Doğrunun Analitiği Formülleri
Bir Nokta ve Doğru Arası Uzaklık
Bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta arasındaki en kısa uzaklık, noktadan doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur.
\( A(x_1, y_1) \)
\( d_1: ax + by + c = 0 \) olmak üzere,
\( A \) noktası ve \( d_1 \) doğrusu arasındaki uzaklık:
\( \abs{AB} = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( A(-4, 1) \) noktası ve \( 3x - 4y + 6 = 0 \) doğrusu arasındaki uzaklık:
\( = \dfrac{\abs{3(-4) - 4(1) + 6}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \)
\( = \dfrac{\abs{-10}}{5} = 2 \)
İki Paralel Doğru Arası Uzaklık
Birbirine paralel iki doğru arasındaki en kısa uzaklık, iki doğruya da dik olan doğru parçasının uzunluğudur.
\( d_1: ax + by + c_1 = 0 \)
\( d_2: ax + by + c_2 = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasındaki uzaklık:
\( \abs{AB} = \dfrac{\abs{c_2 - c_1}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( 2x - y + 7 = 0 \) ve \( 2x - y - 3 = 0 \) doğruları arasındaki uzaklık:
\( = \dfrac{\abs{-3 - 7}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \)
\( = \dfrac{\abs{-10}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \)
Paralel İki Doğruya Eşit Uzaklıktaki Paralel Doğrunun Denklemi
Birbirine paralel iki doğruya eşit uzaklıktaki doğru, yukarıdaki iki doğru arasındaki uzaklık formülüne göre iki doğruya da eşit uzaklıktaki doğrudur.
\( d_1: ax + by + c_1 = 0 \)
\( d_2: ax + by + c_2 = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularına eşit uzaklıktaki \( d_3 \) doğrusunun denklemi:
\( d_3: ax + by + \dfrac{c_1 + c_2}{2} = 0 \)
\( 2x - y + 7 = 0 \) ve \( 2x - y - 3 = 0 \) doğrularına eşit uzaklıktaki doğrunun denklemi:
\( 2x - y + \dfrac{7 + (-3)}{2} = 0 \)
\( 2x - y + 2 = 0 \)
Kesişen İki Doğru Arasındaki Açı
Kesişen iki doğru arasında oluşan \( \alpha \) açısının tanjant değeri, doğruların eğimleri cinsinden aşağıdaki formülle bulunur.
Eğimleri \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğru arasındaki açının tanjantı:
\( \tan{\alpha} = \dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \)
\( y = 3x + 2 \) ve \( y = -x - 5 \) doğruları arasındaki açının tanjantı:
\( m_1 = 3, \quad m_2 = -1 \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{-1 - 3}{1 + (-1) \cdot 3} \)
\( = \dfrac{-4}{-2} = 2 \)
Buna göre iki doğru arasındaki açı tanjant değeri \( 2 \) olan açıdır.
İSPATI GÖSTER
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğim açılarına sırasıyla \( \theta \) ve \( \beta \) diyelim.
\( \beta \) açısı \( ABC \) üçgeninin bir dış açısı olduğu için kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( \beta = \alpha + \theta \)
\( \alpha = \beta - \theta \)
Eşitliğin iki tarafının tanjantını alalım.
\( \tan{\alpha} = \tan(\beta - \theta) \)
Eşitliğin sağ tarafına tanjant fark formülünü uygulayalım.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{\tan{\beta} - \tan{\theta}}{1 + \tan{\beta} \cdot \tan{\theta}} \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğim açılarının tanjant değerleri doğruların eğimine eşittir.
