Polinom Denklemi Bulma

$x$ eksenini kestiği noktalar ve bu noktalar dışında geçtiği ek bir noktası bilinen bir polinom fonksiyonunun denklemi iki adımda bulunabilir.

Önce polinomun $x$ eksenini kestiği noktaların apsis değerleri aşağıdaki polinom tanımında $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ yerine konur.

$P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})$

Daha sonra polinomun bu noktalar dışında geçtiği ek $P (x_{0}, y_{0})$ noktasının koordinatları aynı denklemde yerine konur ve $a$ başkatsayısı bulunur.

ÖRNEK:

$x$ eksenini $x = - 3$ , $x = 2$ ve $x = 5$ noktalarında kesen ve $A (0, - 60)$ noktasından geçen polinomun denklemini bulalım.

Polinom denklemini yazalım.

noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

Polinom fonksiyonunun denklemi aşağıdaki gibi olur.

Polinom fonksiyonunun geçtiği herhangi bir nokta kümesi verildiği durumda ise polinom denklemini bir lineer denklem sistemi çözerek bulabiliriz.

Herhangi ikisinin apsis değerleri aynı olmamak koşuluyla, verilen adet noktadan en yüksek . dereceden bir polinom benzersiz (bir ve yalnız bir denkleme karşılık gelecek) şekilde geçer.

ÖRNEK:

noktalarından geçen 5. dereceden polinom fonksiyonunun denklemini bulalım.

6 nokta verildiği ve noktaların herhangi ikisinin apsis değerleri aynı olmadığı için, bu noktalardan en yüksek 5. dereceden bir polinom benzersiz şekilde geçer.

Polinomun denklemini yazabilmek için , , , , ve katsayılarının değerlerini bulmamız gerekmektedir.

Verilen noktaların koordinatlarını polinom tanımında yerine koyalım.

Denklemleri düzenleyelim.

Elde ettiğimiz 6 bilinmeyenli 6 denklemi artırılmış matris şeklinde yazalım.

Bu lineer denklem sistemini Gauss eliminasyon ve Gauss - Jordan eliminasyon yöntemleri ile indirgenmiş satır eşelon formuna getirdiğimizde aşağıdaki matrisi elde ederiz.

Buna göre denklem sisteminin çözümü olur.

Dolayısıyla bu noktalardan geçen polinom fonksiyonunun denklemi aşağıdaki gibidir.