Limitin Grafik Yorumu
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ve grafiği ile ilgili farklı bazı durumlar aşağıda verilmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = 2 \) \( \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = 2 \) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) = 2 \) \( f(4) = 2 \) \( x = 4 \) noktası için soldan ve sağdan limit vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla bu noktada iki taraflı limit vardır. Fonksiyonun bu noktadaki değerinin limit değerine eşit olmasının tek ve iki taraflı limitlere bir etkisi yoktur. |
|
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = 2 \) \( \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = 2 \) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) = 2 \) \( f(4) \) tanımsızdır. \( x = 4 \) noktası için soldan ve sağdan limit vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla bu noktada iki taraflı limit vardır. Fonksiyonun bu noktada tanımsız olmasının tek ve iki taraflı limitlere bir etkisi yoktur. |
|
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = 2 \) \( \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = 2 \) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) = 2 \) \( f(4) = 3 \) \( x = 4 \) noktası için soldan ve sağdan limit vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla bu noktada iki taraflı limit vardır. Fonksiyonun bu noktadaki değerinin limit değerinden farklı olmasının tek ve iki taraflı limitlere bir etkisi yoktur. |
|
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = 2 \) \( \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = 3 \) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) \) limiti yoktur. \( f(4) = 3 \) \( x = 4 \) noktası için soldan ve sağdan limit vardır, ancak birbirine eşit değildir, dolayısıyla bu noktada iki taraflı limit yoktur. |
|
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = 2 \) \( \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = 3 \) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) \) limiti yoktur. \( f(4) = 1 \) \( x = 4 \) noktası için soldan ve sağdan limit vardır, ancak birbirine eşit değildir, dolayısıyla bu noktada iki taraflı limit yoktur. |
|
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = -\infty \) \( \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = \infty \) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) \) limiti yoktur. \( f(4) \) tanımsızdır. Fonksiyon \( x = 4 \) noktasına soldan yaklaşırken çok büyük negatif, sağdan yaklaşırken çok büyük pozitif değerler alır. Soldan ve sağdan limitler birer reel sayı olmadığı için bu limitler yoktur. Limit değerleri olarak negatif ve pozitif sonsuz yazmamız bu noktada tek taraflı limitlerin var olduğu anlamına gelmez. |
|
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = \infty \) \( \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = \infty \) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) = \infty \) \( f(4) \) tanımsızdır. Benzer şekilde, \( x = 4 \) noktasında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri yoktur. Limit değerleri olarak pozitif sonsuz yazmamız bu noktada tek ve iki taraflı limitlerin var olduğu anlamına gelmez. |
|
\( f: (2, 8] \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = 3 \) \( \lim\limits_{x \to 8^-} f(x) = 9 \) Bir fonksiyonun tanım aralığının uç noktalarında tek taraflı limitler sadece fonksiyonun tanımlı olduğu yönlerde vardır. İki taraflı limit soldan ve sağdan limitlerin mevcut ve eşit olmasını gerektirdiği için, uç noktalarda iki taraflı limit yoktur. |
Şekildeki \( f \) fonksiyonu için \( f(4) + \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterSoldan ve sağdan limit değerlerini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 4^-} {f(x)} = 7 \)
\( \lim\limits_{x \to 4^+} {f(x)} = 7 \)
Soldan ve sağdan limitler mevcut ve birbirine eşit olduğu için iki taraflı limit vardır ve soldan ve sağdan limitlere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} = 7 \)
Bu noktadaki fonksiyon değerini bulalım.
\( f(4) = 5 \)
Soruda istenen toplamı bulalım.
\( f(4) + \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} = 5 + 7 = 12 \) bulunur.
Yukarıdaki \( f \) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. Verilen aralıkta fonksiyonun tanımsız olduğu 3 nokta vardır.
II. \( \lim\limits_{x \to -3^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to -3} {f(x)} \)
III. \( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = 3 \)
IV. \( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x)} = 3 \)
Çözümü GösterI. öncül:
Verilen aralıkta fonksiyon sadece \( x = -1 \) noktasında tanımsızdır, \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) noktalarında ise tanımlıdır.
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
\( x = -3 \) noktasında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri vardır ve sıfıra eşittir, dolayısıyla iki taraflı limiti de vardır ve sıfıra eşittir. Buna göre soldan limit iki taraflı limit değerine eşittir.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( x = 2 \) noktasında sağdan limit değeri 2'dir.
III. öncül yanlıştır.
IV. öncül:
\( x = 3 \) noktasında soldan limit değeri 3'tür.
IV. öncül doğrudur.
Buna göre II. ve IV. öncüller doğrudur.
Şekildeki \( f \) fonksiyonunun \( [-3, 4] \) aralığındaki tam sayı apsis değerli noktalarındaki var olan limitlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterHer nokta için soldan, sağdan ve iki taraflı limit değerleri aşağıda verilmiştir. Her noktadaki fonksiyon değerleri limitin varlığını ya da değerini etkilemese de bilgi amaçlı verilmiştir.
