İntegral Testi
Konu tekrarı için: Genelleştirilmiş İntegral
İntegral testi bir serinin yakınsaklık/ıraksaklık durumuna, tam sayı \( x \) değerlerinde bu seri ile aynı değerlere sahip olan bir fonksiyonun integralinin yakınsaklık/ıraksaklık durumuna bakarak karar vermemize imkan sağlar.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) bir seri ve,
\( f(x) \) tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan sürekli, pozitif değerli ve azalan bir fonksiyon olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisi ve \( \displaystyle\int_{1}^{\infty} {f(x)\ dx} \) genelleştirilmiş integrali ya birlikte yakınsaktır ya da birlikte ıraksaktır.
Genelleştirilmiş integral konusunda gördüğümüz üzere, bir fonksiyonun bir aralıktaki integrali bir reel sayı olarak tanımlı ise bu integral yakınsaktır, aksi takdirde ıraksaktır.
Bu testi kullanabilmek için testin tanımındaki koşulların her \( n \) yerine herhangi bir \( n \ge k \) için sağlanması yeterlidir.
Yakınsak serilerde bu test ile elde edilen integral değeri serinin yakınsadığı değeri vermez, ancak serinin toplamı için bir üst sınır değeri oluşturur.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}{\dfrac{6}{n\ln^4{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{6}{n\ln^4{n}}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{6}{x\ln^4{x}} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{-6(\ln{x} + 4)}{x^2\ln^5{x}} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{\infty} {\dfrac{6}{x\ln^4{x}}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_{2}^{t} \dfrac{6}{x\ln^4{x}}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
İfadenin integralini \( u = \ln{x} \) ve \( du = \frac{1}{x}\ dx \) şeklinde değişken değiştirerek alabiliriz.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{2}{\ln^3{x}})|_{2}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{2}{\ln^3{t}} - (-\dfrac{2}{\ln^3{2}})) \)
\( = \dfrac{2}{\ln^3{2}} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{2}{\ln^3{t}}} \)
\( t \to \infty \) iken \( \ln{t} \to \infty \) olur.
\( \ln{t} \to \infty \) iken \( \dfrac{2}{\ln^3{t}} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{2}{\ln^3{2}} - 0 = \dfrac{2}{\ln^3{2}} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
p-Serisi Testi
Aşağıdaki formdaki serilere \( p \)-serisi adı verilir.
\( p \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^p}} \)
\( p = 1 \) için \( p \)-serisi:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots \)
\( p = \frac{1}{2} \) için \( p \)-serisi:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n}}} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \ldots \)
\( p = 3 \) için \( p \)-serisi:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^3}} = 1 + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + \ldots \)
Önceki bölümde gördüğümüz harmonik seriler \( p = 1 \) olan \( p \)-serileridir.
\( p \)-serilerininin yakınsaklığı/ıraksaklığı \( p \) değerine göre belirlenir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^p}} \) serisi,
- \( p \gt 1 \) ise yakınsaktır.
- \( 0 \lt p \le 1 \) ise ıraksaktır.
Aşağıdaki \( p \)-serileri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}}, \quad \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^5}}} \)
Aşağıdaki \( p \)-serileri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}}, \quad \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}} \)
İSPATI GÖSTER
Herhangi bir \( p \) değeri için \( p \)-serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu bulmak için integral testini uygulayalım.
Her \( x \ge 1 \) için \( f(x) = \frac{1}{x^p} \) fonksiyonu sürekli, pozitif terimli ve azalandır.
\( \displaystyle\int_1^{\infty} {\dfrac{1}{x^p}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_1^t {\dfrac{1}{x^p}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{x^{1-p}}{1 - p}|_1^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\dfrac{t^{1-p}}{1 - p} - \dfrac{1^{1-p}}{1 - p}) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\dfrac{t^{1-p}}{1 - p} - \dfrac{1}{1 - p}) \)
\( = \dfrac{1}{1 - p}\lim\limits_{t \to \infty} t^{1-p} - \dfrac{1}{1 - p} \)
Bu ifadeyi \( p \) değerinin üç farklı durumu için ayrı ayrı ele alalım.
Durum 1: \( p \gt 1 \)
Bu durumda \( 1 - p \lt 0 \) olur.
