Doğru Orantı
İki değişkenin değerleri değişirken oranları sabit kalıyorsa bu iki değişken birbiriyle doğru orantılıdır. Doğru orantılı iki değişkenin bu sabit oranına orantı sabiti denir ve genellikle \( k \) ile gösterilir.
\( k \in \mathbb{R} \) ve \( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{y}{x} = k \)
\( y = kx \)
Aralarında doğru orantı ilişkisi bulunan iki değişken için \( k \) orantı sabiti, değişkenlerin birbirine karşılık gelen tüm değerleri için sağlanır.
\( \dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{y_3}{x_3} = \ldots = k \)
Saatte 120 km hızla giden bir araç; (a) 3 saatte kaç km (\( x \)) gider? (b) 660 km'yi kaç saatte (\( t \)) gider?
\( \dfrac{x}{3} = \dfrac{660}{t} = 120 \)
\( x = 3 \cdot 120 = 360 \) km
\( t = \dfrac{660}{12} = 5,5 \) saat
İki değişken arasındaki doğru orantı ilişkisini bir örnek üzerinde gösterelim.
Birbiriyle doğru orantılı ve orantı sabiti 3 olan \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin farklı değerlerini tablo ve grafik üzerinde gösterelim.
Doğru orantının orantı sabiti 3 ise iki değişkenin değerlerinin oranı her durumda sabit ve 3'e eşittir.
\( \dfrac{y}{x} = 3 \)
Orantı sabiti sağlanacak şekilde değişkenlerin alabilecekleri farklı değerlerden bazılarını bir tabloda gösterelim.
| \( x \) | \( 3 \) | \( 5 \) | \( 7 \) | \( 10 \) | \( 15 \) |
| \( y \) | \( 9 \) | \( 15 \) | \( 21 \) | \( 30 \) | \( 45 \) |
| \( \frac{y}{x} = k \) | \( 3 \) | \( 3 \) | \( 3 \) | \( 3 \) | \( 3 \) |
Değişkenlerin bu değerleri aşağıdaki grafikte işaretlenmiştir. Buna göre doğru orantı analitik düzlemde orijinden geçen ve eğimi \( k \) orantı sabitine eşit olan bir doğruya karşılık gelir.
İki değişkenin birbiriyle "orantılı" olduğu belirtildiği durumda doğru orantı anlaşılmalıdır.
Doğru orantıya gerçek hayattan aşağıdaki örnekler verilebilir. Aşağıdaki örneklerin tümünde orantı sabiti ikinci değişkenin birinciye oranı şeklinde düşünülmüştür.
- Sabit hızla hareket eden bir aracın hareket süresi ve aldığı yol: Bu durumda orantı sabiti aracın hızıdır.
- Bir işçinin çalışma süresi ve toplam kazancı: Bu durumda orantı sabiti işçinin saatlik ücretidir.
- Bir çemberin çapı ve çevresi: Bu durumda orantı sabiti pi sayısıdır.
- Alınan benzin miktarı ve ödenen tutar: Bu durumda orantı sabiti benzinin litre fiyatıdır.
- Yapılan pizza sayısı ve kullanılan un miktarı: Bu durumda orantı sabiti bir pizzada kullanılan un miktarıdır.
- Bir miktar dolar ve TL karşılığı: Bu durumda orantı sabiti dolar - TL çevrim kurudur.
- Bir mesafenin kilometre ve mil karşılıkları: Bu durumda orantı sabiti mil - km dönüşüm oranıdır.
- (KDV hariç) ürün bedeli ve hesaplanan KDV tutarı: Bu durumda orantı sabiti KDV oranıdır.
Orantı sabiti çoğu durumda pozitif değer alır, bu da \( x \) ve \( y \) değişkenlerindeki değişimin aynı yönlü olduğu anlamına gelir (\( x \) artarken \( y \) de artar, \( x \) azalırken \( y \) de azalır). Bununla birlikte \( k \) negatif değer de alabilir, bu durumda değişkenlerdeki değişim ters yönlü olur (\( x \) artarken \( y \) azalır, \( x \) azalırken \( y \) artar).
