Oran
İki sayıyı karşılaştırmak için farklı yöntemler kullanılabilir. Örneğin Berke'nin 150 TL'si, kardeşi Tolga'nın 50 TL'si varsa paralarının farkını alarak, "Berke'nin parası 150 - 50 = 100 TL daha fazladır." şeklinde bir karşılaştırma yapabiliriz.
Alternatif olarak iki sayıyı birbirine bölerek de bir karşılaştırma yapabiliriz. Aynı örneği kullanırsak, Berke'nin parasının Tolga'nın parasının üç katı olduğunu ya da Tolga'nın parasının Berke'nin parasının üçte biri olduğunu söyleyebiliriz.
Birimleri aynı olan iki büyüklüğün birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
\( a \) ve \( b \) sayılarının birbirine oranı iki şekilde gösterilebilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4} \)
\( a:b = 3:4 \)
\( a \) ve \( b \) sayılarının oranı bu sayıların gerçek değerini vermez, verilen oran sağlandığı sürece \( a \) ve \( b \) farklı değerler alabilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3} \) ise,
\( a \) ve \( b \) aşağıdaki şekilde farklı değerler alabilir.
\( a = 2, \quad b = 3 \)
\( a = 10, \quad b = 15 \)
\( a = 300, \quad b = 450 \)
\( \vdots \)
Her durumda verilen oran sağlanacağı için, \( \frac{m}{n} \) oranına sahip iki değişkenin değerine sırasıyla \( mk \) ve \( nk \) denebilir.
\( k \in \mathbb{R} \) ve \( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{7} \) ise,
\( a = 5k, \quad b = 7k \)
Kesir değerleri denk olan oranlar birbirine eşittir, dolayısıyla bir oranın sadeleştirilmesi ya da genişletilmesi oranı değiştirmez.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12} \)
\( a:b = 3:4 = 6:8 = 9:12 \)
Matematikte ve günlük hayatta pek çok konu oranlarla ifade edilir.
| Örnek | Oran |
|---|---|
| Bir okuldaki kız öğrencilerin erkek öğrencilere oranı | \( 8:9 \) |
| TV çerçeve oranı | \( 16:9 \) |
| Türk bayrağının yüksekliğinin genişliğine oranı | \( 2:3 \) |
| Tavlada iki zarın aynı gelme olasılığı | \( \frac{1}{6} \) |
| Yılbaşı çekilişinde büyük ikramiyeyi kazanma olasılığı | \( 1:10000000 \) |
| Bir alaşımdaki bakır - çinko oranı | \( \frac{5}{3} \) |
| Bir kek tarifindeki un - şeker oranı | \( \frac{3}{2} \) |
| Çemberin çevresinin çapına oranı | \( \pi \) |
| A serisi fotokopi kağıtlarında (A3, A4 vb.) yüksekliğin genişliğe oranı | \( \sqrt{2} \) |
| Altın oran | \( 1,6180... \) |
Yukarıdaki örnekleri incelediğimizde oranı alınan büyüklüklerin birimlerinin aynı olduğu görülebilir, dolayısıyla bir oranın kendisi birimsizdir.
Oranın kullanımına örnek olarak Türk bayrağının yükseklik - genişlik oranı verilebilir. Bir bayrak üreticisi farklı boyutlarda bayrak üretebilir, ancak tümünde Türk bayrağı standartları gereği 2:3 oranı sağlanmalıdır.
Yüksekliği 120 cm olan bir Türk bayrağının genişliği kaç cm'dir?
Türk bayrağının yüksekliğinin genişliğine oranı \( 2:3 \)'tür.
Bayrağın genişliğine \( x \) cm diyelim.
\( \dfrac{120}{x} = \dfrac{2}{3} \)
\( 2x = 3 \cdot 120 \)
\( x = 180 \) cm
Oranı alınan sayıların sırası önemlidir. \( a \)'nın \( b \)'ye oranı, \( b \)'nin \( a \)'ya oranına eşit değildir.
\( a:b \ne b:a \)
\( \dfrac{a}{b} = 2 \Longleftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2} \)
Altın Oran
İki büyüklükten büyük olanın küçüğe oranı, toplamlarının büyük olana oranına eşitse bu iki büyüklük arasında altın oran vardır.
Altın oran \( \phi \) sembolü ile gösterilir ve irrasyonel bir sayıdır.
\( \phi = \dfrac{a}{b} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,6180... \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıdaki gibi bir \( [AC] \) doğru parçasını uzunlukları \( a \) ve \( b \) birim ve \( a \gt b \) olacak şekilde iki parçaya bölelim.
