( x + 2 \to 0^+ \) olur, dolayısıyla ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( = \lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \)
\( = \lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{2}{x - 2} \)
\( = \dfrac{2}{-2 - 2} = -\dfrac{1}{2} \)
Bu noktada soldan ve sağdan limitler olsa da birbirinden farklı oldukları için fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında iki taraflı limiti yoktur.
\( \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{\abs{3 - x}}{x - 3} + \lim\limits_{x \to 7^-} \dfrac{x - 7}{\abs{x - 7}} \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBirinci limit ifadesinin değerini bulalım.
\( x \to 3^+ \) iken \( 3 - x \to 0^- \) olur, dolayısıyla ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{\abs{3 - x}}{x - 3} = \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{-(3 - x)}{x - 3} = 1 \)
İkinci limit ifadesinin değerini bulalım.
\( x \to 7^- \) iken \( x - 7 \to 0^- \) olur, dolayısıyla ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \lim\limits_{x \to 7^-} \dfrac{x - 7}{\abs{x - 7}}= \lim\limits_{x \to 7^-} \dfrac{x - 7}{-(x - 7)} = -1 \)
Limit ifadelerinin toplamı \( 1 + (- 1) = 0 \) olarak bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\abs{x^2 - x - 12}}{x - 4} \) limitini bulunuz.
Çözümü GösterPaydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\abs{(x + 3)(x - 4)}}{x - 4} \)
İki ifadenin çarpımının mutlak değeri mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
\( = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\abs{x + 3}\abs{x - 4}}{x - 4} \)
\( x = 4 \) ikinci mutlak değer ifadesinin kritik noktasıdır. Bu noktadaki limiti bulmak için soldan ve sağdan limit değerlerini hesaplayalım.
\( x = 4 \) için soldan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{\abs{x + 3}\abs{x - 4}}{x - 4} \)
\( x \to 4^- \) iken \( x + 3 \to 7^- \) ve \( x - 4 \to 0^- \) olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.
\( = \lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{(x + 3)(-(x - 4))}{x - 4} \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^-} (-(x + 3)) \)
\( = -(4 + 3) = -7 \)
\( x = 4 \) için sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 4^+} \dfrac{\abs{x + 3}\abs{x - 4}}{x - 4} \)
\( x \to 4^+ \) iken \( x + 3 \to 7^+ \) ve \( x - 4 \to 0^+ \) olur, dolayısıyla iki ifade de mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( = \lim\limits_{x \to 4^+} \dfrac{(x + 3)(x - 4)}{x - 4} \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^+} (x + 3) \)
\( = 4 + 3 = 7 \)
Bu noktada soldan ve sağdan limitler olsa da birbirinden farklı oldukları için fonksiyonun \( x = 4 \) noktasında iki taraflı limiti yoktur.
\( \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^2 - 2\abs{x} - 3}{2 - \abs{-x}} \) limitini bulunuz.
Çözümü GösterLimiti alınan fonksiyon paydasını sıfır yapan \( x = 2 \) ve \( x = -2 \) noktaları hariç tüm reel sayılarda süreklidir.
Buna göre doğrudan yerine koyma yöntemi ile fonksiyonunun \( x = -4 \) noktasındaki limitini bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^2 - 2\abs{x} - 3}{2 - \abs{-x}} = \dfrac{(-4)^2 - 2\abs{-4} - 3}{2 - \abs{-(-4)}} \)
\( = \dfrac{16 - 8 - 3}{2 - 4} \)
\( = -\dfrac{5}{2} \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{\abs{x^2 - 16}}{x^2 - 6x + 8} \)
fonksiyonunun \( x = -4 \) ve \( x = 4 \) noktalarındaki soldan, sağdan ve iki taraflı limitlerini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyon paydasını sıfır yapan \( x = 2 \) ve \( x = 4 \) noktaları hariç tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
Önce mutlak değer ifadesinin kritik noktalarını bulalım.
\( x^2 - 16 = 0 \)
\( x = -4 \) ve \( x = 4 \)
Fonksiyonu geçiş noktaları \( x = -4 \) ve \( x = 4 \) olacak şekilde parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( x^2 - 16 \) ifadesi kritik noktaların arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitiftir.