\( \dfrac{y}{x} = -3 \) ise,
\( \dfrac{y}{x} = \dfrac{9}{-3} = \dfrac{-21}{7} = \dfrac{30}{-10} = -3 \)
İki değişken arasındaki doğru orantı ilişkisini ikinci bir örnek üzerinde gösterelim.
100 km'de 5 lt benzin tüketen bir araç 450 km'lik bir yolda kaç lt benzin tüketir?
Aracın km cinsinden katettiği mesafeye \( x \), litre cinsinden tükettiği benzine \( y \) diyelim.
Mesafe arttıkça benzin tüketimi de oranları sabit kalacak şekilde artacağı için, bu iki değişken arasında doğru orantı olduğunu söyleyebiliriz.
\( \dfrac{y}{x} = k \)
Verilen birinci durumda araç 100 km'de 5 lt benzin tüketiyor.
Verilen ikinci durumda aracın 450 km'de kaç lt benzin tüketeceği soruluyor. Bu miktara \( a \) lt diyelim.
\( a \) değerini bulmak için verilen değerleri doğru orantı formülünde yerine koyalım.
\( \dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = k \)
\( \dfrac{5}{100} = \dfrac{a}{450} = k \)
\( 100 \cdot a = 5 \cdot 450 \)
\( a = 22,50 \) lt
Buna göre araç 450 km'lik bir yolda 22,50 lt benzin tüketir.
Doğru orantı formülünü kullanarak orantı sabitini bulalım.
\( k = \dfrac{1}{20} \)
Buna göre araç her 1 km yol için \( \frac{1}{20} \) lt benzin tüketir.
Yukarıdaki örnekteki araç 40 lt benzin ile kaç km yol gidebilir?
Bulduğumuz orantı sabitini kullanarak mesafe ya da benzin tüketimi bilinen tüm durumlarda bilinmeyen değişken değerini bulabiliriz.
Aracın 40 lt benzin ile gidebileceği yola \( b \) km diyelim.
\( \dfrac{y}{x} = k \)
\( \dfrac{40}{b} = \dfrac{1}{20} \)
\( b = 800 \) km
Yukarıdaki iki örnekte bulduğumuz değerleri doğru orantının grafiği üzerinde gösterelim.
İki değişken arasındaki doğru orantıyı tanımlayan bu doğru grafiğinin eğimi orantı sabitine eşit ve \( \frac{1}{20} \)'dir.
Bu sorunun bir diğer çözümünde, yukarıdaki grafiği çizdikten sonra üçgen benzerliği kullanabiliriz. Buna göre, doğrunun altında kalan üçgenler benzer oldukları için aşağıdaki orantıyı kurabiliriz.
\( \overset{\triangle}{OAB} \sim \overset{\triangle}{OCD} \sim \overset{\triangle}{OEF} \)
\( \dfrac{5}{100} = \dfrac{a}{450} = \dfrac{40}{b} = \dfrac{1}{20} \)
\( a = 22,5 \) lt
\( b = 800 \) km
Bir değişken diğer bir değişkenle doğru orantılı olabileceği gibi, o değişkenin karesi, küpü, karekökü ya da herhangi bir fonksiyonu ile de doğru orantılı olabilir. Bu durumlarda iki değişken arasındaki formül ve grafik ilişkisi aşağıdaki gibi olur.
| Grafik | Doğru Orantı |
|---|---|
|
\( y = kx^2 \) \( y \) değişkeni \( x \)'in karesi ile doğru orantılıdır. |
|
\( y = kx^3 \) \( y \) değişkeni \( x \)'in küpü ile doğru orantılıdır. |
|
\( y = k\sqrt{x} \) \( y \) değişkeni \( x \)'in karekökü ile doğru orantılıdır. |
Bir buzdolabı 1 saatte 20 Watt elektrik harcıyorsa bir haftada kaç Watt elektrik harcar?
Çözümü GösterBuzdolabının saat cinsinden çalışma süresine \( x \), Watt cinsinden harcadığı elektriğe \( y \) diyelim.
