Rasyonel Fonksiyonların Grafiği
Bir fonksiyonun grafiğini en detaylı şekilde çizebilmek için türev uygulamalarına ihtiyaç duyulur. Bununla birlikte, aşağıdaki adımlar takip edilerek bir rasyonel fonksiyonun grafiği genel hatlarıyla çizilebilir.
- Tanım kümesi: Fonksiyonun payı ve paydası tam çarpanlarına ayrılır ve paydayı sıfır yapan noktalar hariç tutularak fonksiyonun en geniş tanım kümesi belirlenir.
- En sade form: Pay ve paydadaki tüm ortak çarpanlar sadeleştirilir. Geri kalan adımlarda bu en sade form kullanılmalıdır.
- Düşey asimptotlar: Paydayı sıfır yapan noktalarda birer düşey asimptot oluşur.
- Paydadaki çarpan tek katlı ise grafik düşey asimptotun her iki tarafında farklı yönlerde sonsuza gider.
- Paydadaki çarpan çift katlı ise grafik düşey asimptotun her iki tarafında aynı yönde sonsuza gider.
- Boş noktalar: Sadeleştirme işleminde paydaki bir çarpanla tamamen sadeleşen paydadaki her çarpan için bir boş nokta oluşur.
- \( x \) ekseni kesim noktaları: Payı sıfır yapan ve boş olmayan noktalar grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaları verir.
- Paydaki çarpan tek katlı ise grafik \( x \) eksenini keser ve eksenin diğer tarafına geçer.
- Paydaki çarpan tek katlı ise grafik \( x \) eksenine dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner (grafik eksene bu noktada teğettir).
- Uç davranış asimptotları: Paydaki polinomun paydadaki polinoma bölümündeki bölüm polinomu yatay/eğik/polinom asimptotunun denklemini verir.
- Asimptot kesim noktaları (isteğe bağlı): Fonksiyon ve uç davranış asimptot denklemi ortak çözüldüğünde elde edilen noktalar asimptotun grafiği kestiği noktaların apsis değerlerini verir.
- \( y \) ekseni kesim noktası: (Eğer fonksiyon bu noktada tanımlı ise) \( x = 0 \) yazıldığında elde edilen değer grafiğin \( y \) eksenini kestiği noktayı verir.
- İşaret tablosu: Düşey asimptotların oluştuğu ve grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar kullanılarak bir işaret tablosu oluşturulur ve bu noktaların oluşturduğu aralıklarda fonksiyonun işareti bulunur.
- Bu tablo yardımıyla grafiğin düşey asimptotlar civarındaki davranışı da belirlenir.
- Grafiği çizme: Elde edilen tüm bilgiler kullanılarak fonksiyonun grafiği çizilir.
Bu adımları bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \dfrac{4x + 9}{3x - 6} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Tanım kümesi: Fonksiyonun payı ve paydası tam çarpanlarına ayrılır ve paydayı sıfır yapan noktalar hariç tutularak fonksiyonun en geniş tanım kümesi belirlenir.
Fonksiyonun paydasını sıfır yapan noktaları bulalım.
\( x \in \{ 2 \} \)
Buna göre fonksiyon en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( f: \mathbb{R} - \{ 2 \} \to \mathbb{R} \)
En sade form: Pay ve paydadaki tüm ortak çarpanlar sadeleştirilir. Geri kalan adımlarda bu sadeleştirilmiş form kullanılmalıdır.
Pay ve paydada ortak çarpan yoktur.
\( f(x) = \dfrac{4x + 9}{3x - 6} \)
Düşey asimptotlar: Paydayı sıfır yapan noktalarda birer düşey asimptot oluşur.
Paydayı sıfır yapan noktalar aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{ 2 \} \)
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = 2 \) doğrusu olmak üzere tek bir düşey asimptot oluşur.
