Permütasyon ile Determinant
Bir matrisin determinantını hesaplamada kullanılan bir diğer yöntem permütasyon yöntemidir. Bu yöntemde kullanılan formüle Leibniz formülü adı da verilir.
\( det(A) = \displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} \left( \sgn(\sigma)\displaystyle\prod_{i=1}^{n} {a_{i,\sigma(i)}} \right) \)
\( a_{i,j} \): \( A \) matrisinin \( i \). satırı ve \( j \). sütunundaki eleman
\( S_n \): Tüm permütasyonları içeren simetrik grup
\( \sigma \): \( S_n \) simetrik grubunun her bir permütasyonu
\( \sigma(i) \): \( \sigma \) permütasyonunun \( i \). elemanı
\( \sgn(\sigma) \): \( \sigma \) permütasyonunun işaretini veren fonksiyon
Bu formülü kullanabilmek için öncelikle permütasyon, simetrik grup ve inversiyon kavramlarını bilmemiz gerekir.
Permütasyon ve Simetrik Grup
\( n \) elemanlı bir kümenin elemanlarının her bir farklı dizilişine kümenin bir permütasyonu denir. \( n \) elemanlı bir kümenin toplam \( n! \) permütasyonu vardır.
\( 4 \) elemanlı \( \{ 1, 2, 3, 4 \} \) kümesi tanımlayalım ve bu kümenin 2413 dizilişindeki permütasyonuna \( \sigma \) diyelim.
Bir permütasyonun gösterim şekillerinden biri aşağıdaki iki satırlı gösterimdir. Bu permütasyonu sütun sütun okursak, karşılık geldiği dizilişte 1. sırada kümenin 2. elemanı, 2. sırada 4. elemanı, 3. sırada 1. elemanı, 4. sırada 3. elemanı yer alır. Bu gösterimde birinci satır her permütasyon için sabit olup ikinci satır elemanların dizilişini verir.
\( \sigma = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{green}{3} & \textcolor{orange}{4} \\ \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{4} & \textcolor{green}{1} & \textcolor{orange}{3} \end{bmatrix} \)
Aşağıdaki ikinci gösterim yukarıdaki gösterimin ikinci satırı ile aynı olup aynı bilgiyi tek satırda vermektedir. Biz bu konu anlatımında bu gösterimi kullanıyor olacağız.
\( \sigma = 2413 \)
\( \sigma \) permütasyonunun temsil ettiği dizilişteki her bir elemana aşağıdaki şekilde ulaşılır.
\( \sigma(1) = 2 \)
\( \sigma(2) = 4 \)
\( \sigma(3) = 1 \)
\( \sigma(4) = 3 \)
Aşağıdaki tabloda 2, 3 ve 4 elemanlı üç kümenin tüm permütasyonları gösterilmiştir.
| Küme | Permütasyon Sayısı | Permütasyonlar |
|---|---|---|
\( \{ 1, 2 \} \) |
\( 2! = 2 \) |
\( \sigma_1 = 12, \sigma_2 = 21 \) |
\( \{ 1, 2, 3 \} \) |
\( 3! = 6 \) |
\( \sigma_1 = 123, \sigma_2 = 132, \sigma_3 = 213 \) \( \sigma_4 = 231, \sigma_5 = 312, \sigma_6 = 321 \) |
\( \{ 1, 2, 3, 4 \} \) |
\( 4! = 24 \) |
\( \sigma_1 = 1234, \sigma_2 = 1243, \sigma_3 = 1324, \sigma_4 = 1342 \) \( \sigma_5 = 1423, \sigma_6 = 1432, \sigma_7 = 2134, \sigma_8 = 2143 \) \( \sigma_9 = 2314, \sigma_{10} = 2341, \sigma_{11} = 2413, \sigma_{12} = 2431 \) \( \sigma_{13} = 3124, \sigma_{14} = 3142, \sigma_{15} = 3214, \sigma_{16} = 3241 \) \( \sigma_{17} = 3412, \sigma_{18} = 3421, \sigma_{19} = 4123, \sigma_{20} = 4132 \) \( \sigma_{21} = 4213, \sigma_{22} = 4231, \sigma_{23} = 4312, \sigma_{24} = 4321 \) |
\( n \) elemanlı bir kümenin tüm permütasyonlarından oluşan kümeye simetrik grup denir ve \( S_n \) ile gösterilir. Yukarıda tanımladığımız 2 ve 3 elemanlı kümeler için simetrik gruplar aşağıdaki gibi olur.
