Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların İntegrali
Bu bölümde üstel ve logaritmik fonksiyonların integralini inceleyeceğiz. Önceki bölümde belirttiğimiz gibi, belirli bir integral alma kuralının ispatı olarak integral işleminin sonucunun türevinin orijinal fonksiyonu verip vermediği kontrol edilebilir.
Üstel fonksiyonların integrali aşağıdaki gibidir.
\( a \in \mathbb{R^+} - \{ 1 \} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {e^x\ dx} = e^x + C \)
\( \displaystyle\int {a^x\ dx} = \dfrac{a^x}{\ln{a}} + C \)
\( \displaystyle\int {3e^{2x}\ dx} = \dfrac{3}{2}e^{2x} + C \)
Logaritma fonksiyonlarının integrali aşağıdaki gibidir.
\( a \in \mathbb{R^+} - \{ 1 \} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - x + C \)
\( \displaystyle\int {\log_a{x}\ dx} = x\log_a{x} - \dfrac{x}{\ln{a}} + C \)
\( \displaystyle\int {\ln(3x)\ dx} = x\ln(3x) - x + C \)
\( \displaystyle\int {3\log_2(5x)\ dx} = 3x\log_2(5x) - \dfrac{3x}{\ln{2}} + C \)
İSPATI GÖSTER
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln{x}, \quad dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx, \quad v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - \displaystyle\int {x\dfrac{1}{x}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - \displaystyle\int {dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = x\ln{x} - x + C \)
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int {10e^{5x}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {2e^{\frac{x}{11}}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {5^{x + 2}\ dx} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {10e^{5x}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{5} \cdot 10e^{5x} + C \)
\( = 2e^{5x} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {2e^{\frac{x}{11}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{\frac{1}{11}} \cdot 2e^{\frac{x}{11}} + C \)
\( = 22e^{\frac{x}{11}} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {5^{x + 2}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {5^2 \cdot 5^x\ dx} \)
\( = 25\displaystyle\int {5^x\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 25 \cdot \dfrac{5^x}{\ln{5}} + C \)
\( = \dfrac{5^{x+2}}{\ln{5}} + C \)
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int {\dfrac{3}{x}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {\dfrac{5}{x + 2}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {\dfrac{1}{7x + 4}\ dx} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{3}{x}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 3\ln{\abs{x}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{5}{x + 2}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 5\ln{\abs{x + 2}} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{7x + 4}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{7}\ln{\abs{7x + 4}} + C \)
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int {\dfrac{17}{34x + 3}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {\dfrac{1}{6 - 14x}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {\dfrac{26}{13x - 9}\ dx} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{17}{34x + 3}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{17}{34}\ln{\abs{34x + 3}} + C \)
\( = \dfrac{1}{2}\ln{\abs{34x + 3}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{6 - 14x}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -\dfrac{1}{14}\ln{\abs{6 - 14x}} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{26}{13x - 9}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 2\ln{\abs{13x - 9}} + C \)
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int \left( \dfrac{4}{3x} + \dfrac{2}{5x - 1} \right)\ dx \)
(b) \( \displaystyle\int \left( \dfrac{4}{3x - 1} - \dfrac{2}{(1 - x)^2} \right)\ dx \)
(c) \( \displaystyle\int \left( \dfrac{2}{1 - 4x} + \dfrac{12}{(1 + 5x)^3} \right)\ dx \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int \left( \dfrac{4}{3x} + \dfrac{2}{5x - 1} \right)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4}{3}\ln{\abs{x}} + \dfrac{2}{5}\ln{\abs{5x - 1}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int \left( \dfrac{4}{3x - 1} - \dfrac{2}{(1 - x)^2} \right)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4}{3}\ln{\abs{3x - 1}} - \dfrac{2}{1 - x} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int \left( \dfrac{2}{1 - 4x} + \dfrac{12}{(1 + 5x)^3} \right)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{-4}\ln{\abs{1 - 4x}} + \dfrac{12}{-2 \cdot 5 \cdot (1 + 5x)^2} + C \)
\( = -\dfrac{1}{2}\ln{\abs{1 - 4x}} - \dfrac{6}{5(1 + 5x)^2} + C \)
\( \displaystyle\int {3x^2e^5\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( e^5 \) ifadesi sabittir.
