İki Doğrunun Kesişimi
Herhangi iki doğrunun (ya da eğrinin) kesişim noktaları, her iki doğrunun denklemini de sağlayan \( (x, y) \) ikilileridir.
Aynı düzlemde bulunan iki doğrunun kesişimi üç farklı şekilde olabilir.
- Doğruların eğimleri farklı ise tek bir noktada kesişirler, dolayısıyla iki doğrunun da denklemini sağlayan tek bir \( (x, y) \) ikilisi vardır.
- Doğrular birbirine paralel ise hiçbir noktada kesişmezler, dolayısıyla iki doğrunun da denklemini sağlayan \( (x, y) \) ikilisi yoktur.
- Doğrular çakışık ise sonsuz sayıda ortak noktaları vardır, dolayısıyla iki doğrunun da denklemini sağlayan sonsuz sayıda \( (x, y) \) ikilisi vardır.
İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemler aşağıdaki şekilde ortak çözülür.
- Doğrulardan birinin denklemi \( y = mx + c \) formunda yazılır.
- Bu \( y \) değeri ikinci doğru denkleminde \( y \) yerine konur ve eşitlik \( x \) için çözülür.
- Bulunan \( x \) değeri kesişim noktasının apsisini verir. Bu değer iki doğru denkleminden herhangi birinde yerine konarak kesişim noktasının ordinatı bulunur.
- Eğer iki denklemi de sağlayan bir \( x \) değeri bulunmuyorsa doğrular kesişmez (paraleldir).
- Eğer iki denklemi de sağlayan sonsuz sayıda \( x \) değeri bulunuyorsa doğrular çakışıktır.
Her durum için doğruların kesişim noktalarını nasıl bulabileceğimizi birer örnekle gösterelim.
Eğimleri farklı iki doğru tek bir noktada kesişir.
\( d_1: 3x - y - 1 = 0 \)
\( d_2: -x - y + 3 = 0 \) doğrularının kesişim noktasını bulalım.
Birinci doğrunun açık denklemini yazalım.
\( y = 3x - 1 \)
Bu \( y \) değerini ikinci denklemde yerine yazalım.
\( -x - (3x - 1) + 3 = 0 \)
\( x = 1 \)
Kesişim noktasının apsisi \( x = 1 \) olarak bulunur.
Bu değeri birinci denklemde yerine koyarak kesişim noktasının ordinatını bulalım.
\( y = 3x - 1 = 3(1) - 1 = 2 \)
Buna göre iki doğrunun kesişim noktası \( (1, 2) \) olarak bulunur.
Paralel doğrular kesişmez.
\( d_1: 2x - y + 2 = 0 \)
\( d_2: 4x - 2y - 8 = 0 \) doğrularının (varsa) kesişim noktasını bulalım.
Birinci doğrunun açık denklemini yazalım.
\( y = 2x + 2 \)
Bu \( y \) değerini ikinci denklemde yerine yazalım.
\( 4x - 2(2x + 2) - 8 = 0 \)
\( 4x - 4x - 4 - 8 = 0 \)
\( -12 = 0 \)
\( x \) değişkeninden bağımsız ve hiçbir \( x \) değeri için sağlanmayan bir eşitlik elde etmemiz iki denklemi de sağlayan bir çözüm bulunmadığını gösterir.
Buna göre iki doğru paraleldir ve hiçbir noktada kesişmez.
Çakışık doğruların sonsuz sayıda ortak noktaları vardır.
\( d_1: 2x - y + 2 = 0 \)
\( d_2: 4x - 2y + 4 = 0 \) doğrularının kesişim noktasını bulalım.
Birinci doğrunun açık denklemini yazalım.
\( y = 2x + 2 \)
Bu \( y \) değerini ikinci denklemde yerine yazalım.
\( 4x - 2(2x + 2) + 4 = 0 \)
\( 4x - 4x - 4 + 4 = 0 \)
\( 0 = 0 \)
\( x \) değişkeninden bağımsız ve her \( x \) değeri için sağlanan bir eşitlik elde etmemiz iki denklemi de sağlayan sonsuz sayıda çözüm bulunduğunu gösterir.
Buna göre iki doğru çakışıktır.
Eğimleri \( 3 \) ve \( -6 \) olan iki doğru \( (0, k) \) noktasında kesişiyor.
Bu doğruların \( x \) eksenini kesen noktaları arasındaki uzaklık 3 birim olduğuna göre, \( k \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterHer iki doğru \( (0, k) \) noktasında, yani \( y \) ekseni üzerinde kesiştiklerine göre sabit terimleri \( k \)'dir.
