Ortalama
Bir grup sayının alınabilecek farklı tipte ortalamaları içinde en sık kullanılanlar aritmetik ortalama, geometrik ortalama, harmonik ortalama ve karesel ortalamadır.
Aritmetik Ortalama
\( n \) tane reel sayıdan oluşan bir sayı dizisindeki sayıların toplamının sayı adedine bölümüne bu sayıların aritmetik ortalaması denir. Bir sayı dizisinin ortalaması dendiğinde aritmetik ortalama anlaşılmalıdır.
Aritmetik ortalama aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \text{Aritmetik Ortalama (AO)} \) \( = \dfrac{a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n}{n} \)
5 elemanlı \( A \) kümesinin elemanlarının aritmetik ortalaması:
\( A = \{78, 92, 67, 85, 53\} \)
\( \text{AO} = \dfrac{78 + 92 + 67 + 85 + 53}{5} \)
\( = \dfrac{375}{5} = 75 \)
\( n \) tane sayının aritmetik ortalaması \( AO \) ise bu sayıların toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( a_1 + a_2 + \ldots + a_n = n \cdot AO \)
Aritmetik ortalamaları \( x \) olan bir grup sayının her biri \( a \) ile çarpılıp \( b \) kadar artırılırsa yeni sayıların ortalaması \( ax + b \) olur.
\( A = \{5, 8, 12, 15, 20\} \)
\( {AO}_A = \dfrac{5 + 8 + 12 + 15 + 20}{5} = 12 \)
Her sayıya 3 eklediğimizde aritmetik ortalama da 3 artar.
\( B = \{8, 11, 15, 18, 23\} \)
\( {AO}_B = \dfrac{8 + 11 + 15 + 18 + 23}{5} = 15 \)
Her sayıyı 2 ile çarptığımızda aritmetik ortalama da 2 katına çıkar.
\( C = \{10, 16, 24, 30, 40\} \)
\( {AO}_C = \dfrac{10 + 16 + 24 + 30 + 40}{5} = 24 \)
Her sayıyı 2 ile çarpıp 3 eklediğimizde aritmetik ortalama da 2 katının 3 fazlasına çıkar.
\( D = \{13, 19, 27, 33, 43\} \)
\( {AO}_D = \dfrac{13 + 19 + 27 + 33 + 43}{5} = 27 \)
Aritmetik ortalama, aynı birimdeki sayıların ortalamasını bulmak için kullanılır (sınıf not ortalaması, aile başına ortalama çocuk sayısı, maç başına gol ortalaması vb.).
\( 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5 \)
sayı dizisinin aritmetik ortalaması kaçtır?
Çözümü GösterBir sayı dizisinin aritmetik ortalaması dizide bulunan terimlerin toplamının terim sayısına bölümüne eşittir.
Sayı dizisindeki her sayıyı dizide bulunma adedi ile çarparak sayıların toplamını bulalım.
Sayıların toplamı \( = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5 \)
\( = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 = 70 \)
Dizide 20 sayı vardır.
Aritmetik ortalama \( = \dfrac{70}{20} = 3,5 \) bulunur.
Geometrik Ortalama
\( n \) tane pozitif reel sayıdan oluşan bir sayı kümesindeki sayıların çarpımının \( n \). dereceden köküne bu sayıların geometrik ortalaması denir.
Geometrik ortalama aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \text{Geometrik Ortalama (GO)} \) \( = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n} \)
5 elemanlı \( A \) kümesinin elemanlarının geometrik ortalaması:
\( A = \{4, 7, 12, 15, 17\} \)
\( \text{GO} = \sqrt[5]{4 \cdot 7 \cdot 12 \cdot 15 \cdot 17} \)
\( = \sqrt[5]{85680} \approx 9,69... \)
İki sayının geometrik ortalamasına bu sayıların orta orantısı da denir.
Sıfır ya da negatif sayı içeren sayı kümeleri için geometrik ortalama hesaplanamaz.
\( n \) tane sayının geometrik ortalaması \( GO \) ise bu sayıların çarpımı aşağıdaki formülle bulunur.
\( a_1 \times a_2 \times \ldots \times a_n = (GO)^n \)
Aritmetik ortalamadan farklı olarak, geometrik ortalama farklı birimlerdeki sayıların ortalamasını almakta kullanılabilir.
\( a \) ve \( b \) sayılarının geometrik ortalaması 6'dır. Sayılar 3'er artırıldığında geometrik ortalamaları 9 olmaktadır.
Buna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( GO = \sqrt{ab} \)
Sayıların ilk durumdaki geometrik ortalaması:
\( \sqrt{ab} = 6 \)
\( ab = 36 \)
Sayıların ikinci durumdaki geometrik ortalaması:
\( \sqrt{(a + 3)(b + 3)} = 9 \)
\( (a + 3)(b + 3) = 81 \)
\( ab + 3(a + b) + 9 = 81 \)
\( 36 + 3(a + b) + 9 = 81 \)
\( a + b = 12 \) bulunur.
Harmonik (Ahenkli) Ortalama
\( n \) tane pozitif reel sayıdan oluşan bir sayı kümesindeki sayıların harmonik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \text{Harmonik Ortalama (HO)} = \) \( \dfrac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \ldots + \frac{1}{a_n}} \)
3 elemanlı \( A \) kümesinin elemanlarının harmonik ortalaması:
\( A = \{9, 15, 36\} \)
\( \text{HO} = \dfrac{3}{\frac{1}{9} + \frac{1}{15} + \frac{1}{36}} \)
\( = \dfrac{3}{\frac{37}{180}} \approx 14,59 \)
İki sayının harmonik ortalaması için aşağıdaki formül de kullanılabilir.
