Üstel Belirsizlikler
Yedi belirsizlik durumundan üçü \( f(x)^{g(x)} \) formunda üstel ifade şeklindedir. Bu belirsizlikler \( \infty^0 \), \( 0^0 \) ve \( 1^\infty \) durumlarıdır.
Üstel belirsizliklerin üçü de aşağıdaki adımlar takip edilerek giderilebilir.
- Limiti alınan ifade bir fonksiyon olarak tanımlanır.
- Fonksiyonda her iki tarafın önce doğal logaritması sonra limiti alınır.
- Elde edilen limit ifadesindeki üstel belirsizlik \( \frac{0}{0} \) ya da \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliğine dönüştürülür.
- L'Hospital kuralı ile ifadenin limit değeri bulunur (\( L \)).
- İlk adımda doğal logaritma alındığı için orijinal fonksiyonun limit değeri \( e^L \) olur.
\( \infty^0 \) Belirsizliği
\( \infty^0 \) belirsizliği limiti sonsuz olan bir ifadenin limiti 0 olan bir kuvveti alındığında oluşur.
\( \lim\limits_{x \to a} f(x)^{g(x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) ve \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0 \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( \infty^0 \) belirsizliği vardır.
Bu tip belirsizliğin nasıl giderilebileceğini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {x^{\frac{1}{x}}} \) limit değerini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {x} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0 \)
Buna göre ifadede \( \infty^0 \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = x^{\frac{1}{x}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^{\frac{1}{x}}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = \lim\limits_{x \to \infty} \ln{x^{\frac{1}{x}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{x}\ln{x} \right) \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln{x}}{x} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{x}} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {x} = \infty \)
Elde ettiğimiz ifadede \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(\ln{x})'}{x'} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{1}{x}}{1} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0 \)
Buna göre fonksiyonun doğal logaritmasının limiti 0'dır.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = 0 \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to 0 \) ise \( y \to e^0 = 1 \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti 1 olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {y} = \lim\limits_{x \to \infty} {x^{\frac{1}{x}}} = 1 \)
\( 0^0 \) Belirsizliği
\( 0^0 \) belirsizliği limiti 0 olan bir ifadenin limiti 0 olan bir kuvveti alındığında oluşur.
\( \lim\limits_{x \to a} f(x)^{g(x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = 0 \) ve \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0 \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( 0^0 \) belirsizliği vardır.
Bu tip belirsizliğin nasıl giderilebileceğini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {x^x} \) limit değerini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {x} = 0 \)
Buna göre ifadede \( 0^0 \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = x^x \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^x} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln{y} = \lim\limits_{x \to 0^+} \ln{x^x} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} (x\ln{x}) \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {x} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{x}} = -\infty \)
Elde ettiğimiz ifadede \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
\( x \)'in tersini paydaya alalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln{x}}{\frac{1}{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln{x} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = \infty \)
Elde ettiğimiz ifadede \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln{x})'}{(\frac{1}{x})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} (-x) = 0 \)
Buna göre fonksiyonun doğal logaritmasının limiti 0'dır.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln{y} = 1 \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to 0 \) ise \( y \to e^0 = 1 \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( 1 \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {y} = \lim\limits_{x \to 0^+} {x^x} = 1 \)
\( 1^\infty \) Belirsizliği
\( 1^\infty \) belirsizliği limiti 1 olan bir ifadenin limiti sonsuz olan bir kuvveti alındığında oluşur.
\( \lim\limits_{x \to a} f(x)^{g(x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = 1 \) ve \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = \pm\infty \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( 1^\infty \) belirsizliği vardır.
