Gauss Eliminasyon Yöntemi
Gauss eliminasyon yöntemi, bir lineer denklem sistemini kolay çözülebilir bir forma getirmek için temel satır işlemlerini hangi kurallar dahilinde uygulamamız gerektiğini belirten bir yöntemdir. Bu "kolay çözülebilir formu" aşağıda satır eşelon formu olarak tanımlayacağız.
Gauss eliminasyon yöntemi lineer denklem sistemlerini çözümü dışında matrislerin determinantının ve rankının hesaplanması ve bir matrisin tersinin bulunmasında da kullanılır.
Satır Eşelon Formu
Gauss eliminasyon yönteminin temel amacı, bir lineer denklem sistemine ait artırılmış matrisi satır işlemlerini kullanarak satır eşelon formuna getirmek ve bu sadeleştirilmiş formu kullanarak denklem sistemini çözmektir.
Ön bir bilgi olarak, bir matriste tüm elemanları sıfır olan satıra sıfır satırı denir. Bir matris satırının sıfırdan farklı soldan ilk elemanına o satırın pivotu denir.
Satır eşelon formundaki bir matris aşağıdaki koşulları sağlar.
- Sıfır satırları matrisin en altında yer alır.
- Sıfır satırı olmayan her satırın pivotu bir önceki satırın pivotunun sağındaki bir sütunda bulunur.
- Bunun bir sonucu olarak, bir pivotun aynı sütunda ve altında bulunan elemanlar sıfırdır.
Aşağıda satır eşelon formunda olan üç matris verilmiştir: 2. ve 3. matrislerde sıfır satırları matrisin en altındadır. Tüm satırların turuncu ile işaretli pivotları bir önceki satırın pivotunun sağındaki bir sütundadır. Ayrıca tüm pivotların aynı sütunda ve altında bulunan elemanlar sıfırdır.
Aşağıda satır eşelon formunda olmayan üç matris verilmiştir: 1. matriste sıfır satırı matrisin en altında değil 3. satırdadır. 2. ve 3. matrislerde 3. satırın pivotları bir önceki satırın pivotunun sağındaki bir sütunda değildir. Ayrıca 3. matriste 2. satırın pivotunun aynı sütunda ve altında bulunan elemanların tümü sıfır değildir (\( a_{43} = 1 \)).
Gauss eliminasyon yöntemi iki adımdan oluşur.
Matrisi Satır Eşelon Formuna Getirme
Gauss eliminasyon yönteminin birinci adımında lineer denklem sistemine ait artırılmış matris satır eşelon formuna getirilir.
Bir matrisin satır eşelon formu \( i = 1 \). satırla başlanarak ve aşağıdaki adımlar takip edilerek elde edilebilir.
- En soldaki sütundan başlayarak, \( i \). ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun bulunur. Bu sütunda \( i \). ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman pivot olarak seçilir.
- Belirlenen pivot \( i \). satırın altında bir satırda ise bu satır yer değiştirme satır işlemi ile \( i \). satıra alınır.
- Pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanlar toplama satır işlemi ile sırayla sıfıra eşitlenir.
- \( i \) satır numarası bir artırılır ve yukarıdaki adımlar bir sonraki satır için tekrarlanır.
Şimdi bu yöntemi kullanarak aşağıdaki lineer denklem sistemini satır eşelon formuna getirelim.
\( -x_1 - 2x_2 − 4x_3 + 2x_4 = 29 \)
\( 2x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 3x_4 = -35 \)
\( -4x_1 + 2x_3 - 3x_4 = 0 \)
\( 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 6x_4 = 26 \)
| İşlem | Denklem Sistemi |
|---|---|
|
Verilen denklem sistemini artırılmış matris şeklinde yazalım. |
|
|
Satır 1 - Adım 1:
İşleme 1. satır ile başlayalım. En soldaki sütundan başlayarak, 1. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 1. sütundur. \( a_{11} = -1 \) bu sütunda 1. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim. |
|
|
Satır 1 - Adım 3:
Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -4R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 3R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 1. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur. |
|
|
Satır 2 - Adım 1:
İşleme 2. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 2. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 2. sütundur. \( a_{32} = 8 \) bu sütunda 2. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim. |
|
|
Satır 2 - Adım 2:
Belirlediğimiz pivot 2. satırın altında bulunduğu için 2. ve 3. satırlar arasında yer değiştirme işlemi ile 2. satıra taşıyalım. \( R_2 \leftrightarrow R_3 \) |
|
|
Satır 2 - Adım 3:
Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{1}{2}R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 2. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur. |
|
|
Satır 3 - Adım 1:
İşleme 3. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 3. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 3. sütundur. \( a_{33} = -3 \) bu sütunda 3. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim. |
|
|
Satır 3 - Adım 3:
Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 3. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur. |
|
|
Satır 4 - Adım 1:
İşleme 4. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 4. satırda sıfırdan farklı ilk eleman \( a_{44} = \frac{9}{2} \) olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim. Matrisin son satırına ulaştığımız için işlem tamamlanmıştır. Elde ettiğimiz matris satır eşelon formundadır. |
|
|
Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini cebirsel olarak yazalım. |
|
Yukarıda her adımda elde ettiğimiz matrislerin orijinal denklem sistemi ile satırca denk matrisler olduğunu, dolayısıyla tümünün çözüm kümelerinin aynı olduğunu tekrar hatırlatalım.