Bir elektrikli cihaz daha uzun süre kullanıldığında, birim zamanda harcadığı elektrik sabit kalacak şekilde daha çok elektrik harcayacağı için, iki değişken arasında doğru orantı olduğunu söyleyebiliriz.
\( \dfrac{y}{x} = k \)
Verilen birinci durumda buzdolabı 1 saatte 20 Watt elektrik harcıyor.
Verilen ikinci durumda buzdolabının 1 haftada kaç Watt elektrik harcayacağı soruluyor. Bu miktara \( a \) Watt diyelim.
1 hafta = 7 gün = 7 * 24 saat
\( a \) değerini bulmak için verilen değerleri doğru orantı formülünde yerine koyalım.
\( \dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = k \)
\( \dfrac{20}{1} = \dfrac{a}{24 \cdot 7} = k \)
\( a = 20 \cdot 24 \cdot 7 \)
\( a = 3360 \) Watt
Buna göre buzdolabı 1 haftada 3360 Watt elektrik harcar.
Boyunu ölçmek isteyen Elçin, 176 cm boyundaki arkadaşı Ceyhun ile gölgelerinin boyunu ölçüyor.
Elçin'in gölgesinin boyu 21 cm, Ceyhun'un gölgesinin boyu ise 22 cm olduğuna göre, Elçin'in boyu kaç cm'dir?
Çözümü GösterGüneş ışığının yere vurma açısı iki arkadaş için de aynı olduğu için boylarının gölgelerine oranı sabittir.
Buna göre iki arkadaşın boyları ve gölgeleri doğru orantılıdır.
Elçin'in boyuna \( x \) diyelim.
\( \dfrac{176}{22} = \dfrac{x}{21} = k \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 22 \cdot x = 21 \cdot 176 \)
\( x = 168 \) cm bulunur.
Bir aracın durma mesafesi, frene bastığı andaki hızının karesi ile doğru orantılıdır.
Bu araç saatte 40 km hızla giderken frene bastığında duruş mesafesi 24 m olduğuna göre, saatte 60 km hızla giderken duruş mesafesi kaç metre olur?
Çözümü GösterAracın saatteki hızına \( v \), durma mesafesine \( d \) diyelim.
İki değişken arasındaki doğru orantıyı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( d = k \cdot v^2 \)
Orantı sabitini bulmak için ilk durumdaki verileri denklemde yerine koyalım.
\( 24 = k \cdot 40^2 \)
\( k = \dfrac{3}{200} \)
İki değişken arasındaki doğru orantı aşağıdaki gibi olur.
\( d = \dfrac{3}{200} \cdot v^2 \)
Verilen ikinci durumdaki hızı bu denklemde yerine koyduğumuzda bu hızdaki durma mesafesini buluruz.
\( d = \dfrac{3}{200} \cdot 60^2 = 54 \) bulunur.
Bir markette \( x \) tane çikolata \( y \) liraya, \( y \) tane çikolata ise \( z \) liraya satılıyor. Her iki durumda da bir çikolatanın satış fiyatı aynıdır.
Buna göre \( x, y, z \) arasındaki bağıntıyı yazınız.
Çözümü GösterSatın alınan çikolata adedi arttıkça ödenen toplam tutar da artacağı ve toplam tutarın çikolata adedine oranı sabit kalacağı için iki değişken arasında doğru orantı olduğunu söyleyebiliriz.
Buna göre, \( y \)'nin \( x \)'e, \( z \)'nin de \( y \)'ye oranı sabittir ve bir çikolatanın satış fiyatına eşittir.
\( \dfrac{y}{x} = \dfrac{z}{y} = k \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( y^2 = xz \) bulunur.
Tarlasına böcek ilacı atacak olan bir çiftçi, kullanacağı ilacın gün cinsinden etki süresinin ilaç miktarının karesiyle doğru orantılı olduğunu öğreniyor.
Bu bilgiye göre 3 ayrı tarlasını ilaçlayan çiftçi tarlalara sırasıyla 5, 6 ve 7 kg ilaç atıyor.
