Satır İşlemleri ile Determinant
Konu tekrarı için: Temel Satır İşlemleri | Gauss Eliminasyon Yöntemi
Determinantın özelliklerinde alt ve üst üçgen matrislerin determinantının ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşit olduğunu belirtmiştik. Bir matris temel satır işlemleri ile alt ya da üst üçgen matris formuna getirilerek ve bu özellik kullanılarak, bir matrisin determinantı çoğu zaman kofaktör açılımından daha hızlı bir şekilde hesaplanabilir.
Satır İşlemleri ve Determinant İlişkisi
Temel satır işlemlerinin bir matrisin determinantına etkisi aşağıdaki gibi olur.
Yer Değiştirme Satır İşlemi
Yer değiştirme satır işlemi ile bir matrisin iki satırı aralarında yer değiştirirse yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur.
\( A \) matrisine bir satır yer değiştirme işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = -det(A) \)
Çarpma Satır İşlemi
Çarpma satır işlemi ile matrisin bir satırı \( k \) reel sayısı ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur.
\( A \) matrisine bir satır çarpma işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = k \cdot det(A) \)
Toplama Satır İşlemi
Toplama satır işlemi ile bir satırın \( c \) katı diğer bir satırla toplanırsa matrisin determinantı değişmez.
\( A \) matrisine bir satır toplama işlemi uygulandığında elde edilen matris \( B \) olmak üzere,
\( det(B) = det(A) \)
Örnek olarak \( 4 \times 4 \) boyutundaki bir matrisi önce üst üçgen forma getirelim, daha sonra determinantını hesaplayalım.
Matrisi Üst Üçgen Forma Getirme
Bir kare matrisi üst üçgen forma getirmek için aşağıdaki adımlar takip edilir.
- İşleme matrisin ana köşegeni üzerinde en sol üstteki eleman olan \( a_{11} \) ile başlanır ve bu elemanın aynı sütunda altında bulunan elemanlar toplama satır işlemi ile sırayla sıfıra eşitlenir.
- Yapılan her satır işleminin determinanta olan etkisi takip edilir.
- Bir sütun tamamlandığında ilk iki adım sağa doğru ana köşegen üzerindeki diğer elemanlar için tekrarlanır.
\( A = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile determinantını bulalım.
Matrisi satır işlemleri uygulayarak üst üçgen formuna getirelim ve her adımda elde ettiğimiz matrisin determinantını \( A \) matrisinin determinantı cinsinden takip edelim.
|
Verilen \( A \) matrisinin determinantına \( det(A) \) diyelim. \( det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{11} \) elemanını 1'e eşitlemek için 1. ve 2. satırlar arasında yer değiştirme yapalım. \( R_1 \leftrightarrow R_2 \) Yer değiştirme işlemi sonucunda yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur. \( -det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ -2 & 1 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{11} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -3R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( -2R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -det(A) \) \( a_{11} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{22} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 4 & 11 \\ 0 & 2 & -4 & -14 \\ 0 & 2 & -5 & -10 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{22} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 2R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -det(A) \) \( a_{22} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{33} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 4 & 11 \\ 0 & 0 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & 12 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{33} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{4} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{4}R_3 \rightarrow R_3 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( -\dfrac{1}{4}det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 4 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 12 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{33} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -3R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -\dfrac{1}{4}det(A) \) \( a_{33} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{44} \) ana köşegenin son elemanıdır ve altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur. Buna göre elde ettiğimiz matris üst üçgen formundadır. |
\( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 4 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \) |
Determinant Hesaplama
Alt ya da üst üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( -\dfrac{1}{4}det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 6 = -6 \)
Bu eşitlikten \( A \) matrisin determinantı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( det(A) = -6 \cdot (-4) \)
\( det(A) = 24 \) bulunur.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} & 2 \\ 2 & -1 & -\frac{2}{3} \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile determinantını bulunuz.