\( A = \{a, b\} \) olmak üzere,
\( \text{Harmonik Ortalama (HO)} = \) \( \dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \) \( = \dfrac{2ab}{a + b} \)
Sıfır ya da negatif sayı içeren sayı kümeleri için harmonik ortalama hesaplanamaz.
Harmonik ortalama genellikle oranlardan oluşan sayı kümelerinin ortalamasını almakta kullanılır.
Karesel Ortalama
\( n \) tane reel sayıdan oluşan bir sayı kümesindeki sayıların karelerinin toplamının sayı adedine bölümüne bu sayıların karesel ortalaması denir.
Karesel ortalama aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \text{Karesel Ortalama (KO)} = \) \( \sqrt{\dfrac{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \ldots + a_n^2}{n}} \)
5 elemanlı \( A \) kümesinin elemanlarının karesel ortalaması:
\( A = \{3, 5, 1, 9, 8\} \)
\( \text{KO} = \sqrt{\dfrac{3^2 + 5^2 + 1^2 + 9^2 + 8^2}{5}} \)
\( = \sqrt{\dfrac{180}{5}} = 6 \)
Ortalama Tipleri Arasındaki İlişki
Pozitif reel sayılardan oluşan bir sayı kümesinin elemanlarının aritmetik (AO), geometrik (GO), harmonik (HO) ve karesel (KO) ortalamaları arasında aşağıdaki ilişki vardır.
\( 0 \le HO \le GO \le AO \le KO \)
İki sayının aritmetik, geometrik ve harmonik ortalamasından herhangi ikisi birbirine eşitse, bu sayılar birbirine eşittir.
\( AO = GO \) ise,
\( \dfrac{a + b}{2} = \sqrt{ab} \)
\( a + b = 2\sqrt{ab} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( a^2 + 2ab + b^2 = 4ab \)
Sağ taraftaki ifadeyi sol tarafa alalım.
\( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 = 0 \)
\( a = b \)
\( AO = HO \) ise,
\( \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \)
\( \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{2}{\frac{a + b}{ab}} \)
\( \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{2ab}{a + b} \)
\( (a + b)^2 = 4ab \)
Bu noktadan sonra yukarıdaki ispat ile aynı adımları takip ederek sayıların eşitliğini gösterebiliriz.
\( GO = HO \) ise,
\( \sqrt{ab} = \dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \)
\( \sqrt{ab} = \dfrac{2ab}{a + b} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( ab = \dfrac{4a^2b^2}{(a + b)^2} \)
İçler - dışlar çarpımı yapıp ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( (a + b)^2 = 4ab \)
Bu noktadan sonra yukarıdaki ispat ile aynı adımları takip ederek sayıların eşitliğini gösterebiliriz.
Sadece iki sayı için bu ortalamaları aldığımızda, ortalama değerleri arasında aşağıdaki ilişki oluşur.
\( (GO)^2 = AO \cdot HO \)
İSPATI GÖSTER
\( (GO)^2 = AO \cdot HO \)
Her bir ortalamanın iki sayı için formülünü yazalım.
\( (\sqrt{ab})^2 = \dfrac{a + b}{2} \cdot \dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \)
\( ab = \dfrac{a + b}{2} \cdot \dfrac{2ab}{a + b} \)
\( ab = ab \)
\( 7, 13, x, 10, 5, 18 \)
Yukarıdaki sayılardan ilk üçünün ortalaması ile son dördünün ortalaması eşit olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Gösterİlk üç sayının ortalamasını bulalım.
\( \dfrac{7 + 13 + x}{3} = \dfrac{x + 20}{3} \)
Son dört sayının ortalamasını bulalım.
\( \dfrac{x + 10 + 5 + 18}{4} = \dfrac{x + 33}{4} \)
İki ortalama birbirine eşittir.
\( \dfrac{x + 20}{3} = \dfrac{x + 33}{4} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4x + 80 = 3x + 99 \)
\( x = 19 \) bulunur.
\( x \), \( y \) ve \( 3z \) sayılarının ortalaması 19; \( x \), \( y \) ve \( -z \) sayılarının ortalaması ise 3'tür.
Buna göre \( x \), \( y \) ve \( z \) sayılarının ortalaması kaçtır?
Çözümü Göster\( x \), \( y \) ve \( 3z \) sayılarının ortalaması 19'dur.
\( \dfrac{x + y + 3z}{3} = 19 \)
\( x + y + 3z = 57 \)
\( x \), \( y \) ve \( -z \) sayılarının ortalaması 3'tür.
\( \dfrac{x + y - z}{3} = 3 \)
\( x + y - z = 9 \)
Bulduğumuz iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( x + y + 3z + x + y - z = 57 + 9 \)
\( 2x + 2y + 2z = 66 \)
\( x + y + z = 33 \)
Üç sayının ortalamasını bulalım.
\( \dfrac{x + y + z}{3} = \dfrac{33}{3} = 11 \) bulunur.
Aritmetik ortalaması 21, geometrik ortalaması 7 olan iki sayının harmonik ortalaması kaçtır?
Çözümü GösterSayılara \( a \) ve \( b \) diyelim.
Sayıların aritmetik ortalaması 21'dir.
\( \dfrac{a + b}{2} = 21 \)
\( a + b = 42 \)
Sayıların geometrik ortalaması 7'dir.
\( \sqrt{ab} = 7 \)
\( ab = 49 \)
Sayıların harmonik ortalamasını bulalım.
HO \( = \dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \dfrac{2ab}{a + b} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 49}{42} \)
\( = \dfrac{7}{3} \) bulunur.
