Hareket (Yol/Hız/Zaman) Problemleri

A aracı önündeki B aracına yetişmeye çalışırken aralarındaki mesafe saatte \( 110 - 95 = 15 \) km azalır.

Aralarındaki mesafe 6 saat sonra kapandığına göre, başlangıçta aralarında \( 15 \cdot 6 = 90 \) km mesafe vardır.

Esma'nın yürüme süresine \( t \) diyelim.

Bir adımın uzunluğu, dakika atılan adım sayısı ve toplam sürenin çarpımı yürünen toplam mesafeyi verir.

Ahmet'in yürüdüğü mesafe \(= 45 \cdot 80 \cdot 15 \)

Esma'nın yürüdüğü mesafe \(= 30 \cdot 90 \cdot t \)

İki kardeşin yürüdükleri mesafe eşittir.

\( 45 \cdot 80 \cdot 15 = 30 \cdot 90 \cdot t \)

\( 1 \cdot 80 \cdot 1 = 2 \cdot 2 \cdot t \)

\( t = 20 \) dk bulunur.

Verilen bilgileri bir şekil üzerinde gösterelim.

İstenen uzaklığa \( x \) km diyelim.

\( \abs{TA} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{TA} = \abs{ED} - \abs{BC} \)

\( = 90 - 30 = 60 \) km

\( \abs{TE} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{TE} = \abs{CD} - \abs{BA} \)

\( = 48 - 23 = 25 \) km

\( ETA \) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.

\( \abs{TE}^2 + \abs{TA}^2 = \abs{AE}^2 \)

\( 25^2 + 60^2 = x^2 \)

\( x = 65 \) km

\( A \) ve \( E \) şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe 65 km bulunur.

A kentiyle B kenti arası mesafeye \( x \) km diyelim.

Aracın gidiş dönüşte gittiği toplam yol \( 2x \) km olur.

Süre (\( t \)), toplam mesafenin (\( x \)) ortalama hıza (\( v \)) bölümüne eşittir.

\( t = \dfrac{x}{v} \)

Buna göre araç A kentinden B kentine \( \frac{x}{30} \) saatte gidip, B kentinden A kentine \( \frac{x}{20} \) saatte dönmüştür.

Aracın gidiş dönüşte harcadığı toplam süreyi bulalım.

\( \dfrac{x}{30} + \dfrac{x}{20} = \dfrac{2x}{60} + \dfrac{3x}{60} \)

\( = \dfrac{5x}{60} = \dfrac{x}{12} \) saat

Ortalama hız (\( v \)), toplam mesafenin (\( x \)) toplam süreye (\( t \)) bölümüne eşittir.

\( v = \dfrac{2x}{\frac{x}{12}} = 2x \cdot \dfrac{12}{x} = 24 \) km/saat bulunur.

160 km'lik yolu 2 saatte giden bir aracın ortalama hızı \( \frac{160}{2} = 80 \) km/saat'tir.

45 dakika \( = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \) saat

Aracın bu yolu \( \frac{3}{4} \) saat daha kısa sürede alması için \( 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \) saatte alması gerekir.

Aracın 160 km'lik yolu \( \frac{5}{4} \) saatte alması için gerekli ortalama hızı bulalım.

\( v = \dfrac{160}{\frac{5}{4}} = 160 \cdot \dfrac{4}{5} = 128 \) km/saat

Buna göre, araç hızını \( 128 - 80 = 48 \) km/saat artırmalıdır.

Molalar hariç tutulduğundaki ortalama hız ile yolculuk süresinin çarpımı toplam mesafeyi verir.

\( 150 \cdot 4 = 600 \) km

Molalar dahil edildiğindeki yolculuk süresine \( t \) diyelim.

\( 125 \cdot t = 600 \)

\( t = 4,8 \) saat

Aradaki zaman farkı toplam mola süresine denk gelir.

Buna göre araç \( 4,8 - 4 = 0,8 \) saat, yani \( 0,8 \cdot 60 = 48 \) dakika mola vermiştir.

Araç bir yolu \( 3a \) m/sn hızla 10 saniyede alıyorsa yol \( 10 \cdot 3a = 30a \) metredir.

Araç aynı yolu \( 2a - 6 \) m/sn hızla 24 saniyede alıyorsa yol aynı zamanda \( 24(2a - 6) \) metredir.

Her iki durumda yol uzunluğu birbirine eşitttir.

\( 30a = 24(2a - 6) \)

\( 5a = 4(2a - 6) \)

\( 5a = 8a - 24 \)

\( 3a = 24 \)

\( a = 8 \)

Aracın \( a = 8 \) m/sn hızla 320 metrelik yolu alacağı süreyi bulalım.

\( t = \dfrac{320}{8} = 40 \) saniye bulunur.

45 dakika \( = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4} \) saat

1 saat 15 dakika \( = \dfrac{75}{60} = \dfrac{5}{4} \) saat

Ahmet'in işe giderkenki hızına \( v \) diyelim. Giderken \( \frac{3}{4} \) saatte işe vardığına göre evle iş arası \( \frac{3v}{4} \) km'dir.

Dönerkenki hızı \( v - 24 \) ve dönüş süresi \( \frac{5}{4} \) saat olduğuna göre, evle iş arası aynı zamanda \( \frac{5}{4}(v - 24) = \frac{5v - 120}{4} \) km'dir.

Gidiş ve dönüşteki yol uzunlukları birbirine eşittir.

\( \dfrac{3v}{4} = \dfrac{5v - 120}{4} \)

\( 3v = 5v - 120 \)

\( 2v = 120 \)

\( v = 60 \) km/saat

Ahmet evden işe \( v = 60 \) km/saat hızla \( \frac{3}{4} \) saatte gittiğine göre, bu yol \( 60 \cdot \frac{3}{4} = 45 \) km'dir.

Seray'ın gidişte harcadığı süreye \( t \) saat diyelim. Gidiş ve dönüş için harcadığı toplam süre 14 saat olduğuna göre, dönüşte harcadığı süre \( 14 - t \) saat olur.

Seray gidişte 90 km/saat hızla \( t \) saatte \( 90t \) km yol almıştır. Aynı yolu dönüşte 50 km/saat hızla \( 14 - t \) saatte almıştır.

Gidiş ve dönüşteki yol uzunlukları birbirine eşittir.

\( 90t = 50(14 - t) \)

\( 90t = 700 - 50t \)

\( 140t = 700 \)

\( t = 5 \) saat

Seray A ve B şehirleri arasını 90 km/saat hızla 5 saatte aldığına göre, iki şehir arası \( 5 \cdot 90 = 450 \) km'dir.

Ali'nin dakikada \( a \), Ahmet'in dakikada \( b \) metre yüzdüğünü varsayalım.

İkinci kez buluşma sürelerine \( t \) diyelim.

\( t \) dakikada yüzülen toplam mesafeyi ikisinin hızlarının toplamından bulalım.

\( (a + b) \cdot 1 = x \)

\( (a + b) \cdot t = 3x \)

\( t = 3 \) dk olarak bulunur.

Bir tekerleğin ilk durumda \( x \) km gitmek için yapacağı dönüş sayısına \( n \), ikinci durumda \( x \) km gitmek için yapacağı dönüş sayısına \( n' \) diyelim.

Tekerleğin her iki durumda katettiği toplam mesafe birbirine eşit ve \( x \) km'dir.

\( 2\pi \cdot 42 \cdot n = 2\pi \cdot 40 \cdot n' \)

\( n' = \dfrac{42n}{40} \)

\( = \dfrac{21n}{20} = \dfrac{105n}{100} \)

Buna göre, yeni durumda bir tekerleğin dönüş sayısı ilk duruma göre yüzde 5 artar.

Üçgenin bir kenarının uzunluğuna \( x \) km, Gizem'in tüm pisti koşma süresine \( t \) saat diyelim.

\( t = \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{x}{12} \)

\( = \dfrac{4x}{24} + \dfrac{3x}{24} + \dfrac{2x}{24} \)

\( = \dfrac{9x}{24} = \dfrac{3x}{8} \) saat

Gizem'in ortalama hızı, pistin toplam uzunluğunun tüm pisti koşma süresine eşittir.

Ortalama hız \( = \dfrac{3x}{\frac{3x}{8}} = 8 \) km/saat bulunur.

Yeliz'in yürüdüğü yolun uzunluğuna işlem kolaylığı açısından 8 birim diyelim.

Bu yolun ilk kısmı \( 8 \cdot \frac{1}{4} = 2 \) birim, kalan kısmı \( 8 - 2 = 6 \) birimdir.