Çiftçi attığı ilaçların tümünü tek bir tarlaya atsaydı ilacın etki süresinin üç tarlaya ayrı ayrı attığı durumdaki etki sürelerinin toplamından 107 gün fazla olacağını hesaplıyor.
Buna göre çiftçinin 5 kg ilaç attığı tarlada ilacın etkisi kaç gün sürer?
Çözümü GösterÇiftçinin bir tarlaya attığı ilaç miktarına \( x \) kg ise (\( k \) orantı sabiti olmak üzere) ilacın tarladaki etki süresi \( k \cdot x^2 \) gün olur.
Bu doğru orantıyı kullanarak tarlalara atılan ilçaların etki sürelerini bulalım.
1. tarla: \( k \cdot 5^2 = 25k \) gün
2. tarla: \( k \cdot 6^2 = 36k \) gün
3. tarla: \( k \cdot 7^2 = 49k \) gün
Çiftçi bu ilaçların tümünü tek bir tarlaya atsaydı toplam ilaç miktarı \( 5 + 6 + 7 = 18 \) kg olacaktı.
İlacın tek tarlaya atıldığı durumdaki etki süresini bulalım.
Tek tarla: \( k \cdot 18^2 = 324k \) gün
Bu etki süresi ilk durumdaki toplam etki süresinden 107 gün fazladır.
\( 324k - (25k + 36k + 49k) = 107 \)
\( 214k = 107 \)
\( k = \dfrac{1}{2} \)
5 kg ilaç atılan tarlada ilacın etki süresi \( 25k = 12,5 \) gün olarak bulunur.
Termometreler içerisinde bulunan sıvının genleşme katsayısına bağlı olarak sıcaklığı gösteren aletlerdir. Ortam sıcaklığı yükselirse termometre içindeki sıvı genleşir ve tüpte yükselir, ortam soğursa büzüşerek tüpte alçalır.
Bir fizik öğretmeni X sıvısını kullanarak bir termometre tasarlıyor. Bu termometre suyun donma noktasını 75°X, kaynama noktasını 225°X olarak ölçüyor.
Yaygın olarak kullanılan Celsius termometresinde ise bu değerler sırasıyla 0°C ve 100°C olarak ölçülüyor.
Buna göre 60°C kaç °X'dir?
Çözümü GösterBir kap suyun aynı koşullar altında kaynaması için alması gereken ısı miktarı eşittir.
Bir kap su Celsius termometresi ile ölçülürken kaynayana kadar \( Q \) kalori ısı alıyor olsun. Aynı zamanda Celsius termometresindeki bir birimlik artış için gereken ısı miktarına \( c \) diyelim.
\( Q \) kalorilik ısı artışı sonucunda kaynama noktası 100°C, donma noktası 0°C olduğuna göre, bu ikisinin farkı olan \( 100c \)'lik artış olmuştur.
\( Q = 100c \)
Aynı ölçülere sahip bir diğer kap kaynayana kadar yine \( Q \) kalori ısı alır. X termometresindeki bir birimlik artış için gereken ısı miktarına \( x \) diyelim.
\( Q \) kalorilik ısı artışı sonucunda kaynama noktası 225°X, donma noktası 75°X olduğuna göre, bu ikisinin farkı olan \( 150x \)'lik artış olmuştur.
\( Q = (225 - 75)x = 150x \)
\( Q = 100c = 150x \)
Eşitliğin taraflarını 50 ile sadeleştirelim.
\( 2c = 3x \)
60°C'nin kaç °X'e eşit olduğunu bulmak için bu artış oranlarından faydalanalım.
60°C'lik sıcaklık artışının gerçekleşmesi için \( 60c \) ısı gerekir.
\( 60c = tx \)
\( 2c = 3x \) eşitliğini kullanarak \( t \)'yi bulalım.
\( 60c = 90x = tx \)
\( t = 90 \)
Buna göre \( 60c \) ısı X termometresinde \( 90x \) ısı artışına karşılık gelir, bu da 90°X sıcaklık artışı demektir.
Başlangıç noktası 75°X olduğuna göre, 90 birimlik artış sonucunda sıcaklık X termometresinde \( 75 + 90 = 165 \)°X olur.