Aşağıda verilen sıralamadaki ardışık sayılar arasındaki farklar birbirlerine eşittir.
\( \dfrac{5}{9} \lt a \lt b \lt c \lt \dfrac{10}{3} \)
Buna göre, \( b - a - c \) kaçtır?
Çözümü GösterArdışık sayılar arasındaki farklar birbirine eşitse ortanca sayı olan \( b \) sayısı 1. ve 5. sayıların ortalamasına eşittir.
\( b = \dfrac{\frac{5}{9} + \frac{10}{3}}{2} \)
\( = \dfrac{\frac{5 + 30}{9}}{2} = \dfrac{35}{18} \)
2. sayı olan \( a \) sayısı 1. ve 3. sayıların ortalamasına eşittir.
\( a = \dfrac{\frac{5}{9} + \frac{35}{18}}{2} \)
\( = \dfrac{\frac{10 + 35}{18}}{2} = \dfrac{5}{4} \)
4. sayı olan \( c \) sayısı 3. ve 5. sayıların ortalamasına eşittir.
\( c = \dfrac{\frac{35}{18} + \frac{10}{3}}{2} \)
\( = \dfrac{\frac{35 + 60}{18}}{2} = \dfrac{95}{36} \)
\( b - a - c \) ifadesinin değerini bulalım.
\( b - a - c = \dfrac{35}{18} - \dfrac{5}{4} - \dfrac{95}{36} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{70}{36} - \dfrac{45}{36} - \dfrac{95}{36} \)
\( = -\dfrac{70}{36} = -\dfrac{35}{18} \) bulunur.
Birbirinden farklı üç pozitif sayının ortalaması 32'dir. Bu sayılardan birincisi, diğer iki sayının toplamının \( \frac{7}{25} \)'i olduğuna göre bu sayı kaçtır?
Çözümü GösterBu üç sayının toplamına \( k \) diyelim.
\( \dfrac{k}{3} = 32 \)
\( k = 96 \)
Soruda istenen sayıya \( x \) diyelim. Bu durumda diğer iki sayının toplamı \( 96 - x \) olur.
Bu sayı ile diğer iki sayının toplamı arasındaki oran \( \frac{7}{25} \) olarak veriliyor.
\( \dfrac{x}{96 - x} = \dfrac{7}{25} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 25x = 7(96 - x) \)
\( 32x = 7 \cdot 96 \)
\( x = 21 \) bulunur.
\( c_1, c_2, \ldots, c_8 \) sayılarının ortalaması 500'dür.
\( 5c_1, c_2, \ldots, c_8 \) sayılarının ortalaması ise 600'dür.
Buna göre, \( c_1 \) sayısı kaça eşittir?
Çözümü Gösterİlk sayı dizisinde 8 sayı vardır.
\( \dfrac{c_1 + c_2 + \ldots + c_8}{8} = 500 \)
İkinci sayı dizisinde de 8 sayı vardır.
\( \dfrac{5c_1 + c_2 + \ldots + c_8}{8} = 600 \)
Bu eşitliği düzenleyelim.
\( \dfrac{4c_1}{8} + \dfrac{c_1 + c_2 + \ldots + c_8}{8} = 600 \)
İkinci terim 500'e eşittir.
\( \dfrac{c_1}{2} + 500 = 600 \)
\( c_1 = 200 \) olarak bulunur.
Umut arkaşından kendisine 18 tane sayı söylemesini istiyor. Bu 18 sayının ortalamasını alan Umut sonucu hatalı olarak 25 buluyor.
Arkadaşı Umut'un işlemine baktığında 82 sayısı yerine 28 yazdığını fark ediyor. Buna göre doğru sonuç kaçtır?
Çözümü GösterUmut 82 yerine 28 yazdığında sayıların toplamı \( 82 - 28 = 54 \) azalır.
Bu farkın sayıların ortalamasını ne kadar düşürdüğünü bulalım.
\( \dfrac{54}{18} = 3 \)
Buna göre doğru sonuç \( 25 + 3 = 28 \) olur.
A, B ve C takımlarının bir sezonda attıkları gollerin ortalaması 28'dir.
B ve C takımlarının aynı sezonda attıkları gollerin ortalaması 29,5; A ve C takımlarının attıkları gollerin ortalaması 26 olduğuna göre, C takımı bu sezonda kaç gol atmıştır?
Çözümü GösterTakımların bir sezonda attıkları gol sayılarına A, B ve C diyelim.
A, B ve C takımlarının bir sezonda attıkları gollerin ortalamasını attıkları toplam gol sayısını 3'e bölerek bulabiliriz.
\( \dfrac{A + B + C}{3} = 28 \)
\( A + B + C = 28 \cdot 3 = 84 \)
B ve C takımlarının attıkları gollerin ortalaması 29,5'tur.
\( \dfrac{B + C}{2} = 29,5 \)
\( B + C = 29,5 \cdot 2 = 59 \)
A ve C takımlarının attıkları gollerin ortalaması 26'dır.
\( \dfrac{A + C}{2} = 26 \)
\( A + C = 26 \cdot 2 = 52 \)
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( B + C = 59 \)
\( A + C = 52 \)
\( A + B + 2C = 111 \)
\( A + B + C = 84 \) olduğu biliniyor.
İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
\( C = 111 - 84 = 27 \) bulunur.
İki sayıdan küçük olanı sayıların aritmetik ortalamasından 3 eksik, büyük olanı ise geometrik ortalamalarından 4 fazladır. Buna göre bu iki sayıdan büyük olan kaçtır?
Çözümü GösterSayılara \( a \gt b \) olmak üzere \( a \) ve \( b \) diyelim.