\( S_2 = \{ 12, 21 \} \)
\( S_3 = \{ 123, 132, 213, 231, 312, 321 \} \)
Bir permütasyonda büyük bir sayının küçük bir sayıdan önce geldiği her duruma inversiyon denir. \( \sigma \) permütasyonundaki toplam inversiyon sayısı \( I(\sigma) \) ile gösterilir.
\( \sigma_1 = 1234 \)
İnversiyon: Yok
\( I(\sigma_1) = 0 \)
\( \sigma_2 = 1243 \)
İnversiyon: \( 43 \)
\( I(\sigma_2) = 1 \)
\( \sigma_3 = 3142 \)
İnversiyon: \( 31, 32, 42 \)
\( I(\sigma_3) = 3 \)
\( \sigma_4 = 41253 \)
İnversiyon: \( 41, 42, 43, 53 \)
\( I(\sigma_4) = 4 \)
\( \sgn(\sigma) \) fonksiyonu, \( \sigma \) permütasyonunun inversiyon sayısı çift sayı ise 1 değeri, tek sayı ise -1 değeri döndürür.
\( \sgn(\sigma) = \begin{cases} 1 & I(\sigma) \text{ çift ise,} \\ -1 & I(\sigma) \text{ tek ise,} \end{cases} \)
Bu verdiğimiz bilgiler doğrultusunda \( 2 \times 2 \) bir matrisin Leibniz formülü ile determinantını hesaplayalım.
\( A = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} \) matrisinin determinantını bulalım.
\( A \) matrisinin \( 2! = 2 \) permütasyonunu içeren simetrik grubu yazalım.
\( S_2 = \{ 12, 21 \} \)
Bu iki permütasyonun her biri sırasıyla \( A \) matrisinin aşağıda renkli işaretli elemanlarına karşılık gelir.
Her permütasyon için Leibniz formülünde aşağıdaki şekilde verilen terimi hesaplayalım.
\( \sgn(\sigma)[a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}] \)
\( \sigma_1 = 12 \)
\( I(\sigma_1) = 0, \sgn(\sigma_1) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_1)[a_{1,1}a_{2,2}] \)
\( = 1[7 \cdot 8] = 56 \)
\( \sigma_2 = 21 \)
\( I(\sigma_2) = 1, \sgn(\sigma_2) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_2)[a_{1,2}a_{2,1}] \)
\( = (-1)[6 \cdot 5] = -30 \)
Her permütasyon için bulduğumuz değerlerin toplamı matrisin determinantını verir.
\( det(A) = 56 + (-30) = 26 \)
Şimdi de \( 3 \times 3 \) bir matrisin Leibniz formülü ile determinantını hesaplayalım.
\( A = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 6 & 4 & -1 \\ -3 & 2 & -4 \end{bmatrix} \) matrisinin determinantını bulalım.
\( A \) matrisinin \( 3! = 6 \) permütasyonunu içeren simetrik grubu yazalım.
\( S_3 = \{ 123, 132, 213, 231, 312, 321 \} \)
Bu altı permütasyonun her biri sırasıyla \( A \) matrisinin aşağıda renkli işaretli elemanlarına karşılık gelir.
Her permütasyon için Leibniz formülünde aşağıdaki şekilde verilen terimi hesaplayalım.
\( \sgn(\sigma)[a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}a_{3,\sigma(3)}] \)
\( \sigma_1 = 123 \)
\( I(\sigma_1) = 0, \sgn(\sigma_1) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_1)[a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}] \)
\( = 1[5 \cdot 4 \cdot (-4)] = -80 \)
\( \sigma_2 = 132 \)
\( I(\sigma_2) = 1, \sgn(\sigma_2) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_2)[a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}] \)
\( = (-1)[5 \cdot (-1) \cdot 2] = 10 \)
\( \sigma_3 = 213 \)
\( I(\sigma_3) = 1, \sgn(\sigma_3) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_3)[a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}] \)
\( = (-1)[(-2) \cdot 6 \cdot (-4)] = -48 \)
\( \sigma_4 = 231 \)
\( I(\sigma_4) = 2, \sgn(\sigma_4) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_4)[a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}] \)
\( = 1[(-2) \cdot (-1) \cdot (-3)] = -6 \)
\( \sigma_5 = 312 \)
\( I(\sigma_5) = 2, \sgn(\sigma_5) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_5)[a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}] \)
\( = 1[3 \cdot 6 \cdot 2] = 36 \)
\( \sigma_6 = 321 \)
\( I(\sigma_6) = 3, \sgn(\sigma_6) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_6)[a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}] \)
\( = (-1)[3 \cdot 4 \cdot (-3)] = 36 \)
Her permütasyon için bulduğumuz değerlerin toplamı matrisin determinantını verir.