\( m_1 = \tan{\theta} \)
\( m_2 = \tan{\beta} \)
Bu eğim değerlerini formülde yerine koyalım.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \)
İki Doğrunun Açıortay Denklemleri
Kesişen iki doğrunun açıortayı olan doğruların denklemleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( d_1: ax + by + c = 0 \)
\( d_2: dx + ey + f = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının açıortayı olan \( d_3 \) ve \( d_4 \) doğrularının denklemleri:
\( d_3: \dfrac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = +\dfrac{dx + ey + f}{\sqrt{d^2 + e^2}} \)
\( d_4: \dfrac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = -\dfrac{dx + ey + f}{\sqrt{d^2 + e^2}} \)
\( d_1: x - 3y - 5 = 0 \) ve \( d_2: 3x + y + 1 = 0 \) doğrularının açıortayı olan doğruların denklemleri:
Birinci açıortay doğrusu (\( d_3 \)):
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = +\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \)
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{10}} = +\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{10}} \)
\( x - 3y - 5 = 3x + y + 1 \)
\( d_3: x + 2y + 3 = 0 \)
İkinci açıortay doğrusu (\( d_4 \)):
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = -\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \)
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{10}} = -\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{10}} \)
\( x - 3y - 5 = -3x - y - 1 \)
\( d_4: 2x - y - 2 = 0 \)
\( A(1, m) \) noktasının \( 3x + 2y + 2 = 0 \) doğrusuna en yakın uzaklığı \( \sqrt{13} \text{ br} \) olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir nokta ve bir doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( \sqrt{13} = \dfrac{\abs{3(1) + 2(m) + 2}}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \)
\( \sqrt{13} = \dfrac{\abs{2m + 5}}{\sqrt{13}} \)
\( \abs{2m + 5} = 13 \)
Bu eşitliği sağlayan iki durum vardır.
\( 2m + 5 = 13 \Longrightarrow m = 4 \)
\( 2m + 5 = -13 \Longrightarrow m = -9 \)
\( m \)'nin alabileceği değerler toplamı \( 4 + (-9) = -5 \) olarak bulunur.
\( 8x - 6y + 3 = 0 \) doğrusundan 2 birim uzaklıktaki doğruların denklemlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen doğruya 2 birim uzaklıktaki doğrulara \( d_1 \) ve \( d_2 \) diyelim. Bu doğrular \( d \) doğrusuna sabit uzaklıkta bulunan doğrular oldukları için \( d \) doğrusuna paraleldir, dolayısıyla doğruların denklemlerinin \( a \) ve \( b \) katsayıları aynı, \( c \) katsayıları farklı olur.
Verilen doğrulara 2 birim uzaklıktaki doğruların denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( 8x - 6y + c = 0 \)
İki paralel doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( d = \dfrac{\abs{c_2 - c_1}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( 2 = \dfrac{\abs{c - 3}}{\sqrt{8^2 + (-6)^2}} \)
\( \abs{c - 3} = 20 \)
Bu eşitliği sağlayan iki durum vardır.
\( c - 3 = 20 \Longrightarrow c = 23 \)
\( c - 3 = -20 \Longrightarrow c = -17 \)
Buna göre verilen doğruya 2 birim uzaklıktaki doğruların denklemleri aşağıdaki gibi olur.
\( d_1: 8x - 6y + 23 = 0 \)
\( d_2: 8x - 6y - 17 = 0 \)
\( A(8, 6) \) noktasının \( B(-9, -13) \) ve \( C(-1, 3) \) noktaları ile aynı doğru üzerinde olabilmesi için yeri en az ne kadar değiştirilmelidir?
Çözümü GösterÖncelikle \( B \) ve \( C \) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( \dfrac{y - 3}{x - (-1)} = \dfrac{3 - (-13)}{-1 - (-9)} \)
\( y - 3 = 2x + 2 \)
\( 2x - y + 5 = 0 \)
\( A \) noktasının diğer iki noktanın belirttiği doğru üzerinde olabilmesi için doğru ile arasındaki en kısa uzaklık kadar yer değiştirmelidir, bu da noktanın doğruya olan dik uzaklığına eşittir.
\( A \) noktasının doğruya dik uzaklığını bulalım.
\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 +c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( = \dfrac{\abs{2(8) - 6 + 5}}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \)
\( = \dfrac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5} \) bulunur.