Çözümü GösterMatrisi satır işlemleri uygulayarak üst üçgen formuna getirelim ve her adımda elde ettiğimiz matrisin determinantını \( A \) matrisinin determinantı cinsinden takip edelim.
|
Verilen \( A \) matrisinin determinantına \( det(A) \) diyelim. \( det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} & 2 \\ 2 & -1 & -\frac{2}{3} \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{11} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( det(A) \) \( a_{11} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{22} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} & 2 \\ 0 & -6 & -\frac{14}{3} \\ 0 & \frac{5}{2} & 3 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{22} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{6} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{6}R_2 \rightarrow R_2 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{1}{6}det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} & 2 \\ 0 & -1 & -\frac{7}{9} \\ 0 & \frac{5}{2} & 3 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{22} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{5}{2}R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( \dfrac{1}{6}det(A) \) \( a_{22} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{33} \) ana köşegenin son elemanıdır ve altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur. Buna göre elde ettiğimiz matris üst üçgen formundadır. |
\( \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} & 2 \\ 0 & -1 & -\frac{7}{9} \\ 0 & 0 & \frac{19}{18} \end{bmatrix} \) |
Alt ya da üst üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( \dfrac{1}{6}det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot \dfrac{19}{18} = -\dfrac{19}{18} \)
Bu eşitlikten \( A \) matrisin determinantı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( det(A) = 6 \cdot \left( -\dfrac{19}{18} \right) \)
\( = -\dfrac{19}{3} \) bulunur.
\( A \) matrisine sırasıyla aşağıdaki satır işlemleri uygulandığında \( B \) matrisi elde ediliyor.
- \( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \)
- \( 5R_2 \rightarrow R_2 \)
- \( R_3 \leftrightarrow R_5 \)
- \( -3R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \)
- \( 7R_3 + R_5 \rightarrow R_5 \)
- \( -2R_5 \rightarrow R_5 \)
\( B \) matrisi aşağıdaki gibi olduğuna göre, \( A \) matrisinin determinantı kaçtır?
\( B = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & -5 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \)
Çözümü GösterÖnce \( B \) matrisinin determinantını bulalım.
\( B \) matrisi üst üçgen matris olduğu için determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.
\( det(B) = 3 \cdot (-1) \cdot (-5) \cdot 4 \cdot 2 \)
\( = 120 \)
\( A \) matrisinin determinantına \( det(A) \) diyelim ve matrise uygulanan her satır işlemi sonucunda oluşan matrisin determinantını bulalım.
\( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \)
Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez, dolayısıyla elde edilen matrisin determinantı yine \( det(A) \) olur.
\( 5R_2 \rightarrow R_2 \)
Matrisin bir satırı \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur, dolayısıyla elde edilen matrisin determinantı \( 5\ det(A) \) olur.
\( R_3 \leftrightarrow R_5 \)
Yer değiştirme işlemi sonucunda yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur, dolayısıyla elde edilen matrisin determinantı \( -5\ det(A) \) olur.
\( -3R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \)
Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez, dolayısıyla elde edilen matrisin determinantı yine \( -5\ det(A) \) olur.
\( 7R_3 + R_5 \rightarrow R_5 \)
Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez, dolayısıyla elde edilen matrisin determinantı yine \( -5\ det(A) \) olur.
\( -2R_5 \rightarrow R_5 \)
Matrisin bir satırı \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur, dolayısıyla elde edilen matrisin determinantı \( -2 \cdot (-5)\ det(A) = 10\ det(A) \) olur.
Bu işlemler sonucunda \( B \) matrisi elde edildiğine göre, bulduğumuz determinant değeri \( B \) matrisinin determinantına eşittir.
\( 10\ det(A) = det(B) = 120 \)
\( det(A) = 12 \) bulunur.
\( X = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & -3 \\ -3 & -3 & 18 & 12 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 1 & 4 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile determinantını bulunuz.
Çözümü GösterMatrisi satır işlemleri uygulayarak üst üçgen formuna getirelim ve her adımda elde ettiğimiz matrisin determinantını \( X \) matrisinin determinantı cinsinden takip edelim.