Yeliz'in yolun ilk kısmındaki hızına \( v \) diyelim, bu durumda yolun ikinci kısmındaki hızı \( 2v \) olur.

Yeliz 2 birimlik yolu \( \frac{2}{v} \) saatte, 6 birimlik kalan yolu \( \frac{6}{2v} = \frac{3}{v} \) saatte yürür.

Toplam yürüyüş süresini bulalım.

\( \dfrac{2}{v} + \dfrac{3}{v} = \dfrac{5}{v} \) saat

Yeliz yürüyüş için toplam 5 saat harcamıştır.

\( \dfrac{5}{v} = 5 \)

\( v = 1 \) birim/saat

Buna göre yürüyüşün ilk kısmı \( \frac{2}{v} = 2 \) saat sürmüştür, yani Yeliz 2 saat yürüdükten sonra hızını 2 katına çıkarmıştır.

Barlas'ın hızına \( v \), Arın'ın hızına \( v + 60 \) diyelim.

Arın pisti tamamladığında \( 720 \) metre koşmuş olur. Barlas bu noktada \( 720 - 120 = 600 \) metre koşmuş olur.

İkisi aynı süre koştukları için koştukları mesafelerin hızlarına oranları birbirine eşittir.

\( \dfrac{720}{v + 60} = \dfrac{600}{v} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 720v = 600v + 36000 \)

\( 120v = 36000 \)

\( v = 300 \) m/dk

Buna göre Barlas pisti toplam \( \frac{720}{300} = 2,4 \) dakikada koşar.

Aralarında 720 km olan yolda otobüs 480 km gittiğinde motosikletli ile karşılaşıyorsa motosiklet bu noktaya kadar \( 720 - 480 = 240 \) km yol gitmiştir.

Motosikletlinin saatteki hızı 40 km/saat olduğuna göre, bu yolu \( \frac{240}{40} = 6 \) saatte gitmiştir.

Otobüs de 480 km'yi aynı sürede gittiğine göre, bu yoldaki sabit hızı \( \frac{480}{6} = 80 \) km/saat olur.

Bu araçlar birbirlerine doğru hareket ettikleri için bir saatte hızlarının toplamı kadar yaklaşırlar.

Buna göre 1,5 saatte aralarındaki 360 km'lik mesafe kapanıyorsa hızları toplamı \( \frac{360}{1,5} = 360 \cdot \frac{2}{3} = 240 \) km/saat'tir.

Bu iki aracın 1,5 saat yerine 2 saatte karşılaşmaları için hızları toplamı \( \frac{360}{2} = 180 \) km/saat olmalıdır.

Araçlardan birinin hızını değiştirmeden hızları toplamını 240 km/saat'ten 180 km/saat'e düşürmek için araçlardan birinin hızı saatte \( 240 - 180 = 60 \) km/saat azaltılmalıdır.

İki araçtan yavaş olanın hızına \( v \) km/saat diyelim. Hızlı olanın hızı bu durumda \( v + 20 \) km/saat olur.

İki saat sonra yavaş olan araç başlangıç noktasına \( 2v \) km, hızlı olan araç ise \( 2(v + 20) = 2v + 40 \) km uzaklıkta olur.

2 saat sonra aralarındaki uzaklık 220 km'dir.

\( 2v + (2v + 40) = 220 \)

\( 4v + 40 = 220 \)

\( 4v = 180 \)

\( v = 45 \) km/saat

Buna göre, hızlı giden aracın hızı \( v + 20 = 45 + 20 = 65 \) km/saat'tir.

Anlatılan durumu aşağıdaki gibi çizebiliriz.

At arabasının C kentine varış süresine \( t \) diyelim. Bu durumda A ve C kentleri arası mesafe \( 2v \cdot t = 2vt \) olur.

Aynı sürede traktör A kentinden B kentine varıp geri dönmüş ve C kentine ulamıştır. Traktör bu sürede toplam \( 5v \cdot t = 5vt \) yol almıştır.

Traktör giderken A kentinden C kentine varana kadar \( 2vt \) yol gitmiştir. Toplamda \( 5vt \) yol giden traktör B ve C kentleri arasında gidiş - dönüş toplam \( 5vt - 2vt = 3vt \) yol almıştır. Bu durumda B ve C kentleri arası mesafe \( \frac{3vt}{2} \) olur.

A ve C kentleri arası mesafe \( 2vt \), C ve B kentleri arası mesafe \( \frac{3vt}{2} \) olduğuna göre, A ve B kentleri arası mesafe \( 2vt + \frac{3vt}{2} = \frac{7vt}{2} \) olur.

C ve B kentleri arasındaki mesafenin A ve B kentleri arasındaki mesafeye oranını bulalım.

\( \dfrac{\frac{3vt}{2}}{\frac{7vt}{2}} = \dfrac{3}{7} \) bulunur.

Cemre koşmaya başladıktan 4 dakika sonra okula 240 metre, 10 dakika sonra 24 metre kalıyorsa Cemre \( 10 - 4 = 6 \) dakikada \( 240 - 24 = 216 \) metre koşmaktadır.

Bu durumda Cemre'nin hızı dakikada \( \frac{216}{6} = 36 \) metredir.

Buna göre Cemre'nin eviyle okulu arası uzaklığı aşağıdaki iki hesaplamadan biri ile bulabiliriz.

Koşmaya başladıktan 4 dakika sonra okula 240 metre kalıyor.

\( 4 \cdot 36 + 240 = 384 \) metre

Koşmaya başladıktan 10 dakika sonra okula 24 metre kalıyor.

\( 10 \cdot 36 + 24 = 384 \) metre

Semih 480 km'lik yolu 6 saatte alıyorsa hızı saatte \( \frac{480}{6} = 80 \) km'dir.

Semih 160 km yol aldığında yola çıkmasının üzerinden \( \frac{160}{80} = 2 \) saat geçmiştir.

Kübra bu sürenin sonunda Semih'in yarım saat önce bulunduğu (yani 1,5 saatte vardığı) noktaya gelmiş olduğuna göre, 2 saatte \( 80 \cdot 1,5 = 120 \) km yol almıştır.

Buna göre Kübra'nın hızı saatte \( \frac{120}{2} = 60 \) km'dir.

Kübra A kentinden B kentine \( \frac{480}{60} = 8 \) saatte, yani Semih'ten \( 8 - 6 = 2 \) saat sonra varır.

Bisikletlerin hızları metre\dakika cinsinden verildiği için pistin uzunluğunu metreye çevirelim.

6 km = 6000 metre

Bu bisikletliler birbirine dakikada \( 300 + 200 = 500 \) metre yakınlaşır.

Buna göre iki bisiklet \( \frac{6000}{500} = 12 \) dakika sonra karşılaşır.

9 km/saat hızla koşan koşucu 3 saatte \( 3 \cdot 9 = 27 \) km, 12 km/saat hızla koşan koşucu 3 saatte \( 3 \cdot 12 = 36 \) km yol alır.

Yavaş olan yani 9 km/saat hızla koşan koşucunun A noktasına varması için, hızlı koşucunun katettiği mesafe olan 36 km daha yol alması gerekir.

Buna göre yavaş olan koşucu karşılaşmadan \( \frac{36}{9} = 4 \) saat sonra tekrar A noktasına varır.

Ali'nin saniyedeki hızına \( x \) metre, Mehmet'in saniyedeki hızına \( y \) metre diyelim.

Ali bu pisti tek başına 90 saniyede koştuğuna göre, pistin uzunluğu \( 90x \) metre olur.

Ali ve Mehmet koşmaya başladıktan 36 saniye sonra pistin belirli bir noktasında ilk kez buluşuyorlar.

İlk buluşma noktasına kadar ikisinin koştukları mesafelerin toplamı pistin uzunluğuna eşit olur.

\( 36(x + y) = 90x \)

\( y = \dfrac{3x}{2} \)

Mehmet'in pisti tek başına koştuğu süreye \( t \) saniye diyelim.

\( y \cdot t = 90x \)

\( \dfrac{3x}{2} \cdot t = 90x \)

\( t = 60 \) saniye bulunur.

İki araç birbirine saatte \( 80 + 120 = 200 \) km hızla yaklaşır.

Araçlar 70 km'lik dairesel yolda \( \frac{70}{200} = \frac{7}{20} = 0,35 \) saat sonra karşılaşırlar.

Araçlar karşılaştıktan sonra yine saatte 200 km hızla birbirinden uzaklaşırlar. 30 km uzaklaşmak için \( \frac{30}{200} = \frac{3}{20} = 0,15 \) saat daha hareket ederler.