\( x \lt -4 \) aralığı için:
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 16}{(x - 4)(x - 2)} = \dfrac{x + 4}{x - 2} \)
\( -4 \lt x \lt 4 \) aralığı için:
\( f(x) = \dfrac{-(x^2 - 16)}{(x - 4)(x - 2)} = \dfrac{-x - 4}{x - 2} \)
\( x \gt 4 \) aralığı için:
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 16}{(x - 4)(x - 2)} = \dfrac{x + 4}{x - 2} \)
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 4}{x - 2} & x \lt -4 \\ \dfrac{-x - 4}{x - 2} & -4 \lt x \lt 4 \\ \dfrac{x + 4}{x - 2} & x \gt 4 \end{cases} \)
Fonksiyonun \( x = -4 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini bulalım.
Soldan limit için fonksiyonun birinci tanımı kullanılır.
\( L_1 = \lim\limits_{x \to -4^-} \dfrac{x + 4}{x - 2} = \dfrac{-4 + 4}{-4 - 2} = 0 \)
Sağdan limit için fonksiyonun ikinci tanımı kullanılır.
\( L_2 = \lim\limits_{x \to -4^+} \dfrac{-x - 4}{x - 2} = \dfrac{-(-4) - 4}{-4 - 2} = 0 \)
\( L_1 = L_2 = 0 \) olduğu için, fonksiyonun \( x = -4 \) noktasında limiti vardır ve değeri \( 0 \)'dır.
Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini bulalım.
Soldan limit için fonksiyonun ikinci tanımı kullanılır.
\( L_3 = \lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{-x - 4}{x - 2} = \dfrac{-4 - 4}{4 - 2} = -4 \)
Sağdan limit için fonksiyonun üçüncü tanımı kullanılır.
\( L_4 = \lim\limits_{x \to 4^+} \dfrac{x + 4}{x - 2} = \dfrac{4 + 4}{4 - 2} = 4 \)
\( L_3 \ne L_4 \) olduğu için, fonksiyonun \( x = 4 \) noktasında limiti yoktur.
\( f: [-2, 4] \to \mathbb{R} \) olduğuna göre,
\( \lim\limits_{x \to a} \abs{f(x)} \) iki taraflı limiti kaç \( a \) tam sayısı için vardır?
Çözümü GösterBir fonksiyonun çıktısının mutlak değeri alındığında \( x \) ekseninin altında kalan noktaların \( x \) eksenine göre yansımaları alınır.
Buna göre \( \abs{f(x)} \) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi olur.
Bu grafiğe göre fonksiyonun aşağıdaki apsisli noktalarda iki taraflı limiti vardır.
\( a \in \{-1, 1, 2\} \)
Buna göre sorudaki iki taraflı limit üç \( a \) tam sayısı için vardır.
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 8x + 16}}{x - 3} \)
fonksiyonunun \( x = -4 \) noktasındaki soldan, sağdan ve iki taraflı limitlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{(x + 4)^2}}{x - 3} \)
\( = \dfrac{\abs{x + 4}}{x - 3} \)
\( f \) fonksiyonu paydasını sıfır yapan \( x = 3 \) noktası hariç tüm reel sayılarda süreklidir.
Buna göre doğrudan yerine koyma yöntemi ile fonksiyonunun \( x = −4 \) noktasındaki limitini bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to -4} {\dfrac{\abs{x + 4}}{x - 3}} = \dfrac{\abs{-4 + 4}}{-4 - 3} \)
\( = \dfrac{\abs{0}}{-7} = 0 \)
Fonksiyonun sürekli olduğunu bildiğimiz bu noktadaki iki taraflı limiti sıfır olduğuna göre, bu noktadaki tek taraflı limitleri de sıfır olur.
\( \lim\limits_{x \to -4^-} {\dfrac{\abs{x + 4}}{x - 3}} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to -4^+} {\dfrac{\abs{x + 4}}{x - 3}} = 0 \)
\( f(x) = \dfrac{2x - 2}{\abs{x^3 - x^2}} \) olduğuna göre, \( \lim\limits_{x \to 1} f(x) \) limitini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{\abs{x^2(x - 1)}} \)
\( f \) fonksiyonu paydasını sıfır yapan \( x = 0 \) ve \( x = 1 \) noktalarında tanımsızdır.