Küçük sayı aritmetik ortalamalarından 3 eksiktir.
\( \dfrac{a + b}{2} = b + 3 \)
\( a + b = 2b + 6 \)
\( b = a - 6 \)
Büyük sayı geometrik ortalamalarından 4 fazladır.
\( \sqrt{ab} = a - 4 \)
\( \sqrt{a(a - 6)} = a - 4 \)
İki tarafın karesini alalım.
\( a^2 - 6a = a^2 - 8a + 16 \)
\( 2a = 16 \)
\( a = 8 \)
Buna göre sayılardan büyük olan \( a = 8 \) olarak bulunur.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 3a - 2 \) ve \( 2a + 5 \) sayılarının aritmetik ve geometrik ortalamaları eşit ise bu sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİki sayının aritmetik ve geometrik ortalamaları eşitse bu sayılar birbirine eşittir.
\( 3a - 2 = 2a + 5 \)
\( a = 7 \)
\( a \)'yı yerine koyduğumuzda iki sayıyı eşit olarak aşağıdaki gibi buluruz.
\( 3(7) - 2 = 2(7) + 5 = 19 \)
Buna göre sayıların toplamı \( 19 + 19 = 38 \) olarak bulunur.
Bir mahallede yaşayan yetişkin sayısının çocuk sayısına oranı \( \frac{5}{7} \)'dir.
Mahalledeki yetişkinlerin yaşlarının ortalaması 42, çocukların yaşlarının ortalaması 6 olduğuna göre, bu mahallenin yaş ortalaması kaçtır?
Çözümü GösterYetişkin - çocuk oranı \( \frac{5}{7} \) olduğu için yetişkin sayısına \( 5k \), çocuk sayısına \( 7k \) diyelim.
Yetişkinlerin yaş ortalamasını bulmak için yetişkinlerin yaşları toplamını yetişkin sayısına bölelim.
Yetişkinlerin yaşları toplamına \( t \) diyelim.
\( \dfrac{t}{5k} = 42 \)
\( t = 42 \cdot 5k = 210k \)
Aynı şekilde çocukların yaş ortalamasını bulmak için çocukların yaşları toplamını çocuk sayısına bölelim.
Çocukların yaşları toplamına \( p \) diyelim.
\( \dfrac{p}{7k} = 6 \)
\( p = 6 \cdot 7k = 42k \)
Mahalledeki herkesin yaş ortalamasını bulmak için yetişkinlerin ve çocukların yaşları toplamını toplam kişi sayısına bölelim.
\( \dfrac{t + p}{5k + 7k} = \dfrac{210k + 42k}{12k} \)
\( = \dfrac{252k}{12k} = 21 \)
Buna göre mahallenin yaş ortalaması 21'dir.
200 ve 300 arasındaki tam sayılar içinde 17'ye tam bölünen sayıların ortalaması kaçtır?
Çözümü Göster200 ile 300 arasında bulunan ve 17'nin tam katı olan sayıların kümesini yazalım.
\( 17 \cdot 12 = 204 \)
\( A = \{204, 221, 238, 255, 272, 289\} \)
Bu kümenin aritmetik ortalamasını bulalım.
Ardışık sayılardan oluşan bir kümenin aritmetik ortalaması eleman sayısı tek ise ortadaki sayı, çift ise ortadaki iki terimin ortalamasıdır.
Bu kümenin eleman sayısı çift olduğuna göre ortadaki iki terimin ortalamasını alalım.
\( \dfrac{238 + 255}{2} = \dfrac{493}{2} \)
\( = 246,5 \) bulunur.
Dört doğal sayıdan birincisi ikincinin 5 katı; üçüncüsü dördüncünün yarısıdır. İkinci sayı üçüncüden 6 az ve dört sayının ortalaması 27 olduğuna göre, en büyük sayı kaçtır?
Çözümü GösterBirinci sayıya \( 5a \) diyelim. Bu durumda ikinci sayı \( a \) olur.
Dördüncü sayıya \( 2b \) diyelim. Bu durumda üçüncü sayı \( b \) olur.
Sayıların ortalamaları 27'dir.
\( \dfrac{5a + a + b + 2b}{4} = 27 \)
\( 6a + 3b = 108 \)
\( 2a + b = 36 \)
İkinci sayı üçüncü sayıdan 6 azdır.
\( b - a = 6 \)
Bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa çıkaralım.
\( 2a + b - (b - a) = 36 - 6 \)
\( 3a = 30 \)
\( a = 10 \)
\( b - a = 6 \Longrightarrow b = 16 \)
Birinci sayı \( 5a = 50 \), ikinci sayı \( a = 10 \), üçüncü sayı \( b = 16 \), dördüncü sayı \( 2b = 32 \) olarak bulunur.
Buna göre sayıların en büyüğü 50'dir.
200 üzerinden değerlendirilen bir sınavda 30 kişilik bir sınıfın ortalaması 172'dir. Bu sınıfa yeni gelen 5 kişiye de aynı sınav yapıldığında sınıf ortalaması 162'ye düşüyor.
Yeni gelen kişilerden en düşük not alan kişinin notu 86 olduğuna göre, kalan 4 kişinin not ortalaması kaçtır?
Çözümü GösterSınıfa yeni öğrenciler gelmeden önceki notlar toplamına \( t \) diyelim.
\( \dfrac{t}{30} = 172 \)
\( t = 30 \cdot 172 = 5160 \)
5 yeni öğrenci geldikten sonraki notlar toplamına \( k \) diyelim.
