İki polinomun oranı şeklinde ifade edilebilen fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir.
\( P(x), Q(x) \) birer polinom ve \( Q(x) \) sıfır polinomundan farklı olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \)
\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{3x - 4} \)
\( g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2x^3 - 5x^2 - 6} \)
\( h(x) = \dfrac{1}{x} \)
Aşağıdaki fonksiyonlar payındaki ya da paydasındaki ifade polinom olmadığı için rasyonel fonksiyon değildir.
\( f(x) = \dfrac{x^2 + 3x - 1}{2\textcolor{red}{\sqrt{x}} - 2} \)
\( g(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2^x} + 3}{3x^3 - 4x + 2} \)
\( h(x) = \dfrac{\textcolor{red}{\sin{x}}}{x^2 + 3x - 18} \)
Bu ders notlarında \( x \) değişkeninin bir reel sayı olduğu, reel katsayılı rasyonel fonksiyonları inceleyeceğiz.
Payındaki polinomun derecesi paydasındaki polinomun derecesinden küçük olan rasyonel fonksiyonlara basit rasyonel fonksiyon denir.
\( der[P] \lt der[Q] \)
\( f(x) = \dfrac{3}{x - 1} \)
\( g(x) = \dfrac{5x^2 - 3x + 2}{2x^3 + 4x^2 - x + 7} \)
Payındaki polinomun derecesi paydasındaki polinomun derecesine eşit ya da daha büyük olan rasyonel fonksiyonlara bileşik rasyonel fonksiyon denir.
\( der[P] \ge der[Q] \)
\( f(x) = \dfrac{5x^3 + 2x^2 - 4x + 1}{3x^2 + 5x + 2} \)
\( g(x) = \dfrac{3x^2 - 2x + 5}{4x^2 + 6x + 7} \)
Her bileşik rasyonel fonksiyon, polinom bölmesi kullanılarak bir polinom ile bir basit rasyonel fonksiyonun toplamı olarak tek bir şekilde yazılabilir.
\( f(x) = \underbrace{\dfrac{x^3 - 3x^2 + 7x + 2}{x^2 - 8x + 6}}_\text{bileşik rasyonel fonksiyon} \)
\( = \underbrace{x + 5}_\text{polinom} + \underbrace{\dfrac{41x - 28}{x^2 - 8x + 6}}_\text{basit rasyonel fonksiyon} \)
Rasyonel fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (bölen polinomu sıfır polinomundan farklı olmak üzere) bölme işlemlerinin sonucu yine rasyonel fonksiyondur.
Aşağıdaki şekilde iki rasyonel fonksiyon tanımlayalım.
\( P_1(x), Q_1(x), P_2(x), Q_2(x) \) birer polinom,
\( Q_1(x), Q_2(x) \) sıfır polinomundan farklı polinomlar olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)} \)
\( g(x) = \dfrac{P_2(x)}{Q_2(x)} \)
Toplama/Çıkarma İşlemi:
\( (f \pm g)(x) = \dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)} \pm \dfrac{P_2(x)}{Q_2(x)} \)
İfadelerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{P_1(x)Q_2(x)}{Q_1(x)Q_2(x)} \pm \dfrac{P_2(x)Q_1(x)}{Q_1(x)Q_2(x)} \)
\( = \dfrac{P_1(x)Q_2(x) \pm P_2(x)Q_1(x)}{Q_1(x)Q_2(x)} \)
Polinomlarda işlemler bölümünde ispatlarıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, iki reel katsayılı polinomun toplamı, farkı ve çarpımı yine reel katsayılı bir polinomdur.
Buna göre elde ettiğimiz ifadenin payı ve paydası birer polinomdur, dolayısıyla ifade bir rasyonel fonksiyondur.
Çarpma İşlemi:
\( (f \cdot g)(x) = \dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)} \cdot \dfrac{P_2(x)}{Q_2(x)} \)
\( = \dfrac{P_1(x)P_2(x)}{Q_1(x)Q_2(x)} \)
İki reel katsayılı polinomun çarpımı yine reel katsayılı bir polinomdur.
Buna göre elde ettiğimiz ifadenin payı ve paydası birer polinomdur, dolayısıyla ifade bir rasyonel fonksiyondur.
Bölme İşlemi:
\( \left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}}{\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}} \)
\( = \dfrac{P_1(x)Q_2(x)}{P_2(x)Q_1(x)} \)
İki reel katsayılı polinomun çarpımı yine reel katsayılı bir polinomdur.
Buna göre elde ettiğimiz ifadenin payı ve paydası birer polinomdur, dolayısıyla ifade bir rasyonel fonksiyondur.