Kofaktör Açılımı

\( A \) boyutu \( m \times m \) olan bir matris olmak üzere,

\( det(A) = \displaystyle\sum_{j = 1}^{m} a_{ij}C_{ij} \)

\( i \): Hesaplama için seçilen satır numarası

\( a_{ij} \): \( i \). satır ve \( j \). sütundaki eleman

\( C_{ij} \): \( i \). satır ve \( j \). sütundaki elemanın kofaktörü

---

\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \) matrisinin determinantını kofaktör açılımı ile bulalım.

---

\( A \) matrisinin kofaktör matrisini önceki bölümde aşağıdaki şekilde bulmuştuk.

\( C = \begin{bmatrix} 8 & 26 & 2 \\ -20 & 7 & 19 \\ 12 & -9 & 3 \end{bmatrix} \)

Kofaktör açılımı için sıfır içeren ikinci satırı seçelim.

\( det(A) = \displaystyle\sum_{j = 1}^{m} a_{2j}C_{2j} \)

\( = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23} \)

\( = -1 \cdot (-20) + 0 \cdot 7 + 4 \cdot 19 \)

\( = 20 + 0 + 76 = 96 \)

Kofaktör açılımı için üçüncü satırı seçmiş olsaydık da aynı sonucu elde edeceğimizi gösterelim.

\( det(A) = \displaystyle\sum_{j = 1}^{m} a_{3j}C_{3j} \)

\( = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33} \)

\( = 5 \cdot 12 + (-2) \cdot (-9) + 6 \cdot 3 \)

\( = 60 + 18 + 18 = 96 \)

\( det(A) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{m} a_{ij}C_{ij} \)

\( j \): Hesaplama için seçilen sütun numarası

---

Yukarıdaki örnekteki \( A \) matrisinin determinantını kofaktör açılımı ile bulalım.

---

Kofaktör açılımı için üçüncü sütunu seçelim.

\( det(A) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{m} a_{i3}C_{i3} \)

\( = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33} \)

\( = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 19 + 6 \cdot 3 \)

\( = 96 \)

\( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)

Kofaktör açılım formülünü \( A \) matrisine birinci satır üzerinden uygulayalım.

\( det(A) = \displaystyle\sum_{j = 1}^{m} a_{1j}C_{1j} \)

\( = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} \)

\( = aC_{11} + bC_{12} \)

Kofaktör formülünü hatırlayalım.

\( C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \)

\( = a(-1)^{1+1}M_{11} + b(-1)^{1+2}M_{12} \)

\( = aM_{11} - bM_{12} \)

Bir elemanın minörü o elemanın bulunduğu satır ve sütun matristen silindiğinde geriye kalan elemanlardan oluşan matrisin determinantına eşittir.

\( = a \cdot det[d] - b \cdot det[c] \)

\( 1 \times 1 \) bir matrisin determinantı matrisin tek elemanına eşittir.

\( = ad - bc \)

\( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \)

Kofaktör açılım formülünü \( A \) matrisine birinci satır üzerinden uygulayalım.

\( det(A) = \displaystyle\sum_{j = 1}^{m} a_{1j}C_{1j} \)

\( = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \)

Kofaktör formülünü hatırlayalım.

\( C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \)

\( = a_{11}(-1)^{1+1}M_{11} \) \( + a_{12}(-1)^{1+2}M_{12} \) \( + a_{13}(-1)^{1+3}M_{13} \)

\( = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12}+ a_{13}M_{13} \)

Bir elemanın minörü o elemanın bulunduğu satır ve sütun matristen silindiğinde geriye kalan elemanlardan oluşan matrisin determinantına eşittir.

\( = a_{11} \cdot det\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} - a_{12} \cdot det\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} + a_{13} \cdot det\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \)

\( 2 \times 2 \) matrislerin determinant formülünü kullanalım.

\( = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23}) \) \( - a_{12}(a_{21}a_{33} \) \( - a_{31}a_{23}) \) \( + a_{13}(a_{21}a_{32} \) \( - a_{31}a_{22}) \)

\( = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{32}a_{23} \) \( - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{31}a_{23} \) \( + a_{13}a_{21}a_{32} \) \( - a_{13}a_{31}a_{22} \)

Terimleri düzenleyelim.

\( = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} \) \( + a_{13}a_{21}a_{32} \) \( - (a_{31}a_{22}a_{13} \) \( + a_{32}a_{23}a_{11} \) \( + a_{33}a_{21}a_{12}) \)