\( \dfrac{k}{35} = 162 \)
\( k = 162 \cdot 35 = 5670 \)
Toplamlar arasındaki fark yeni gelen 5 kişinin notlarının toplamıdır.
\( 5670 - 5160 = 510 \)
En düşük notu alan kişinin notunu bu farktan çıkarırsak kalan 4 kişinin notları toplamını buluruz.
\( 510 - 86 = 424 \)
4 kişinin not ortalamasını bulalım.
\( \dfrac{424}{4} = 106 \) olarak bulunur.
5 tane karpuz sırayla tartılıyor ve her ölçümden sonra tartılan karpuzların ağırlıklarının ortalaması hesaplanıyor.
Hesaplanan her ortalama bir önceki ortalamadan 40 gr fazla olduğuna göre, son karpuz ile ilk karpuzun ağırlıkları farkı kaçtır?
Çözümü Gösterİlk ölçümden sonra hesaplanan ortalama ilk karpuzun ağırlığına eşittir. Bu ağırlığa \( x \) diyelim.
Her ölçümden sonra hesaplanan ortalama 40 gr artıyor.
2. ölçüm sonrası ortalama: \( x + 40 \)
3. ölçüm sonrası ortalama: \( x + 80 \)
4. ölçüm sonrası ortalama: \( x + 120 \)
5. ölçüm sonrası ortalama: \( x + 160 \)
4. ölçümdeki toplam ağırlık ile 5. ölçümdeki toplam ağırlık arasındaki fark sadece 5. karpuzun ağırlığına eşittir.
4. ölçümdeki toplam ağırlık \( t \) olsun.
\( \dfrac{t}{4} = x + 120 \)
\( t = 4x + 480 \)
5. ölçümdeki toplam ağırlık \( k \) olsun.
\( \dfrac{k}{5} = x + 160 \)
\( k = 5x + 800 \)
Bu durumda \( k - t \) farkı 5. karpuzun ağırlığını verir.
\( k - t = 5x + 800 - (4x + 480) = x + 320 \)
Soruda ilk karpuz ile son karpuzun ağırlıkları arasındaki fark isteniyor.
\( x + 320 - x = 320 \) gr olarak bulunur.
20 öğrencinin bulunduğu bir satranç kulübünün yaş ortalaması 15 yıl 3 aydır. Yeni gelen 10 öğrenci ile birlikte kulübün yaş ortalaması 12 yıl 5 ay olmuştur.
Buna göre yeni gelen 10 öğrencinin yaş ortalaması kaçtır?
Çözümü GösterYılları aya çevirelim.
15 yıl 3 ay, \( (15 \cdot 12) + 3 = 183 \) aydır.
12 yıl 5 ay, \( (12 \cdot 12) + 5 = 149 \) aydır.
Yeni gelen 10 öğrencinin yaş ortalamasına \( a \) ay diyelim.
İlk 20 öğrencinin yaşları toplamı ile yeni gelen öğrencilerin yaşları toplamı son durumdaki yaş toplamına eşit olur.
\( 183 \cdot 20 + a \cdot 10 = 149 \cdot 30 \)
\( a = 149 \cdot 3 - 183 \cdot 2 \)
\( a = \) 81 ay \( = \) 6 yıl 9 ay bulunur.
Bir okulda A, B ve C sınıfındaki öğrenciler matematik sınavına girmiştir.
A sınıfının ortalaması 87, B sınıfının ortalaması 94, C sınıfının ortalaması 89'dur. A ve B sınıflarının toplamının ortalaması 89, B ve C sınıflarının toplamının ortalaması 91'dir.
Buna göre, bu üç sınıfın toplamının ortalaması kaçtır?
Çözümü GösterA, B ve C sınıflarının öğrenci sayılarına sırayla \( a, b, c \), öğrencilerin aldıkları notların toplamına da \( A, B, C \) diyelim.
\( \dfrac{A}{a} = 87 \Longrightarrow A = 87a \)
\( \dfrac{B}{b} = 94 \Longrightarrow B = 94b \)
\( \dfrac{C}{c} = 89 \Longrightarrow C = 89c \)
\( \dfrac{A + B}{a + b} = 89 \Longrightarrow A + B = 89a + 89b \)
\( \dfrac{B + C}{b + c} = 91 \Longrightarrow B + C = 91b + 91c \)
\( A, B, C \) yerine \( a, b, c \) karşılıklarını yazalım.
\( A + B = 89a + 89b \)
\( 87a + 94b = 89a + 89b \)
\( 2a = 5b \)
\( B + C = 91b + 91c \)
\( 94b + 89c = 91b + 91c \)
\( 3b = 2c \)
Değişkenler arasındaki orantıları kullanarak tüm değişkenleri \( k \) cinsinden yazalım.
\( 2a = 5b \) olduğuna göre,
\( a = 5k, \quad b = 2k \)
\( 3b = 2c \) olduğuna göre,
\( b = 2k, \quad c = 3k \)
Soruda üç sınıfın toplamının ortalaması, yani \( \frac{A + B + C}{a + b + c} \) oranı isteniyor.
\( A, B, C \) yerine \( a, b, c \) karşılıklarını yazalım.
\( \dfrac{A + B + C}{a + b + c} = \dfrac{87a + 94b + 89c}{a + b + c} \)
\( a, b, c \) yerine \( k \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{87 \cdot 5k + 94 \cdot 2k + 89 \cdot 3k}{5k + 2k + 3k} \)
\( = \dfrac{890k}{10k} = 89 \)
Bu üç sınıfın not ortalaması 89 olarak bulunur.
Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında gruptaki terim sayısı tek ise ortadaki sayıya, çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına o veri grubunun medyanı denir.