\( det(A) = -80 + 10 + (-48) + (-6) + 36 + 36 \)
\( = -52 \)
\( A = \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} \)
matrisinin determinantını bulunuz.
Çözümü Göster\( A \) matrisinin \( 2! = 2 \) permütasyonunu içeren simetrik grubu yazalım.
\( S_2 = \{ 12, 21 \} \)
Her permütasyon için Leibniz formülünde aşağıdaki şekilde verilen terimi hesaplayalım.
\( \sgn(\sigma)[a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}] \)
\( \sigma_1 = 12 \)
\( I(\sigma_1) = 0, \sgn(\sigma_1) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_1)[a_{1,1}a_{2,2}] \)
\( = 1[5 \cdot 7] = 35 \)
\( \sigma_2 = 21 \)
\( I(\sigma_2) = 1, \sgn(\sigma_2) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_2)[a_{1,2}a_{2,1}] \)
\( = (-1)[(-4) \cdot 1] = 4 \)
Her permütasyon için bulduğumuz değerlerin toplamı matrisin determinantını verir.
\( det(A) = 35 + 4 = 39 \)
\( A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 8 & 1 & -7 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix} \)
matrisinin determinantını bulunuz.
Çözümü Göster\( A \) matrisinin \( 3! = 6 \) permütasyonunu içeren simetrik grubu yazalım.
\( S_3 = \{ 123, 132, 213, 231, 312, 321 \} \)
Her permütasyon için Leibniz formülünde aşağıdaki şekilde verilen terimi hesaplayalım.
\( \sgn(\sigma)[a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}a_{3,\sigma(3)}] \)
\( \sigma_1 = 123 \)
\( I(\sigma_1) = 0, \sgn(\sigma_1) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_1)[a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}] \)
\( = 1[(-3) \cdot 1 \cdot (-2)] = 6 \)
\( \sigma_2 = 132 \)
\( I(\sigma_2) = 1, \sgn(\sigma_2) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_2)[a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}] \)
\( = (-1)[(-3) \cdot (-7) \cdot (-1)] = 21 \)
\( \sigma_3 = 213 \)
\( I(\sigma_3) = 1, \sgn(\sigma_3) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_3)[a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}] \)
\( = (-1)[2 \cdot 8 \cdot (-2)] = 32 \)
\( \sigma_4 = 231 \)
\( I(\sigma_4) = 2, \sgn(\sigma_4) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_4)[a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}] \)
\( = 1[2 \cdot (-7) \cdot 1] = -14 \)
\( \sigma_5 = 312 \)
\( I(\sigma_5) = 2, \sgn(\sigma_5) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_5)[a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}] \)
\( = 1[4 \cdot 8 \cdot (-1)] = -32 \)
\( \sigma_6 = 321 \)
\( I(\sigma_6) = 3, \sgn(\sigma_6) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_6)[a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}] \)
\( = (-1)[4 \cdot 1 \cdot 1] = -4 \)
Her permütasyon için bulduğumuz değerlerin toplamı matrisin determinantını verir.
\( det(A) = 6 + 21 + 32 + (-14) + (-32) + (-4) \)
\( = 9 \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -8 \\ 0 & 2 & -5 \\ -9 & 11 & 7 \end{bmatrix} \)
matrisinin determinantını bulunuz.
Çözümü Göster\( A \) matrisinin \( 3! = 6 \) permütasyonunu içeren simetrik grubu yazalım.
\( S_3 = \{ 123, 132, 213, 231, 312, 321 \} \)
Her permütasyon için Leibniz formülünde aşağıdaki şekilde verilen terimi hesaplayalım.