Geriye Doğru Yerine Koyma
Gauss eliminasyon yönteminin ikinci adımında, elde edilen satır eşelon formundaki matris kullanılarak denklem sistemi çözülür.
Satır eşelon formunun özelliği, basamaklı yapısı sebebiyle lineer denklem sistemindeki en son denklemden geriye doğru giderek her adımda denklemin bir değişkeninin değerini bulmamızı sağlayarak tüm denklem sistemini kolay bir şekilde çözmemize imkan vermesidir.
Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini son denklemden başlayarak ve geriye doğru giderek çözelim.
4. denklemi kullanarak \( x_4 \) değerini bulalım.
\( \dfrac{9}{2}x_4 = 9 \)
\( x_4 = 2 \)
3. denklemi ve \( x_4 \) değerini kullanarak \( x_3 \) değerini bulalım.
\( -3x_3 + x_4 = 23 \)
\( -3x_3 + 2 = 23 \)
\( x_3 = -7 \)
2. denklemi ve \( x_3, x_4 \) değerlerini kullanarak \( x_2 \) değerini bulalım.
\( 8x_2 + 18x_3 - 11x_4 = -116 \)
\( 8x_2 + 18(-7) - 11(2) = -116 \)
\( x_2 = 4 \)
1. denklemi ve \( x_2, x_3, x_4 \) değerlerini kullanarak \( x_1 \) değerini bulalım.
\( -x_1 - 2x_2 - 4x_3 + 2x_4 = 29 \)
\( -x_1 - 2(4) - 4(-7) + 2(2) = 29 \)
\( x_1 = -5 \)
Buna göre lineer denklem sisteminin tek çözümü \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (-5, 4, -7, 2) \) olarak bulunur.
Bu çözümü verilen denklem sisteminde yerine koyarak sağlamasını yapalım.
\( -x_1 - 2x_2 − 4x_3 + 2x_4 = 29 \)
\( 2x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 3x_4 = -35 \)
\( -4x_1 + 2x_3 - 3x_4 = 0 \)
\( 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 6x_4 = 26 \)
\( -(-5) - 2(4) − 4(-7) + 2(2) = 29 \)
\( 2(-5) + 4(4) + 5(-7) - 3(2) = -35 \)
\( -4(-5) + 2(-7) - 3(2) = 0 \)
\( 3(-5) + 2(4) - 3(-7) + 6(2) = 26 \)
Tüm denklemler sağlandığı için bulduğumuz çözümün geçerli olduğunu teyit etmiş olduk.
Özetlemek gerekirse, temel satır işlemleri bir matrisin temsil ettiği lineer denklem sisteminin çözüm kümesinde değişik yapmadan matriste belirli değişiklikler yapar. Satır eşelon formu bir denklem sisteminin en kolay şekilde çözülebilir formunu tanımlar. Gauss eliminasyon yöntemi de herhangi bir lineer denklem sistemini en hızlı şekilde satır eşelon formuna getirilebilmesi için bir yöntem sunar.
Bir lineer denklem sisteminin, takip edilen satır işlemlerinin sırasına göre farklılık gösteren pek çok satır eşelon formu olabilir. Satır eşelon formu koşullarını sağlayan tüm bu matrisler birbirine satırca denk olup aynı çözüm kümesine sahiptirler.
Önümüzdeki bölümlerde bu yöntemin geriye doğru yerine koyma adımına alternatif olarak kullanabileceğimiz Gauss - Jordan eliminasyon yönteminden de bahsedeceğiz.