Determinant

Determinant kare matrisler için hesaplanan reel sayı bir değerdir ve matrislerin tersinin bulunmasında ve lineer denklem sistemlerinin çözümünde kullanılır.

Bir matrisin determinantı $det(A)$ veya $\left|A\right|$ şeklinde gösterilir. Determinant $\left|A\right|$ şeklinde gösterildiği durumlarda mutlak değer ile karıştırılmamalıdır. Ayrıca determinant mutlak değerden farklı olarak negatif değer alabilen bir büyüklüktür.

Determinant Hesaplama

Bir matrisinin determinantını hesaplamak oldukça fazla işlem gerektirebilir. $$ ve daha küçük boyutlu matrislerin determinantı için hatırlaması kolay formül ve yöntemler mevcuttur. Daha büyük matrislerin determinantı için kullanabileceğimiz yöntemlerden önümüzdeki bölümlerde bahsedeceğiz.

$$ Matrisin Determinantı

$$ bir matrisin determinantı matrisin tek elemanına eşittir.

$$ Matrisin Determinantı

$$ bir matrisin determinantı aşağıdaki şekilde yeşil ok üzerindeki iki elemanın çarpımı ile kırmızı ok üzerindeki iki elemanın çarpımının farkına eşittir.

$$ Matrisin Determinantı

Sarrus kuralı olarak bilinen yönteme göre, $$ bir matrisin determinantını bulmak için önce ilk iki sütundaki elemanlar matrisin sağına $$ bir matris oluşturacak şekilde kopyalanır. Matrisin determinantı yeşil oklar üzerindeki elemanların çarpımlarının toplamı ile kırmızı oklar üzerindeki elemanların çarpımlarının toplamının farkına eşittir.

Determinantın Özellikleri

Determinantın bazı özellikleri aşağıdaki gibidir.

Birim matrislerin determinantı 1'dir.

$$ bir matrisin bir $$ reel sayısı ile skaler çarpımının determinantı, matrisin determinantının $$ katına eşittir.

İki matrisin çarpımlarının determinantı matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir.

Bir matrisin kuvvetinin determinantı matrisin determinantının kuvvetine eşittir.

Bir matrisin ve transpozunun determinantları birbirine eşittir.

Bir matrisin tersinin determinantı o matrisin determinantının çarpmaya göre tersine eşittir.

Bir (üst ya da alt) üçgen matrisin determinantı ana köşegeni üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.

Tüm elemanları sıfır olan bir satır (ya da sütun) içeren matrisin determinantı sıfırdır.

İki satırının (ya da sütununun) tüm elemanları arasında sabit bir orantı olan matrisin determinantı sıfırdır.

Orantı sabitinin 1 olduğu durum için, birbirinin aynısı iki satırı (ya da sütunu) olan matrisin determinantı sıfırdır.