Boş noktalar: Sadeleştirme işleminde paydaki bir çarpanla tamamen sadeleşen paydadaki her çarpan için bir boş nokta oluşur.
Paydada paydaki bir çarpanla tamamen sadeleşen bir çarpan bulunmadığı için grafikte boş nokta yoktur.
\( x \) ekseni kesim noktaları: Payı sıfır yapan noktalar grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaları verir.
Payı sıfır yapan noktalar aşağıdaki gibidir.
\( x \in \left\{ -\dfrac{9}{4} \right\} \)
Uç davranış asimptotları: Paydaki polinomun paydadaki polinoma bölümündeki bölüm polinomu yatay/eğik/polinom asimptotunun denklemini verir.
\( der[4x + 9] = 1 \)
\( der[3x - 6] = 1 \)
Payın ve paydanın dereceleri eşit olduğu için (pay ve paydadaki polinomların başkatsayıları sırasıyla \( a \) ve \( b \) olmak üzere) denklemi \( y = \frac{a}{b} \) olan bir yatay asimptot oluşur.
Buna göre yatay asimptotun denklemi \( y = \frac{4}{3} \) doğrusu olur.
Asimptot kesim noktaları: Fonksiyon ve uç davranış asimptot denklemi ortak çözüldüğünde elde edilen noktalar asimptotun grafiği kestiği noktaların apsis değerlerini verir.
İki denklemi ortak çözelim.
\( \dfrac{4x + 9}{3x - 6} = \dfrac{4}{3} \)
\( 12x + 27 = 12x - 24 \)
\( 27 = -24 \)
Bu eşitlik hiçbir \( x \) için sağlanmadığı için asimptot fonksiyon grafiğini kesmez.
\( y \) ekseni kesim noktası: (Eğer fonksiyon bu noktada tanımlı ise) \( x = 0 \) yazıldığında elde edilen değer grafiğin \( y \) eksenini kestiği noktayı verir.
Fonksiyon tanımında \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = \dfrac{4(0) + 9}{3(0) - 6} = -\dfrac{3}{2} \)
Şu ana kadar elde ettiğimiz tüm bilgileri grafik üzerinde gösterelim.
İşaret tablosu: Düşey asimptotların oluştuğu ve grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar kullanılarak bir işaret tablosu oluşturulur ve bu noktaların oluşturduğu aralıklarda fonksiyonun işareti bulunur.
Grafiği çizme: Elde edilen tüm bilgiler kullanılarak fonksiyonun grafiği çizilir.
İşaretlediğimiz noktalardan geçecek, işaret tablosuna göre her aralıkta \( x \) ekseninin doğru tarafında yer alacak ve sonsuzda asimptotlara yaklaşacak şekilde fonksiyonun yaklaşık grafiğini çizelim.
Bu adımları bir diğer örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \dfrac{(x + 4)(x - 2)(x - 7)(x - 10)}{(x + 8)(x - 3)(x - 10)} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Tanım kümesi: Fonksiyonun payı ve paydası tam çarpanlarına ayrılır ve paydayı sıfır yapan noktalar hariç tutularak fonksiyonun en geniş tanım kümesi belirlenir.
Fonksiyonun paydasını sıfır yapan noktaları bulalım.
\( x \in \{ -8, 3, 10 \} \)
Buna göre fonksiyon en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( f: \mathbb{R} - \{ -8, 3, 10 \} \to \mathbb{R} \)
En sade form: Pay ve paydadaki tüm ortak çarpanlar sadeleştirilir. Geri kalan adımlarda bu sadeleştirilmiş form kullanılmalıdır.
Pay ve paydadaki \( x - 10 \) çarpanları sadeleşir.
\( f(x) = \dfrac{(x + 4)(x - 2)(x - 7)}{(x + 8)(x - 3)} \)
Düşey asimptotlar: Paydayı sıfır yapan noktalarda birer düşey asimptot oluşur.