Buna göre başlangıçtan itibaren \( 0,35 + 0,15 = 0,5 \) saat, yani 30 dakika sonra aralarında 30 km olacak kadar uzaklaşmış olurlar.

Salih \( 13 - 6 = 7 \) saatte \( 19575 - 18700 = 875 \) kilometre yol gitmiştir.

Ortalama hız (\( v \)), gidilen mesafenin süreye bölümüne eşittir.

\( v = \dfrac{875}{7} = 125 \) km/sa bulunur.

Aracın gittiği mesafeye \( x \), en baştaki sabit hızına \( v \) diyelim.

Toplam mesafe, ortalama hız ile sürenin çarpımına eşittir.

\( x = vt \)

Araç verilen mesafeyi sabit hızla 20 saatte gidiyor.

\( x = 20v \)

Araç saatteki hızını 36 km arttırırsa aynı yolu 16 saatte gidiyor.

\( x = 16(v + 36) \)

Her iki durumdaki mesafeler eşittir.

\( x = 20v = 16(v + 36) \)

\( 5v = 4(v + 36) \)

\( v = 144 \) km/sa

144 kilometre hızla giden aracın 20 saatte gittiği mesafeyi bulalım.

\( x = 20 \cdot 144 = 2880 \) km bulunur.

Aracın ilk hızına işlem kolaylığı açısından \( 40v \) diyelim.

Aracın ikinci saatteki hızı \( 40v + 40v \cdot \frac{50}{100} = 60v \) olur.

Aracın üçüncü saatteki hızı \( 60v + 60v \cdot \frac{50}{100} = 90v \) olur.

Aracın dördüncü saatteki hızı \( 90v + 90v \cdot \frac{50}{100} = 135v \) olur.

Katedilen mesafe ortalama hız ile sürenin çarpımına eşittir.

Buna göre araç her saatte sırasıyla \( 40v, 60v, 90v, 135v \) yol gitmiştir.

Aracın gittiği toplam mesafeyi bulalım.

\( 40v + 60v + 90v + 135v = 325v \) km

Ortalama hız toplam mesafenin toplam süreye bölümüne eşittir.

\( \dfrac{325v}{4} = 130 \) km/sa

\( v = \dfrac{520}{325} = \dfrac{8}{5} \) km/sa

Tüm yolun uzunluğunu bulalım.

\( 325v = 325 \cdot \dfrac{8}{5} = 520 \) km

Aracın ilk hızını bulalım.

\( 40 \cdot \dfrac{8}{5} = 64 \) km/sa

Araç tüm yolu ilk hızıyla gitseydi yolculuğun kaç saat süreceğini bulalım.

Yolculuk süresi gidilen mesafenin ortalama hıza bölümüne eşittir.

\( t = \dfrac{520}{64} \)

\( = \dfrac{65}{8} = 8,125 \) saat bulunur.

Aracın gittiği toplam mesafeye \( x \), ortalama hızına \( v \) diyelim.

Araç ilk 2 saat boyunca saatte 40 km hızla giderek \( 2 \cdot 40 = 80 \) km yol gitmiştir.

Araç sonraki 1 saat boyunca saatte 60 km hızla giderek \( 1 \cdot 60 = 60 \) km yol gitmiştir.

Araç sonraki 3 saat boyunca saatte 120 km hızla giderek \( 3 \cdot 120 = 360 \) km yol gitmiştir.

Araç sonraki 2 saat boyunca saatte 160 km hızla giderek \( 2 \cdot 160 = 320 \) km yol gitmiştir.

Aracın gittiği toplam mesafeyi bulalım.

\( x = 80 + 60 + 360 + 320 = 820 \) km

Araç bu yolu 8 saatte gitmiştir.

Ortalama hız, toplam mesafenin toplam süreye bölümüne eşittir.

\( v = \dfrac{820}{8} = 102,5 \) km/sa bulunur.

Çağrı'nın saniyedeki hızına \( v \) metre, trenlerin boyuna \( x \) metre diyelim.

Çağrı ile aynı yönde giden tren Çağrı'yı 13 saniyede geçiyor.

\( x = 13(5 - v) \)

Çağrı ile ters yönde giden tren Çağrı'yı 7 saniyede geçiyor.

\( x = 7(5 + v) \)

Her iki trenin boyu birbirine eşittir.

\( 13(5 - v) = 7(5 + v) \)

\( 65 - 13v = 35 + 7v \)

\( 20v = 30 \)

\( v = \dfrac{3}{2} \) metre/saniye olarak bulunur.

A noktasından yola çıkan aracın hızına \( a \), C noktasından yola çıkan aracın hızına \( c \) diyelim.

Araçlar birlikte toplam 540 km'lik mesafeyi 6 saatte aldıklarına göre, hızları toplamı \( \frac{540}{6} = 90 \) km/saat'tir.

\( a + c = 90 \)

A ve B noktaları arası mesafe \( 6a \), B ve C noktaları arası mesafe \( 6c \) km'dir.

A noktasından yola çıkan araç B ve C noktaları arası mesafeyi 4 saatte gittiğine göre, bu mesafeye \( 4a \) km de diyebiliriz.

\( 6c = 4a \)

\( a = \dfrac{3c}{2} \)

Bu değeri yukarıdaki denklemde yerine koyalım.

\( a + c = 90 \)

\( \dfrac{3c}{2} + c = 90 \)

\( \dfrac{5c}{2} = 90 \)

\( c = 36 \) km/saat

Buna göre, C noktasından hareket eden aracın hızı 36 km/saat'tir.

Atletler çemberin çapının iki ucunda bulunduklarına göre aralarındaki mesafe çemberin çevresinin yarısı, yani \( \frac{600}{2} = 300 \) m olur.

Hızlı koşan atletle yavaş koşan arasında \( 300 - 240 = 60 \) m/dk hız farkı olduğuna göre, aralarındaki mesafe dakikada 60 m azalacaktır.

Hızlı koşan atlet yavaş koşan atletten 300 m (pistin çevresinin yarısı) fazla koştuğunda yavaş koşan atlete ilk kez yetişecektir.

Hızlı koşan atlet o noktadan itibaren yavaş koşan atletten 600 m (pistin çevresi) fazla koştuğunda yavaş koşan atleti 2. kez geçecektir.

Hızlı koşan atlet o noktadan itibaren yavaş koşan atletten 600 m (pistin çevresi) fazla koştuğunda yavaş koşan atleti 3. kez geçecektir.

Buna göre hızlı koşan atlet yavaş koşan atletten toplamda \( 300 + 600 + 600 = 1500 \) m fazla koştuğunda yavaş koşan atleti 3. kez geçecektir.

Hızlı koşan atlet yavaş koşan atletten dakikada 60 m fazla koştuğuna göre yavaş koşan atleti \( \frac{1500}{60} = 25 \) dakika sonra 3. kez geçer.

İlk karşılaşmaları harekete başladıktan \( t \) dakika sonra oluyor diyelim.

İlk karşılaşma için aralarındaki yarım çemberlik mesafeyi kapatmaları gerekir. İlk karşılaşma anından sonra ikinci karşılaşmaya kadar ise tam çemberlik bir mesafeyi kapatmaları gerekir, bunun için de \( 2t \) dakika geçer.

İkinci kez karşılaştıktan sonra üçüncü karşılaşmaya kadar yine tam çemberlik bir mesafeyi kapatmaları gerektiği için \( 2t \) dakika daha geçer.

Buna göre harekete başladıktan \( t + 2t + 2t = 5t \) dakika sonra üçüncü kez karşılaşırlar.

\( 5t = 50 \Longrightarrow t = 10 \) dk

Çemberin çevresi 1,5 km yani 1500 metredir. Yarım çemberin uzunluğu \( \frac{1500}{2} = 750 \) metredir.

Aralarındaki 750 metrelik mesafeyi 10 dakikada kapatıyorlarsa hızları toplamı dakikada \( \frac{750}{10} = 75 \) metredir.

Ahmet'in hızı dakikada 40 metre olduğuna göre, Beril'in hızı dakikada \( 75 - 40 = 35 \) metredir.

İki cisim karşılaşmadan önce 144 derecelik çember yayı kadar yol alırlar. Bu noktadan sonra 360 derecelik (tam) çember yayı kadar daha yol aldıklarında ikinci kez karşılaşırlar.

Çember yaylarının uzunluğu onları gören merkez açı ile doğru orantılı olduğu için en başta aralarındaki mesafenin tam çember yay uzunluğuna oranı \( \frac{144}{360} = \frac{2}{5} \)'tir.