\( t \to \infty \) iken \( t^{1-p} = \dfrac{1}{t^{p-1}} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1}{1 - p}(0) - \dfrac{1}{1 - p} \)
\( = -\dfrac{1}{1 - p} = \dfrac{1}{p - 1} \)
İntegral değeri bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için bu genelleştirilmiş integral yakınsaktır, dolayısıyla \( p \)-serisi de yakınsaktır.
Durum 2: \( p \lt 1 \)
Bu durumda \( 1 - p \gt 0 \) olur.
\( t \to \infty \) iken \( t^{1-p} \to \infty \) olur.
\( = \dfrac{1}{1 - p}(\infty) - \dfrac{1}{1 - p} \)
\( = \infty \)
İntegral değeri bir reel sayı olarak tanımlı olmadığı için bu genelleştirilmiş integral ıraksaktır, dolayısıyla \( p \)-serisi de ıraksaktır.
Durum 3: \( p = 1 \)
Bu durumda seri bir harmonik seri olur.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^p}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
Daha önce ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, harmonik seriler ıraksaktır.
\( p \)-serisi testi bir \( p \)-serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirler, yakınsak ise yakınsadığı değeri vermez.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{e}{3}}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü GösterVerilen seri bir \( p \)-serisidir.
\( p \)-serileri \( p \gt 1 \) ise yakınsak, \( 0 \lt p \le 1 \) ise ıraksaktır.
Verilen seride \( p = \frac{e}{3} \le 1 \) olduğu için seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt[5]{n^7}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{\sqrt[5]{n^7}}} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^{\frac{7}{5}}}} \)
Verilen seri bir \( p \)-serisidir.
\( p \)-serileri \( p \gt 1 \) ise yakınsak, \( 0 \lt p \le 1 \) ise ıraksaktır.
Verilen seride \( p = \frac{7}{5} \gt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster1. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{x^2} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [1, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{-2}{x^3} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [1, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} {\dfrac{1}{x^2}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{1}^{t} {\dfrac{1}{x^2}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{1}{x})|_{1}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{1}{t} - (-\dfrac{1}{1})) \)
\( = 1 - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{1}{t}} \)
\( = 1 - 0 = 1 \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
2. yöntem:
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2}} \)
Verilen seri bir \( p \)-serisidir.
\( p \)-serileri \( p \gt 1 \) ise yakınsak, \( 0 \lt p \le 1 \) ise ıraksaktır.
Verilen seride \( p = 2 \gt 1 \) olduğu için seri yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1}{n\ln{n}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1}{n\ln{n}}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{x\ln{x}} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{-(\ln{x} + 1)}{x^2(\ln{x})^2} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{\infty} {\dfrac{1}{x\ln{x}}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{2}^{t} {\dfrac{1}{x\ln{x}}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
İfadenin integralini \( u = \ln{x} \) ve \( du = \frac{1}{x}\ dx \) şeklinde değişken değiştirerek alabiliriz.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln(\ln{x}))|_{2}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln(\ln{t}) - \ln(\ln{2})) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} {\ln(\ln{t})} - \ln(\ln{2}) \)
\( t \to \infty\) iken \( \ln{t} \to \infty \) olur.
\( \ln{t} \to \infty \) iken \( \ln(\ln{t}) \to \infty \) olur.
\( = \infty - \ln(\ln{2}) = \infty \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olmadığı için ıraksaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi ıraksak olduğu için verilen seri de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2 + 9}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n^2 + 9}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 9} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [1, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 + 9)^2} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [1, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} {\dfrac{1}{x^2 + 9}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{1}^{t} {\dfrac{1}{x^2 + 9}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
Aşağıdaki integral kuralını kullanalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{a^2 + x^2}} = \dfrac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \dfrac{1}{3}\arctan{\dfrac{x}{3}} \right)|_{1}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \dfrac{1}{3}\arctan{\dfrac{t}{3}} - \dfrac{1}{3}\arctan{\dfrac{1}{3}} \right) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \dfrac{1}{3}\arctan{\dfrac{t}{3}} \right) - \dfrac{1}{3}\arctan{\dfrac{1}{3}} \)
\( t \to \infty \) iken \( \arctan{\frac{t}{3}} \to \frac{\pi}{2} \) olur.