Bir öğrenci her girdiği sınavdan sonra sonucunu bir kağıda yazıyor. Öğrencinin kağıda yazdığı sayılar sırasıyla 60, 70, 68, 80, 72, 65 olduğuna göre, aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur?
I. 4. sınavdan sonra medyan 69'dur.
II. Öğrenci son sınavdan 65 yerine 55 alsaydı medyan azalırdı.
III. 7. sınavdan sonra medyanın 70 olması için 7. sınav sonucu en az 69 olmalıdır.
Çözümü GösterVerilen 6 sınav sonucunda oluşan medyanı bulalım.
60, 70, 68, 80, 72, 65
Sınav sonuçlarını küçükten büyüğe sıralayalım.
60, 65, 68, 70, 72, 80
Bu veri grubunun medyanı ortadaki iki sayının aritmetik ortalaması olan 69'dur.
I. öncül:
İlk 4 sınavın sonucunu yazalım.
60, 70, 68, 80
Bu 4 sınav sonucunu küçükten büyüğe sıralayalım.
60, 68, 70, 80
Bu veri grubunun medyanı ortadaki iki sayının aritmetik ortalaması olan 69'dur.
Buna göre I. öncül doğrudur.
II. öncül:
Son sınavı 65 yerine 55 olarak alalım.
60, 70, 68, 80, 72, 55
Sınav sonuçlarını küçükten büyüğe sıralayalım.
55, 60, 68, 70, 72, 80
Bu veri grubunun medyanı yine 69'dur.
Buna göre II. öncül yanlıştır.
III. öncül:
60, 65, 68, 70, 72, 80
Bu veri grubuna bir sayı daha eklendiğinde medyanın 70 olması için eklenen sayı en az 70 olmalıdır.
Buna göre III. öncül yanlıştır.
Verilen öncüllerden sadece I. öncül doğrudur.
Bir iş yerinde yeni bir grup çalışan işe başladığında çalışanların boy ortalaması 5 cm artıyor.
Yeni çalışanların boy ortalaması eski çalışanların boy ortalamasından 20 cm daha fazla olduğuna göre, yeni çalışanların sayısının eski çalışanların sayısına oranı nedir?
Çözümü GösterEski çalışanların sayısına \( n \), boy ortalamasına \( x \) metre diyelim.
Yeni çalışanların sayısına \( m \) diyelim. Yeni çalışanların boy ortalaması eski çalışanlarınkinden 0,2 metre daha fazla olduğundan boy ortalamaları \( x + 0,2 \) metre olur.
\( \text{Boy ortalaması} = \dfrac{\text{Toplam uzunluk}}{\text{Toplam kişi sayısı}} \)
Eski çalışanların toplam uzunluğu \( nx \) metre, yeni çalışanların toplam uzunluğu \( m(x + 0,2) \) metre olur.
Son durumdaki boy ortalaması eski çalışanların boy ortalamasından 0,05 m daha fazladır.
\( \dfrac{nx + m(x + 0,2)}{n + m} = x + 0,05 \)
\( nx + mx + 0,2m = nx + 0,05n + mx + 0,05m \)
\( 0,15m = 0,05n \)
\( \dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
Sekiz farklı doğal sayıdan en küçük iki sayının aritmetik ortalaması 34, en büyük üç sayının aritmetik ortalaması ise 47'dir.
Buna göre bu sekiz sayının tümünün aritmetik ortalamasının en küçük değeri nedir?
Çözümü GösterBu sekiz sayıya küçükten büyüğe olacak şekilde \( a, b, c, d, e, f, g, h \) diyelim.
En küçük iki sayının ortalaması 34'tür.
\( \dfrac{a + b}{2} = 34 \Longrightarrow a + b = 68 \)
En büyük üç sayının ortalaması 47'dir.
\( \dfrac{f + g + h}{3} = 47 \Longrightarrow f + g + h = 141 \)
Tüm sayıların ortalamasının en küçük değerini bulmak istediğimiz için \( c, d, e \) sayılarının alabileceği en küçük değerleri bulmalıyız.
Sayılar birbirinden farklı olduğu için \( a + b = 68 \) olacak ve \( b \) en küçük değerini alacak şekilde \( a = 33 \) ve \( b = 35 \) olur.
Bu durumda \( c, d, e \) için en küçük değerler aşağıdaki gibi olur.
\( c = 36, \quad d = 37, \quad e = 38 \)
Tüm sayıların toplamını bulalım.
\( 68 + 36 + 37 + 38 + 141 = 320 \)
Tüm sayıların aritmetik ortalamasının en küçük değeri \( \frac{320}{8} = 40 \) bulunur.
Barış bir dönemde 100 puan üzerinden değerlendirilen 6 sınava girmektedir. Dönem ortalamasının en az 90 olmasını isteyen Barış, ilk 3 sınavdan 84, 95 ve 81 alıyor.
Barış'ın hedefine ulaşabilmesi için geriye kalan 3 sınavın herhangi birinden alacağı not en düşük kaç olabilir?
Çözümü Göster6 sınavın ortalamasının en az 90 olması için, Barış'ın sınavlardan alacağı notların toplamı en az \( 6 \cdot 90 = 540 \) olmalıdır.
Barış'ın ilk 3 sınavdan aldığı notların toplamı \( 84 + 95 + 81 = 260 \)'tır.
Buna göre, Barış'ın son üç sınavdan alacağı notların toplamı en az \( 540 - 260 = 280 \) olmalıdır.
Soruda Barış'ın son üç sınavın herhangi birinden alacağı en düşük not soruluyor.