Koordinat düzlemindeki bir karenin karşılıklı iki kenarı \( d_1: 2x - 3y + 4 = 0 \) ve \( d_2: 4x - 6y + 5 = 0 \) doğruları üzerinde bulunuyor.
Buna göre bu karenin alanı kaçtır?
Çözümü GösterKarenin karşılıklı iki kenarı verilen iki doğru üzerinde bulunduğu için, doğrular arasındaki en kısa uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşit olur.
Doğru denklemlerinin katsayılarının oranını inceleyelim.
\( \dfrac{2}{4} = \dfrac{-3}{-6} \ne \dfrac{4}{5} \)
\( x \) ve \( y \) katsayılarının oranı eşit, sabit terimlerin oranı bu orandan farklı olduğu için, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları paraleldir.
İki doğru arasındaki en kısa (dik) uzaklık aşağıdaki formülle bulunur.
\( d_1: ax + by + c_1 = 0 \)
\( d_2: ax + by + c_2 = 0 \)
\( d = \dfrac{\abs{c_2 - c_1}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
Verilen doğru denklemlerindeki \( x \) ve \( y \) katsayılarını eşitlemek için \( d_1 \) denkleminin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( d_1: 4x - 6y + 8 = 0 \)
\( d_2: 4x - 6y + 5 = 0 \)
İki doğru arasındaki uzaklığı bulalım.
\( \abs{AB} = \dfrac{\abs{5 - 8}}{\sqrt{4^2 + (-6)^2}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{52}} \)
Bulduğumuz değer karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
Karenin alanını bulalım.
\( A = (\dfrac{3}{\sqrt{52}})^2 \)
\( = \dfrac{9}{52} \) bulunur.
Şekildeki \( OABC \) karesinin \( B \) köşesi \( d \) doğrusu üzerinde olduğuna göre, \( A(OABC) \) kaç birimkaredir?
Çözümü GösterKarenin bir kenar uzunluğuna \( a \) birim diyelim.
\( \abs{OA} = \abs{AB} = a \)
\( B(a, a) \)
\( d \) doğrusunun denklemini bulmak için eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklemini kullanalım.
\( \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( B \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğu için bu doğru denklemini sağlar. Bu yüzden bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.
\( \dfrac{a}{8} + \dfrac{a}{4} = 1 \)
\( a = \dfrac{8}{3} \)
Karenin alanını hesaplayalım.
\( A(OABC) = a^2 = \left( \dfrac{8}{3} \right)^2 = \dfrac{64}{9} \) birimkare bulunur.
Analitik düzleminde \( A(3, 6) \) ve \( B(7, 4) \) noktaları veriliyor.
Buna göre \( [AB] \) doğru parçasının \( x \) ve \( y \) eksenleri üzerindeki izdüşümlerinin uzunlukları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( [AB] \) doğru parçasının \( y \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu, \( A \) ve \( B \) noktalarının ordinatları farkının mutlak değerine eşittir.
\( \abs{y_2 - y_1} = \abs{6 - 4} = 2 \)
\( [AB] \) doğru parçasının \( x \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu, \( A \) ve \( B \) noktalarının apsisleri farkının mutlak değerine eşittir.
\( \abs{x_2 - x_1} = \abs{7 - 3} = 4 \)
İzdüşümlerin uzunluklarının toplamı \( 2 + 4 = 6 \) olarak bulunur.
\( A(3, 2) \) noktasının \( d: 2x + 3y - 12 = 0 \) doğrusuna en yakın noktasının koordinatları \( B(m, n) \) olduğuna göre, \( m + n \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( A(3, 2) \) noktasının \( d \) doğrusuna en yakın noktası \( B(m, n) \) ise çizilecek \( [AB] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
\( [AB] \) doğru parçası ile \( d: 2x + 3y - 12 = 0 \) doğrusu dik kesiştiklerine göre bu doğruların eğimleri çarpımı -1 olur.