İki ifadenin çarpımının mutlak değeri mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
\( = \dfrac{2(x - 1)}{\abs{x^2}\abs{x - 1}} \)
\( x^2 \) ifadesi negatif olamayacağı için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( = \dfrac{2(x - 1)}{x^2\abs{x - 1}} \)
\( x = 1 \) noktası mutlak değer ifadesinin kritik noktasıdır. Fonksiyonu önce parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( x \lt 1 \) aralığı için:
\( x \lt 1 \) iken \( x - 1 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x^2[-(x - 1)]} \)
\( = -\dfrac{2}{x^2} \)
\( x \gt 1 \) aralığı için:
\( x \gt 1 \) iken \( x - 1 \) ifadesi pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x^2(x - 1)} \)
\( = \dfrac{2}{x^2} \)
Parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{-2}{x^2}, & x \lt 1 \\ \dfrac{2}{x^2}, & x \gt 1 \end{cases} \)
Soldan limit için fonksiyonun birinci tanımı kullanılır.
\( \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{-2}{x^2} = \dfrac{-2}{1^2} = -2 \)
Sağdan limit için fonksiyonun ikinci tanımı kullanılır.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{2}{1^2} = 2 \)
Bu noktada soldan ve sağdan limitler tanımlı olsa da birbirinden farklı oldukları için fonksiyonun \( x = 1 \) noktasında iki taraflı limiti tanımlı değildir.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin \( x = 9 \) noktasında limiti vardır?
\( f(x) = \dfrac{x - 9}{\abs{x - 9}} \)
\( g(x) = \sqrt{x^2 - 18x + 81} \)
\( h(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x - 9}}{x + 9} \)
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu:
\( f \) fonksiyonunun soldan ve sağdan limitlerini bulalım.
\( x = 9 \) noktası mutlak değer ifadesinin kritik noktasıdır.
Bu noktadaki soldan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 9^-} \dfrac{x - 9}{\abs{x - 9}} \)
\( x \to 9^- \) iken \( x - 9 \to 0^- \) olur, dolayısıyla ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( = \lim\limits_{x \to 9^-} \dfrac{x - 9}{-(x - 9)} = -1 \)
Bu noktadaki sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 9^+} \dfrac{x - 9}{\abs{x - 9}} \)
\( x \to 9^+ \) iken \( x - 9 \to 0^+ \) olur, dolayısıyla ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( = \lim\limits_{x \to 9^+} \dfrac{x - 9}{x - 9} = 1 \)
Bu noktada soldan ve sağdan limitler olsa da birbirinden farklı oldukları için \( f \) fonksiyonunun \( x = 9 \) noktasında iki taraflı limiti yoktur.
\( g \) fonksiyonu:
\( g(x) = \sqrt{x^2 - 18x + 81} \)
\( = \sqrt{(x - 9)^2} = \abs{x - 9} \)
Mutlak değer fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limiti vardır ve bu noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 9} \abs{x - 9} = \abs{9 - 9} = 0 \)
\( h \) fonksiyonu:
\( \lim\limits_{x \to 9} \dfrac{\sqrt[3]{x - 9}}{x + 9} \)
\( n \) bir pozitif tam sayı olmak üzere, \( \sqrt[2n + 1]{x} \) fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir ve limiti vardır. Paydadaki ifade de bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda süreklidir ve limiti vardır, ayrıca limit değeri sıfırdan farklıdır.
Buna göre limit bölme kuralı ile limiti paya ve paydaya dağıtabiliriz ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to 9} \sqrt[3]{x - 9}}{\lim\limits_{x \to 9} (x + 9)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{9 - 9}}{9 + 9} = 0 \)
\( h \) fonksiyonunun \( x = 9 \) noktasında limiti vardır ve değeri 0'dır.
Buna göre \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarının \( x = 9 \) noktasında limiti vardır.