Bu sınavlardan birinde en düşük notu alması için Barış diğer 2 sınavdan en yüksek notu almalıdır.
Barış'ın 2 sınavdan 100 aldığını varsayarak üçüncü sınav için en düşük notu bulalım.
\( 100 + 100 + x = 280 \)
\( x = 80 \)
Dönem ortalamasının en az 90 olması için, Barış son 3 sınavın herhangi birinden en düşük 80 almalıdır.
45 tam sayının ortalaması 8'dir. Bu tam sayıların içinde 8 ve 8'den büyük toplam 15 tam sayı vardır.
Buna göre bu 15 tam sayının ortalamasının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster45 tam sayıyı ortalamaları ile çarparak bu sayıların toplamını bulalım.
\( 45 \cdot 8 = 360 \)
Bu tam sayıların 15 tanesi 8 ya da 8'den büyük olduğu için 30 tanesi 8'den küçüktür.
8 ve 8'den büyük tam sayıların ortalamasının en küçük olması için 8'den küçük tam sayılar en büyük olmalıdır.
8'den küçük en büyük tam sayı 7 olduğu için bu sayıların tümünü 7 olarak alabiliriz.
Bu durumda 8'den küçük sayıların toplamını bulalım.
\( 30 \cdot 7 = 210 \)
8 ve 8'den büyük tam sayıların toplamının alabileceği en küçük değeri bulalım.
\( 360 - 210 = 150 \)
Buna göre bu sayıların ortalaması en küçük \( \frac{150}{15} = 10 \) olur.
Bir okuldaki iki sınıftan A sınıfında 10 öğrenci, B sınıfında 20 öğrenci bulunmaktadır.
A sınıfının not ortalaması ikinci dönem ilk döneme göre 2 puan azalmıştır. İki sınıfın toplamının not ortalaması ise ikinci dönem ilk döneme göre 4 puan artmıştır.
Buna göre, B sınıfının not ortalaması ikinci dönem ilk döneme göre kaç puan artmıştır?
Çözümü GösterA sınıfı öğrencilerinin ilk dönem aldığı notların toplamına \( a_1 \) diyelim.
A sınıfının ilk dönem not ortalaması: \( \dfrac{a_1}{10} \)
A sınıfının not ortalaması ikinci dönem ilk döneme göre 2 puan azalmıştır.
A sınıfının ikinci dönem not ortalaması: \( \dfrac{a_1}{10} - 2 = \dfrac{a_1 - 20}{10} \)
Buna göre A sınıfı öğrencilerinin ikinci dönem notları toplamı \( a_1 - 20 \) olur.
B sınıfı öğrencilerinin ilk dönemde notları toplamına \( b_1 \), ikinci dönemde notları toplamına \( b_2 \) diyelim.
Soruda \( \frac{b_2}{20} - \frac{b_1}{20} = \frac{b_2 - b_1}{20} \) değeri istenmektedir.
İki sınıfın toplamının ilk dönem not ortalaması: \( \dfrac{a_1 + b_1}{30} \)
İki sınıfın toplamının ikinci dönem not ortalaması: \( \dfrac{a_1 - 20 + b_2}{30} \)
Bu iki sınıfın ikinci dönem not ortalaması ilk döneme göre 4 puan artmıştır.
\( \dfrac{a_1 + b_1}{30} + 4 = \dfrac{a_1 - 20 + b_2}{30} \)
\( a_1 + b_1 + 120 = a_1 - 20 + b_2 \)
\( b_2 - b_1 = 140 \)
Buna göre, B sınıfının ikinci dönem not ortalaması ilk döneme göre \( \frac{b_2 - b_1}{20} = \frac{140}{20} = 7 \) puan artmıştır.
Bir yüzme yarışına Arda ve Kaan dahil toplamda 28 yüzücü katılmıştır. Arda dışındaki yüzücülerin yarışı bitirme sürelerinin ortalaması 49 saniyedir. Kaan yarışı 90 saniyede tamamlamıştır. 28 yüzücünün yarışı bitirme sürelerinin ortalaması, Kaan dışındaki yüzücülerin yarışı bitirme sürelerinin ortalamasından 1,5 saniye fazladır.
Buna göre, Arda yarışı Kaan'dan kaç saniye önce tamamlamıştır?
Çözümü GösterTüm yüzücülerin yarışı bitirme sürelerinin ortalamasına \( x \) dersek tüm yüzücülerin yarışı bitirme süreleri toplamı \( 28x \) olur.
O halde Kaan dışındaki yüzücülerin yarışı bitirme sürelerinin ortalaması \( x - 1,5 \) saniye, Kaan dışındaki yüzücülerin yarışı bitirme sürelerinin toplamı \( 27(x - 1,5)\) saniye olur.
Tüm yüzücülerin yarışı bitirme sürelerinin toplamından, Kaan dışındaki yüzücülerin yarışı bitirme sürelerinin toplamını çıkarırsak Kaan'ın yarışı kaç saniyede tamamladığını bulabiliriz.
\( 28x - 27(x - 1,5) = 90 \)
\( 28x - 27x + 40,5 = 90 \)
\( x = 49,5 \)
Tüm yüzücülerin yarışı bitirme sürelerinin toplamını bulalım.
\( 28x = 28 \cdot 49,5 = 1386 \)
Arda dışındaki yüzücülerin yarışı bitirme süresinden yola çıkarak Arda'nın yarışı kaç saniyede bitirdiğini bulalım.
\( 1386 - 49 \cdot 27 = 1386 - 1323 = 63 \)
Arda'nın yarışı Kaan'dan kaç saniye önce tamamladığını bulalım.
\( 90 - 63 = 27 \) saniye önce tamamlamıştır.