Doğrulara ait denklemler aşağıdaki gibidir.
\( d_1: y = 3x + k \)
\( d_2: y = -6x + k \)
Doğruların \( x \) eksenini kestikleri noktaları bulmak için bu denklemlerde \( y = 0 \) verelim.
\( 0 = 3x + k \Longrightarrow x = -\frac{k}{3} \)
\( 0 = -6x + k \Longrightarrow x = \frac{k}{6} \)
\( x \) ekseni üzerindeki bu iki nokta arasındaki uzaklık 3 birim olarak veriliyor.
\( \abs{\dfrac{k}{6} - (-\dfrac{k}{3})} = 3 \)
\( \abs{\dfrac{k}{2}} = 3 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
\( \dfrac{k}{2} = 3 \Longrightarrow k = 6 \)
\( \dfrac{k}{2} = -3 \Longrightarrow k = -6 \)
\( k \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı \( 6 \cdot (-6) = -36 \) olarak bulunur.
\( x + 2y = 6 \) ve \( x + my = 12 \) doğruları \( y = -x \) doğrusu üzerinde kesiştiklerine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen bilgiye göre üç doğru aynı noktada kesişirler.
\( x + 2y = 6 \) ve \( y = -x \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için birinci denklemde \( y = -x \) koyalım.
\( x + 2(-x) = 6 \)
\( x = -6, \quad y = 6 \)
Üç doğru aynı noktada kesiştiği için \( (-6, 6) \) noktasının koordinatları \( x + my = 12 \) doğrusunun denklemini de sağlar.
\( -6 + m(6) = 12 \)
\( m = 3 \) bulunur.
\( y = x \), \( x = 0 \) ve \( y = 4 \) doğruları ile sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterVerilen üç doğruyu analitik düzlemde çizelim.
Şekilde oluşan taralı bölge bir dik üçgendir.
\( y = x \) ve \( y = 4 \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözdüğümüzde \( A \) noktasının koordinatlarını \( A(4, 4) \) olarak buluruz.
\( A(OAB) = \dfrac{\abs{OB} \cdot \abs{BA}}{2} \)
\( = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8 \) birimkare bulunur.
\( ABCD \) paralelkenarında karşılıklı \( B \) ve \( D \) köşeleri \( 2x + ky + 3 = 0 \) doğrusu üzerindedir.
\( A(4, 6) \) ve \( C(-2, 4) \) olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterParalelkenarda köşegenlerin kesişim noktası her iki köşegenin de orta noktasıdır.
Buna göre \( [AC] \) köşegeninin orta noktası ile \( [BD] \) köşegeninin orta noktası aynıdır.
İlk olarak \( [AC] \) köşegeninin orta noktasını bulalım.
\( [AC] \) köşegeninin orta noktasına \( K \) diyelim.
\( K(\dfrac{4 + (-2)}{2}, \dfrac{6 + 4}{2}) = K(1, 5) \)
\( K(1, 5) \) noktası aynı zamanda \( [BD] \) köşegeninin orta noktası olduğu için \( 2x + ky + 3 = 0 \) doğrusunun üzerindedir ve doğru denklemini sağlar.
\( 2(1) + k(5) + 3 = 0 \)
\( k = -1 \) bulunur.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x - y = 3 \)
\( cx + y = 2 \)
doğruları koordinat düzleminin üçüncü bölgesinde kesiştiklerine göre, \( c \) hangi aralıkta olmalıdır?
Çözümü Gösterİki doğru denklemini ortak çözerek kesişim noktalarını bulalım.
\( y \) değişkeninden kurtulmak için denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( x + cx = 3 + 2 \)
\( x = \dfrac{5}{c + 1} \)
Bu değeri birinci denklemde yerine koyalım.
\( x - y = 3 \)
\( \dfrac{5}{c + 1} - y = 3 \)
\( 5 - y(c + 1) = 3(c + 1) \)
\( y = \dfrac{2 - 3c}{c + 1} \)
Kesişim noktasının üçüncü bölgede olması için hem \( x \) hem \( y \) negatif olmalıdır.
\( x = \dfrac{5}{c + 1} \lt 0 \)
Pay pozitif olduğu için bu eşitsizlik payda negatif olduğunda sağlanır.