\( x = -3 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to -3^-} {f(x)} = -1 \)
\( \lim\limits_{x \to -3^+} {f(x)} = -1 \)
\( \lim\limits_{x \to -3} {f(x)} = -1 \)
\( f(-3) = -1 \)
Soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla iki taraflı limit vardır ve değeri \( -1 \)'dir.
\( x = -2 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to -2^-} {f(x)} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to -2^+} {f(x)} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to -2} {f(x)} = 0 \)
\( f(-2) = 1 \)
Soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla iki taraflı limit vardır ve değeri \( 0 \)'dır. Fonksiyon değerinin limit değerinden farklı olması limitin olmasına engel değildir.
\( x = -1 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to -1^-} {f(x)} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to -1^+} {f(x)} = 3 \)
\( \lim\limits_{x \to -1} {f(x)} \) limiti yoktur.
\( f(-1) = 3 \)
Soldan ve sağdan limitler vardır, ancak birbirinden farklıdır, dolayısıyla iki taraflı limit yoktur.
\( x = 0 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to 0^-} {f(x)} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {f(x)} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0} {f(x)} = 1 \)
\( f(0) = 1 \)
Soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla iki taraflı limit vardır ve değeri \( 1 \)'dir.
\( x = 1 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to 1^-} {f(x)} = -1 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {f(x)} = -1 \)
\( \lim\limits_{x \to 1} {f(x)} = -1 \)
\( f(1) \) tanımsızdır.
Soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla iki taraflı limit vardır ve değeri \( -1 \)'dir. Fonksiyonun bu noktada tanımsız olması limitin olmasına engel değildir.
\( x = 2 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 2} {f(x)} = 0 \)
\( f(2) = 0 \)
Soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla iki taraflı limit vardır ve değeri \( 0 \)'dır.
\( x = 3 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x)} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} {f(x)} = 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 3} {f(x)} \) limiti yoktur.
\( f(3) = 3 \)
Soldan ve sağdan limitler vardır, ancak birbirinden farklıdır, dolayısıyla iki taraflı limit yoktur.
\( x = 4 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to 4^-} {f(x)} = 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 4^+} {f(x)} = 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} = 2 \)
\( f(4) = 2 \)
Soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, dolayısıyla iki taraflı limit vardır ve değeri \( 2 \)'dir.
Buna göre var olan limitlerin toplamı \( -1 + 0 + 1 + -1 + 0 + 2 = 1 \) olarak bulunur.
Şekildeki \( f \) fonksiyonu için aşağıdaki toplam kaçtır?
\( \lim\limits_{x \to -6^+} {f(x)} + \lim\limits_{x \to -2^-} {f(x)} + \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} + \lim\limits_{x \to 6^-} {f(x)} \)
Çözümü Gösterİstenen tek taraflı limit değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( \lim\limits_{x \to -6^+} {f(x)} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to -2^-} {f(x)} = 6 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = 4 \)
\( \lim\limits_{x \to 6^-} {f(x)} = -2 \)
İfadenin sonucu \( 0 + 6 + 4 + (-2) = 8 \) olarak bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \lim\limits_{x \to 1^+} {f(x - 2)} = 2 \)
II. \( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(3 - x)} = 1 \)
III. \( \lim\limits_{x \to 0^-} {f(x + 3)} = -1 \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( x \to 1^+ \) iken \( x - 2 \to -1^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = -1 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {f(x - 2)} = f(-1^+) \)
Grafiğe göre \( f(-1^+) = 2 \) olduğu için bu öncül doğrudur.
II. öncül:
\( x \to 2^- \) iken \( 3 - x \to 1^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(3 - x)} = f(1^+) \)
Grafiğe göre \( f(1^+) = -1 \) olduğu için bu öncül yanlıştır.
III. öncül:
\( x \to 0^- \) iken \( x + 3 \to 3^- \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasındaki soldan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 0^-} {f(x + 3)} = f(3^-) \)
Grafiğe göre \( f(3^-) = -1 \) olduğu için bu öncül doğrudur.
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
Yukarıda \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki limitleri bulunuz.
(a) \( \lim\limits_{x \to -1} \abs{f(x)} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to -1} f^2(x) \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -1} f(\abs{x}) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -1^-} \abs{f(x)} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to -1^+} \abs{f(x)} = \abs{-1} = 1 \)
Soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olduğu için iki taraflı limit vardır ve değeri 1'dir.
\( \lim\limits_{x \to -1} \abs{f(x)} = 1 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -1^-} f^2(x) = 1^2 = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to -1^+} f^2(x) = (-1)^2 = 1 \)
Soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olduğu için iki taraflı limit vardır ve değeri 1'dir.
\( \lim\limits_{x \to -1} f^2(x) = 1 \)
(c) seçeneği:
\( f(x) \) fonksiyonu \( x = -1 \) noktasına soldan (sağdan) yaklaşırken \( f(\abs{x}) \) fonksiyonu \( x = 1 \) noktasına sağdan (soldan) yaklaşır.
\( \lim\limits_{x \to -1^-} f(\abs{x}) = \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to -1^+} f(\abs{x}) = \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -1 \)
Soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olmadığı için iki taraflı limit yoktur.