\( m_{AB} \cdot m_{d} = -1 \)
\( A \) ve \( B \) noktalarını kullanarak \( m_{AB} \) değerini hesaplayalım.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m_{AB} = \dfrac{n - 2}{m - 3} \)
\( d: 2x + 3y - 12 = 0 \) doğru denkleminde \( y \) değerini yalnız bıraktığımızda \( x \)'in katsayısı \( m_{d} \) değerini verir.
\( 2x + 3y - 12 = 0 \)
\( y = -\dfrac{2}{3}x + 4 \)
\( m_{d} = -\dfrac{2}{3} \)
\( m_{AB} \cdot m_{d} = -1 \)
\( \dfrac{n - 2}{m - 3} \cdot (-\dfrac{2}{3}) = -1 \)
\( \dfrac{n - 2}{m - 3} = \dfrac{3}{2} \)
\( 2n - 4 = 3m - 9 \)
\( 3m - 2n - 5 = 0 \)
\( m \) ve \( n \) bilinmeyenlerini içeren ikinci bir denklem elde etmeye çalışalım.
\( B \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğu için koordinatları \( d \) doğrusunun denklemini sağlar.
\( 2m + 3n - 12 = 0 \)
Bulduğumuz iki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözelim.
\( (1) 3m - 2n - 5 = 0 \)
\( (2) 2m + 3n - 12 = 0 \)
Birinci denklemi 3 ile ikinci denklemi 2 ile genişletelim ve denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( (1) 9m - 6n - 15 = 0 \)
\( (2) 4m + 6n - 24 = 0 \)
\( 13m - 39 = 0 \)
\( m = 3 \)
Birinci denklemde \( m = 3 \) yazalım.
\( 3(3) - 2n - 5 = 0 \)
\( n = 2 \)
\( m + n = 3 + 2 = 5 \) bulunur.
Koordinat düzlemindeki \( x + 2y - 12 = 0 \) doğrusunun orijine en yakın noktasının koordinatları nedir?
Çözümü GösterDoğrunun \( y \) eksenini kestiği noktaya \( A \), \( x \) eksenini kestiği noktaya \( B \) diyelim.
\( x + 2y - 12 = 0 \) doğrusunun eksenleri hangi noktalarda kestiğini bulalım.
\( x = 0 \) verelim.
\( 0 + 2y - 12 = 0 \)
\( y = 6 \)
\( A(0, 6) \)
\( y = 0 \) verelim.
\( x + 2(0) - 12 = 0 \)
\( x = 12 \)
\( B(12, 0) \)
\( \abs{AB} \) uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım.
\( \abs{AB}^2 = \abs{AO}^2 + \abs{BO}^2 \)
\( \abs{AB}^2 = 6^2 + 12^2 \)
\( \abs{AB} = 6\sqrt{5} \)
\( x + 2y - 12 = 0 \) doğrusunun orijine en yakın noktasını bulmak için orijinden doğruya bir dikme çizelim ve orijine en yakın noktaya \( C \) diyelim.
\( \abs{CO} \) uzunluğunu bulalım.
\( AOB \) dik üçgeninde alan bağıntısını yazalım.
\( \abs{AO} \cdot \abs{BO} = \abs{AB} \cdot \abs{CO} \)
\( 6 \cdot 12 = 6\sqrt{5} \cdot \abs{CO} \)
\( \abs{CO} = \dfrac{12\sqrt{5}}{5} \)
\( BCO \) dik üçgeninde \( C \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme indirelim ve dikmenin ekseni kestiği noktaya \( D \) diyelim.
\( BCO \) üçgeninde Öklid bağıntısını uygulayalım.
\( \abs{CO}^2 = \abs{OD} \cdot \abs{OB} \)
\( (\dfrac{12\sqrt{5}}{5})^2 = \abs{OD} \cdot 12 \)
\( \dfrac{144 \cdot 5}{25} = \abs{OD} \cdot 12 \)
\( \abs{OD} = \dfrac{12}{5} \)
Buna göre \( C \) noktasının apsisi \( \frac{12}{5} \) olur.
