Düzleme Uzaklık

$$ düzlemi üzerinde $$ noktasına en yakın olan noktaya $$ diyelim.

$$ noktasından $$ noktasına çizeceğimiz $$ vektörü $$ düzlemine dik ve $$ vektörüne paraleldir.

$$ noktasının $$ düzlemine en yakın uzaklığı $$ vektörünün normuna eşittir.

$$ düzlemi üzerindeki $$ noktasından $$ noktasına bir vektör tanımlayalım.

$$ ve $$ vektörleri arasındaki dar açıya $$ diyelim.

$$ uzunluğunu $$ vektörünün normu ve $$ açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Bu eşitliğin sağ tarafını $$ vektörünün normu ile çarpıp bölelim.

Eşitliğin sağ tarafının payı $$ ve $$ vektörlerinin nokta çarpımına eşittir.

Formüldeki vektörlerin yönüne göre nokta çarpımının sonucu negatif olabileceği için ifadenin mutlak değerini alalım.

Yukarıda bulduğumuz $$ noktası ile $$ noktasından geçen ve $$ vektörüne dik olan düzlem arasındaki uzaklık formülünü yazalım.

Formüldeki vektörlerin koordinatlarını yazalım.

Paydaki iki vektör arasındaki nokta çarpım işlemini yapalım.

Parantezleri genişletelim.

Terimleri düzenleyelim.

Payda parantez içindeki $$ koordinatları $$ düzlemi üzerindeki $$ noktasının koordinatlarıdır, dolayısıyla bu koordinatları düzlemin genel denkleminde yerine koyduğumuzda düzlem denklemini sağlar.

Bu ifadenin değerini uzaklık formülünde yerine koyduğumuzda $$ noktasının $$ düzlemine olan uzaklığının ikinci formülünü elde ederiz.

Genel denklemleri sırasıyla $$ ve $$ olan birbirine paralel $$ ve $$ düzlemleri arasındaki uzaklık formülünü bulalım.

$$ düzlemi üzerinde herhangi bir $$ noktası seçelim.

Bu noktanın $$ düzlemine uzaklığını bir noktanın düzleme olan uzaklığı formülü ile bulabiliriz.

Paydaki $$ koordinatları $$ düzlemi üzerindeki $$ noktasının koordinatlarıdır, dolayısıyla bu koordinatları $$ düzleminin genel denkleminde yerine koyduğumuzda düzlem denklemini sağlar.

Bu ifadenin değerini uzaklık formülünde yerine koyduğumuzda birbirine paralel $$ ve $$ düzlemleri arasındaki uzaklık formülünü elde ederiz.