Asimptot
Bir fonksiyonda \( x \) ve \( y \) değişkenlerinden en az biri pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon grafiğinin belirli bir doğruya (ya da eğriye) olan uzaklığı sıfıra yaklaşıyorsa bu doğruya (eğriye) grafiğin bir asimptotu denir.
Aşağıdaki şekilde 1 ve 2 no'lu kesikli çizgiler grafiğin \( y \) pozitif ve negatif sonsuza giderken, 3 no'lu kesikli çizgi de \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken oluşan asimptotlarıdır.
Asimptotlar fonksiyon grafiğinin bir parçası olmayıp grafiğin sonsuzdaki davranışının daha iyi anlaşılması için çizilir.
Bu bölümde asimptot kavramını sezgisel olarak ve rasyonel fonksiyonlar özelinde ele alacağız. Asimptotların matematiksel olarak kesin tanımlarına ve diğer fonksiyonların asimptotlarına "limit" konusunda değineceğiz.
Asimptotları iki bölüm altında inceleyeceğiz.
- Düşey asimptotlar
- Uç davranış asimptotları: Yatay, eğik ve polinom (eğri) asimptotları
Bir rasyonel fonksiyonun asimptotları bulunmadan önce, fonksiyon tanımı önceki bölümde paylaştığımız yöntemle en sade haline getirilmelidir (pay ve paydadaki tüm ortak çarpanlar sadeleştirilmelidir).
Düşey Asimptot
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan noktalarda fonksiyon grafiğinde birer düşey asimptot oluşur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) fonksiyonun en sade hali olmak üzere,
\( Q(a) = 0 \) ise \( x = a \) noktasında bir düşey asimptot oluşur.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 4} \) fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulalım.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)} \)
Pay ve paydada sadeleşen ortak bir çarpan yoktur.
Paydayı sıfır yapan noktalar: \( x \in \{ -2, 2 \} \)
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) doğruları olmak üzere iki düşey asimptot oluşur.
Fonksiyonun grafiği ve düşey asimptotları aşağıda gösterilmiştir.
Aşağıdaki tabloda \( x = 2 \) noktasındaki düşey asimptotun solundaki ve sağındaki bazı noktalar için payın (\( P(x) \)), paydanın (\( Q(x) \)) ve fonksiyonun (\( f(x) \)) değerleri verilmiştir.
Buna göre, \( x \) daha küçük değerlerden 2 değerine yaklaştıkça (tablonun üst kısmı), payda sıfıra negatif taraftan yaklaşan değerler almakta, dolayısıyla fonksiyonun değeri negatif sonsuza doğru büyümektedir.
Benzer şekilde, \( x \) daha büyük değerlerden 2 değerine yaklaştıkça (tablonun alt kısmı), payda sıfıra pozitif taraftan yaklaşan değerler almakta, dolayısıyla fonksiyonun değeri pozitif sonsuza doğru büyümektedir.
Düşey asimptotlarla ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.
- Bir rasyonel fonksiyonun bir ya da birden fazla düşey asimptotu olabilir ya da hiç olmayabilir.
- \( n \). dereceden bir polinom fonksiyonunun en fazla \( n \) reel kökü olabileceği için, paydası \( n \). dereceden olan bir rasyonel fonksiyonun en fazla \( n \) düşey asimptotu olabilir.
- Bir fonksiyon düşey asimptotun oluştuğu noktada tanımsız olduğu için grafiği düşey asimptotu hiçbir zaman kesmez.
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonda, bir düşey asimptota karşılık gelen paydadaki çarpan tek katlı (1, 3, 5, vb.) ise grafik bu noktada düşey asimptotun her iki tarafında farklı yönlerde sonsuza gider.
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonda, bir düşey asimptota karşılık gelen paydadaki çarpan çift katlı (2, 4, 6, vb.) ise grafik bu noktada düşey asimptotun her iki tarafında aynı yönde sonsuza gider.
Boş Nokta
Paydadaki bir çarpan paydaki bir çarpanla tamamen sadeleşiyorsa (ortak bir çarpanın paydaki katı paydadaki katına eşit ya da ondan daha büyükse) fonksiyon grafiğinde bu noktada bir düşey asimptot değil bir boş nokta oluşur.
\( f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 2)(x - 4)^2}{(x + 1)^2(x - 2)(x - 4)} \) fonksiyonunun düşey asimptotlarını ve boş noktalarını bulalım.