\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{3}\arctan{\dfrac{1}{3}} \)
\( = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{1}{3}\arctan{\dfrac{1}{3}} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n + 5}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{n + 5}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{x + 5} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [1, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{-1}{(x + 5)^2} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [1, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} {\dfrac{1}{x + 5}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{1}^{t} {\dfrac{1}{x + 5}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{x + 5}})|_{1}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{t + 5}} - \ln(1 + 5)) \)
\( t \to \infty \) iken \( \ln{\abs{t + 5}} \to \infty \) olur.
\( = \infty - \ln{6} = \infty \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olmadığı için ıraksaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi ıraksak olduğu için verilen seri de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty}{\dfrac{1}{n(\ln{n})^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{1}{n(\ln{n})^2}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{x(\ln{x})^2} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{-(\ln{x} + 2)}{x^2(\ln{x})^3} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{\infty} {\dfrac{1}{x(\ln{x})^2}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{2}^{t} {\dfrac{1}{x(\ln{x})^2}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
İfadenin integralini \( u = \ln{x} \) ve \( du = \frac{1}{x}\ dx \) şeklinde değişken değiştirerek alabiliriz.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( -\dfrac{1}{\ln{x}} \right)|_{2}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( -\dfrac{1}{\ln{t}} - (-\dfrac{1}{\ln{2}}) \right) \)
\( = \dfrac{1}{\ln{2}} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{1}{\ln{t}}} \)
\( t \to \infty \) iken \( \ln{t} \to \infty \) olur.
\( \ln{t} \to \infty \) iken \( \frac{1}{\ln{t}} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1}{\ln{2}} - 0 = \dfrac{1}{\ln{2}} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{\ln(n + 1)}{n + 1}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{\ln(n + 1)}{n + 1}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{\ln(x + 1)}{x + 1} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{1 - \ln(x + 1)}{(x + 1)^2} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{\infty} {\dfrac{\ln(x + 1)}{x + 1}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{2}^{t} {\dfrac{\ln(x + 1)}{x + 1}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
İfadenin integralini \( u = \ln(x + 1) \) ve \( du = \frac{1}{x + 1}\ dx \) şeklinde değişken değiştirerek alabiliriz.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \dfrac{[\ln(x + 1)]^2}{2} \right)|_{2}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \dfrac{[\ln(t + 1)]^2}{2} - \dfrac{(\ln{3})^2}{2} \right) \)
\( t \to \infty \) iken \( \ln(t + 1) \to \infty \) olur.
\( = \infty -\dfrac{(\ln{3})^2}{2} = \infty \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olmadığı için ıraksaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi ıraksak olduğu için verilen seri de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{1 + e^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{1 + e^n}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{1 + e^x} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [1, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{-e^x}{(1 + e^x)^2} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [1, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} {\dfrac{1}{1 + e^x}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{1}^{t} {\dfrac{1}{1 + e^x}\ dx}} \)
Pay ve paydayı \( e^{-x} \) ile çarpalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{1}^{t} {\dfrac{e^{-x}}{e^{-x} + 1}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
İfadenin integralini \( u = e^{-x} + 1 \) ve \( du = -e^{-x}\ dx \) şeklinde değişken değiştirerek alabiliriz.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\ln(e^{-x} + 1))|_{1}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\ln(e^{-t} + 1) - (-\ln(e^{-1} + 1))) \)
\( = \ln(e^{-1} + 1) - \lim\limits_{t \to \infty} {\ln(e^{-t} + 1)} \)
\( t \to \infty \) iken \( e^{-t} \to 0 \) olur.
\( e^{-t} \to 0 \) iken \( \ln(e^{-t} + 1) \to 0 \) olur.
\( = \ln(e^{-1} + 1) - 0 \)
\( = \ln{\dfrac{1 + e}{e}} \)
\( = \ln(1 + e) - \ln{e} \)
\( = \ln(1 + e) - 1 \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2n}{e^{n^2}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2n}{e^{n^2}}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{2x}{e^{x^2}} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [1, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{2(1 - 2x^2)}{e^{x^2}} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [1, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} {\dfrac{2x}{e^{x^2}}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{1}^{t} {\dfrac{2x}{e^{x^2}}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( -\dfrac{1}{e^{x^2}} \right)|_{1}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( -\dfrac{1}{e^{t^2}} - (-\dfrac{1}{e}) \right) \)
\( = \dfrac{1}{e} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{1}{e^{t^2}}} \)
\( = \dfrac{1}{e} - 0 = \dfrac{1}{e} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n}{e^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n}{e^n}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x}{e^x} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [1, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{1 - x}{e^x} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{\infty} {\dfrac{x}{e^x}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{2}^{t} {xe^{-x}\ dx}} \)
İfadenin integralini kısmi integral alma yöntemi ile alalım.