\( C \) noktası \( x + 2y - 12 = 0 \) doğrusu üzerinde olduğu için apsis değerini denklemde yerine yazdığımızda ordinat değerini buluruz.
\( \dfrac{12}{5} + 2y - 12 = 0 \)
\( y = \dfrac{24}{5} \)
\( C(\dfrac{12}{5}, \dfrac{24}{5}) \) bulunur.
\( 2x + y - 4 = 0 \) doğrusu üzerinde bulunan ve \( x - y + 1 = 0 \) doğrusuna uzaklığı \( 3\sqrt{2} \) birim olan noktaların koordinatları nedir?
Çözümü Göster\( 2x + y - 4 = 0 \) doğrusu üzerindeki noktaya \( A \), apsisine \( n \) diyelim.
\( A \) noktasının ordinatını bulmak için doğru denklemini kullanalım.
\( 2n + y - 4 = 0 \)
\( y = 4 - 2n \)
\( A(n, 4 - 2n) \)
\( x - y + 1 = 0 \) doğrusunun \( A(n, 4 - 2n) \) noktasına olan uzaklığını bulmak için bir nokta ve doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( 3\sqrt{2} = \dfrac{\abs{1(n) + (-1)(4 - 2n) + 1}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \)
\( 3\sqrt{2} = \dfrac{\abs{n + 2n - 4 + 1}}{\sqrt{2}} \)
\( \abs{3n - 3} = 6 \)
\( \abs{n - 1} = 2 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
\( n - 1 = 2 \Longrightarrow n = 3 \)
\( n - 1 = -2 \Longrightarrow n = -1 \)
Bu iki değer için \( A(n, 4 - 2n) \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( n = -1 \) için: \( A(-1, 6) \)
\( n = 3 \) için: \( A(3, -2) \)
\( (2, 3) \) noktasından geçen ve \( (4, 5) \) noktasına en uzak olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü Göster\( (2, 3) \) noktasına \( A \), \( (4, 5) \) noktasına \( B \), denklemi istenen doğruya \( d \) diyelim.
\( A(2, 3) \) noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
\( B \) noktasının \( d \) doğrusuna en uzak mesafesini bulmak için, \( [AB] \) doğru parçasının \( d \) doğrusunu dik kestiği durumu bulmalıyız.
\( d \) doğrusunun denklemini bulmak için \( [AB] \) doğru parçasını çizelim ve bu doğrunun eğimini bulalım.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( = \dfrac{5 - 3}{4 - 2} = 1 \)
Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1 olur.
\( m_{AB} \cdot m_d = -1 \)
\( m_d = -1 \)
\( d \) doğrusunun denklemini bulmak için bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini yazalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 3 = -1(x - 2) \)
\( y = -x + 5 \) bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( ABCD \) dikdörtgen olup \( A \) köşesi \( y = -\frac{x}{5} \) doğrusu, \( B \) köşesi \( y = -3x \) doğrusu üzerindedir.
\( A(ABCD) = 168 \) olduğuna göre, \( A \) noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDoğru denklemlerini kullanarak uzunluklara değer verelim.
\( \abs{OC} = a \) diyelim.
\( B \) noktasının apsisi \( C \) noktası ile aynı olduğundan \( B \) noktasının apsisi \( -a \) olur.
\( B \) köşesi \( y = -3x \) doğrusu üzerinde olduğu için bu denklemi kullanarak ordinat değerini bulalım.
\( y = -3x = -3(-a) = 3a \)
\( B(-a, 3a) \)
\( \abs{BC} = 3a \)
\( A \) ve \( B \) köşeleri aynı yatay doğru üzerinde olduğu için ordinat değerleri eşittir.
\( A \) köşesi \( y = -\frac{x}{5} \) doğrusu üzerinde olduğu için bu denklemi kullanarak apsis değerini bulalım.