|
Verilen \( X \) matrisinin determinantına \( det(X) \) diyelim. \( det(X) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & -3 \\ -3 & -3 & 18 & 12 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 1 & 4 \end{bmatrix} \) |
|
\( x_{11} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 3R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -2R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 3R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( det(X) \) \( x_{11} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( x_{22} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 3 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( x_{22} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{3} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{3}R_2 \rightarrow R_2 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{1}{3}det(X) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \end{bmatrix} \) |
|
\( x_{22} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( \dfrac{1}{3}det(X) \) \( x_{22} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( x_{33} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \end{bmatrix} \) |
|
\( x_{33} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 5R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( \dfrac{1}{3}det(X) \) \( x_{33} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( x_{44} \) ana köşegenin son elemanıdır ve altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur. Buna göre elde ettiğimiz matris üst üçgen formundadır. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 30 \end{bmatrix} \) |
Alt ya da üst üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( \dfrac{1}{3}det(X) = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 30 = 30 \)
Bu eşitlikten \( X \) matrisin determinantı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( det(X) = 3 \cdot 30 \)
\( = 90 \) bulunur.
\( B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 & -2 \\ -3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & -4 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile determinantını bulunuz.
Çözümü GösterMatrisi satır işlemleri uygulayarak üst üçgen formuna getirelim ve her adımda elde ettiğimiz matrisin determinantını \( B \) matrisinin determinantı cinsinden takip edelim.
|
Verilen \( B \) matrisinin determinantına \( det(B) \) diyelim. \( det(B) \) |
\( \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 & -2 \\ -3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & -4 & 0 & 3 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( b_{11} \) elemanını 1'e eşitlemek için 1. ve 4. satırlar arasında yer değiştirme yapalım. \( R_1 \leftrightarrow R_4 \) Yer değiştirme işlemi sonucunda yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur. \( -det(B) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & -2 \\ -3 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 4 \end{bmatrix} \) |
|
\( b_{11} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 3R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( -2R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -det(B) \) \( b_{11} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( b_{22} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & -2 \\ 0 & -10 & 4 & 10 \\ 0 & 11 & -1 & -2 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( b_{22} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{5} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{5}R_2 \rightarrow R_2 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{1}{5} \cdot (-det(B)) = -\dfrac{1}{5}det(B) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \\ 0 & -10 & 4 & 10 \\ 0 & 11 & -1 & -2 \end{bmatrix} \) |
|
\( b_{22} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 10R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( -11R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -\dfrac{1}{5}det(B) \) \( b_{22} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( b_{33} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & -\frac{16}{5} & \frac{12}{5} \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( b_{33} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{6} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{6}R_3 \rightarrow R_3 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{1}{6} \cdot \left[ -\dfrac{1}{5}det(B) \right] = -\dfrac{1}{30}det(B) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{16}{5} & \frac{12}{5} \end{bmatrix} \) |
|
\( b_{33} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{16}{5}R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -\dfrac{1}{30}det(B) \) \( b_{33} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( b_{44} \) ana köşegenin son elemanıdır ve altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur. Buna göre elde ettiğimiz matris üst üçgen formundadır. |
\( \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{28}{5} \end{bmatrix} \) |
Alt ya da üst üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( -\dfrac{1}{30}det(B) = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{28}{5} = \dfrac{28}{5} \)
Bu eşitlikten \( B \) matrisin determinantı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( det(B) = -30 \cdot \dfrac{28}{5} \)
\( = -168 \) bulunur.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile determinantını bulunuz.
Çözümü GösterMatrisi satır işlemleri uygulayarak üst üçgen formuna getirelim ve her adımda elde ettiğimiz matrisin determinantını \( A \) matrisinin determinantı cinsinden takip edelim.
|
Verilen \( A \) matrisinin determinantına \( det(A) \) diyelim. \( det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{11} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -2R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( det(A) \) \( a_{11} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{22} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -5 & 1 & 3 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{22} \) elemanını 1'e eşitlemek için 2. ve 3. satırlar arasında yer değiştirme yapalım. \( R_2 \leftrightarrow R_3 \) Yer değiştirme işlemi sonucunda yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur. \( -det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & 1 & 3 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{22} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -5R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 5R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -det(A) \) \( a_{22} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{33} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -9 & -16 \\ 0 & 0 & 11 & 18 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{33} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{9} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{9}R_3 \rightarrow R_3 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{1}{9} \cdot (-det(A)) = -\dfrac{1}{9}det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & -\frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 11 & 18 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{33} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 11R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -\dfrac{1}{9}det(A) \) \( a_{33} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{44} \) ana köşegenin son elemanıdır ve altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur. Buna göre elde ettiğimiz matris üst üçgen formundadır. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & -\frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{14}{9} \end{bmatrix} \) |
Alt ya da üst üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( -\dfrac{1}{9}det(A) = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot \left( -\dfrac{14}{9} \right) = \dfrac{14}{9} \)
Bu eşitlikten \( A \) matrisin determinantı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( det(A) = -9 \cdot \dfrac{14}{9} \)
\( = -14 \) bulunur.