\( u = x, \quad du = dx \)
\( v = -e^{-x}, \quad dv = e^{-x}\ dx \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-xe^{-x} - e^{-x})|_{2}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-te^{-t} - e^{-t} - (-2e^{-2} - e^{-2})) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \dfrac{-t - 1}{e^t} + \dfrac{3}{e^2} \right) \)
\( = \dfrac{3}{e^2} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{t + 1}{e^t}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \dfrac{3}{e^2} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{1}{e^t}} \)
\( = \dfrac{3}{e^2} - 0 = \dfrac{3}{e^2} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için \( \sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n}{e^n}} = \dfrac{1}{e} + \underbrace{\displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{n}{e^n}}}_\text{yakınsak} \)
Bir seriye sonlu sayıda terim eklenmesi ya da çıkarılması serinin yakınsaklığını ya da ıraksaklığını değiştirmez.
Buna göre \( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{(n + 3)^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{1}{(n + 3)^2}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{(x + 3)^2} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [1, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{-2}{(x + 3)^3} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [1, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} {\dfrac{1}{(x + 3)^2}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{1}^{t} {\dfrac{1}{(x + 3)^2}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( -\dfrac{1}{x + 3} \right)|_{1}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( -\dfrac{1}{t + 3} - (-\dfrac{1}{1 + 3}) \right) \)
\( = \dfrac{1}{4} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{1}{t + 3}} \)
\( = \dfrac{1}{4} - 0 = \dfrac{1}{4} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{2n}{n^2 + 4}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{2n}{n^2 + 4}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{8 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [3, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [3, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{3}^{\infty} {\dfrac{2x}{x^2 + 4}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{3}^{t} {\dfrac{2x}{x^2 + 4}\ dx}} \)
İfadenin integralini alalım.
İfadenin integralini \( u = x^2 + 4 \) ve \( du = 2x\ dx \) şeklinde değişken değiştirerek alabiliriz.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln(x^2 + 4))|_{3}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln(t^2 + 4) - \ln(3^2 + 4)) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} {\ln(t^2 + 4)} - \ln{13} \)
\( t \to \infty \) iken \( \ln(t^2 + 2) \to \infty \) olur.
\( = \infty - \ln{13} = \infty \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olmadığı için ıraksaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi ıraksak olduğu için \( \sum_{n = 3}^{\infty} {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{2n}{n^2 + 4}} = \dfrac{4}{8} + \underbrace{\displaystyle\sum_{n = 3}^{\infty} {\dfrac{2n}{n^2 + 4}}}_\text{ıraksak} \)
Bir seriye sonlu sayıda terim eklenmesi ya da çıkarılması serinin yakınsaklığını ya da ıraksaklığını değiştirmez.
Buna göre \( \sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{\ln{n}}{e^n}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{\ln{n}}{e^n}} \)
Bu seri ile aşağıdaki seri arasında direkt karşılaştırma testi uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {b_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{n}{e^n}} \)
İki serinin de terimleri her \( n \ge 2 \) için pozitiftir.
Paydaları eşit iki ifadeden payı büyük olan daha büyüktür (\( \ln{n} \lt n \)).
\( a_n = \dfrac{\ln{n}}{e^n} \lt \dfrac{n}{e^n} = b_n \)
\( \sum {b_n} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu incelemek için seriye integral testini uygulayalım.
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( b_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x}{e^x} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{1 - x}{e^x} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {b_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{\infty} {\dfrac{x}{e^x}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{2}^{t} {xe^{-x}\ dx}} \)
İfadenin integralini kısmi integral alma yöntemi ile alalım.