\( 3a = -\dfrac{x}{5} \)
\( x = -15a \)
\( A(-15a, 3a) \)
\( D(-15a, 0) \)
\( \abs{OD} = 15a \)
\( \abs{DC} = \abs{AB} = 14a \)
Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.
\( A(ABCD) = \abs{AB} \cdot \abs{BC} \)
\( 168 = 14a \cdot 3a \)
\( 42a^2 = 168 \)
\( a^2 = 4 \)
\( a\)'yı uzunluk değeri olarak aldığımız için değeri pozitiftir.
\( a = 2 \)
\( A(-15a, 3a) = A(-30, 6) \)
\( A \) noktasının koordinatları toplamı \( -30 + 6 = -24 \) olarak bulunur.
\( KLM \) üçgeninin \( [LM] \) kenarına ait kenarortay doğrusu şekildeki gibidir.
Buna göre bu doğru \( x \) eksenini hangi noktada keser?
Çözümü Göster\( [LM] \) kenarının orta noktasına \( N \) diyelim.
Orta nokta formülünü kullanarak \( N(x_0, y_0) \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( = \dfrac{-5 + (-1)}{2} = -3 \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)
\( = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \)
\( N(-3, 2) \)
Kenarortay doğrusunun denklemini bulmak için iki noktası (\( K \) ve \( N \)) bilinen doğru denklemini kullanalım.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( \dfrac{y - 2}{x - (-3)} = \dfrac{2 - 5}{-3 - (-2)} \)
\( \dfrac{y - 2}{x + 3} = 3 \)
\( y = 3x + 11 \)
Bu doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktaya \( P(a, 0) \) diyelim.
\( P \) noktası kenarortay doğrusunun üzerinde olduğu için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( 0 = 3a + 11 \)
\( a = -\dfrac{11}{3} \)
\( P(a, 0) = P(-\dfrac{11}{3}, 0) \) bulunur.
Şekildeki \( KLMN \) dikdörtgeninin köşeleri sırasıyla \( 2y = bx \), \( y = 3x \), \( y = x \) ve \( 2y = ax \) doğruları üzerindedir.
\( [LM] \) kenarı \( y \) eksenine paralel olduğuna göre, \( \frac{a}{b} \) oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( KLMN \) dikdörtgeninin köşe noktalarının koordinatlarını doğru denklemlerini kullanarak bulalım.
\( y = x \) doğrusu üzerinde olan \( M \) köşesinin apsisine \( p \) diyelim.
\( M \) noktası \( y = x \) doğrusu üzerinde olduğundan ordinatı da \( p \) olur.
\( L \) noktasının koordinatlarını yazalım.
\( L \) noktası \( x = p \) ve \( y = 3x \) doğruları üzerindedir.
\( L(p, 3p) \)
\( N \) noktasının koordinatlarını yazalım.
\( N \) noktası \( M \) noktası ile aynı \( y = p \) doğrusu ve aynı zamanda \( 2y = ax \) doğrusu üzerindedir.
\( 2p = ax \)
\( x = \dfrac{2p}{a} \)
\( N(\dfrac{2p}{a}, p) \)
\( K \) noktasının koordinatlarını yazalım.
\( K \) noktası \( N \) noktası ile aynı apsis, \( L \) noktası ile de aynı ordinata sahiptir.
\( 2y = bx \) doğrusu üzerinde olan \( K \) noktası için \( y = 3p \) ve \( x = \frac{2p}{a} \) yazalım.
\( 2(3p) = b \cdot \dfrac{2p}{a} \)
\( a \) ve \( b \) ifadelerini eşitliğin karşısına atıp yalnız bırakalım.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
Şekilde \( AOB \) üçgeni ve bu üçgenin \( K \) merkezli iç teğet çemberi verilmiştir.