\( c + 1 \lt 0 \)
\( c \lt -1 \)
\( y = \dfrac{2 - 3c}{c + 1} \lt 0 \)
Eşitsizliğin kritik noktaları payı ve paydayı sıfır yapan \( c \in \{ -1, \frac{2}{3} \} \) değerleridir.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -1) \), \( (-1, \frac{2}{3}) \) ve \( (\frac{2}{3}, \infty) \) aralıklarını oluşturur.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin negatif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( c \in (-\infty, -1) \cup (\frac{2}{3}, \infty) \)
Hem \( x \) hem de \( y \) değerlerini negatif yapan \( c \) aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( c \in (-\infty, -1) \)
Yukarıda iki aracın hız - zaman grafikleri verilmiştir. Buna göre bu araçların kaçıncı dakikada hızlarının farkı 40 km/sa olur?
Çözümü Göster\( (0, 10) \) ve \( (5, 30) \) noktalarından geçen \( A \) aracının hız denklemini bulalım.
\( \dfrac{y - 30}{x - 5} = \dfrac{30 - 10}{5 - 0} = 4 \)
\( y - 30 = 4(x - 5) \)
\( y = 4x + 10 \)
\( (0, 20) \) ve \( (5, 30) \) noktalarından geçen \( B \) aracının hız denklemini bulalım.
\( \dfrac{y - 30}{x - 5} = \dfrac{30 - 20}{5 - 0} = 2 \)
\( y - 30 = 2(x - 5) \)
\( y = 2x + 20 \)
İki aracın hızları farkının 40 km/sa olduğu ana \( t \) dersek araçların \( t \) anındaki hızları aşağıdaki gibi olur.
\( y_A = 4t + 10 \)
\( y_B = 2t + 20 \)
Bu \( t \) anındaki hız farkını 40'a eşitleyelim.
\( y_A - y_B = (4t + 10) - (2t + 20) = 40 \)
\( 2t - 10 = 40 \)
\( t = 25 \) dakika bulunur.
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster\( d_1 \) doğrusunun denklemini bulmak için eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklemini kullanalım.
\( \dfrac{x}{-2} + \dfrac{y}{2} = 1 \)
\( y = x + 2 \)
\( d_2 \) doğrusunun denklemini bulmak için eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklemini kullanalım.
\( \dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} = 1 \)
\( y = -x + 1 \)
İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözelim.
\( y = x + 2 = -x + 1 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
\( y = \dfrac{3}{2} \)
Buna göre taralı alan taban uzunluğu \( 1 - (-2) = 3 \) ve yüksekliği \( y = \frac{3}{2} \) birim olan üçgenin alanıdır.
\( A = \dfrac{3 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \dfrac{9}{4} \) birimkare bulunur.
Analitik düzlemdeki \( d_1: x - 2y + 5 = 0 \), \( d_2: y = 3x \) ve \( d_3: y = -2x \) doğruları şekildeki gibidir.
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları \( A \) noktasında, \( d_1 \) ve \( d_3 \) doğruları \( B \) noktasında kesiştiğine göre, \( ABO \) üçgeninin çevresi kaç birimdir?
Çözümü Göster\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının kesişimi olan \( A \) noktasının koordinatlarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( d_1 \) doğrusunun denkleminde \( d_2: y = 3x \) yazalım.
\( x - 2(3x) + 5 = 0 \)
\( x = 1 \)
\( A \) noktasının ordinatını bulmak için \( d_2: y = 3x \) doğru denklemini kullanalım.
\( y = 3(1) = 3 \)
\( A(1, 3) \)
\( d_1 \) ve \( d_3 \) doğrularının kesişimi olan \( B \) noktasının koordinatlarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( d_1 \) doğrusunun denkleminde \( d_3: y = -2x \) yazalım.
\( x - 2(-2x) + 5 = 0 \)
\( x = -1 \)
\( B \) noktasının ordinatını bulmak için \( d_3: y = -2x \) doğru denklemini kullanalım.
\( y = -2(-1) = 2 \)
\( B(-1, 2) \)
\( \abs{AB} \) uzunluğunu bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - 3)^2} \)
\( = \sqrt{5} \)
\( A \) noktasının orjine olan uzaklığını bulalım.
\( \abs{AO} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \)
\( B \) noktasının orjine olan uzaklığını bulalım.
\( \abs{BO} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)
\( ABO \) üçgeninin çevresini bulalım.
\( Ç(ABO) = \abs{AB} + \abs{AO} + \abs{BO} \)
\( = \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \)
\( = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \) bulunur.