\( u = x, \quad du = dx \)
\( v = -e^{-x}, \quad dv = e^{-x}\ dx \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-xe^{-x} - e^{-x})|_{2}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-te^{-t} - e^{-t} - (-2e^{-2} - e^{-2})) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \dfrac{-t - 1}{e^t} + \dfrac{3}{e^2} \right) \)
\( = \dfrac{3}{e^2} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{t + 1}{e^t}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \dfrac{3}{e^2} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{1}{e^t}} \)
\( = \dfrac{3}{e^2} - 0 = \dfrac{3}{e^2} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için \( \sum {b_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \sum {b_n} \) serisi yakınsak ve her \( n \ge 2 \) için \( a_n \lt b_n \) olduğu için direkt karşılaştırma testine göre \( \sum {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{\ln{n}}{n^2}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{\ln{n}}{n^2}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{\ln{x}}{x^2} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln{x}}{x^3} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [2, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{\infty} {\dfrac{\ln{x}}{x^2}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{2}^{t} {\dfrac{\ln{x}}{x^2}\ dx}} \)
İfadenin integralini kısmi integral alma yöntemi ile alalım.
\( u = \ln{x}, \quad du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = -\dfrac{1}{x}, \quad dv = \dfrac{1}{x^2}\ dx \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( -\dfrac{\ln{x}}{x} - \dfrac{1}{x} \right)|_{2}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( -\dfrac{\ln{t}}{t} - \dfrac{1}{t} - (-\dfrac{\ln{2}}{2} - \dfrac{1}{2}) \right) \)
\( = \dfrac{\ln{2} + 1}{2} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\ln{t} + 1}{t}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \dfrac{\ln{2} + 1}{2} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{1}{t}} \)
\( = \dfrac{\ln{2} + 1}{2} - 0 \)
\( = \dfrac{\ln{2} + 1}{2} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{n - 2}{n^2 - 2n + 1}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{n - 2}{(n - 1)^2}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [2, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [2, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [3, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{3 - x}{(x - 1)^3} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [4, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [4, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
\( \displaystyle\int_{4}^{\infty} {\dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}\ dx} = \displaystyle\int_{4}^{\infty} \left( \dfrac{x - 1}{(x - 1)^2} - \dfrac{1}{(x - 1)^2} \right)\ dx \)
\( = \displaystyle\int_{4}^{\infty} \left( \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{(x - 1)^2} \right)\ dx \)
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{4}^{t} \left( \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{(x - 1)^2} \right)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \ln{\abs{x - 1}} + \dfrac{1}{x - 1} \right)|_{4}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \ln{\abs{t - 1}} + \dfrac{1}{t - 1} - (\ln{\abs{4 - 1}} + \dfrac{1}{4 - 1}) \right) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( \ln{\abs{t - 1}} + \dfrac{1}{t - 1} \right) - \ln{3} - \dfrac{1}{3} \)
\( t \to \infty \) iken \( \ln{\abs{t - 1}} \to \infty \) olur.
\( t \to \infty \) iken \( \frac{1}{t - 1} \to 0 \) olur.
\( = \infty + 0 - \ln{3} - \dfrac{1}{3} \)
\( = \infty \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olmadığı için ıraksaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi ıraksak olduğu için \( \sum_{n = 4}^{\infty} {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{n - 2}{(n - 1)^2}} = 0 + \dfrac{1}{4} + \underbrace{\displaystyle\sum_{n = 4}^{\infty} {\dfrac{n - 2}{(n - 1)^2}}}_\text{ıraksak} \)
Bir seriye sonlu sayıda terim eklenmesi ya da çıkarılması serinin yakınsaklığını ya da ıraksaklığını değiştirmez.
Buna göre \( \sum_{n = 2}^{\infty} {a_n} \) serisi de ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}{\dfrac{n^2} {e^{\frac{n}{2}}}} \) serisinin yakınsaklık/ıraksaklık durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{e^{\frac{n}{2}}}} \)
Tam sayı \( x = n \) değerlerinde \( a_n \) dizisi ile aynı değerlere sahip olan bir \( f(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x^2}{e^{\frac{x}{2}}} \)
\( f \) fonksiyonunun integral testi koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Koşul 1: Sürekli fonksiyon
\( f \) fonksiyonunu \( [1, \infty) \) aralığında tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Koşul 2: Pozitif değerli fonksiyon
\( f \) fonksiyonu \( [1, \infty) \) aralığında pozitiftir.
Koşul 3: Azalan fonksiyon
Fonksiyonun monotonluk durumunu türev testi ile kontrol edelim.