Daire eksenlere teğet olduğuna göre, \( K \) merkezli dairenin alanının \( AOB \) üçgeninin alanına oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( x \) ve \( y \) eksenleri \( K \) merkezli çembere teğet olduğuna göre, çemberin merkezine \( K(r, r) \) diyelim.
Çemberin \( x \) eksenine teğet olduğu noktaya \( C \), \( y \) eksenine teğet olduğu noktaya \( D \), \( [AB] \) doğrusuna teğet olduğu noktaya \( E \) diyelim.
\( AOB \) üçgeninin kenar uzunlukları ile \( K(r, r) \) noktasının koordinatlarını kullanarak doğru parçalarının uzunluklarını yazalım.
\( \abs{DO} = r, \quad \abs{AD} = 7 - r \)
\( \abs{CO} = r, \quad \abs{BC} = 24 - r \)
Aynı noktadan bir çembere çizilen teğetlerin uzunlukları eşittir.
\( \abs{AD} = \abs{AE} = 7 - r \)
\( \abs{BC} = \abs{BE} = 24 - r \)
\( AOB \) üçgeni 7-24-25 özel üçgeni olduğu için \( \abs{AB} = 25 \) olur.
\( \abs{AB} = 7 - r + 24 - r \)
\( 25 = 31 - 2r \)
\( r = 3 \)
\( K(r, r) = K(3, 3) \)
Dairenin alanını bulalım.
\( A = \pi r^2 = 9\pi \)
\( AOB \) üçgeninin alanını bulalım.
\( A(AOB) = \dfrac{\abs{AO} \cdot \abs{BO}}{2} \)
\( = \dfrac{7 \cdot 24}{2} = 84 \)
\( K \) merkezli dairenin alanının \( AOB \) üçgeninin alanına oranını bulalım.
\( \dfrac{9\pi}{84} = \dfrac{3\pi}{28} \) bulunur.
Analitik düzlemde \( A(-8, 5) \) ve \( B(-5, 1) \) noktaları verilmiştir.
Buna göre \( [AB] \) doğru parçasının ve \( y = -x \) doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün oluşturduğu yamuğun alanı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) noktalarının \( y = -x \) doğrusu üzerindeki izdüşümlerine \( A' \) ve \( B' \) diyelim.
Noktanın doğruya uzaklığı formülünü kullanarak \( \abs{AA'} \) ve \( \abs{BB'} \) değerlerini bulalım.
\( A(x_1, y_1) \) noktasının \( d_1: ax + by + c = 0 \) doğrusuna uzaklığı aşağıdaki formülle bulunur.
\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( y = -x \) doğrusunun kapalı denklemini yazalım.
\( d: x + y = 0 \)
\( \abs{AA'} \) uzaklığını bulalım.
\( \abs{AA'} = \dfrac{\abs{1(-8) + 1(5) + 0}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \)
\( = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \)
\( \abs{BB'} \) uzaklığını bulalım.
\( \abs{BB'} = \dfrac{\abs{1(-5) + 1(1) + 0}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \)
\( = 2\sqrt{2} \)
\( A \) noktasından \( [BB'] \) doğrusuna bir dikme indirelim ve bu noktaya \( C \) diyelim.
\( [AC] \parallel [A'B'] \)
\( \abs{AA'} = \abs{CB'} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \)
\( \abs{BB'} = \abs{BC} + \abs{B'C} \)
\( \abs{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \abs{AB} \) uzaklığını bulalım.
\( \abs{AB}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \)
\( = (-8 - (-5))^2 + (5 - 1)^2 \)
\( = (-8 + 5)^2 + (5 - 1)^2 \)
\( \abs{AB} = 5 \)
\( \abs{A'B'} = \abs{AC} = x \) diyelim.
\( ACB \) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.
\( \abs{AC}^2 + \abs{BC}^2 = \abs{AB}^2 \)
\( x^2 + (\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 = 5^2 \)
\( x^2 + \dfrac{1}{2} = 25 \)
\( x = \dfrac{7\sqrt{2}}{2} \)
\( AA'B'B \) yamuğunun alanını hesaplayalım.
