Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi
Rasyonel fonksiyonların pay ve paydasındaki polinom fonksiyonları tüm reel sayılarda tanımlıdır, bununla birlikte herhangi bir rasyonel ifadenin paydası sıfır olamayacağı için, bir rasyonel fonksiyon paydasındaki polinomu sıfır yapan noktalarda tanımsız olur, dolayısıyla bu noktalar fonksiyonun tanım kümesinin dışında tutulmalıdır.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarını sıfır yapan bu noktalar hariç tüm reel sayılarda tanımlıdır.
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, \( Q(x) = 0 \) denklemini sağlayan \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılardır.
Tanım kümesi: \( \{ x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \ne 0 \} \)
\( f(x) = \dfrac{(x + 3)(x - 2)(x - 4)}{(x + 1)(x - 5)} \)
\( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, paydasını sıfır yapan \( x = -1 \) ve \( x = 5 \) noktaları hariç tüm reel sayılardır.
\( f: \mathbb{R} - \{-1, 5\} \to \mathbb{R} \)
\( Q(x) = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulmak için \( Q(x) \) polinomu tam (birinci ve indirgenemez ikinci dereceden) çarpanlarına ayrılır ve her çarpanı sıfır yapan reel sayı \( x \) değerleri bulunur. Bu \( x \) değerleri \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin dışında tutulması gereken değerlerdir.
Rasyonel Fonksiyonlarda Sadeleştirme
Aşağıdaki gibi bir rasyonel fonksiyon tanımlayalım. Bu fonksiyon paydasını sıfır yapan \( x = 1 \) ve \( x = 3 \) noktaları hariç tüm reel sayılarda tanımlıdır.
\( f: \mathbb{R} - \{ 1, 3 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} \)
Dikkat edilirse fonksiyonun pay ve paydasındaki \( x - 3 \) çarpanları ortaktır. Bu noktada akla gelebilecek bir soru, bu ortak çarpanların hangi koşullar altında sadeleştirilebileceğidir.
Aşağıdaki tabloda fonksiyonun orijinal tanımındaki ifadenin ve sadeleştirme sonrası elde edilen ifadenin belirli noktalardaki değerleri verilmiştir.
Bu tablodan aşağıdaki çıkarımlar yapılabilir.
- Hem sadeleştirme öncesinde hem de sonrasında paydayı sıfır yapan noktalarda (\( x = 1 \)) iki ifade de tanımsızdır.
- Sadeleştirme işlemi ile paydadan tamamen sadeleşen noktalarda (\( x = 3 \)) birinci ifade tanımsız iken ikinci ifade tanımlıdır.
- Diğer tüm noktalarda iki ifade de tanımlıdır ve aynı değere sahiptir.
Buna göre, orijinal fonksiyon için belirlenen tanım kümesi (\( \mathbb{R} - \{ 1, 3 \} \)) sadeleştirme sonrası elde edilen ifade için de korunursa iki ifadenin eşit fonksiyonlar olduğu söylenebilir. Hatırlatma olarak; iki fonksiyonun eşit olması, fonksiyonların aynı tanım kümesine sahip olması ve aynı girdi değerleri için aynı çıktı değerlerini üretmesi anlamına gelir.
\( f: \mathbb{R} - \{ 1, 3 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \dfrac{x + 1}{x - 1} \)
Burada bir noktanın vurgulanması son derece önemlidir. Eğer sadeleştirme sonrası elde edilen ifadenin tanım kümesi orijinal fonksiyondan bağımsız olarak tanımlanırsa iki ifade (tablodaki \( x = 3 \) noktasından dolayı) farklı fonksiyonlara karşılık gelecektir.
\( f: \mathbb{R} - \{ 1, 3 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} \)
\( g: \mathbb{R} - \{ 1 \} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1} \)
\( f(x) \ne g(x) \)
\( f \) fonksiyonunun grafiği ve tanımsız olduğu noktalar aşağıda bilgi amaçlı verilmiştir. Fonksiyonun tanımsız olduğu \( x = 1 \) ve \( x = 3 \) noktalarındaki farklı davranışını önümüzdeki bölümlerde inceliyor olacağız.
Bir rasyonel fonksiyonun davranışını analiz etmeden ya da grafiğini çizmeden önce pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilmelidir. Yukarıda paylaştığımız bilgiler doğrultusunda bu sadeleştirme işlemi aşağıdaki adımlar takip edilerek yapılmalıdır.
- Pay ve paydadaki polinomlar tam çarpanlarına ayrılır.
- Orijinal fonksiyon için tanım kümesi, paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılar olarak belirlenir.
- Pay ve paydadaki ortak çarpanlar belirlenir ve sadeleştirilir. Orijinal fonksiyon için belirlenen tanım kümesi sadeleştirme ile edilen yeni tanım için de geçerlidir (sadeleştirme işlemi fonksiyonun tanım kümesini değiştirmez).
Bu şekilde yapılan sadeleştirme işlemi sonucunda elde edilen ifadeye \( f \) fonksiyonunun en sade hali denir.
Sadeleştirme işlemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \dfrac{x^6 - 16x^2}{x^3 + x^2 - 6x} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım ve fonksiyonu en sade haliyle yazalım.
Payı ve paydayı tam çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{x^2(x^4 - 16)}{x(x^2 + x - 6)} \)
\( = \dfrac{x^2(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x(x + 3)(x - 2)} \)
\( = \dfrac{x^2(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{x(x + 3)(x - 2)} \)
İkinci dereceden \( x^2 + 4 \) ifadesi deltası sıfırdan küçük olduğu için reel sayılarda çarpanlarına ayrılmaz.
Paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin dışında tutulur.
\( f: \mathbb{R} - \{ -3, 0, 2 \} \to \mathbb{R} \)
Pay ve paydadaki ortak \( x \) ve \( x - 2 \) çarpanlarını sadeleştirelim.
\( = \dfrac{x(x + 2)(x^2 + 4)}{x + 3} \)
Elde ettiğimiz sadeleştirilmiş ifade, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi içinde orijinal fonksiyon tanımı yerine kullanılabilir.