Bu tip belirsizliğin nasıl giderilebileceğini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {x^{\frac{1}{x - 1}}} \) limit değerini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {x} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1} = \infty \)
Buna göre ifadede \( 1^\infty \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = x^{\frac{1}{x - 1}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^{\frac{1}{x - 1}}} \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \ln{y} = \lim\limits_{x \to 1^+} \ln{x^{\frac{1}{x - 1}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \left( \dfrac{1}{x - 1}\ln{x} \right) \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{\ln{x}}{x - 1} \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\ln{x}} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} (x - 1) = 0 \)
Elde ettiğimiz ifadede \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{(\ln{x})'}{(x - 1)'} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{\frac{1}{x}}{1} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x} = 1 \)
Buna göre fonksiyonun doğal logaritmasının limiti 1'dir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \ln{y} = 1 \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to 1 \) ise \( y \to e^1 = e \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( e \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {y} = \lim\limits_{x \to 1^+} {x^{\frac{1}{x - 1}}} = e \)
\( \lim\limits_{x \to 0} (e^x + 3x)^{\frac{1}{x}} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 0} (e^x + 3x) = e^0 + 3(0) = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \)
Buna göre ifadede soldan ve sağdan \( 1^\infty \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = (e^x + 3x)^{\frac{1}{x}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln(e^x + 3x)^{\frac{1}{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \ln{y} = \lim\limits_{x \to 0} \ln(e^x + 3x)^{\frac{1}{x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \ln(e^x + 3x) \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(e^x + 3x)}{x} \)
Elde ettiğimiz ifadede \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(\ln(e^x + 3x))'}{(x)'} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(e^x + 3x)'}{e^x + 3x} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x + 3}{e^x + 3x} \)
Elde ettiğimiz ifadede belirsizlik ortadan kalktığı için \( x = 0 \) koyarak limit değerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{e^0 + 3}{e^0 + 3(0)} \)
\( = \dfrac{4}{1} = 4 \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti 4'tür.
\( \lim\limits_{x \to 0} \ln{y} = 4 \)
\( x \) sıfıra giderken \( \ln{y} \) ifadesi 4'e yaklaşıyorsa \( y \) ifadesi \( e^4 \)'e yaklaşır.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( e^4 \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0} y = \lim\limits_{x \to 0} (e^x + 3x)^{\frac{1}{x}} = e^4 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {(\ln(ex))^{\frac{1}{3(x - 1)}}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\ln(ex)} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{1}{3(x - 1)}} = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 1^{\infty} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = (\ln(ex))^{\frac{1}{3(x - 1)}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln(\ln(ex))^{\frac{1}{3(x - 1)}} \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \ln{y} = \lim\limits_{x \to 1^+} {\ln(\ln(ex))^{\frac{1}{3(x - 1)}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{1}{3(x - 1)}\ln{\ln(ex)}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{\ln{\ln(ex)}}{3(x - 1)}} \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\ln{\ln(ex)}} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {3(x - 1)} = 0 \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{(\ln{\ln(ex)})'}{(3(x - 1))'}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{\frac{1}{\ln(ex)} \cdot \frac{1}{ex} \cdot e}{3}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{1}{3x\ln(ex)}} \)
Elde ettiğimiz ifadede belirsizlik ortadan kalktığı için \( x = 1 \) koyarak limit değerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{1}{3(1) \ln(e(1))} \)
\( = \dfrac{1}{3} \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( \frac{1}{3} \)'tür.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\ln{y}} = \dfrac{1}{3} \)
\( x \to 1^+ \) iken \( \ln{y} \to \frac{1}{3} \) ise \( y \to e^{\frac{1}{3}} \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} y = \lim\limits_{x \to 1^+} (\ln(ex))^{\frac{1}{3(x - 1)}} \)
\( = e^\frac{1}{3} \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 0} {\left(\dfrac{x^2 + 1}{x + 1}\right)^{\frac{2}{x}}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2 + 1}{x + 1} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{x} = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 1^{\infty} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = \left(\dfrac{x^2 + 1}{x + 1}\right)^{\frac{2}{x}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{\left(\dfrac{x^2 + 1}{x + 1}\right)^{\frac{2}{x}}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \ln{y} = \lim\limits_{x \to 0} {\ln{\left(\dfrac{x^2 + 1}{x + 1}\right)^{\frac{2}{x}}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} {\dfrac{2}{x}\ln{\dfrac{x^2 + 1}{x + 1}}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{x} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \ln{\dfrac{x^2 + 1}{x + 1}} = 0 \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln{\frac{x^2 + 1}{x + 1}}}{\frac{x}{2}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(\ln{\frac{x^2 + 1}{x + 1}})'}{(\frac{x}{2})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{x + 1}{x^2 + 1} \cdot \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 1)}{(x + 1)^2}}{\frac{1}{2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^2 + 4x - 2}{x^3 + x^2 + x + 1} \)
Elde ettiğimiz ifade belirsizlik içermemektedir.
Rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapan noktalar dışında tanımlı ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti bulabiliriz.
\( = \dfrac{2(0)^2 + 4(0) - 2}{0^3 + 0^2 + 0 + 1} \)
\( = -2 \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( -2 \)'dir.
\( \lim\limits_{x \to 0} {\ln{y}} = -2 \)
\( x \to 0 \) iken \( \ln{y} \to -2 \) ise \( y \to e^{-2} \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0} {y} = \lim\limits_{x \to 0} {\left(\dfrac{x^2 + 1}{x + 1}\right)^{\frac{2}{x}}} = e^{-2} \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \left( 1 + \dfrac{4}{x} \right)^{2x} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to \infty} \left( 1 + \dfrac{4}{x} \right) = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (2x) = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 1^{\infty} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = \left( 1 + \dfrac{4}{x} \right)^{2x} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{\left( 1 + \dfrac{4}{x} \right)^{2x}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{\left( 1 + \dfrac{4}{x} \right)^{2x}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {2x\ln{\left( 1 + \dfrac{4}{x} \right)}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (2x) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \ln\left( 1 + \dfrac{4}{x} \right) = 0 \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln(1 + \frac{4}{x})}{\frac{1}{2x}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(\ln(1 + \frac{4}{x}))'}{(\frac{1}{2x})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{1}{1 + \frac{4}{x}} \cdot (-\frac{4}{x^2})}{-\frac{1}{2x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{8x}{x + 4} \)
Payının derecesi paydasının derecesine eşit olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon polinomların başkatsayılarının oranına yaklaşır.
\( = 8 \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( 8 \)'dir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{y}} = 8 \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to 8 \) ise \( y \to e^8 \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( e^8 \) olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {y} = \lim\limits_{x \to \infty} \left( 1 + \dfrac{4}{x} \right)^{2x} = e^8 \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (2 + 9x)^{\frac{1}{3\ln{x}}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to \infty} (2 + 9x) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{1}{3\ln{x}}} = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \infty^{0} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = (2 + 9x)^{\frac{1}{3\ln{x}}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{(2 + 9x)^{\frac{1}{3\ln{x}}}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{(2 + 9x)^{\frac{1}{3\ln{x}}}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{\ln{(2 + 9x)}}{3\ln{x}}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\ln(2 + 9x)} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {3\ln{x}} = \infty \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(\ln(2 + 9x))'}{(3\ln{x})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{1}{2 + 9x} \cdot 9}{3 \cdot \frac{1}{x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{3x}{2 + 9x} \)
Payının derecesi paydasının derecesine eşit olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon polinomların başkatsayılarının oranına yaklaşır.
\( = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( \frac{1}{3} \)'tür.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{y}} = 3 \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to \frac{1}{3} \) ise \( y \to e^{\frac{1}{3}} \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( e^\frac{1}{3} \) olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {y} = \lim\limits_{x \to \infty} (2 + 9x)^{\frac{1}{3\ln{x}}} = e^\frac{1}{3} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {(2x)^{\frac{\ln{10}}{\ln{x} - 10}}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to \infty} (2x) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{\ln{10}}{\ln{x} - 10}} = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \infty^{0} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = (2x)^{\frac{\ln{10}}{\ln{x} - 10}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{(2x)^{\frac{\ln{10}}{\ln{x} - 10}}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{(2x)^{\frac{\ln{10}}{\ln{x} - 10}}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{\ln{10}}{\ln{x} - 10}\ln{(2x)}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{\ln{10}\ln(2x)}{\ln{x} - 10}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (\ln{10}\ln(2x)) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (\ln{x} - 10) = \infty \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{(\ln{10}\ln(2x))'}{(\ln{x} - 10)'}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{\ln{10} \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2}{\frac{1}{x}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \ln{10} \)
\( = \ln{10} \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( \ln{10} \)'dur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{y}} = \ln(10) \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to \ln{10} \) ise \( y \to e^{\ln{10}} = 10 \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( 10 \) olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {y} = \lim\limits_{x \to \infty} {(2x)^{\frac{\ln{10}}{\ln{x} - 10}}} = 10 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (3x)^{\frac{e}{\ln(3x)}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 0^+} (3x) = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{e}{\ln(3x)}} = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 0^0 \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = (3x)^{\frac{e}{\ln(3x)}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{(3x)^{\frac{e}{\ln(3x)}}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{y}} = \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{(3x)^{\frac{e}{\ln(3x)}}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{e}{\ln(3x)}\ln(3x)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} e = e \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti e'dir.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{y}} = e \)