İlk kez karşılaşıncaya kadar 14 dakikada \( 2x \) kadar yol katettiklerine göre ne kadar sürede \( 5x \) kadar yol katedeceklerini bulalım.

\( \dfrac{2x}{5x} = \dfrac{14}{t} \)

\( t = 7 \cdot 5 = 35 \) dakika bulunur.

\( \abs{AB} = \abs{DC} = x \) km ve \( \abs{BE} = y \) km diyelim.

\( C \) noktasından yola çıkan aracın \( E \) noktasına kadar aldığı yolu bulalım.

\( x + (y + 30) + x + y = 2(x + y) + 30 \) km

Aynı sürede \( A \) noktasından yola çıkan aracın \( E \) noktasına kadar aldığı yolu bulalım.

\( x + y \) km

\( C \) noktasından yola çıkan aracın hızı \( A \) noktasından yola çıkan aracın hızının 4 katı olduğundan aynı sürede aldığı yol da 4 katı olur.

\( 2(x + y) + 30 = 4(x + y) \)

\( 2x + 2y + 30 = 4x + 4y \)

\( 2x + 2y = 30 \)

\( x + y = 15 \)

Parkurun çevresini hesaplayalım.

\( 2(x + y + 30) = 2(15 + 30) = 90 \) km bulunur.

\( 12\abs{AB} = 5\abs{AC} \) olduğuna göre, \( \abs{AB} = 5k \) ve \( \abs{AC} = 12k \) diyelim.

Parkur dik üçgen şeklinde olduğu için \( \abs{BC} \) uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulabiliriz.

\( \abs{BC} = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = 13k \)

\( \abs{BD} = 150 \) metre verildiğinden \( \abs{DC} = 13k - 150 \) metre olur.

Ahsen \( D \) noktasına gelene kadar toplam \( 5k + 150 \) metre, Büşra ise \( 12k + (13k - 150) = 25k - 150 \) metre yol almış olur.

Ahsen ve Büşra'nın aynı sürede aldıkları yolların oranı hızlarının oranına eşittir.

\( \dfrac{5k + 150}{25k - 150} = \dfrac{5v}{7v} \)

\( \dfrac{k + 30}{5k - 30} = \dfrac{5}{7} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 7(k + 30) = 5(5k - 30) \)

\( 7k + 210 = 25k - 150 \)

\( 18k = 360 \)

\( k = 20 \)

Buna göre \( \abs{DC} = 13(20) - 150 = 110 \) metre bulunur.

Melike'nin A kafesine olan uzaklığına \( x \) km diyelim.

Caner'in A kafesine olan uzaklığı B kafesine olan uzaklığının \( \frac{4}{5} \) katı olduğuna göre, A kafesine olan uzaklığına \( 4k \), B kafesine olan uzaklığına \( 5k \) diyebiliriz.

Caner hangi kafeye yürürse yürüsün aynı anda vardıklarına göre, iki durumda katetttikleri yolun hızlarına oranları eşit olmalıdır.

Caner'in yürüme hızına \( v \) diyelim.

Önce A kafesinde buluştukları durum için yolculuk sürelerini eşitleyelim.

\( \dfrac{x}{45} = \dfrac{4k}{v} \)

Şimdi B kafesinde buluştukları durum için yolculuk sürelerini eşitleyelim.

\( \dfrac{x + 9k}{45} = \dfrac{5k}{v} \)

İki orantıyı taraf tarafa bölelim.

\( \dfrac{\frac{x}{45}}{\frac{x + 9k}{45}} = \dfrac{\frac{4k}{v}}{\frac{5k}{v}} \)

\( \dfrac{x}{x + 9k} = \dfrac{4}{5} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 5x = 4(x + 9k) \)

\( 5x = 4x + 36k \)

\( x = 36k \)

İlk denklemde \( x \) yerine bulduğumuz değeri yazalım.

\( \dfrac{x}{45} = \dfrac{4k}{v} \)

\( \dfrac{36k}{45} = \dfrac{4k}{v} \)

\( v = 5 \) km/saat bulunur.

Tekerleklerin dönüş sayısı; çevreleri, dolayısıyla yarıçapları ile ters orantılıdır.

Buna göre ön tekerleğin toplam dönüş sayısına \( 10k \) dersek arka tekerleğin toplam dönüş sayısı \( 7k \) olur.

\( 10k \cdot 35 = 7k \cdot 50 \)

Bu durumda tekerleklerin yaptığı toplam dönüş sayısı \( 17k \) olur.

\( 17k = 15300 \)

\( k = 900 \)

Arka tekerlek toplamda \( 7 \cdot 900 = 6300 \) dönüş yapmıştır.

Alper'in gittiği toplam mesafeyi bulmak için arka tekerleğin çevresi ile toplam dönüş sayısını çarpalım.

\( 2\pi r = 2\pi \cdot 50 \) cm

\( = 100\pi \) cm \( = \pi \) metre

Alper'in gittiği toplam mesafeyi bulalım.

\( \pi \cdot 6300 = 6300\pi \) metre olarak bulunur.

Parkurun uzunluğuna işlem kolaylığı açısından \( 3x \) metre diyelim.

Yavaş olan koşucu parkurun \( 3x \cdot \frac{1}{3} = x \) kadarını koştuğunda hızlı olan koşucu 800 metre koştuğuna göre, hızları oranı \( \frac{x}{800} \) olur.

Hızlı olan koşucu bu parkurun \( 3x \cdot \frac{2}{3} = 2x \) kadarını koştuğunda yavaş olan koşucu 900 metre koştuğuna göre, hızları oranı aynı zamanda \( \frac{900}{2x} \) olur.

Her iki durumda koşucuların hızları oranı birbirine eşittir.

\( \dfrac{x}{800} = \dfrac{900}{2x} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2x^2 = 800 \cdot 900 \)

\( x^2 = 400 \cdot 900 \)

\( x = 20 \cdot 30 = 600 \) metre

Buna göre parkurun toplam uzunluğu \( 3x = 3 \cdot 600 = 1800 \) metredir.

Cevap \( 1,8 \) km bulunur.

Miray'ın ilk yarışı tamamlama süresine \( t \) saniye diyelim.

Buna göre Miray'ın hızı \( \frac{200}{t} \) m/s, Nisa'nın hızı \( \frac{140}{t} \) m/s olur.

Miray ikinci yarışta 260 metre koştuğuna göre, ikinci yarışı bitirme süresini bulalım.

\( \dfrac{260}{\frac{200}{t}} = \dfrac{13t}{10} \) saniye

Nisa'nın ikinci yarışta bu sürede koştuğu mesafeyi bulalım.

\( \dfrac{140}{t} \cdot \dfrac{13t}{10} = 182 \) metre

Buna göre, Miray yarışı bitirdiğinde Nisa'nın yarışı bitirmesine \( 200 - 182 = 18 \) metre vardır.

Pistin uzunluğuna \( x \) metre diyelim.

C aracı yarışı bitirdiğinde araçların durumu aşağıdaki gibidir.

A aracı yarışı bitirdiğinde ise araçların durumu aşağıdaki gibidir.

Buna göre A aracı \( x - 480 \) metre gittiğinde B aracı ile arasındaki mesafe \( 625 - 480 = 145 \) metre açılmıştır. Daha sonra A aracı 480 metre daha gittiğinde B aracı ile arasındaki mesafe \( 225 - 145 = 80 \) metre daha açılmıştır.

Araçların hızı sabit olduğuna göre, A aracının aldığı yolla B aracı ile arasındaki mesafe arasında doğru orantı vardır.

\( \dfrac{x - 480}{145} = \dfrac{480}{80} \)

\( \dfrac{x - 480}{145} = 6 \)

\( x - 480 = 870 \)

\( x = 1350 \) metre bulunur.

A'nın hızı B'nin hızının \( \frac{2}{3} \) katı olduğundan B'nin hızına \( 3v \), A'nın hızına \( 3v \cdot \frac{2}{3} = 2v \) diyelim.

Aynı anda koşmaya başladıktan sonra karşılaştıkları süreye \( t \) diyelim.

A \( t \) dakikada \( 2v \cdot t = 2vt \), B ise \( 3v \cdot t = 3vt \) yol almış olur.

Karşılaştıktan sonra A \( 2v \cdot \frac{1}{2} = v \) hızıyla, B ise \( 3v \cdot 2 = 6v \) hızıyla koşmaya devam ediyor.

15 dakika sonra pistin başına varan B karşılaşma sonrasında \( 6v \cdot 15 = 90v \) yol alır.

\( 90v \) aynı zamanda A'nın karşılaşma öncesinde aldığı yola eşittir.