\( \sgn(\sigma)[a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}a_{3,\sigma(3)}] \)
\( \sigma_1 = 123 \)
\( I(\sigma_1) = 0, \sgn(\sigma_1) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_1)[a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}] \)
\( = 1[1 \cdot 2 \cdot 7] = 14 \)
\( \sigma_2 = 132 \)
\( I(\sigma_2) = 1, \sgn(\sigma_2) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_2)[a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}] \)
\( = (-1)[1 \cdot (-5) \cdot 11] = 55 \)
\( \sigma_3 = 213 \)
\( I(\sigma_3) = 1, \sgn(\sigma_3) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_3)[a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}] \)
\( = (-1)[4 \cdot 0 \cdot 7] = 0 \)
\( \sigma_4 = 231 \)
\( I(\sigma_4) = 2, \sgn(\sigma_4) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_4)[a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}] \)
\( = 1[4 \cdot (-5) \cdot (-9)] = 180 \)
\( \sigma_5 = 312 \)
\( I(\sigma_5) = 2, \sgn(\sigma_5) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_5)[a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}] \)
\( = 1[(-8) \cdot 0 \cdot 11] = 0 \)
\( \sigma_6 = 321 \)
\( I(\sigma_6) = 3, \sgn(\sigma_6) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_6)[a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}] \)
\( = (-1)[(-8) \cdot 2 \cdot (-9)] = -144 \)
Her permütasyon için bulduğumuz değerlerin toplamı matrisin determinantını verir.
\( det(A) = 14 + 55 + 0 + 180 + 0 + (-144) \)
\( = 105 \)
\( A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & -3 & 0 & 5 \\ -4 & 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \)
matrisinin determinantını bulunuz.
Çözümü Göster\( A \) matrisinin \( 4! = 24 \) permütasyonunu içeren simetrik grubu yazalım.
\( S_3 = \{ 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321 \} \)
Her permütasyon için Leibniz formülünde aşağıdaki şekilde verilen terimi hesaplayalım.
\( \sgn(\sigma)[a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}a_{3,\sigma(3)}a_{4,\sigma(4)}] \)
\( \sigma_1 = 1234 \)
\( I(\sigma_1) = 0, \sgn(\sigma_1) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_1)[a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}a_{4,4}] \)
\( = 1[(-1) \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-3)] = 0 \)
\( \sigma_2 = 1243 \)
\( I(\sigma_2) = 1, \sgn(\sigma_2) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_2)[a_{1,1}a_{2,2}a_{3,4}a_{4,3}] \)
\( = (-1)[(-1) \cdot 1 \cdot 5 \cdot 1] = 5 \)
\( \sigma_3 = 1324 \)
\( I(\sigma_3) = 1, \sgn(\sigma_3) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_3)[a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}a_{4,4}] \)
\( = (-1)[(-1) \cdot 2 \cdot (-3) \cdot (-3)] = 18 \)
\( \sigma_4 = 1342 \)
\( I(\sigma_4) = 2, \sgn(\sigma_4) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_4)[a_{1,1}a_{2,3}a_{3,4}a_{4,2}] \)
\( = 1[(-1) \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1] = -10 \)
\( \sigma_5 = 1423 \)
\( I(\sigma_5) = 2, \sgn(\sigma_5) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_5)[a_{1,1}a_{2,4}a_{3,2}a_{4,3}] \)
\( = 1[(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot 1] = -6 \)
\( \sigma_6 = 1432 \)
\( I(\sigma_6) = 3, \sgn(\sigma_6) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_6)[a_{1,1}a_{2,4}a_{3,3}a_{4,2}] \)
\( = (-1)[(-1) \cdot (-2) \cdot 0 \cdot 1] = 0 \)
\( \sigma_7 = 2134 \)
\( I(\sigma_7) = 1, \sgn(\sigma_7) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_7)[a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}a_{4,4}] \)
\( = (-1)[2 \cdot 3 \cdot 0 \cdot (-3)] = 0 \)
\( \sigma_8 = 2143 \)
\( I(\sigma_8) = 2, \sgn(\sigma_8) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_8)[a_{1,2}a_{2,1}a_{3,4}a_{4,3}] \)
\( = 1[2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1] = 30 \)