\( x \to 0^+ \) iken \( \ln{y} \to e \) ise \( y \to e^e \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( e^e \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {y} = \lim\limits_{x \to 0^+} (3x)^{\frac{e}{\ln(3x)}} = e^e \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (5^x + 5^{2x})^{\frac{1}{x}} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to \infty} (5^x + 5^{2x}) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0 \)
Buna göre limit ifadesinde \( \infty^0 \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = (5^x + 5^{2x})^{\frac{1}{x}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln(5^x + 5^{2x})^{\frac{1}{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = \lim\limits_{x \to \infty} \ln(5^x + 5^{2x})^{\frac{1}{x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \ln(5^x + 5^{2x}) \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln(5^x + 5^{2x})}{x} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln(5^x + 5^{2x}) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} x = \infty \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{[\ln(5^x + 5^{2x})]'}{(x)'} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{5^x\ln{5} + 5^{2x}\ln{5} \cdot 2}{5^x + 5^{2x}}}{1} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5^x\ln{5} + 5^{2x}\ln{5} \cdot 2}{5^x + 5^{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5^{2x}(5^{-x}\ln{5} + 2\ln{5})}{5^{2x}(5^{-x} + 1)} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5^{-x}\ln{5} + 2\ln{5}}{5^{-x} + 1} \)
\( x \to \infty \) iken \( 5^{-x} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{0\ln{5} + 2\ln{5}}{0 + 1} \)
\( = 2\ln{5} = \ln{25} \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( \ln{25} \)'dir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = \ln{25} \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to \ln{25} \) ise \( y \to 25 \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti 25 olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {y} = \lim\limits_{x \to \infty} (5^x + 5^{2x})^{\frac{1}{x}} = 25 \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3} \right)^x \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3}} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} x = \infty \)
Buna göre limit ifadesinde \( 1^{\infty} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = \left( \dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3} \right)^x \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln\left( \dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3} \right)^x \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = \lim\limits_{x \to \infty} \ln\left( \dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3} \right)^x \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {x\ln\left( \dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3} \right)} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {x} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{\dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3}} = \ln{1} = 0 \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
\( x \) fonksiyonunun tersini paydaya alalım.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{\ln{\frac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3}}}{\frac{1}{x}}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{[\ln{\frac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3}}]'}{(\frac{1}{x})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\frac{(2x + 1)(x^2 + 2x + 3) - (x^2 + x + 4)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 3)^2}}{\frac{x^2 + x + 4}{x^2 + 2x + 3}}}{-\frac{1}{x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{(2x + 1)(x^2 + 2x + 3) - (2x + 2)(x^2 + x + 4)}{(x^2 + 2x + 3)^2} \cdot \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + x + 4}}{-\frac{1}{x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{(2x + 1)(x^2 + 2x + 3) - (2x + 2)(x^2 + x + 4)}{(x^2 + 2x + 3)(x^2 + x + 4)}}{-\frac{1}{x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{2x^3 + 5x^2 + 8x + 3 - (2x^3 + 4x^2 + 10x + 8)}{(x^2 + 2x + 3)(x^2 + x + 4)}}{-\frac{1}{x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2 - 2x - 5}{(x^2 + 2x + 3)(x^2 + x + 4)}}{-\frac{1}{x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2(x^2 - 2x - 5)}{(x^2 + 2x + 3)(x^2 + x + 4)} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-x^4 + 2x^3 + 5x^2}{x^4 + 3x^3 + 9x^2 + 11x + 12} \)
Payının derecesi paydasının derecesine eşit olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon polinomların başkatsayılarının oranına yaklaşır.
\( = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( -1 \)'dir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = -1 \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to -1 \) ise \( y \to e^{-1} \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( e^{-1} \) olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = e^{-1} \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {(\cos{x})^{\csc{x}}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\cos{x}} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\csc{x}} = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 1^{\infty} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = (\cos{x})^{\csc{x}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{(\cos{x})^{\csc{x}}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{y}} = \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{(\cos{x})^{\csc{x}}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \csc{x}\ln(\cos{x}) \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \csc{x} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(\cos{x}) = 0 \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için kosekant fonksiyonunu sinüs fonksiyonu cinsinden yazalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(\cos{x})}{\sin{x}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln(\cos{x}))'}{(\sin{x})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}(-\sin{x})}{\cos{x}} \)
\( = -\lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}} \)
Elde ettiğimiz ifadede belirsizlik ortadan kalktığı için \( x = 0 \) koyarak limit değerini bulabiliriz.