\( A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 8 & 2 & 7 \\ 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ -4 & 1 & 1 & 3 & -1 \\ -5 & 2 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile determinantını bulunuz.
Çözümü GösterMatrisi satır işlemleri uygulayarak üst üçgen formuna getirelim ve her adımda elde ettiğimiz matrisin determinantını \( A \) matrisinin determinantı cinsinden takip edelim.
|
Verilen \( A \) matrisinin determinantına \( det(A) \) diyelim. \( det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 8 & 2 & 7 \\ 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ -4 & 1 & 1 & 3 & -1 \\ -5 & 2 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{11} \) elemanını 1'e eşitlemek için 1. ve 3. satırlar arasında yer değiştirme yapalım. \( R_1 \leftrightarrow R_3 \) Yer değiştirme işlemi sonucunda yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının ters işaretlisi olur. \( -det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ 3 & -1 & 8 & 2 & 7 \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ -4 & 1 & 1 & 3 & -1 \\ -5 & 2 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{11} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -3R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( 4R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( 5R_1 + R_5 \rightarrow R_5 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -det(A) \) \( a_{11} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{22} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -16 & 11 & 8 & -11 \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 21 & -3 & -5 & 23 \\ 0 & 27 & -5 & -9 & 32 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{22} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{16} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{16}R_2 \rightarrow R_2 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{1}{16} \cdot (-det(A)) = -\dfrac{1}{16}det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -1 & \frac{11}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{16} \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 21 & -3 & -5 & 23 \\ 0 & 27 & -5 & -9 & 32 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{22} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 21R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( 27R_2 + R_5 \rightarrow R_5 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -\dfrac{1}{16}det(A) \) \( a_{22} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{33} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -1 & \frac{11}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{16} \\ 0 & 0 & \frac{3}{8} & 2 & -\frac{3}{8} \\ 0 & 0 & \frac{183}{16} & \frac{11}{2} & \frac{137}{16} \\ 0 & 0 & \frac{217}{16} & \frac{9}{2} & \frac{215}{16} \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{33} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{8}{3} \) ile çarpalım. \( \dfrac{8}{3}R_3 \rightarrow R_3 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{8}{3} \cdot \left[ -\dfrac{1}{16}det(A) \right] = -\dfrac{1}{6}det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -1 & \frac{11}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{16} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{16}{3} & -1 \\ 0 & 0 & \frac{183}{16} & \frac{11}{2} & \frac{137}{16} \\ 0 & 0 & \frac{217}{16} & \frac{9}{2} & \frac{215}{16} \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{33} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -\dfrac{183}{16}R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( -\dfrac{217}{16}R_3 + R_5 \rightarrow R_5 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -\dfrac{1}{6}det(A) \) \( a_{33} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{44} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -1 & \frac{11}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{16} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{16}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{111}{2} & 20 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{407}{6} & 27 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( a_{44} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{2}{111} \) ile çarpalım. \( \dfrac{2}{111}R_3 \rightarrow R_3 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{2}{111} \cdot \left[ -\dfrac{1}{6}det(A) \right] = -\dfrac{1}{333}det(A) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -1 & \frac{11}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{16} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{16}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & \frac{40}{111} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{407}{6} & 27 \end{bmatrix} \) |
|
\( a_{44} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -\dfrac{407}{6}R_4 + R_5 \rightarrow R_5 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( -\dfrac{1}{333}det(A) \) \( a_{44} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( a_{55} \) ana köşegenin son elemanıdır ve altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur. Buna göre elde ettiğimiz matris üst üçgen formundadır. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -1 & \frac{11}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{16} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{16}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & \frac{40}{111} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{23}{9} \end{bmatrix} \) |
Alt ya da üst üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( -\dfrac{1}{333}det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot (-1) \cdot \dfrac{23}{9} = \dfrac{23}{9} \)
Bu eşitlikten \( A \) matrisin determinantı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( det(A) = (-333) \cdot \dfrac{23}{9} \)
\( = -851 \) bulunur.