Pay ve paydadaki ortak \( x + 1 \), \( x - 2 \) ve \( x - 4 \) çarpanlarını sadeleştirelim.
\( f(x) = \dfrac{x - 4}{x + 1} \)
Paydayı sıfır yapan noktalar: \( x \in \{ -1 \} \)
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = -1 \) doğrusu olmak üzere tek bir düşey asimptot oluşur.
Sadeleştirme öncesinde paydada bulunan, sadeleştirme sonrasında ise bulunmayan çarpanları sıfır yapan noktalarda birer boş nokta oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = 2 \) ve \( x = 4 \) noktalarında birer boş nokta oluşur.
Fonksiyonun grafiği, düşey asimptotları ve boş noktaları aşağıda gösterilmiştir.
Boş noktalar pay ve paydadaki ortak çarpanların sadeleşmesi ile oluştuğu ve paydadaki çarpanları sıfır yapan noktalarda fonksiyon tanımsız olduğu için, rasyonel fonksiyonlar boş noktalarda her zaman tanımsız olur.
Yatay, Eğik ve Polinom Asimptotları
Bir rasyonel fonksiyonun grafiğinde \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken \( y \) değerinin yaklaştığı tek bir asimptot oluşur ve bu asimptot yatay, eğik ve polinom asimptotu olmak üzere üç tipte olabilir. Bu üç tip asimptotu topluca uç davranış asimptotları olarak adlandıracağız. İleriki bölümlerde diğer fonksiyon tiplerinin pozitif ve negatif sonsuzda birbirinden farklı uç davranış asimptotlarına sahip olabileceğini göreceğiz.
Polinomlarda bölme işlemine göre, paydaki polinom paydadaki polinoma bölündüğünde aşağıdaki eşitliği sağlayan tek bir bölüm (\( S(x) \)) ve kalan (\( R(x) \)) polinom ikilisi elde edilir.
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) olmak üzere,
\( der[R] \lt der[Q] \) olmak üzere,
\( \dfrac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \dfrac{R(x)}{Q(x)} \)
eşitliğini sağlayan tek bir \( S(x) \) ve \( R(x) \) ikilisi vardır.
\( f(x) = \dfrac{8x^2 + 5x + 2}{4x^2 + x - 4} \)
\( = 2 + \dfrac{3x + 10}{4x^2 + x - 4} \)
\( g(x) = \dfrac{6x^2 + x - 12}{3x - 1} \)
\( = 2x + 1 + \dfrac{-11}{3x - 1} \)
Ayrıca bölüm polinomunun derecesi her zaman \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarının derecelerinin farkına eşittir.
\( der[P] \ge der[Q] \) ise,
\( der[S] = der[P] - der[Q] \)
Buna göre, \( R(x) \) polinomunun derecesi \( Q(x) \) polinomunun derecesinden küçük olduğu için \( x \) değişkenin çok büyük değerleri için \( \frac{R(x)}{Q(x)} \) ifadesinin değeri sıfıra yaklaşır, dolayısıyla \( f(x) \) değeri \( x \) pozitif ya da negatif tarafta büyüdükçe \( S(x) \) polinomunun değerine yaklaşır ve \( S(x) \) polinomu fonksiyonun bir asimptotu olur.
Bir rasyonel fonksiyonun uç davranış asimptotunun hangi tipte olduğunu payın ve paydanın dereceleri belirler.
Düşey asimptotlardan farklı olarak, bir rasyonel fonksiyonun grafiği uç davranış asimptotunu bir ya da birden fazla noktada kesebilir (ya da kesmeyebilir). Bu kesişim noktalarını bulmak için fonksiyon ve asimptot denklemleri ortak çözülür.
Yatay Asimptot
Paydanın derecesi payın derecesinden büyük olduğu durumda, yukarıdaki bölme işleminde \( S(x) \) bölüm polinomu sıfır olur, dolayısıyla uç davranış asimptotunun denklemi \( y = 0 \) doğrusu olur. Bu denklem eğimi sıfır olan bir doğru olduğu için bu tip asimptotlara yatay asimptot denir.
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) fonksiyonunda,
\( der[P] \lt der[Q] \) ise,
grafikte denklemi \( y = 0 \) olan bir yatay asimptot oluşur.
\( f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6} \) fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım.
\( der[2x - 1] = 1 \)
\( der[x^2 - x - 6] = 2 \)
Paydanın derecesi payın derecesinden büyük olduğu için fonksiyonun yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = 0 \) doğrusudur.