Paydayı sıfır yapan noktalar aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{ -8, 3 \} \)
Buna göre fonksiyon grafiğinde \( x = -8 \) ve \( x = 3 \) doğruları olmak üzere iki düşey asimptot oluşur.
Boş noktalar: Sadeleştirme işleminde paydaki bir çarpanla tamamen sadeleşen paydadaki her çarpan için bir boş nokta oluşur.
Paydaki bir çarpanla tamamen sadeleşen paydadaki çarpanlara ait noktalar aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{ 10 \} \)
Fonksiyon boş noktalarda tanımlı olmasa da, grafik bu "noktadan" geçeceği için sadeleştirilmiş formu kullanarak bu noktadaki değeri bulalım.
\( \dfrac{(10 + 4)(10 - 2)(10 - 7)}{(10 + 8)(10 - 3)} = \dfrac{8}{3} \)
\( x \) ekseni kesim noktaları: Payı sıfır yapan noktalar grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaları verir.
Payı sıfır yapan noktalar aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{ -4, 2, 7 \} \)
Uç davranış asimptotları: Paydaki polinomun paydadaki polinoma bölümündeki bölüm polinomu yatay/eğik/polinom asimptotunun denklemini verir.
\( der[(x + 4)(x - 2)(x - 7)] = 3 \)
\( der[(x + 8)(x - 3)] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden bir fazla olduğu için grafikte bir eğik asimptot oluşur.
Pay ve paydadaki ifadeleri genişletelim.
\( f(x) = \dfrac{x^3 - 5x^2 - 22x + 56}{x^2 + 5x - 24} \)
Payı paydaya polinom bölmesi ile bölerek bölüm ve kalan polinomlarını bulalım.
\( = x - 10 + \dfrac{52x - 184}{x^2 + 5x - 24} \)
Buna göre eğik asimptotun denklemi \( y = x - 10 \) olur.
Asimptot kesim noktaları: Fonksiyon ve uç davranış asimptot denklemi ortak çözüldüğünde elde edilen noktalar asimptotun grafiği kestiği noktaların apsis değerlerini verir.
İki denklemi ortak çözelim. Fonksiyon denklemi olarak önceki maddede bulduğumuz formu kullanalım.
\( x - 10 + \dfrac{52x - 184}{x^2 + 5x - 24} = x - 10 \)
\( 52x - 184 = 0 \)
\( x = \dfrac{46}{13} \)
Buna göre grafik eğik asimptotu \( x = \frac{46}{13} \) apsisli noktada keser.
\( y \) ekseni kesim noktası: (Eğer fonksiyon bu noktada tanımlı ise) \( x = 0 \) yazıldığında elde edilen değer grafiğin \( y \) eksenini kestiği noktayı verir.
Fonksiyon tanımında \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = \dfrac{(0 + 4)(0 - 2)(0 - 7)}{(0 + 8)(0 - 3)} = -\dfrac{7}{3} \)
Şu ana kadar elde ettiğimiz tüm bilgileri grafik üzerinde gösterelim.
İşaret tablosu: Düşey asimptotların oluştuğu ve grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar kullanılarak bir işaret tablosu oluşturulur ve bu noktaların oluşturduğu aralıklarda fonksiyonun işareti bulunur.
Grafiği çizme: Elde edilen tüm bilgiler kullanılarak fonksiyonun grafiği çizilir.
İşaretlediğimiz noktalardan geçecek, işaret tablosuna göre her aralıkta \( x \) ekseninin doğru tarafında yer alacak ve sonsuzda asimptotlara yaklaşacak şekilde fonksiyonun yaklaşık grafiğini çizelim.
Rasyonel Fonksiyon Dönüşümleri
Fonksiyonların dönüşümü konusunda gördüğümüz tüm dönüşümler rasyonel fonksiyonlara uygulanarak fonksiyonun denkleminde, grafiğinin konumunda ve şeklinde değişiklikler meydana getirilebilir.