\( 2vt = 90v \)

\( t = 45 \) dakika

Buna göre A'nın karşılaşma sonrası pistin sonuna kadar alacağı yol \( 3vt = 3v \cdot 45 = 135v \) olur.

A bu yolu \( v \) hızıyla gideceği için geçireceği süre \( \dfrac{135v}{v} = 135 \) dakika olur.

Kerem'in ilk hızına \( v \) diyelim.

Ev ile ofis arası mesafeyi hesaplayalım.

\( v \cdot 1 + \dfrac{3v}{2} \cdot \dfrac{20}{60} = \dfrac{3v}{2} \)

Evden ofise dönüş süresine \( t \) diyelim.

Evden ofise ne kadar sürede döndüğünü bulalım.

\( \dfrac{3v}{2} \cdot t = \dfrac{3v}{2} \)

\( t = 1 \) saat

Kerem toplantıya 1,5 saat kaldığı andan itibaren 20 dakikayı eve varmak için, 1 saati de evden ofise dönmek için harcamıştır.

Buna göre Kerem'in evde geçirdiği süre 10 dakikadır.

Birinci atlet yarışı tamamladığında, ikinci ve üçüncü atletler arasındaki mesafe \( 60 - 50 = 10 \) metredir.

İkinci atlet 50 metre daha koşarak yarışı tamamladığında ise ikinci ve üçüncü atletler arasındaki mesafe 15 metre oluyor.

Yani ikinci atlet 50 metre koştuğunda üçüncü atlete 5 metre daha fark atmıştır.

İkinci ve üçüncü atletlerin arasındaki mesafeler arasında doğru orantı kuralım.

İkinci atlet üçüncü atlete 5 metre farkı 50 metrede atıyorsa 15 metre farkı 150 metrede atar.

Buna göre pistin toplam uzunluğu 150 metredir.

Parkın bir kenar uzunluğuna \( x \) m, bisikletin dördüncü kenar boyunca hızına \( v \) m/s diyelim.

Ortalama hız toplam mesafenin toplam zamana bölümüne eşittir.

\( \dfrac{4x}{\frac{x}{8} + \frac{x}{4} + \frac{x}{12} + \frac{x}{v}} = 6,4 \)

\( \dfrac{x}{x(\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{v})} = 1,6 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{10}{16} \)

\( \dfrac{3 + 6 + 2}{24} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{5}{8} \)

\( \dfrac{1}{v} = \dfrac{5}{8} - \dfrac{11}{24} \)

\( \dfrac{1}{v} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6} \)

\( v = 6 \) m/s bulunur.

Evle toplantı yeri arası uzaklığa \( x \) km, evden çıktığı anda toplantı saatine olan süreye \( t \) saat diyelim.

75 km/saat hızla gittiğinde 20 dk geç varıyor.

\( x = 75(t + \dfrac{20}{60}) \)

100 km/saat hızla gittiğinde 15 dk erken varıyor.

\( x = 100(t - \dfrac{15}{60}) \)

Her iki durumda mesafeler birbirine eşittir.

\( x = 75(t + \dfrac{20}{60}) = 100(t - \dfrac{15}{60}) \)

\( 75t + 75 \cdot \dfrac{1}{3} = 100t - 100 \cdot \dfrac{1}{4} \)

\( 25t = 25 + 25 \)

\( t = 2 \) saat

Evle toplantı yeri arası mesafeyi bulalım.

\( x = 75(2 + \dfrac{20}{60}) \)

\( = 75 \cdot \dfrac{7}{3} = 175 \) km bulunur.

Cem'in hızına \( v \), karşılaşana kadar geçen süreye \( t \) diyelim.

Cem'in \( t \) sürede aldığı yolu Ali 2 saat 50 dakikada alıyor.

2 saat 50 dakika = 170 dakika

\( 35\sqrt{6} \cdot \dfrac{170}{60} = vt \)

\( t = \dfrac{35\sqrt{6} \cdot 170}{60v} \)

Ali'nin \( t \) sürede aldığı yolu ise Cem Ali'den 1 saat 25 dakika daha uzun sürede, yani 4 saat 15 dakikada alıyor.

4 saat 15 dakika = 255 dakika

\( v\dfrac{255}{60} = 35\sqrt{6}t \)

\( t = \dfrac{255v}{60 \cdot 35\sqrt{6}} \)

Bulduğumuz iki \( t \) değerini birbirine eşitleyelim.

\( \dfrac{35\sqrt{6} \cdot 170}{60v} = \dfrac{255v}{60 \cdot 35\sqrt{6}} \)

\( v^2 = \dfrac{35\sqrt{6} \cdot 35\sqrt{6} \cdot 170}{255} \)

\( = \dfrac{35^2 \cdot 6 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 2}{17 \cdot 3 \cdot 5} \)

\( = 35^2 \cdot 2^2 \)

\( = 70^2 \)

\( v = 70 \) km/saat olarak bulunur.

Trenin uzunluğuna \( x \) metre, hızına \( v \) m/sn diyelim.

Tren bir köprüyü geçerken kendi uzunluğu artı köprünün uzunluğu kadar yol kateder.

\( v = \dfrac{x + 550}{35} \) m/sn

\( v = \dfrac{x + 750}{45} \) m/sn

Trenin her iki köprüyü geçerkenki hızları birbirine eşittir.

\( \dfrac{x + 550}{35} = \dfrac{x + 750}{45} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 45(x + 550) = 35(x + 750) \)

\( 9(x + 550) = 7(x + 750) \)

\( 9x + 4950 = 7x + 5250 \)

\( 2x = 300 \)

\( x = 150 \) m

Trenin hızını bulmak için bu değeri hız denklemlerinden birinde yerine koyalım.

\( v = \dfrac{150 + 550}{35} = 20 \) m/sn

Buna göre trenin uzunluğu ve hızının toplamları \( 150 + 20 = 170 \) olarak bulunur.

Trenin hızına \( v \) diyelim.

200 metre = 0,2 km

8 saniye = 8 / 3600 saat

Trenin uzunluğu, ters yönde ilerleyen tren ve arabanın hızları toplamı ile geçen sürenin çarpımına eşittir.

\( 0,2 = (v + 57) \cdot \dfrac{8}{3600} \)

\( v + 57 = \dfrac{720}{8} = 90 \)

\( v = 33 \) km/s olarak bulunur.

Tren saatte 60 km hızla gidiyorsa 2 dakikada 2 km, yani 2000 m yol gider.

2000 m tünelin ve trenin uzunlukları toplamına eşittir.

Trenin uzunluğu 400 m olduğundan tünelin uzunluğu 1600 m'dir.

1600 m uzunluğun \( \frac{1}{20000} \) ölçekli haritada karşılık geldiği uzunluğu bulalım.

1600 m = 160000 cm

\( \dfrac{160000}{20000} = 8 \) cm olarak bulunur.

Geminin hızına \( v \) metre/dk, uzunluğuna \( x \) metre diyelim.

Gemi limanı ve tatil köyünü geçerken liman ve tatil köyünün uzunluklarına ek olarak kendi uzunluğu kadar da mesafe kateder.

Geminin hızı alınan yolun süreye oranına eşittir.

\( v = \dfrac{700 + x}{10} = \dfrac{1000 + x}{13} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 13(700 + x) = 10(1000 + x) \)

\( 13 \cdot 700 + 13x = 10 \cdot 1000 + 10x \)

\( 3x = 900 \)

\( x = 300 \) metre olarak bulunur.

A treninin hızına \( a \) m/sn, B treninin hızına \( b \) m/sn diyelim.

Trenler aynı yönde de zıt yönlerde de ilerlerken birbirlerini geçerken aldıkları yol trenlerin uzunluklarının toplamı kadardır.

Trenler aynı yönde ilerlerken birbirlerini geçme hızı:

\( a - b = \dfrac{115 + 155}{12} = 22,5 \)

Trenler zıt yönlerde ilerlerken birbirlerini geçme hızı:

\( a + b = \dfrac{115 + 155}{4} = 67,5 \)

Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

\( 2a = 90 \)

\( a = 45 \) m/s

\( b = 22,5 \) m/s

Hızlı olan trenin yavaş olan treni istasyonda dururken kaç saniyede geçeceğini bulalım.

\( \dfrac{115 + 155}{45} = 6 \) saniye

Ahmet'in arabasının uzunluğuna \( x \) diyelim. Bu durumda tırın uzunluğu \( 4x \) olur.

Ahmet'in tırı geçmek için katetmesi gereken yol arabasının uzunluğuyla tırın uzunluğunun toplamına eşittir.