\( f'(x) = \dfrac{x(4 - x)}{2e^{\frac{x}{2}}} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [5, \infty) \) aralığında birinci türevi negatif olduğu için fonksiyon bu aralıkta monoton azalandır.
\( f \) fonksiyonu \( [5, \infty) \) aralığında sürekli, pozitif değerli ve azalan olduğu için integral testini kullanabiliriz.
\( \sum {a_n} \) serisinin yakınsaklığı/ıraksaklığını göstermek için \( \int {f(x)\ dx} \) integralinin yakınsaklığını/ıraksaklığını inceleyelim.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{5}^{\infty} {\dfrac{x^2}{e^{\frac{x}{2}}}\ dx} = \lim\limits_{t \to \infty} {\displaystyle\int_{5}^{t} {x^2e^{-\frac{x}{2}}\ dx}} \)
İfadenin integralini kısmi integral alma yöntemi ile alalım.
\( u = x^2, \quad du = 2x\ dx \)
\( v = -2e^{-\frac{x}{2}}, \quad dv = e^{-\frac{x}{2}}\ dx \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( (-2x^2e^{-\frac{x}{2}})|_{5}^{t} - \displaystyle\int_{5}^{t} {-4xe^{-\frac{x}{2}}\ dx} \right) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( (-2x^2e^{-\frac{x}{2}})|_{5}^{t} + \displaystyle\int_{5}^{t} {4xe^{-\frac{x}{2}}\ dx} \right) \)
Tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u = 4x, \quad du = 4\ dx \)
\( v = -2e^{-\frac{x}{2}}, \quad dv = e^{-\frac{x}{2}}\ dx \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( (-2x^2e^{-\frac{x}{2}})|_{5}^{t} + (-8xe^{-\frac{x}{2}})|_{5}^{t} - \displaystyle\int_{5}^{t} {-8e^{-\frac{x}{2}}\ dx} \right) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( (-2x^2e^{-\frac{x}{2}})|_{5}^{t} + (-8xe^{-\frac{x}{2}})|_{5}^{t} - (16e^{-\frac{x}{2}})|_{5}^{t} \right) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \left( (-2t^2e^{-\frac{t}{2}} - (-2(5)^2e^{-\frac{5}{2}})) + (-8te^{-\frac{t}{2}} - (-8(5)e^{-\frac{5}{2}})) - (16e^{-\frac{t}{2}} - (16e^{-\frac{5}{2}})) \right) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-2t^2e^{-\frac{t}{2}} + 50e^{-\frac{5}{2}} - 8te^{-\frac{t}{2}} + 40e^{-\frac{5}{2}} - 16e^{-\frac{t}{2}} + 16e^{-\frac{5}{2}}) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-2t^2e^{-\frac{t}{2}} - 8te^{-\frac{t}{2}} - 16e^{-\frac{t}{2}} + 106e^{-\frac{5}{2}}) \)
\( = \dfrac{106}{e^{\frac{5}{2}}} - \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{2t^2 + 8t + 16}{e^{\frac{t}{2}}} \)
Elde ettiğimiz limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır. Dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \dfrac{106}{e^{\frac{5}{2}}} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{4t + 8}{\frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}}} \)
Belirsizlik devam ettiği için tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \dfrac{106}{e^{\frac{5}{2}}} - \lim\limits_{t \to \infty} {\dfrac{4}{\frac{1}{4}e^{\frac{t}{2}}}} \)
\( = \dfrac{106}{e^{\frac{5}{2}}} - 0 = \dfrac{106}{e^{\frac{5}{2}}} \)
Genelleştirilmiş integral ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı olduğu için yakınsaktır.
İntegral testine göre, bu integral ifadesi yakınsak olduğu için \( \sum_{n = 5}^{\infty} {a_n} \) serisi de yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{e^{\frac{n}{2}}}} = \dfrac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + \dfrac{4}{e} + \dfrac{9}{e^{\frac{3}{2}}} + \dfrac{16}{e^2} + \underbrace{\displaystyle\sum_{n = 5}^{\infty} {\dfrac{n^2}{e^{\frac{n}{2}}}}}_\text{yakınsak} \)
Bir seriye sonlu sayıda terim eklenmesi ya da çıkarılması serinin yakınsaklığını ya da ıraksaklığını değiştirmez.
Buna göre \( \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n} \) serisi de yakınsaktır.