Aşağıdaki orantıyı sağlayan \( \frac{a}{b} \) oran değerlerinden pozitif olanı altın oranı verir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{a + b}{a} \)
\( a^2 = ab + b^2 \)
\( a^2 - ab - b^2 = 0 \)
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (a - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}b)(a + \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}b) = 0 \)
Sadece birinci çarpan pozitif oran değeri verir.
\( a = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}b \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,6180... \)
Aşağıda verilen eşitlikleri kullanarak \( a : b \) oranını bulunuz.
(a) \( \dfrac{a}{6} = \dfrac{b}{32} \)
(b) \( 3b + a = \dfrac{45b}{8} \)
(c) \( \dfrac{2a - 5b}{a + 2b} = \dfrac{7}{11} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{a}{6} = \dfrac{b}{32} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 32a = 6b \)
\( 16a = 3b \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{16} \)
\( a : b = 3 : 16 \)
(b) seçeneği:
\( 3b + a = \dfrac{45b}{8} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 24b + 8a = 45b \)
\( 8a = 21b \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{21}{8} \)
\( a : b = 21 : 8 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{2a - 5b}{a + 2b} = \dfrac{7}{11} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 22a - 55b = 7a + 14b \)
\( 15a = 69b \)
\( 5a = 23b \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{23}{5} \)
\( a : b = 23 : 5 \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{8}{13} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{4b - 3a}{4b + 3a} \) oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( \frac{a}{b} = \frac{8}{13} \) olduğu için sayılara aşağıdaki değerleri verebiliriz.
\( a = 8k, \quad b = 13k \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{4b - 3a}{4b + 3a} = \dfrac{4(13k) - 3(8k)}{4(13k) + 3(8k)} \)
\( = \dfrac{52k - 24k}{52k + 24k} \)
\( = \dfrac{28k}{76k} = \dfrac{7}{19} \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \dfrac{x - y}{2x + 3y} = \dfrac{2}{9} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{y^2 - xy}{2x^2 + y^2} \) oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( x \) sayısını \( y \) cinsinden ifade edelim.
\( \dfrac{x - y}{2x + 3y} = \dfrac{2}{9} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 9(x - y) = 2(2x + 3y) \)
\( 9x - 9y = 4x + 6y \)
\( 5x = 15y \)
\( x = 3y \)
\( x \) değerini sorudaki ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{y^2 - xy}{2x^2 + y^2} = \dfrac{y^2 - (3y)y}{2(3y)^2 + y^2} \)
\( = \dfrac{y^2 - 3y^2}{18y^2 + y^2} \)
\( = \dfrac{-2y^2}{19y^2} = -\dfrac{2}{19} \) bulunur.
Ahmet'in yaşının Ceren'in yaşına oranı \( \frac{2}{5} \), Ceren'in yaşının Kerem'in yaşına oranı \( \frac{3}{4} \)'tür.
Ahmet ile Kerem'in yaşları toplamı 52 olduğuna göre, Ceren'in yaşı kaçtır?
Çözümü GösterAhmet'in yaşına \( a \), Ceren'in yaşına \( c \), Kerem'in yaşına \( k \) diyelim.
Soruda verilen yaş oranlarını yazalım.
\( \dfrac{a}{c} = \dfrac{2}{5} \)
\( \dfrac{c}{k} = \dfrac{3}{4} \)
Kerem'in yaşının Ceren'in yaşına oranını bulmak için verilen oranın tersini alalım.
\( \dfrac{k}{c} = \dfrac{4}{3} \)
Bulduğumuz iki oranın toplamını alalım.
\( \dfrac{a}{c} + \dfrac{k}{c} = \dfrac{a + k}{c} \)
\( \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{a + k}{c} \)
\( a + k = 52 \) olarak veriliyor.
\( \dfrac{3 \cdot 2 + 5 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \dfrac{52}{c} \)
\( \dfrac{26}{15} = \dfrac{52}{c} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 26 \cdot c = 15 \cdot 52 \)
\( c = 30 \) bulunur.
Bilgi: Bir haritanın ölçeği, haritada iki nokta arasındaki uzaklığın gerçek uzaklığa bölümü ile bulunur.
Emre eviyle okulu arasındaki mesafeyi önce okuldaki \( \frac{1}{8000} \) ölçekli haritayı kullanarak, daha sonra evdeki \( \frac{1}{6000} \) ölçekli haritayı kullanarak ölçüyor.
Ölçümlerinde bulduğu mesafeler arasındaki fark 2,5 cm olduğuna göre, ev ile okul arasındaki gerçek mesafe kaç metredir?