\( 4x + x = 5x \)

Ahmet'in hızıyla tırın hızının farkı \( 68 - 44 = 24 \) km/saat'tir. Bu hızı metre/saniyeye çevirelim.

\( 24 \cdot \dfrac{1000}{60 \cdot 60} = \dfrac{20}{3} \) m/sn

Ahmet tırı 3 saniyede geçerken katettiği toplam yolu bulalım.

\( 3 \cdot \dfrac{20}{3} = 20 \) metre

Bu mesafe araba ve tırın uzunlukları toplamı olan \( 5x \)'e eşittir.

\( 5x = 20 \Longrightarrow x = 4 \)

Tırın uzunluğu \( 4x = 4 \cdot 4 = 16 \) metredir.

Tırın tüneli geçmesi için katetmesi gereken mesafe \( 204 + 16 = 220 \) metredir.

Tırın hızını metre/saniyeye çevirelim.

\( 44 \cdot \dfrac{1000}{60 \cdot 60} = \dfrac{110}{9} \) m/sn

Tırın tüneli geçme süresini bulalım.

\( \dfrac{220}{\frac{110}{9}} = 18 \) saniye bulunur.

Demet'in bir adımının uzunluğuna \( x \) metre, Dilara'nın bir adımının uzunluğuna \( y \) metre diyelim.

\( 11x = 13y \)

Buna göre Demet'in bir adımının uzunluğuna \( 13k \), Dilara'nın bir adımının uzunluğuna \( 11k \) diyebiliriz.

Demet \( t \) saniyede \( 15 \cdot 13k = 195k \) metre, Dilara aynı sürede \( 18 \cdot 11k = 198k \) metre koşar.

Süreler aynı olduğu için koştukları mesafelerin oranı hızlarının oranını verir.

\( \dfrac{195k}{198k} = \dfrac{65}{66} \) olarak bulunur.

İki geminin karşılaştığı noktaya K noktası diyelim.

X ve Y limanları arasındaki uzaklığa \( m \), Y limanı ve K noktası arasındaki uzaklığa \( n \) diyelim.

Bu durumda X limanı ve K noktası arasındaki uzaklık \( m - n \) olur.

Bu uzaklıklar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

A gemisinin hızına \( a \), B gemisinin hızına \( b \) diyelim.

A gemisi \( n \) mesafesini 4 dakikada, B gemisi \( m \) mesafesini 24 dakikada alıyor.

\( a = \dfrac{n}{4} \)

\( b = \dfrac{m}{24} \)

A ve B gemileri aynı anda hareket edip K noktasına aynı anda varıyor. Bu yüzden A ve B gemilerinin K noktasına gelme süreleri eşittir.

\( \dfrac{m - n}{a} = \dfrac{n}{b} \)

Bulduğumuz \( a \) ve \( b \) değerlerini bu eşitlikte yerine yazalım.

\( \dfrac{m - n}{\frac{n}{4}} = \dfrac{n}{\frac{m}{24}} \)

\( \dfrac{4(m - n)}{n} = \dfrac{24n}{m} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 24n^2 = 4m^2 - 4mn \)

\( 6n^2 + mn - m^2 = 0 \)

\( (3n - m)(2n + m) = 0 \)

\( 3n - m = 0 \Longrightarrow m = 3n \)

\( 2n + m = 0 \Longrightarrow m = -2n \)

Uzunluk değerleri negatif olamayacağı için ikinci çözüm geçerli değildir.

\( m = 3n \Longrightarrow n = \dfrac{m}{3} \)

Bu değeri \( a \) hız formülünde yerine koyalım.

\( a = \dfrac{n}{4} = \dfrac{\frac{m}{3}}{4} = \dfrac{m}{12} \)

\( a \) değeri A gemisinin hızına, \( m \) değeri de X - Y limanları arası uzaklığa eşit olduğu için, bu eşitlikten A gemisinin X limanından Y limanına 12 dakikada vardığı sonucunu çıkarabiliriz.

Yavaş olan drone'un hızına \( x \) km/sa, hızlı olan drone'un hızına \( x + 14 \) km/sa diyelim.

Buna göre 3 saatte yavaş drone \( 3x \) km, hızlı drone \( 3(x + 14) = 3x + 42 \) km yol alır.

Drone'lardan biri kuzeye doğru diğeri doğuya doğru uçtuğu için aralarında 90 derecelik açı vardır.

Drone'ların birbirine göre konumları aşağıdaki şekildeki gibi olur.

Oluşan dik üçgende Pisagor teoremini kullanalım.

\( (3x)^2 + (3x + 42)^2 = 78^2 \)

\( 9x^2 + 9x^2 + 2 \cdot 3x \cdot 42 + 42^2 = 78^2 \)

Eşitliğin taraflarını 9 ile sadeleştirelim.

\( 2x^2 + 28x + 196 = 676 \)

\( 2x^2 + 28x - 480 = 0 \)

\( x^2 + 14x - 240 = 0 \)

\( (x + 24)(x - 10) = 0 \)

\( x = -24 \) ya da \( x = 10 \)

Drone'ların hızı negatif olamaz.

\( x = 10 \)

Buna göre hızlı olan drone'un hızı \( x + 14 = 24 \) km/sa olur.

A ve B noktaları arası mesafeye \( x \) metre, akıntının hızına \( n \) m/sn diyelim.

Kişi akıntı ile aynı yönde yüzdüğü için bileşke hızı akıntının hızı ile kendi hızının toplamına eşit olur.

İki durumda alınan yollar birbirine eşittir.

\( 60(m + n) = 48(2m + n) \)

\( 60m + 60n = 96m + 48n \)

\( 12n = 36m \)

\( n = 3m \)

Bu eşitliği kullanarak \( x \)'in \( m \) cinsinden değerini bulalım.

\( x = 60(m + n) \)

\( = 60(m + 3m) = 240m \)

Bu kişinin sadece akıntının hızıyla \( x \) yolunu aldığı zamana \( t \) saniye diyelim.

\( x = nt \)

\( 240m = 3m \cdot t \)

\( t = 80 \) saniye bulunur.

Bir traktörün tekerlerinin 1 devrinde traktörün katettiği mesafe 1 tekerin çevresine eşittir.

X ve Y traktörlerinin tekerlerinin yarıçapları sırasıyla 25 ve 30 cm'dir.

X traktörünün 1 tekerinin çevresini bulalım.

\( 2 \pi \cdot 25 = 50 \pi \)

Y traktörünün 1 tekerinin çevresini bulalım.

\( 2 \pi \cdot 30 = 60 \pi \)

Tekerlerin çevre uzunluğunun devir sayısı ile çarpımı tarlanın uzunluğunu verir. İki traktör de aynı tarlada çalıştığı için bulunan uzunluklar birbirine eşittir.

Y traktörünün yaptığı devir sayısına \( n \) dersek X traktörünün yaptığı devir sayısı \( n + 800 \) olur.

\( 50\pi(n + 800) = 60\pi n \)

\( 50n + 40000 = 60n \)

\( n = 4.000 \) devir

Y traktörünün teker çevresini ve devir sayısını kullanarak tarlanın uzunluğunu bulalım.

\( 60\pi \cdot 4000 = 240.000\pi \) cm

1 km = 100.000 cm

\( = \dfrac{240000\pi}{100000} = \dfrac{12\pi}{5} \) km

Y traktörü \( \frac{12\pi}{5} \) km yolu 1,5 saatte katedebildiğine göre hızını km/saat cinsinden bulalım.

Hız \( = \dfrac{\frac{12\pi}{5}}{\frac{3}{2}} = \dfrac{8\pi}{5} \) km/saat bulunur.

Koşucunun koştuğu mesafeye \( d \) km, saatte 9 km hızla koşarkenki koşu süresine \( t \) saat diyelim.

\( d = 9t \)

Koşucu saatte 12 km hızla koştuğunda aynı mesafeyi 45 dakika daha kısa sürede, yani \( t - \frac{3}{4} \) saatte alır.

\( d = 12(t - \dfrac{3}{4}) = 12t - 9 \)

Her iki durumda yol uzunlukları birbirine eşittir.

\( d = 9t = 12t - 9 \)

\( 3t = 9 \)

\( t = 3 \) saat

Bulduğumuz \( t \) değerini kullanarak \( d \) değerini bulalım.

\( d = 9t = 27 \) km

Koşucu saatte 15 km hızla koştuğunda 27 km'yi ne kadar sürede tamamlayacağını bulalım.

\( \dfrac{27}{15} = \dfrac{9}{5} \) saat

\( = 108 \) dakika

Koşu süresi 3 saat olduğunda koşucunun varış zamanı 15:20 olduğuna göre, 108 dakika olduğunda 72 dakika öncesi, yani saat 14:08 olur.