\( \sigma_9 = 2314 \)
\( I(\sigma_9) = 2, \sgn(\sigma_9) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_9)[a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}a_{4,4}] \)
\( = 1[2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (-3)] = -12 \)
\( \sigma_{10} = 2341 \)
\( I(\sigma_{10}) = 3, \sgn(\sigma_{10}) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_{10})[a_{1,2}a_{2,3}a_{3,4}a_{4,1}] \)
\( = (-1)[2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot (-4)] = 80 \)
\( \sigma_{11} = 2413 \)
\( I(\sigma_{11}) = 3, \sgn(\sigma_{11}) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_{11})[a_{1,2}a_{2,4}a_{3,1}a_{4,3}] \)
\( = (-1)[2 \cdot (-2) \cdot 1 \cdot 1] = 4 \)
\( \sigma_{12} = 2431 \)
\( I(\sigma_{12}) = 4, \sgn(\sigma_{12}) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_{12})[a_{1,2}a_{2,4}a_{3,3}a_{4,1}] \)
\( = 1[2 \cdot (-2) \cdot 0 \cdot (-4)] = 0 \)
\( \sigma_{13} = 3124 \)
\( I(\sigma_{13}) = 2, \sgn(\sigma_{13}) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_{13})[a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}a_{4,4}] \)
\( = 1[1 \cdot 3 \cdot (-3) \cdot (-3)] = 27 \)
\( \sigma_{14} = 3142 \)
\( I(\sigma_{14}) = 3, \sgn(\sigma_{14}) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_{14})[a_{1,3}a_{2,1}a_{3,4}a_{4,2}] \)
\( = (-1)[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1] = -15 \)
\( \sigma_{15} = 3214 \)
\( I(\sigma_{15}) = 3, \sgn(\sigma_{15}) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_{15})[a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}a_{4,4}] \)
\( = (-1)[1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-3)] = 3 \)
\( \sigma_{16} = 3241 \)
\( I(\sigma_{16}) = 4, \sgn(\sigma_{16}) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_{16})[a_{1,3}a_{2,2}a_{3,4}a_{4,1}] \)
\( = 1[1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot (-4)] = -20 \)
\( \sigma_{17} = 3412 \)
\( I(\sigma_{17}) = 4, \sgn(\sigma_{17}) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_{17})[a_{1,3}a_{2,4}a_{3,1}a_{4,2}] \)
\( = 1[1 \cdot (-2) \cdot 1 \cdot 1] = -2 \)
\( \sigma_{18} = 3421 \)
\( I(\sigma_{18}) = 5, \sgn(\sigma_{18}) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_{18})[a_{1,3}a_{2,4}a_{3,2}a_{4,1}] \)
\( = (-1)[1 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4)] = 24 \)
\( \sigma_{19} = 4123 \)
\( I(\sigma_{19}) = 3, \sgn(\sigma_{19}) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_{19})[a_{1,4}a_{2,1}a_{3,2}a_{4,3}] \)
\( = (-1)[3 \cdot 3 \cdot (-3) \cdot 1] = 27 \)
\( \sigma_{20} = 4132 \)
\( I(\sigma_{20}) = 4, \sgn(\sigma_{20}) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_{20})[a_{1,4}a_{2,1}a_{3,3}a_{4,2}] \)
\( = 1[3 \cdot 3 \cdot 0 \cdot 1] = 0 \)
\( \sigma_{21} = 4213 \)
\( I(\sigma_{21}) = 4, \sgn(\sigma_{21}) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_{21})[a_{1,4}a_{2,2}a_{3,1}a_{4,3}] \)
\( = 1[3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1] = 3 \)
\( \sigma_{22} = 4231 \)
\( I(\sigma_{22}) = 5, \sgn(\sigma_{22}) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_{22})[a_{1,4}a_{2,2}a_{3,3}a_{4,1}] \)
\( = (-1)[3 \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-4)] = 0 \)
\( \sigma_{23} = 4312 \)
\( I(\sigma_{23}) = 5, \sgn(\sigma_{23}) = -1 \)
\( \sgn(\sigma_{23})[a_{1,4}a_{2,3}a_{3,1}a_{4,2}] \)
\( = (-1)[3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1] = -6 \)
\( \sigma_{24} = 4321 \)
\( I(\sigma_{24}) = 6, \sgn(\sigma_{24}) = 1 \)
\( \sgn(\sigma_{24})[a_{1,4}a_{2,3}a_{3,2}a_{4,1}] \)
\( = 1[3 \cdot 2 \cdot (-3) \cdot (-4)] = 72 \)
Her permütasyon için bulduğumuz değerlerin toplamı matrisin determinantını verir.
\( det(A) = 0 + 5 + 18 + (-10) + (-6) + 0 + 0 + 30 + (-12) + 80 + 4 + 0 + 27 + (-15) + 3 + (-20) + (-2) + 24 + 27 + 0 + 3 + 0 + (-6) + 72 \)
\( = 222 \)