Çözümü GösterEv ile okul arasındaki gerçek mesafeye \( x \), okuldaki harita ile ölçülen mesafeye \( a \), evdeki harita ile ölçülen mesafeye \( b \) diyelim.
\( \dfrac{a}{x} = \dfrac{1}{8000} \)
\( a = \dfrac{x}{8000} \)
\( \dfrac{b}{x} = \dfrac{1}{6000} \)
\( b = \dfrac{x}{6000} \)
İki haritadaki ölçümler arası fark 2,5 cm'dir.
Evdeki harita daha büyük ölçekli olduğu için evde ölçülen mesafe daha büyüktür.
\( b - a = 2,5 \)
\( \dfrac{x}{6000} - \dfrac{x}{8000} = 2,5 \)
\( \dfrac{8000x - 6000x}{6000 \cdot 8000} = 2,5 \)
\( 2000x = 2,5 \cdot 6000 \cdot 8000 \)
\( x = 60000 \) cm
\( = 600 \) metre olarak bulunur.
Sayı doğrusu üzerinde 6 ve 9 sayıları arasında bir \( x \) noktası belirleniyor.
\( x \) noktasının 6 sayısına olan uzaklığının 9 sayısına olan uzaklığına oranı \( \frac{25}{12} \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x \)'in 6 sayısına uzaklığı \( \abs{x - 6} \), 9 sayısına uzaklığı \( \abs{x - 9} \) şeklinde ifade edilebilir.
\( \dfrac{\abs{x - 6}}{\abs{x - 9}} = \dfrac{25}{12} \)
\( 6 \lt x \lt 9 \) olduğu için paydaki mutlak değerin içi pozitif, paydadadaki mutlak değerin iç negatif olur.
\( \dfrac{x - 6}{-(x - 9)} = \dfrac{25}{12} \)
\( \dfrac{x - 6}{9 - x} = \dfrac{25}{12} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 12x - 72 = 225 - 25x \)
\( 37x = 297 \)
\( x = \dfrac{297}{37} = 8\dfrac{1}{37} \) olarak bulunur.
Bir \( [AB] \) doğru parçası üzerinde orta noktanın solundaki \( S \) ve sağındaki \( T \) noktaları veriliyor. \( S \) noktası doğru parçasını \( 3:4 \) oranında bölerken \( T \) noktası \( 10:11 \) oranında bölüyor.
\( \abs{ST} = 10 \) cm olduğuna göre, \( \abs{AB} \) uzunluğu kaçtır?
Çözümü Göster\( [AB] \) doğru parçasını çizelim ve \( S \), \( T \) noktalarını işaretleyelim.
\( \abs{AS} = a \) ve \( \abs{TB} = b \) diyelim.
\( S \) noktası doğru parçasını \( 3:4 \) oranında bölüyor.
\( \dfrac{a}{b + 10} = \dfrac{3}{4} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4a = 3b + 30 \)
\( a = \dfrac{3b}{4} + \dfrac{15}{2} \)
\( T \) noktası doğru parçasını \( 10:11 \) oranında bölüyor.
\( \dfrac{b}{a + 10} = \dfrac{10}{11} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 11b = 10a + 100 \)
\( a \) değerini bu denklemde yerine koyalım.
\( 11b = 10(\dfrac{3b}{4} + \dfrac{15}{2}) + 100 \)
\( 11b = \dfrac{15b}{2} + 175 \)
\( b = 50 \)
\( b = 50 \) değerini kullanarak \( a \) değerini bulalım.
\( 4a = 3(50) + 30 \)
\( a = 45 \)
\( \abs{AB} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{AB} = a + b + 10 \)
\( = 45 + 50 + 10 = 105 \) cm bulunur.
Elmasın ağırlık birimi karattır ve 1 karat 0,2 gramdır.
Ali nişanlısına toplam 4,52 gram ağırlığında, üzerinde 1,62 karat pırlanta (elmas) olan altın bir yüzük alıyor.
Buna göre, yüzüğün pırlantı kısmının ağırlığının altın kısmının ağırlığına oranı kaçtır?
Çözümü GösterYüzüğün pırlanta kısmının ağırlığına \( x \) diyelim.
1 karat 0,2 gram ise 1,62 karat pırlantanın ağırlığını bulalım.
\( x = 0,2 \cdot 1,62 \)
\( = \dfrac{2}{10} \cdot \dfrac{162}{100} = \dfrac{324}{1000} \)
Yüzüğün tamamı 4,52 gramdır. Yüzüğün altın kısmının ağırlığını bulalım.
\( 4,52 - \dfrac{324}{1000} = \dfrac{4520}{1000} - \dfrac{324}{1000} \)
\( = \dfrac{4196}{1000} \)
Yüzüğün pırlantı kısmının ağırlığının altın kısmının ağırlığına oranı bulalım.