Teknenin nehre göre saatteki hızına \( v_s \), akıntının saatteki hızına \( v_a \) diyelim.

Tekne \( A \) noktasından \( B \) noktasına daha kısa sürede vardığına göre akıntı \( A \) noktasından \( B \) noktasına doğrudur.

Teknenin karaya göre hızı akıntı yönünde giderken \( v_s + v_a \), akıntıya ters yönde giderken \( v_s - v_a \) olur.

Teknenin \( A \) noktasından \( B \) noktasına katettiği mesafeyi bulalım.

\( x = 5(v_s + v_a) \)

Teknenin \( B \) noktasından \( A \) noktasına katettiği mesafeyi bulalım.

\( x = 7(v_s - v_a) \)

Her iki durumdaki mesafeler birbirine eşittir.

\( x = 5(v_s + v_a) = 7(v_s - v_a) \)

\( 5v_s + 5v_a = 7v_s - 7v_a \)

\( v_s = 6v_a \)

İki eşitlikten herhangi birinde \( v_s \) yerine \( 6v_a \) yazalım.

\( x = 7(v_s - v_a) \)

\( = 7(6v_a - v_a) = 35v_a \)

Buna göre \( A \) ve \( B \) noktaları arası mesafe akıntının hızının 35 katına eşittir.

Dolayısıyla tekne motorunu kapattığında sadece akıntının hızıyla \( A \) noktasından \( B \) noktasına 35 saatte varır.

Soruyu iki farklı yöntemle çözelim.

1. yöntem:

Saat 12:00 ve 00:00'da akrep ve yelkovan aynı konumda bulunur.

Bu iki zaman arasındaki 12 saatlik sürede yelkovan akrebi 11 kez geçer.

Buna göre yelkovan akrebi her \( \frac{12}{11} \) saatte bir geçer.

Saat cinsinden süreyi dakikaya çevirelim.

\( \dfrac{12}{11} \cdot 60 = 65,45 \) dakika bulunur.

2. yöntem:

Saat üzerinde her 5 dakikalık bölüme bir yay diyelim.

Akrep 1 saatte 1 yay ilerlerken yelkovan 12 yay ilerler.

Akrep ve yelkovanın aynı konumda olduktan sonra yine aynı konuma geldikleri süreye \( t \) diyelim.

Akrep \( t \) saatte \( t \) yay ilerlerken yelkovan \( 12t \) yay ilerler.

\( 12t \) yelkovanın bir tam dönüşünü de içerdiği için bu tam dönüşü çıkardığımızda akrep ve yelkovanın aldıkları mesafeler birbirine eşit olur.

\( 12t - 12 = t \)

\( t = \dfrac{12}{11} \) saat

Saat cinsinden süreyi dakikaya çevirelim.

\( \dfrac{12}{11} \cdot 60 = 65,45 \) dakika bulunur.

Depremin merkez üssünün yeryüzüne olan uzaklığına \( d \) diyelim.

P dalgalarının hızına \( v_p \), S dalgalarının hızına \( v_s \) diyelim.

P dalgalarının yeryüzüne ulaşma süresi 10 saniye, S dalgalarının yeryüzüne ulaşma süresi 16 saniye olarak veriliyor.

P ve S dalgalarının ikisi de aynı \( d \) yolunu kateder.

\( d = 10v_p = 16v_s \)

\( v_p \) hızı \( v_s \) hızından 3000 m/s daha büyüktür.

\( v_p = v_s + 3000 \)

\( 10(v_s + 3000) = 16v_s\)

\( 10v_s + 30000 = 16v_s \)

\( v_s = 5000 \) m/s

Depremin merkez üssünün yeryüzüne olan uzaklığını bulalım.

\( d = 16v_s \)

\( = 16 \cdot 5000 = 80.000 \) m

\( = 80 \) km bulunur.

Merdivenlerin uzunluğuna \( d \) diyelim.

Asya'nın hızına \( v_a \), yürüyen merdivenin hızına \( v_b \) diyelim.

Asya yürüyen merdivenden \( v_a \) hızıyla yürüyerek indiğinde toplam hızı \( v_a + v_b \) olur.

Yürüyen merdiven \( d \) mesafesini 60 saniyede kateder.

\( d = 60v_b \)

\( v_b = \dfrac{d}{60} \)

Asya normal merdivende \( d \) mesafesini 40 saniyede kateder.

\( d = 40v_a \)

\( v_a = \dfrac{d}{40} \)

Asya yürüyen merdivenle yürüyerek indiğinde hızı \( v_a + v_b \) olur.

Asya'nın yürüyen merdivenle inme süresine \( t \) diyelim.

\( d = (v_a + v_b)t \)

\( t = \dfrac{d}{v_a + v_b} \)

\( v_a \) ve \( v_b \)'nin \( d \) cinsinden karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{d}{\frac{d}{40} + \frac{d}{60}} \)

\( = \dfrac{d}{\frac{3d}{120} + \frac{2d}{120}} \)

\( = \dfrac{120d}{5d} = 24 \) saniye bulunur.

Yürüyen merdivenin hızına \( v_m \), Fatih'in koşarkenki hızına \( v_k \), yürürkenki hızına \( v_y \) diyelim.

Merdivenin uzunluğuna \( x \) metre diyelim.

Merdiven hareket halindeyken Fatih koştuğunda toplam hızı merdivenin hızı ile koşma hızının toplamına eşit olur.

\( v_m + v_k = \dfrac{x}{15} \)

Merdiven hareket halindeyken Fatih yürüdüğünde toplam hızı merdivenin hızı ile yürüme hızının toplamına eşit olur.

\( v_m + v_y = \dfrac{x}{25} \)

Merdiven duruyorken Fatih koştuğunda hızı koşma hızına eşit olur.

\( v_k = \dfrac{x}{20} \)

Fatih'in koşma hızını birinci denklemde yerine koyarak merdivenin hızını bulalım.

\( v_m + \dfrac{x}{20} = \dfrac{x}{15} \)

\( v_m = \dfrac{x}{60} \)

Bu değeri ikinci denklemde yerine koyarak Fatih'in yürüme hızını bulalım.

\( \dfrac{x}{60} + v_y = \dfrac{x}{25} \)

\( v_y = \dfrac{7x}{300} \)

Merdiven duruyorken Fatih yürüdüğünde hızı yürüme hızına eşit olur. Bu durumda \( x \) mesafesini çıkma süresini bulalım.

\( \dfrac{x}{v_y} = \dfrac{x}{\frac{7x}{300}} \)

\( = \dfrac{300}{7} \) saniye bulunur.

Aracın radarsız yoldaki hızına \( v \) diyelim. Bu durumda radarlı yoldaki hız \( \frac{2v}{3} \) olur.

İşlem kolaylığı açısından toplam yolculuk süresine 1 saat, yolculuğun radarlı kısmında geçen süreye \( t \) saat diyelim. Bu durumda yolculuğun radarsız kısmında geçen süre \( 1 - t \) saat olur.

Radarlı ve radarsız yolun tamamı, A ve B arası (radarsız yolda 1 saatte gidilebilecek) mesafenin dörtte üçünü eşittir.

\( \dfrac{2v}{3} \cdot t + v \cdot (1 - t) = \dfrac{3}{4} \cdot 1 \cdot v \)

\( v \) bilinmeyenleri sadeleşir.

\( \dfrac{2t}{3} + 1 - t = \dfrac{3}{4} \)

\( \dfrac{t}{3} = \dfrac{1}{4} \)

\( t = \dfrac{3}{4} \)

Buna göre, toplam yolculuk süresinin dörtte üçü radarlı yolda geçmiştir.

Kol saatinin saat kısmı 03, 13 ve 23 olduğu zamanlarda ekranda 3 rakamı görülür.

\( 3 \times 60 = 180 \) dk

Geriye kalan 21 saat boyunca, saatin dakika kısmı 30 ile 39 (30 ve 39 dahil) arasında bir sayı gösterdiğinde ekranda 3 rakamı görülür.

\( 21 \times 10 = 210 \) dk

Geriye kalan 21 saat boyunca, saatin dakika kısmı 03, 13, 23, 43, 53 sayılarını gösterdiğinde de ekranda 3 rakamı görülür.

\( 21 \times 5 = 105 \) dk

Buna göre, Adem saatinin ekranında 3 rakamını günde \( 180 + 210 + 105 = 495 \) dakika görür.

Akrepin 1°'yi ne kadar sürede döndüğünü hesaplayalım.