Koordinat sisteminde \( 2x + 3y = 0 \), \( x = 3 \), \( x = -\frac{3k}{2} \) ve \( y = 0 \) doğrularının sınırlandırdığı yamuğun alanı 12 birimkare olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen doğruları analitik düzlemde çizelim.
\( x = 3 \) ve \( y = 0 \) doğrularının kesişimine \( A \), \( x = -\frac{3k}{2} \) ve \( y = 0 \) doğrularının kesişimine \( B \), \( 2x + 3y = 0 \) ve \( x = -\frac{3k}{2} \) doğrularının kesişimine \( C \), \( 2x + 3y = 0 \) ve \( x = 3 \) doğrularının kesişimine \( D \) diyelim.
\( A(3, 0) \)
\( B(-\frac{3k}{2}, 0) \)
\( D \) noktasının ordinatını bulmak için \( 2x + 3y = 0 \) doğru denkleminde \( x = 3 \) yazalım.
\( 2(3) + 3y = 0 \)
\( y = -2 \)
\( D(3, -2) \)
\( C \) noktasının ordinatını bulmak için \( 2x + 3y = 0 \) doğru denkleminde \( x = -\frac{3k}{2} \) yazalım.
\( 2(-\dfrac{3k}{2}) + 3y = 0 \)
\( y = k \)
\( C(-\frac{3k}{2}, k) \)
\( ABCD \) yamuğunun alanını hesaplamak için taban uzunluklarını ve yüksekliğini bulalım.
\( \abs{AD} = 2 \)
\( x = -\frac{3k}{2} \) doğrusunun apsis değerinden \( k \)'nın negatif olduğunu biliyoruz.
\( \abs{BC} = \abs{k} = -k \)
Yamuğun yüksekliği olan \( \abs{AB} \) uzunluğunu bulalım.
Ordinatı sıfır olan iki nokta arası uzaklık, apsislerinin farkına eşittir.
\( \abs{AB} = -\dfrac{3k}{2} - 3 \)
\( ABCD \) yamuğunun alanını bulalım.
\( A(ABCD) = \dfrac{(\abs{AD} + \abs{BC}) \cdot \abs{AB}}{2} \)
\( 24 = \dfrac{(2 - k)(-\frac{3k}{2} - 3)}{2} \)
\( 48 = -3k - 6 + \dfrac{3k^2}{2} + 3k \)
\( \dfrac{3k^2}{2} = 54 \)
\( k^2 = 36 \)
\( k \) negatif bir büyüklüktür.
\( k = -6 \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( (5, 3) \) noktasından geçen ve eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı 16 olan doğru ya da doğruların denklemini bulunuz.
Çözümü Gösterİstenen doğru ya da doğruların \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisine \( a \), \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatına \( b \) diyelim.
Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklemini yazalım.
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)
Eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı 16 olarak veriliyor.
\( a + b = 16 \)
\( (5, 3) \) noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( \dfrac{5}{a} + \dfrac{3}{b} = 1 \)
Bulduğumuz iki denklemi ortak çözelim.
\( b \) değerini birinci denklemde yalnız bırakarak ikinci denklemde yerine koyalım.
\( b = 16 - a \)
\( \dfrac{5}{a} + \dfrac{3}{16 - a} = 1 \)
\( \dfrac{5(16 - a) + 3a}{a(16 - a)} = 1 \)
\( \dfrac{80 - 5a + 3a}{16a - a^2} = 1 \)
\( 80 - 2a = 16a - a^2 \)
\( a^2 - 18a + 80 = 0 \)
\( (a - 8)(a - 10) = 0 \)
Buna göre istenen koşulları \( a = 8 \) ve \( a = 10 \) olduğunda sağlanır.
\( a = 8 \) değerini birinci denklemde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.
\( 8 + b = 16 \)
\( b = 8 \)
\( a = 10 \) değerini birinci denklemde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.
\( 10 + b = 16 \)
\( b = 6 \)
\( (a, b) = (8, 8) \) için doğru denklemini bulalım.
\( \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{8} = 1 \)
\( x + y - 8 = 0 \)
\( (a, b) = (10, 6) \) için doğru denklemini bulalım.
\( \dfrac{x}{10} + \dfrac{y}{6} = 1 \)
\( 3x + 5y - 30 = 0 \)
\( (5, 3) \) noktasından geçen ve eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı 16 olan iki doğru vardır ve denklemleri aşağıdaki gibidir.
\( d_1: x + y - 8 = 0 \)
\( d_2: 3x + 5y - 30 = 0 \)