Fonksiyonun grafiği ve yatay asimptotu aşağıda gösterilmiştir.
Payın ve paydanın dereceleri eşit olduğu durumda, yukarıdaki bölme işleminde \( S(x) \) bölüm polinomu payın ve paydanın başkatsayılarının oranına eşit olan sabit bir sayı olur, dolayısıyla uç davranış asimptotunun denklemi sabit değeri sıfırdan farklı yatay bir doğru olur. Bu denklem de eğimi sıfır olan bir doğru olduğu için bu tip asimptotlara da yatay asimptot denir.
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{ax^n + \ldots}{bx^n + \ldots} \) fonksiyonunda,
\( der[P] = der[Q] \) ise,
grafikte denklemi \( y = \dfrac{a}{b} \) olan bir yatay asimptot oluşur.
\( f(x) = \dfrac{6x^2 + 2x - 1}{3x^2 - 4x - 4} \) fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım.
\( der[6x^2 + 2x - 1] = 2 \)
\( der[3x^2 - 4x - 4] = 2 \)
Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğu için fonksiyonun yatay asimptotu vardır ve denklemi başkatsayıların oranı olmak üzere \( y = \frac{6}{3} = 2 \) doğrusudur.
Fonksiyonun grafiği ve yatay asimptotu aşağıda gösterilmiştir.
Eğik Asimptot
Payın derecesi paydanın derecesinden bir fazla olduğu durumda, yukarıdaki bölme işleminde \( S(x) \) bölüm polinomu \( mx + c \) formunda birinci dereceden bir polinom olur, dolayısıyla uç davranış asimptotunun denklemi bir doğru olur. Bu denklem eğimi sıfırdan farklı olan bir doğru olduğu için bu tip asimptotlara eğik asimptot denir.
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) fonksiyonunda,
\( der[P] = der[Q] + 1 \) ise,
grafikte denklemi \( y = mx + c \) olan bir eğik asimptot oluşur.
\( f(x) = \dfrac{2x^2 - x + 7}{3x - 6} \) fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım.
\( der[2x^2 - x + 7] = 2 \)
\( der[3x - 6] = 1 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden bir fazla olduğu için fonksiyonun eğik asimptotu vardır.
Eğik asimptotun denklemi payı paydaya böldüğümüzde elde ettiğimiz bölüm polinomudur.
\( f(x) = \dfrac{2x^2 - x + 7}{3x - 6} \)
\( = \dfrac{2}{3}x + 1 + \dfrac{13}{3x - 6} \)
Buna göre eğik asimptotun denklemi \( y = \frac{2}{3}x + 1 \) doğrusudur.
Fonksiyonun grafiği ve eğik asimptotu aşağıda gösterilmiştir.
Yatay, eğik ve polinom asimptotları aşağıdaki tablodaki gibi özetlenebilir.
| Dereceler | Asimptot Tipi | Denklem |
|---|---|---|
\( der[P] \lt der[Q] \) |
Yatay |
\( y = 0 \) |
\( der[P] = der[Q] \) |
Yatay |
Pay ve paydadaki polinomların başkatsayılarının oranı sırasıyla \( a \) ve \( b \) olmak üzere, \( y = \dfrac{a}{b} \) |
\( der[P] = der[Q] + 1 \) |
Eğik |
\( y = mx + c \) |
|
\( n \gt 1 \) olmak üzere, \( der[P] = der[Q] + n \) |
Polinom (eğri) |
\( y = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots \) |
Aşağıdaki rasyonel fonksiyonların düşey asimptotlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{5x - 20}{x^2 - 4} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 4}{x^2 + x - 12} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \)
Payı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \)
Pay ve paydada sadeleşen ortak bir çarpan yoktur.
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = -3 \) doğrusu olmak üzere tek bir düşey asimptot oluşur.
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{5x - 20}{x^2 - 4} \)
Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{5(x - 4)}{(x - 2)(x + 2)} \)
Pay ve paydada sadeleşen ortak bir çarpan yoktur.
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) doğruları olmak üzere iki düşey asimptot oluşur.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 4}{x^2 + x - 12} \)
Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{(x + 4)(x + 1)}{(x + 4)(x - 3)} \)
Orijinal fonksiyonun tanım kümesi korunacak şekilde, pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( g: \mathbb{R} - \{ -4, 3 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( = \dfrac{x + 1}{x - 3} \)
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = 3 \) doğrusu olmak üzere tek bir düşey asimptot oluşur.
