Geometrik Seri
Konu tekrarı için: Geometrik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan serilere geometrik seri denir.
Bir geometrik serinin terimlerini belirleyen iki parametreden birincisi serinin ilk terimidir ve genellikle \( a \) ile gösterilir, diğeri ise ardışık terimler arasındaki orandır (ortak oran ya da ortak çarpan) ve genellikle \( r \) ile gösterilir.
\( a, r \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} \)
\( a = 1 \) ve \( r = \frac{1}{2} \) için:
\( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}} \)
\( a = 2 \) ve \( r = -\frac{1}{5} \) için:
\( 2 - \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{25} - \dfrac{2}{125} + \ldots = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {2\left( -\dfrac{1}{5} \right)^{n-1}} \)
Bir geometrik serinin yakınsak ya da ıraksak olma durumu aşağıda şekilde belirlenir.
\( r \) geometrik serinin ortak oranı olmak üzere,
- \( \abs{r} \lt 1 \) ise seri yakınsaktır.
- \( \abs{r} \ge 1 \) ise seri ıraksaktır.
İSPATI GÖSTER
\( r \) değerinin farklı değerleri için geometrik serinin yakınsaklığını ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: \( -1 \lt r \lt 1 \)
Geometrik diziler bölümünde ilk terimi \( a \) ve ortak oranı \( r \) olan sonlu geometrik dizilerin terimler toplam formülünü ispatıyla birlikte vermiştik.
\( r \ne 1 \) olmak üzere,
\( s_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1} \)
\( s_n = a \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
Bir geometrik serinin toplamı \( n \to \infty \) iken \( s_n \) ifadesinin limitine eşittir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( a \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \right) \)
\( a \) ve \( r \) sabit sayılar olduğu için limitleri kendilerine eşittir.
\( = a \cdot \dfrac{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r^n}}{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r}} \)
\( = a \cdot \dfrac{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r^n}}{1 - r} \)
\( \abs{r} \lt 1 \) olduğu durumda \( n \to \infty \) iken \( r^n \to 0 \) olur.
\( = a \cdot \dfrac{1 - 0}{1 - r} \)
\( = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( -1 \lt r \lt 1 \) için bu ifade reel sayı değere sahiptir.
Buna göre \( -1 \lt r \lt 1 \) için geometrik seri yakınsaktır.
Durum 2: \( r = 1 \)
Bu durumda geometrik seri aşağıdaki gibi olur.
\( a + a + a + \ldots = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a} \)
Bu geometrik serinin terimleri \( n \to \infty \) iken \( a \)'ya eşit olur.
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz ıraksaklık testine göre, bir serinin genel teriminin sonsuzdaki limiti yoksa ya da sıfırdan farklı ise seri ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {a} = a \ne 0 \)
Buna göre \( r = 1 \) için geometrik seri ıraksaktır.
Durum 3: \( r = -1 \)
Bu durumda geometrik seri aşağıdaki gibi olur.
\( a + (-a) + a + (-a) + \ldots = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a(-1)^{n-1}} \)
Bu geometrik serinin terimleri \( n \to \infty \) iken \( a \) ve \( 0 \) değerleri arasında salınım hareketi yapar, dolayısıyla serinin genel teriminin sonsuzdaki limiti yoktur.
Iraksaklık testine göre, bir serinin genel teriminin sonsuzdaki limiti yoksa ya da sıfırdan farklı ise seri ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {a(-1)^{n-1}} \) limiti yoktur.
Buna göre \( r = -1 \) için geometrik seri ıraksaktır.
Durum 4: \( r \gt 1 \)
Bu geometrik serinin terimleri \( n \to \infty \) iken \( a \) değerinin işaretine göre pozitif ya da negatif sonsuza gider.
Iraksaklık testine göre, bir serinin genel teriminin sonsuzdaki limiti yoksa ya da sıfırdan farklı ise seri ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {ar^{n-1}} = \pm\infty \)
Buna göre \( r \gt 1 \) için geometrik seri ıraksaktır.
Durum 5: \( r \lt -1 \)
Bu geometrik serinin terimleri \( n \to \infty \) iken gitgide büyüyen pozitif ve negatif değerler arasında salınım hareketi yapar, dolayısıyla serinin genel teriminin sonsuzdaki limiti yoktur.
Iraksaklık testine göre, bir serinin genel teriminin sonsuzdaki limiti yoksa ya da sıfırdan farklı ise seri ıraksaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {ar^{n-1}} \) yoktur.
Buna göre \( r \lt -1 \) için geometrik seri ıraksaktır.