\( A(AA'B'B) = \dfrac{(\abs{AA'} + \abs{BB'}) \cdot \abs{A'B'}}{2} \)
\( = \dfrac{(\frac{3\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2}) \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2}}{2} \)
\( = \dfrac{49}{4} \) bulunur.
\( KLMN \) karesinin bir kenarı \( d: y - 3x + 3 = 0 \) doğrusu üzerindedir.
Buna göre \( L \) noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( L \) noktasının koordinatlarına \( L(a, b) \) diyelim.
\( d \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktaya \( P \) diyelim.
\( d \) doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
Doğru denkleminde \( y = 0 \) yazarak \( P \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( 0 - 3x + 3 = 0 \)
\( x = 1 \)
\( P(1, 0) \)
Doğru denkleminde \( x = 0 \) yazarak \( N \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( y - 3(0) + 3 = 0 \)
\( y = -3 \)
\( N(0, -3) \)
\( d \) doğrusu \( [MN] \) kenarı üzerinden geçtiğine göre \( m(\widehat{KNP}) = 90° \) olur.
\( KON \) ve \( NOP \) üçgenlerinin iç açılarını yazalım.
\( KON \) üçgeninde \( m(\widehat{OKN}) = \alpha \) ve \( m(\widehat{ONK}) = \beta \) diyelim.
\( \alpha + \beta = 90° \)
\( m(\widehat{KNP}) = 90° \) olduğuna göre, \( m(\widehat{ONP}) = \alpha \) ve \( m(\widehat{OPN}) = \beta \) olur.
\( L \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim ve ekseni kestiği noktaya \( R \) diyelim.
\( m(\widehat{LKN}) = 90° \) olduğuna göre, \( m(\widehat{RKL}) = \beta \) ve \( m(\widehat{RLK}) = \alpha \) olur.
\( ONP \) ve \( OKN \) üçgenleri iç açıları eşit olduğundan benzer üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{OKN} \sim \overset{\triangle}{ONP} \)
Üçgenler arasındaki benzerliği kullanarak kenar uzunluklarını bulalım.
\( \dfrac{\abs{ON}}{\abs{OP}} = \dfrac{\abs{OK}}{\abs{ON}} \)
\( \dfrac{3}{1} = \dfrac{\abs{OK}}{3} \)
\( \abs{OK} = 9 \)
\( L(a, b) \) olduğundan \( \abs{RL} = -b \), \( \abs{RK} = -a - 9 \) olur.
\( RLK \) ve \( OKN \) üçgenleri iç açıları eşit olduğundan benzer üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{RLK} \sim \overset{\triangle}{OKN} \)
Üçgenler arasındaki benzerliği kullanarak kenar uzunluklarını bulalım.
\( \dfrac{\abs{RL}}{\abs{OK}} = \dfrac{\abs{LK}}{\abs{KN}} \)
\( [LK] \) ve \( [KN] \) aynı karenin iki kenarı olduğu için uzunlukları eşittir.
\( \abs{LK} = \abs{KN} \)
Üçgenler arasındaki benzerliği kullanarak kenar uzunluklarını bulalım.
\( \dfrac{\abs{RL}}{\abs{OK}} = \dfrac{\abs{LK}}{\abs{KN}} \)
\( \dfrac{-b}{9} = 1 \)
\( b = -9 \)
\( RLK \) ve \( OKN \) üçgenleri arasındaki benzerliği tekrar kullanarak \( \abs{RK} \) uzunluğunu bulalım.
\( \dfrac{\abs{RK}}{\abs{ON}} = \dfrac{\abs{LK}}{\abs{KN}} \)
\( \dfrac{-a - 9}{3} = 1 \)
\( a = -12 \)
\( L(-12, -9) \)
\( L \) noktasının koordinatları çarpımı \( -12 \cdot (-9) = 108 \) olarak bulunur.