Akrep 12 saatte 360° döndüğüne göre 1 saatte \( \frac{360}{12} = 30° \) döner.

Dolayısıyla akrep \( \frac{60}{30} = 2 \) dakikada 1° döner.

Akrep ile saat 6 arasında 141,5°'lik açı varsa son tam saat olan 10 ile arasında \( 141,5 - 120 = 21,5° \)'lik açı vardır.

Akrep 21,5 dereceyi \( 21,5 \times 2 = 43 \) dakikada döner.

Buna göre saat 10:43'tür.

Ada'nın eve doğru yürüdüğü süreye \( t \) dk diyelim ve normal bir günde annesinin Ada'yı saat 4:00'da aldığını varsayalım.

Eve normal zamandan 30 dk önce vardılarsa bu zaman kazancı annesinin yolda karşılaştıkları noktadan normal bir günde okula gidip aynı noktaya dönmesi için gerekli zamana karşılık gelir.

Buna göre yolda karşılaştıkları noktadan okula arabayla gidiş ve dönüş süresi 15'er dk'dır.

Buna göre annesi normal bir günde saat 3:45'te yolda karşılaştıkları noktada olur.

Ada'nın dersi 50 dk erken bittiğine göre saat 3:10'da eve doğru yürümeye başlamıştır.

Saat 3:10'da yürümeye başlayan Ada saat 3:45'te annesiyle yolda karşılaştığına göre, toplam 35 dk yürümüştür.

Zeynep'in attığı toplam adım sayısını bulalım.

\( 400 + 240 = 640 \)

Zeynep'in ileriye doğru attığı adım sayısının geriye doğru attığı adım sayısından farkı, trenin bu sürede ilerlediği (adım cinsinden) mesafeye eşittir.

\( 400 - 240 = 160 \)

Buna göre, Zeynep 640 adım attığı sürede tren 160 adım ilerlemiştir.

Dolayısıyla, Zeynep'in 4 adım attığı sürede tren 1 adım ilerler.

Trenin uzunluğu, Zeynep'in geri dönüşte attığı adım sayısı ve bu sürede trenin ilerlediği adım sayısının toplamına eşittir.

Zeynep'in 240 adım attığı sürede tren \( \frac{240}{4} = 60 \) adım ilerler.

Buna göre, trenin uzunluğu Zeynep'in \( 240 + 60 = 300 \) adımına eşittir.

Her ibrenin dikeyle yaptığı açıya \( x \) derece, saat 16:00'dan Atakan'ın saate baktığı ana kadar geçen süreye \( s \) saniye diyelim.

Bir saat \( 60 \times 60 = 3600 \) saniyedir.

Saat üzerindeki iki saat (örneğin 3 ve 4) arasındaki açı \( \frac{360}{12} = 30 \) derecedir.

Akrep bir saatte \( 360 \div 12 = 30° \) döner.

Akrepin \( s \) saniyede döndüğü açıyı bulalım.

\( 30° \cdot \dfrac{s}{3600} = \dfrac{s}{120} \) derece

Akrep için \( x \) açısı saat 4 ve 6 arasındaki açı ile \( s \) saniyede döndüğü açının farkına eşittir.

\( x = 2 \cdot 30 - \dfrac{s}{120} \)

\( = 60 - \dfrac{s}{120} \)

Yelkovan bir saatte 360° döner.

Yelkovanın \( s \) saniyede döndüğü açıyı bulalım.

\( 360° \cdot \dfrac{s}{3600} = \dfrac{s}{10} \) derece

Yelkovan için \( x \) açısı \( s \) saniyede döndüğü açı ile 180°'nin farkına eşittir.

\( x = \dfrac{s}{10} - 180 \)

Bulduğumuz iki \( x \) ifadesini eşitleyelim.

\( 60 - \dfrac{s}{120} = \dfrac{s}{10} - 180 \)

\( \dfrac{s}{10} + \dfrac{s}{120} = 180 + 60 \)

\( \dfrac{13s}{120} = 240 \)

\( s \approx 2215 \) saniye

Buna göre ders 2215 saniye önce başlamıştır.

Dolayısıyla dersin bitmesine \( 3600 - 2215 = 1385 \) saniye kalmıştır.

Verilen hızları metre/saniye cinsinden bulalım.

Alp'in hızı \( \frac{54 \cdot 1000}{3600} = 15 \) metre/saniyedir.

Mert'in hızı \( \frac{36 \cdot 1000}{3600} = 10 \) metre/saniyedir.

Mert bir turunu 3 dakikada, yani 180 saniyede tamamlamaktadır.

Buna göre, kare şeklindeki bahçenin çevresi \( 10 \cdot 180 = 1800 \) metre, bir kenarı 450 metredir.

Alp bir turu \( \frac{1800}{15} = 120 \) saniyede tamamlar.

120 saniyede Mert \( 120 \cdot 10 = 1200 \) metre ilerlemiştir.

Alp ilk turu tamamladığında ikisinin konumu şekildeki gibi olur.

Mert 150 metre ilerlediğinde Alp'in görüş açısına gireceğine göre, Mert ilk kez görüş açısına girdiğinde aralarındaki mesafeyi bulalım.

Mert 150 metreyi 15 saniyede ilerler.

Alp 15 saniyede \( 15 \cdot 15 = 225 \) metre ilerler.

Buna göre, ikinci turda birbirlerini ilk kez gördüklerinde aralarında \( 450 - 225 = 225 \) metre olur.

İkinci kez karşılaştıklarında birbirlerini kaç saniye gördüklerini bulalım.

Birbirlerine doğru ilerledikleri için, buluşma süreleri aralarındaki mesafenin hızlarının toplamına oranına eşittir.

\( \dfrac{225}{15 + 10} = 9 \) saniye birbirlerini görürler.

Pistin uzunluğuna \( x \) diyelim.

İlk karşılaşmada Ali 250, Mehmet \( x - 250 \) metre koşmuştur.

İkinci karşılaşmalarında Mehmet 350 metre koştuysa pistin kalan 250 metresini koştuktan sonra ilk başladıkları yerden 100 metre daha koşmuştur.

Buna göre, Ali ikinci karşılaşmada \( x - 250 - 100 = x - 350 \) metre daha koşmuştur.

Ali'nin hızına \( v_a \), Mehmet'in hızına \( v_m \) diyelim.

İlk karşılaşmaları için hızlarının oranını bulalım.

\( \dfrac{v_a}{v_m} = \dfrac{250}{x - 250} \)

İkinci karşılaşmaları için hızlarının oranını bulalım.

\( \dfrac{v_a}{v_m} = \dfrac{x - 350}{350} \)

İki oranı birbirine eşitleyelim.

\( \dfrac{v_a}{v_m} = \dfrac{250}{x - 250} = \dfrac{x - 350}{350} \)

\( (x - 350)(x - 250) = 250 \cdot 350 \)

\( x^2 - 600x + 250 \cdot 350 = 250 \cdot 350 \)

\( x^2 - 600x = 0 \)

\( x(x - 600) = 0 \)

\( x = 600 \) metre bulunur.

İlk uçuşun Los Angeles saatine göre kalkış saati 17:05'tir. Los Angeles ve Londra arasındaki saat farkı 8 saattir.

Londra, Los Angeles'tan daha doğuda olduğundan Los Angeles'tan 8 saat ileridedir.

Bu durumda ilk uçuşun Londra saatine göre kalkış saati \( 17:05 + 8 = 25:05 \), yani ertesi gün \( 01:05 \) olur.

İlk uçuşun Londra saatine göre iniş saati 12:20'dir. Aynı saat diliminde olan iniş saatinden kalkış saatini çıkararak ilk uçuşun süresini bulalım.

\( 12:20 - 01:05 = 11:15 \)

İlk uçuşun süresi 11 saat 15 dakikadır.

Eda, Londra saatine göre 14:35'te tekrar uçağa biniyor.

İstanbul, Londra'dan daha doğuda olduğundan Londra'dan 2 saat ileridedir.

Bu durumda ikinci uçuşun İstanbul saatine göre kalkış saati \( 14:35 + 2 = 16:35 \) olur.

İkinci uçuşun İstanbul saatine göre iniş saati 20:25'tir. Aynı saat diliminde olan iniş saatinden kalkış saatini çıkarak ikinci uçuşun süresini bulalım.

\( 20:25 - 16:35 = 03:50 \)

İkinci uçuşun süresi 3 saat 50 dakikadır.

İki uçuşun sürelerini toplayarak toplam uçuş süresini bulalım.

\( 11:15 + 03:50 = 14:65 \Longrightarrow 15:05 \)

Toplam uçuş süresi 15 saat 5 dakikadır.