Yukarıdaki beş durumu özetlersek; bir geometrik seri \( \abs{r} \lt 1 \) ise yakınsaktır, \( \abs{r} \ge 1 \) ise ıraksaktır.
Yukarıdaki ispatta gösterdiğimiz üzere, yakınsak geometrik serilerin toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \abs{r} \lt 1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
Geometrik olduğu bilinen bir seriyi toplam sembolü ile göstermek için serinin ilk terimi \( a \) parametresi, ilk iki terimin oranı da \( r \) parametresi olarak geometrik seri formülünde yerine konur.
\( 3 + \dfrac{6}{5} + \dfrac{12}{25} + \dfrac{24}{125} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {3\left( \dfrac{2}{5} \right)^{n-1}} \)
\( 5 - 5 + 5 - 5 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {5(-1)^{n-1}} \)
Geometrik serileri iki örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{3^{n-1}}{5^{n+1}}} \) serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise toplamını bulalım.
Seriyi geometrik seri formuna getirelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{3^{n-1}}{5^{n+1}}} = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{3^n\ 3^{-1}}{5^n\ 5^1}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{3^n}{15 \cdot 5^n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{1}{15}\left( \dfrac{3}{5} \right)^n} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{1}{15} \) ve ortak oranı \( r = \frac{3}{5} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{3}{5} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin başlangıç indisini (\( n = 0 \)) kullanarak ilk terimi bulalım.
\( a = \dfrac{1}{15}\left( \dfrac{3}{5} \right)^0 = \dfrac{1}{15} \)
Serinin toplamını bulalım.
\( \dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{\frac{1}{15}}{1 - \frac{3}{5}} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{5}} = \dfrac{1}{6} \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^{2n+1}}{(-2)^{3n-1}}} \) serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise toplamını bulalım.
Seriyi geometrik seri formuna getirelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^{2n+1}}{(-2)^{3n-1}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{3^{2n-2}\ 3^3}{(-2)^{3n-3}\ (-2)^2}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{27 \cdot 9^{n-1}}{4 \cdot (-8)^{n-1}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{27}{4}\left( -\dfrac{9}{8} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{27}{4} \) ve ortak oranı \( r = -\frac{9}{8} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{9}{8} \ge 1 \) olduğu için seri ıraksaktır.
\( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{24} + \ldots \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{1}{3} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{2} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{2} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3} \) bulunur.
\( 5 - \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{27} + \ldots \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( 5 + 5\left( -\dfrac{1}{3} \right) + 5\left( -\dfrac{1}{3} \right)^2 + 5\left( -\dfrac{1}{3} \right)^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {5\left( -\dfrac{1}{3} \right)^{n - 1}} \)
Seri ilk terimi \( a = 5 \) ve ortak oranı \( r = -\frac{1}{3} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{3} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{5}{1 - (-\frac{1}{3})} = \dfrac{15}{4} \) bulunur.
\( 2 + \dfrac{8}{7} + \dfrac{32}{49} + \dfrac{128}{343} + \ldots \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( 2 + 2 \cdot \dfrac{4}{7} + 2 \cdot \left( \dfrac{4}{7} \right)^2 + 2 \cdot \left( \dfrac{4}{7} \right)^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {2\left( \dfrac{4}{7} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = 2 \) ve ortak oranı \( r = \frac{4}{7} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{4}{7} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{2}{1 - \frac{4}{7}} = \dfrac{14}{3} \) bulunur.
\( 3 - 12 + 48 - 192 + \ldots \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( 3 + 3(-4) + 3(-4)^2 + 3(-4)^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {3(-4)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = 3 \) ve ortak oranı \( r = -4 \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = 4 \gt 1 \) olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{6^{n + 2}}{2^{n + 4}}} \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi geometrik seri formuna getirelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{6^{n + 2}}{2^{n + 4}}} = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{6^n\ 6^2}{2^n\ 2^4}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {\dfrac{9}{4}\ 3^n} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{9}{4} \) ve ortak oranı \( r = 3 \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = 3 \gt 1 \) olduğu için seri ıraksaktır.
\( \dfrac{4}{25} - \dfrac{8}{125} + \dfrac{16}{625} - \dfrac{32}{3125} + \ldots \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSeriyi toplam sembolü ile ifade edelim.
\( \left( -\dfrac{2}{5} \right)^2 + \left( -\dfrac{2}{5} \right)^3 + \left( -\dfrac{2}{5} \right)^4 + \left( -\dfrac{2}{5 } \right)^5 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\left( -\dfrac{2}{5} \right)^n} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{4}{25} \) ve ortak oranı \( r = -\frac{2}{5} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{2}{5} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{4}{25}}{1 - (-\frac{2}{5})} = \dfrac{4}{35} \) bulunur.