Bir okuldaki öğrenciler A ve B olmak üzere iki gruba ayrılıyor. A grubundaki öğrencilerin yaş ortalaması 13, B grubundaki öğrencilerin yaş ortalaması 10'dur.
Gruplardan birer öğrenci aralarında yer değiştirdiğinde A grubunun yaş ortalaması 11, B grubunun yaş ortalaması 14 oluyor.
Okuldaki tüm öğrencilerin yaş ortalaması kaçtır?
Çözümü GösterA grubundaki öğrenci sayısına \( m \), öğrencilerin yaşları toplamına \( a \) diyelim.
B grubundaki öğrenci sayısına \( n \), öğrencilerin yaşları toplamına \( b \) diyelim.
\( \text{Ortalama Yaş} = \dfrac{\text{Yaş Toplamı}}{\text{Kişi Sayısı}} \)
\( \dfrac{a}{m} = 13 \Longrightarrow a = 13m \)
\( \dfrac{b}{n} = 10 \Longrightarrow b = 10n \)
Okuldaki tüm öğrencilerin yaşları toplamı \( 13m + 10n \), toplam öğrenci sayısı \( m + n \)'dir.
Gruplardan birer öğrenci aralarında yer değiştirdiğinde oluşan ikinci durumda A grubunun toplam yaşı \( 11m \), B grubunun toplam yaşı \( 14n \) oluyor.
İkinci durumda okuldaki tüm öğrencilerin yaşları toplamı ise \( 11m + 14n \) olacaktır.
Gruplardan birer öğrenci yer değiştirdiğinde grupların toplam yaşı değişse de okuldaki öğrencilerin toplam yaşı değişmez.
\( 13m + 10n = 11m + 14n \)
\( m = 2n \)
Okuldaki tüm öğrencilerin yaş ortalaması \( = \dfrac{13m + 10n}{m + n} \)
\( m \) yerine \( n \) cinsinden eşitini yazalım.
\( = \dfrac{13 \cdot 2n + 10n}{2n + n} = \dfrac{36n}{3n} \)
\( = 12 \) bulunur.
1'den başlayan ve ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir küme tahtaya yazılıyor ve daha sonra sayılardan biri siliniyor.
Kalan sayıların ortalaması \( \frac{357}{13} \) olduğuna göre, tahtadan silinen sayı kaçtır?
Çözümü Göster1'den \( n \)'ye kadar olan ardışık pozitif tam sayıların toplamı ve ortalaması aşağıdaki formüllerle bulunur.
Terimler toplamı: \( \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
Ortalama: \( \dfrac{n(n + 1)}{2n} = \dfrac{n + 1}{2} \)
Bir ardışık sayı kümesindeki sayıların ortalaması \( n \) tek sayı ise bir tam sayıdır, çift sayı ise \( ab,5 \) şeklinde buçuklu bir sayıdır.
Bir ardışık sayı kümesinden bir sayı silindiğinde ortalama en fazla \( \frac{1}{2} \) kadar azalır ya da artar.
Kümenin en büyük elemanını sildiğimizi varsayalım. Yeni durumdaki ortalamadan önceki ortalamayı çıkaralım.
\( \dfrac{n}{2} - \dfrac{n + 1}{2} = -\dfrac{1}{2} \)
Buna göre kümenin en büyük elemanı silindiğinde ortalama \( \frac{1}{2} \) azalır.
Kümenin en küçük elemanını sildiğimizi varsayalım. Yeni durumdaki ortalamadan önceki ortalamayı çıkaralım.
\( \dfrac{\frac{n(n + 1)}{2} - 1}{n - 1} - \dfrac{n + 1}{2} \)
\( = \dfrac{n^2 + n - 2}{2(n - 1)} - \dfrac{n^2 - 1}{2(n - 1)} = \dfrac{1}{2} \)
Buna göre kümenin en küçük elemanı silindiğinde ortalama \( \frac{1}{2} \) artar.
Verilen sayı kümesinden bir sayı silindiğindeki ortalamayı hesaplayalım.
\( \dfrac{357}{13} = 27,46... \)
Buna göre kümedeki sayıların ortalaması bir sayı silinmeden önce 27,5 ya da 27 olmalıdır.
Durum 1: Ortalama = 27,5
\( \dfrac{n + 1}{2} = 27,5 \Longrightarrow n = 54 \)
Bu durumda sayı kümesi bir sayı silinmeden önce 1 - 54 arası ardışık sayılardan oluşur.
Sayı silinmeden önceki terimler toplamını bulalım.
\( \dfrac{n(n + 1)}{2} = \dfrac{54(54 + 1)}{2} = 1485 \)
Sayı silindikten sonraki terimler toplamını bulalım.
\( \dfrac{357}{13} \cdot 53 = 1455,46... \)
Tam sayı sonuç elde etmediğimiz için bu durum geçerli bir çözüm vermez.
Durum 2: Ortalama = 27
\( \dfrac{n + 1}{2} = 27 \Longrightarrow n = 53 \)
Bu durumda sayı kümesi bir sayı silinmeden önce 1 - 53 arası ardışık sayılardan oluşur.
Sayı silinmeden önceki terimler toplamını bulalım.
\( \dfrac{n(n + 1)}{2} = \dfrac{53(53 + 1)}{2} = 1431 \)
Sayı silindikten sonraki terimler toplamını bulalım.
\( \dfrac{357}{13} \cdot 52 = 1428 \)
Terimler toplamı arasındaki fark tahtadan silinen sayıyı verir.
\( 1431 - 1428 = 3 \)
Buna göre tahtadan silinen sayı 3'tür.