\( = -\dfrac{\sin{0}}{\cos^2{0}} = -\dfrac{0}{1^2} = 0 \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti 0'dır.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{y}} = 0 \)
\( x \to 0^+ \) iken \( \ln{y} \to 0 \) ise \( y \to e^0 \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} y = \lim\limits_{x \to 0^+} (\cos{x})^{\csc{x}} \)
\( = e^0 = 1 \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\left( 1 - \sin{\dfrac{1}{2x}} \right)^{6x}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to \infty} {\left( 1 - \sin{\dfrac{1}{2x}} \right)} = 1 - \sin{0} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (6x) = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 1^{\infty} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = \left( 1 - \sin{\dfrac{1}{2x}} \right)^{6x} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{\left( 1 - \sin{\dfrac{1}{2x}} \right)^{6x}} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln{y} = \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{\left( 1 - \sin{\dfrac{1}{2x}} \right)^{6x}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {6x\left( 1 - \sin{\dfrac{1}{2x}} \right)} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (6x) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \ln\left( 1 - \sin{\dfrac{1}{2x}} \right) = 0 \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{\ln(1 - \sin{\frac{1}{2x}})}{\frac{1}{6x}}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{(\ln(1 - \sin{\frac{1}{2x}}))'}{(\frac{1}{6x})'}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{1}{1 - \sin{\frac{1}{2x}}}(-\cos{\frac{1}{2x}})(-\frac{1}{2x^2})}{-\frac{1}{6x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-3\cos{\frac{1}{2x}}}{1 - \sin{\frac{1}{2x}}} \)
Elde ettiğimiz ifade belirsizlik içermemektedir.
\( x \to \infty \) iken \( \frac{1}{2x} \to 0 \) olur.
\( = -\dfrac{3\cos{0}}{1 - \sin{0}} \)
\( = -\dfrac{3}{1} = -3 \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti -3'tür.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\ln{y}} = -3 \)
\( x \to \infty \) iken \( \ln{y} \to -3 \) ise \( y \to e^{-3} \) olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} y = \lim\limits_{x \to \infty} {\left( 1 - \sin{\dfrac{1}{2x}} \right)^{6x}} \)
\( = e^{-3} \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {x^{\sec{\frac{3\pi x}{2}}}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 1^+} x = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \sec{\dfrac{3\pi x}{2}} = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 1^{\infty} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = x^{\sec{\frac{3\pi x}{2}}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^{\sec{\frac{3\pi x}{2}}}} \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \ln{y} = \lim\limits_{x \to 1^+} {\ln{x^{\sec{\frac{3\pi x}{2}}}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} {\sec{\dfrac{3\pi x}{2}}\ln{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\sec{\dfrac{3\pi x}{2}}} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \ln{x} = 0 \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Sekant fonksiyonunu kosinüs cinsinden yazarak ifadeyi \( \frac{0}{0} \) belirsizliğine dönüştürelim.
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{\ln{x}}{\cos{\frac{3\pi x}{2}}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{(\ln{x})'}{(\cos{\frac{3\pi x}{2}})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{\frac{1}{x}}{-\sin{\frac{3\pi x}{2}} \cdot \frac{3\pi}{2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} -\dfrac{2}{3\pi x\sin{\frac{3\pi x}{2}}} \)
Elde ettiğimiz ifadede belirsizlik ortadan kalktığı için \( x = 1 \) koyarak limit değerini bulabiliriz.