Aşağıdaki fonksiyonların düşey asimptotlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^3 - 10x^2}{x^3 + 4x^2 + 4x} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{x(x + 3)^3(x + 1)^2(x - 2)(x - 4)^4}{x^2(x + 3)(x + 1)^4(x - 2)^2(x - 4)^3} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^3 - 10x^2}{x^3 + 4x^2 + 4x} \)
Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{x^2(x^2 - 3x - 10)}{x(x^2 + 4x + 4)} \)
\( = \dfrac{x^2(x + 2)(x - 5)}{x(x + 2)^2} \)
Orijinal fonksiyonun tanım kümesi korunacak şekilde, pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( f: \mathbb{R} - \{ -2, 0 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( = \dfrac{x(x - 5)}{x + 2} \)
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = -2 \) doğrusu olmak üzere tek bir düşey asimptot oluşur.
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \)
Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \)
Deltası sıfırdan küçük olan \( x^2 - x + 1 \) ifadesi reel sayılarda daha fazla çarpanlarına ayrılmaz.
Orijinal fonksiyonun tanım kümesi korunacak şekilde, pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( g: \mathbb{R} - \{ -1, 1 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1} \)
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = 1 \) doğrusu olmak üzere tek bir düşey asimptot oluşur.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{x(x + 3)^3(x + 1)^2(x - 2)(x - 4)^4}{x^2(x + 3)(x + 1)^4(x - 2)^2(x - 4)^3} \)
Orijinal fonksiyonun tanım kümesi korunacak şekilde, pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
\(h: \mathbb{R} - \{ -3, -1, 0, 2, 4 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( = \dfrac{(x + 3)^2(x - 2)(x - 4)}{x(x + 1)^2(x - 2)^2} \)
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = -1 \), \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) doğruları olmak üzere üç düşey asimptot oluşur.
\( f(x) = \dfrac{x^6 + 2x^5 - 10x^4 - 11x^3 - 12x^2}{x^3 + 2x^2 - 8x} \) fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulunuz.
Çözümü GösterPayı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{x^2(x^4 + 2x^3 - 10x^2 - 11x - 12)}{x(x^2 + 2x - 8)} \)
\( = \dfrac{x^2(x^4 + 2x^3 - 10x^2 - 11x - 12)}{x(x + 4)(x - 2)} \)
Paydaki dördüncü dereceden ifadeyi daha fazla çarpanlarına ayırmanın kolay bir yolunu göremiyoruz. Bunun yerine paydadaki çarpanları sıfır yapan \( x = -4 \), \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) değerlerinin bu ifadeyi sıfır yapıp yapmadığını kontrol edebiliriz.
\( (-4)^4 + 2(-4)^3 - 10(-4)^2 - 11(-4) - 12 = 0 \)
\( 0^4 + 2(0)^3 - 10(0)^2 - 11(0) - 12 = -12 \ne 0 \)
\( 2^4 + 2(2)^3 - 10(2)^2 - 11(2) - 12 = -42 \ne 0 \)
Çarpan teoremine göre, \( x = -4 \) değeri dördüncü dereceden ifadeyi sıfır yaptığına göre \( x + 4 \) bu ifadenin bir çarpanıdır.
Bu ifadeyi polinom bölmesi ile \( x + 4 \) polinomuna böldüğümüzde diğer çarpanı buluruz.
\( = \dfrac{x^2(x + 4)(x^3 - 2x^2 - 2x - 3)}{x(x + 4)(x - 2)} \)
Elde ettiğimiz üçüncü dereceden ifadenin \( x \) ve \( x - 2 \) çarpanlarını içermediğini biliyoruz, ancak ikinci bir \( x + 4 \) çarpanı içerip içermediğini bulmak için \( x = -4 \) için değerini bulalım.
\( (-4)^3 - 2(-4)^2 - 2(-4) - 3 = -91 \ne 0 \)
Buna göre üçüncü dereceden ifade paydadaki ifade ile ortak bir çarpan içermez.
Orijinal fonksiyonun tanım kümesi korunacak şekilde, pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( f: \mathbb{R} - \{ -4, 0, 2 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( = \dfrac{x(x^3 - 2x^2 - 2x - 3)}{x - 2} \)
En sade halindeki bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotları, paydasını sıfır yapan noktalarda oluşur.
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = 2 \) doğrusu olmak üzere tek bir düşey asimptot oluşur.