\( 0,\overline{36} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik serileri kullanarak kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 0,\overline{36} = 0,36363636\ldots \)
\( = 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + 0,00000036 + \ldots \)
\( = \dfrac{36}{100} + \dfrac{36}{100^2} + \dfrac{36}{100^3} + \dfrac{36}{100^4} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{36}{100}\left( \dfrac{1}{100} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{36}{100} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{100} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{100} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{36}{100}}{1 - \frac{1}{100}} \)
\( = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11} \) bulunur.
\( 0,\overline{123} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik serileri kullanarak kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 0,\overline{123} = 0,123123123123... \)
\( = 0,123 + 0,000123 + 0,000000123 + 0,000000000123 + \ldots \)
\( = \dfrac{123}{1000} + \dfrac{123}{1000^2} + \dfrac{123}{1000^3} + \dfrac{123}{1000^4} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{123}{1000}\left( \dfrac{1}{1000} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{123}{1000} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{1000} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{1000} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{123}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} \)
\( = \dfrac{123}{999} = \dfrac{41}{333} \) bulunur.
\( 0,\overline{9} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik serileri kullanarak kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 0,\overline{9} = 0,9999... \)
\( = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + \ldots \)
\( = \dfrac{9}{10} + \dfrac{9}{10^2} + \dfrac{9}{10^3} + \dfrac{9}{10^4} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{9}{10}\left( \dfrac{1}{10} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{9}{10} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{10} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{10} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 1 \) bulunur.
\( 0,0\overline{5} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik serileri kullanarak kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 0,0\overline{5} = 0,05555... \)
\( = 0,05 + 0,005 + 0,0005 + 0,00005 + \ldots \)
\( = \dfrac{5}{100} + \dfrac{5}{100} \cdot \dfrac{1}{10} + \dfrac{5}{100} \cdot \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{5}{100} \cdot \dfrac{1}{10^3} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{5}{100} \left( \dfrac{1}{10} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{5}{100} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{10} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{10} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{\frac{5}{100}}{1 - \frac{1}{10}} \)
\( = \dfrac{5}{90} = \dfrac{1}{18} \) bulunur.
\( 2,\overline{636} \) devirli ondalıklı sayısını geometrik serileri kullanarak kesirli şekilde ifade ediniz.
Çözümü GösterDevirli ondalıklı sayıyı geometrik seri formuna getirelim.
\( 2,\overline{636} = 2,636636636636... \)
\( = 2 + 0,636 + 0,000636 + 0,000000636 + 0,000000000636 + \ldots \)
\( = 2 + \dfrac{636}{1000} + \dfrac{636}{1000^2} + \dfrac{636}{1000^3} + \dfrac{636}{1000^4} + \ldots \)
\( = 2 + \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{636}{1000}\left( \dfrac{1}{1000} \right)^{n-1}} \)
Seri ilk terimi \( a = \frac{636}{1000} \) ve ortak oranı \( r = \frac{1}{1000} \) olan bir geometrik seridir.
\( \abs{r} = \frac{1}{1000} \lt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
Serinin toplamını bulalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = 2 + \dfrac{\frac{636}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} \)
\( = 2 + \dfrac{636}{999} \)
\( = 2 + \dfrac{212}{333} = \dfrac{878}{333} \) bulunur.
\( 3^x + 9^x + 27^x + 81^x + 243^x + \ldots = 1 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterSeriyi geometrik seri formunda yazalım.
\( 3^x + 9^x + 27^x + 81^x + 243^x + \ldots = 1 \)
\( 3^x + (3^2)^x + (3^3)^x + (3^4)^x + (3^5)^x + \ldots = 1 \)
\( 3^x + (3^x)^2 + (3^x)^3 + (3^x)^4 + (3^x)^5 + \ldots = 1 \)
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {(3^x)^n} = 1 \)
\( r = 3^x \) geometrik serinin ortak oranı olmak üzere, serinin toplamı bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için seri yakınsaktır, dolayısıyla \( \abs{r} \lt 1 \) olur.
Yakınsak geometrik serilerin toplam formülünü yazalım.
\( a \) serinin ilk terimi olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {ar^{n-1}} = \dfrac{a}{1 - r} \)
\( = \dfrac{3^x}{1 - 3^x} = 1 \)
\( 3^x = 1 - 3^x \)
\( 3^x = \dfrac{1}{2} \)
\( x = \log_3{\dfrac{1}{2}} \)
\( = \log_3{2^{-1}} \)
\( = -\log_3{2} \) bulunur.