\( = -\dfrac{2}{3\pi(1)\sin{\frac{3\pi(1)}{2}}} \)
\( = \dfrac{2}{3\pi} \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( \frac{2}{3\pi} \)'dir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\ln{y}} = \dfrac{2}{3\pi} \)
\( x \to 1^+ \) iken \( \ln{y} \to \frac{2}{3\pi} \) ise \( y \to e^{\frac{2}{3\pi}} \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( e^\frac{2}{3\pi} \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {y} = \lim\limits_{x \to 1^+} {x^{\sec{\frac{3\pi x}{2}}}} = e^\frac{2}{3\pi} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (\csc{x})^{\sin{x}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 0^+} \csc{x} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \sin{x} = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \infty^{0} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = (\csc{x})^{\sin{x}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{(\csc{x})^{\sin{x}}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln{y} = \lim\limits_{x \to 0^+} \ln{(\csc{x})^{\sin{x}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \sin{x}\ln(\csc{x}) \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\sin{x}} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{\csc{x}}} = \infty \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Sinüs fonksiyonunu paydaya sekant fonksiyonu olarak alalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln{\csc{x}}}{\csc{x}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln{\csc{x}})'}{(\csc{x})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\frac{1}{\csc{x}}(-\cot{x}\csc{x})}{-\cot{x}\csc{x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{1}{\csc{x}}} \)
Elde ettiğimiz ifade belirsizlik içermemektedir.
\( x \to 0^+ \) iken \( \csc{x} \to \infty \) olur.
\( = 0 \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti 0'dır.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{y}} = 0 \)
\( x \to 0^+ \) iken \( \ln{y} \to 0 \) ise \( y \to e^0 = 1 \) olur.
Buna göre verilen ifadenin limiti \( e^0 = 1 \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {y} = \lim\limits_{x \to 0^+} (\csc{x})^{\sin{x}} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\left( \dfrac{\tan{x}}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\tan{x}}{x}} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{1}{x^2}} = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( 1^{\infty} \) belirsizliği vardır.
Limiti alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( y = \left( \dfrac{\tan{x}}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}} \)
Her iki tarafın önce doğal logaritmasını sonra limitini alalım.
\( \ln{y} = \ln{\left( \dfrac{\tan{x}}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln{y} = \lim\limits_{x \to 0} {\ln{\left( \dfrac{\tan{x}}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{1}{x^2}\ln{\dfrac{\tan{x}}{x}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\ln{\frac{\tan{x}}{x}}}{x^2}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{\dfrac{\tan{x}}{x}}} = \ln{\lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\tan{x}}{x}}} \)
\( = \ln{1} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {x^2} = 0 \)
Buna göre elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{(\ln{\frac{\tan{x}}{x}})'}{(x^2)'}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\frac{x}{\tan{x}} \cdot \frac{x\sec^2{x} - \tan{x}}{x^2}}{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{x\sec^2{x} - \tan{x}}{2x^2\tan{x}}} \)
Elde ettiğimiz ifadede hala \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için ifadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\sec^2{x} + 2\sec{x}\tan{x}\sec{x} \cdot x - \sec^2{x}}{4x\tan{x} + \sec^2{x} \cdot 2x^2}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\sec^2{x}\tan{x}}{2\tan{x} + \sec^2{x} \cdot x}} \)
Elde ettiğimiz ifadede hala \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için ifadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{2\sec{x}\tan{x}\sec{x}\tan{x} + \sec^2{x}\sec^2{x}}{2\sec^2{x} + 2\sec{x}\tan{x}\sec{x} \cdot x + \sec^2{x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\sec^2{x}(2\tan^2{x} + \sec^2{x})}{\sec^2{x}(2 + 2 \tan{x} \cdot x + 1)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{2\tan^2{x} + \sec^2{x}}{2 + 2 \tan{x} \cdot x + 1} \)
Elde ettiğimiz ifadede belirsizlik ortadan kalktığı için \( x = 0 \) koyarak limit değerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{2\tan^2{0} + \sec^2{0}}{2 + 2 \tan{0} \cdot 0 + 1} \)
\( = \dfrac{2(0)^2 + 1^2}{2 + 2(0) \cdot 0 + 1} \)
\( = \dfrac{1}{3} \)
Buna göre sorudaki ifadenin doğal logaritmasının limiti \( \frac{1}{3} \)'tür.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\ln{y}} = \dfrac{1}{3} \)
\( x \to 0 \) iken \( \ln{y} \to \frac{1}{3} \) ise \( y \to e^{\frac{1}{3}} \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} y = \lim\limits_{x \to 0^+} {\left( \dfrac{\sin{x}}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}} \)
\( = e^{\frac{1}{3}} \) bulunur.