\( B = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 8 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -3 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ -1 & 4 & -3 & 1 & 3 \end{bmatrix} \)
matrisinin satır işlemleri ile determinantını bulunuz.
Çözümü GösterMatrisi satır işlemleri uygulayarak üst üçgen formuna getirelim ve her adımda elde ettiğimiz matrisin determinantını \( B \) matrisinin determinantı cinsinden takip edelim.
|
Verilen \( B \) matrisinin determinantına \( det(B) \) diyelim. \( det(B) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 8 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -3 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ -1 & 4 & -3 & 1 & 3 \end{bmatrix} \) |
|
\( b_{11} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 2R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( R_1 + R_5 \rightarrow R_5 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( det(B) \) \( b_{11} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( b_{22} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 4 \\ 0 & 9 & 8 & 4 & -1 \\ 0 & 8 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( b_{22} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{6} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{6}R_2 \rightarrow R_2 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{1}{6}det(B) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 4 \\ 0 & 9 & 8 & 4 & -1 \\ 0 & 8 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \) |
|
\( b_{22} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -4R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 9R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( 8R_2 + R_5 \rightarrow R_5 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( \dfrac{1}{6}det(B) \) \( b_{22} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( b_{33} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -7 & \frac{1}{3} & 6 \\ 0 & 0 & 8 & \frac{11}{2} & -\frac{11}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{3} & -1 \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( b_{33} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{1}{7} \) ile çarpalım. \( \dfrac{1}{7}R_3 \rightarrow R_3 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{1}{7} \cdot \left[ \dfrac{1}{6}det(B) \right] = \dfrac{1}{42}det(B) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 & \frac{1}{21} & \frac{6}{7} \\ 0 & 0 & 8 & \frac{11}{2} & -\frac{11}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{3} & -1 \end{bmatrix} \) |
|
\( b_{33} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( 8R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) \( R_3 + R_5 \rightarrow R_5 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( \dfrac{1}{42}det(B) \) \( b_{33} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Şimdi aynı işlemi ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( b_{44} \) için yapalım. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 & \frac{1}{21} & \frac{6}{7} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{247}{42} & \frac{19}{14} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{50}{21} & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} \) |
|
Önce işlem kolaylığı açısından \( b_{44} \) elemanının bulunduğu satırı \( \frac{42}{247} \) ile çarpalım. \( \dfrac{42}{247}R_3 \rightarrow R_3 \) Bir satır \( k \) ile çarpılırsa yeni matrisin determinantı ilk matrisin determinantının \( k \) katı olur. \( \dfrac{42}{247} \cdot \left[ \dfrac{1}{42}det(B) \right] = \dfrac{1}{247}det(B) \) |
\( \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 & \frac{1}{21} & \frac{6}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{13} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{50}{21} & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} \) |
|
\( b_{44} \) elemanıyla aynı sütunda ve altında bulunan elemanları toplama satır işlemi ile sıfıra eşitleyelim. \( -\dfrac{50}{21}R_4 + R_5 \rightarrow R_5 \) Toplama satır işlemi sonucunda determinant değişmez. \( \dfrac{1}{247}det(B) \) \( b_{44} \) elemanı için işlemi tamamlamış olduk. Ana köşegen üzerindeki bir sonraki eleman olan \( b_{55} \) ana köşegenin son elemanıdır ve altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur. Buna göre elde ettiğimiz matris üst üçgen formundadır. |
\( \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 & \frac{1}{21} & \frac{6}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{13} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{9}{13} \end{bmatrix} \) |
Alt ya da üst üçgen formundaki matrislerin determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre elde ettiğimiz üst üçgen formundaki matrisin determinantı aşağıdaki gibi bulunur.
\( \dfrac{1}{247}det(B) = 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \left( -\dfrac{9}{13} \right) = -\dfrac{9}{13} \)
Bu eşitlikten \( B \) matrisin determinantı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( det(B) = 247 \cdot \left( -\dfrac{9}{13} \right) \)
\( = -171 \) bulunur.