\( \dfrac{\frac{324}{1000}}{\frac{4196}{1000}} = \dfrac{324}{4196} \)
\( = \dfrac{81}{1049} \) bulunur.
Bir teknoloji mağazasında satılan akıllı saat, kulaklık ve hoparlör arasında fiyatı en yüksek olan akıllı saat, en düşük olan kulaklıktır. Akıllı saat ile hoparlörün satış fiyatlarının farkının toplamına oranı \( \frac{2}{5} \), akıllı saat ile kulaklığın satış fiyatlarının toplamının farkına oranı \( \frac{9}{5} \)'tir.
Bu üç ürünün satışından elde edilen gelir 5040 TL olduğuna göre, hoparlörün fiyatı ne kadardır?
Çözümü GösterAkıllı saatin fiyatına \( a \), kulaklığın fiyatına \( k \), hoparlörün fiyatına \( h \) diyelim.
Akıllı saat ile hoparlörün satış fiyatlarının farkının toplamına oranını yazalım.
\( \dfrac{a - h}{a + h} = \dfrac{2}{5} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 5(a - h) = 2(a + h) \)
\( 5a - 5h = 2a + 2h \)
\( 3a = 7h \)
Akıllı saat ile kulaklığın satış fiyatlarının toplamının farkına oranını yazalım.
\( \dfrac{a + k}{a - k} = \dfrac{9}{5} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 5(a + k) = 9(a - k) \)
\( 5a + 5k = 9a - 9k \)
\( 7k = 2a \)
Üç ürünün toplam satış fiyatı 5040 TL'dir.
\( a + k + h = 5040 \)
Fiyatları \( a \) cinsinden yazalım.
\( a + \dfrac{2a}{7} + \dfrac{3a}{7} = 5040 \)
\( \dfrac{12a}{7} = 5040 \)
\( a = 2940 \) TL
Hoparlörün fiyatını bulalım.
\( 3a = 7h \)
\( h = \dfrac{3a}{7} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 2940}{7} \)
\( = 1260 \) TL bulunur.
Sınava hazırlanan bir öğrencinin çözdüğü ilk iki deneme sınavındaki doğru cevap sayılarının oranı sırasıya \( 5 : 7 \), yanlış cevap sayılarının oranı da \( 3 : 2 \)'dir. Öğrenci ilk denemede 30 boş, ikinci denemede 5 boş soru bırakmıştır.
Deneme sınavlarında üç yanlış bir doğruyu götürdüğüne ve her sınav 120 soru olduğuna göre, öğrencinin iki sınavdaki netlerinin oranı nedir?
Çözümü Gösterİki sınavdaki doğru cevap sayıları sırasıyla 5 ve 7 ile orantılıdır.
Doğru cevap sayılarına sırasıyla \( 5d \) ve \( 7d \) diyelim.
İki sınavdaki yanlış cevap sayıları sırasıyla 3 ve 2 ile orantılıdır.
Yanlış cevap sayılarına sırasıyla \( 3y \) ve \( 2y \) diyelim.
Öğrenci ilk denemede \( 120 - 30 = 90 \) soru cevaplamıştır.
\( 5d + 3y = 90 \)
Öğrenci ikinci denemede \( 120 - 5 = 115 \) soru cevaplamıştır.
\( 7d + 2y = 115 \)
\( y \) değişkenlerini yok etmek için ilk denklemi -2 ile, ikinci denklemi 3 ile çarpalım ve taraf tarafa toplayalım.
\( -10d - 6y = -180 \)
\( 21d + 6y = 345 \)
\( 11d = 165 \)
\( d = 15 \)
\( d \) değerini ilk denklemde yerine yazalım.
\( 5(15) + 3y = 90 \)
\( y = 5 \)
Üç yanlış bir doğruyu götürüyorsa birinci sınavdaki \( 3y \) yanlış \( \frac{3y}{3} = y \) doğruyu, ikinci sınavdaki \( 2y \) yanlış \( \frac{2y}{3} \) doğruyu götürür.
İlk denemedeki net sayısını bulalım.
\( 5d - y = 5(15) - 5 \)
\( = 70 \)
İkinci denemedeki net sayısını bulalım.
\( 7d - \dfrac{2y}{3} = 7(15) - \dfrac{2(5)}{3} \)
\( = \dfrac{305}{3} \)
İki sınavdaki net sayılarının oranını bulalım.
\( \dfrac{70}{\frac{305}{3}} = \dfrac{210}{305} = \dfrac{42}{61} \) bulunur.