\( \displaystyle\int {3x^2e^5\ dx} = 3e^5\displaystyle\int {x^2\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 3e^5 \cdot \dfrac{x^3}{3} + C \)
\( = e^5x^3 + C \)
\( \displaystyle\int {e^x\sqrt{e^x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int {e^x\sqrt{e^x}\ dx} = \displaystyle\int {e^xe^{\frac{x}{2}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {e^{\frac{3x}{2}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{3}e^{\frac{3x}{2}} + C \)
\( = \dfrac{2}{3}\sqrt{e^{3x}} + C \)
\( \displaystyle\int {2^{2x}\ 3^x\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int {2^{2x}\ 3^x\ dx} = \displaystyle\int {4^x\ 3^x\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {12^x\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{12^x}{\ln{12}} + C \)
\( \displaystyle\int_0^1 {e(e^{2x} - 3x)(e^{2x} + 3x)}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterParantez içindeki iki çarpan için kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^1 {e(e^{4x} - 9x^2)}\ dx \)
\( e \)'yi parantez içine alalım.
\( = \displaystyle\int_0^1 (e^{4x+1} - 9ex^2)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{e^{4x+1}}{4} - 3ex^3 \right)|_0^1 \)
\( = \left( \dfrac{e^{4(1)+1}}{4} - 3e(1)^3 \right) - \left( \dfrac{e^{4(0)+1}}{4} - 3e(0)^3 \right) \)
\( = \left( \dfrac{e^5}{4} - 3e \right) - \left( \dfrac{e}{4} - 0 \right) \)
\( = \dfrac{e^5 - 13e}{4} \) bulunur.
\( \displaystyle\int {(2e^x + 4e^{-2x})^2\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterParantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( \displaystyle\int {(2e^x + 4e^{-2x})^2\ dx} = \displaystyle\int {((2e^x)^2 + 2(2e^x)(4e^{-2x}) + (4e^{-2x})^2)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(4e^{2x} + 16e^{-x} + 16e^{-4x})\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4e^{2x}}{2} + \dfrac{16e^{-x}}{-1} + \dfrac{16e^{-4x}}{-4} + C \)
\( = 2e^{2x} - 16e^{-x} - 4e^{-4x} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{2e^{2x}}{e^{2x} + 5}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = e^{2x} + 5 \)
\( du = 2e^{2x}\ dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{2e^{2x}}{e^{2x} + 5}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \ln{\abs{u}} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \ln{\abs{e^{2x} + 5}} + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{5^{x + 1} - 3^{x + 2}}{15^x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadeyi ayrı kesirlere ayıralım.
\( \displaystyle\int \left( \dfrac{5^{x + 1}}{15^x} - \dfrac{3^{x + 2}}{15^x} \right)\ dx \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{5 \cdot 5^x}{3^x \cdot 5^x} - \dfrac{9 \cdot 3^x}{3^x \cdot 5^x} \right)\ dx \)
\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{5}{3^x} - \dfrac{9}{5^x} \right)\ dx \)
\( = \displaystyle\int (5 \cdot 3^{-x} - 9 \cdot 5^{-x})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\dfrac{5 \cdot 3^{-x}}{\ln{3}} + \dfrac{9 \cdot 5^{-x}}{\ln{5}} + C \)
\( = -\dfrac{5}{3^x \cdot \ln{3}} + \dfrac{9}{5^x \cdot \ln{5}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{15x}{3x + 1}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterPaydaki ifadeyi paydadaki ifadenin bir katı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{15x}{3x + 1}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{15x + 5 - 5}{3x + 1}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{5(3x + 1) - 5}{3x + 1}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{5(3x + 1)}{3x + 1} - \dfrac{5}{3x + 1} \right)\ dx \)
\( = \displaystyle\int {5\ dx} - \displaystyle\int {\dfrac{5}{3x + 1}\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 5x - \dfrac{5}{3}\ln{\abs{3x + 1}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterPayda Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} + \displaystyle\int {\dfrac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\ dx} + \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\ln{\abs{\cos{x}}} + \ln{\abs{\sin{x}}} + C \)
\( = \ln{\abs{\sin{x}}} - \ln{\abs{\cos{x}}} + C \)
\( = \ln{\abs{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{3^x}{3^x + 1}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 3^x + 1 \)
\( \Longrightarrow 3^x = u - 1 \)
\( du = 3^x\ln{3}\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{3^x\ln{3}} \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{(u - 1)\ln{3}} \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{3^x}{3^x + 1}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{u - 1}{u} \cdot \dfrac{du}{(u - 1)\ln{3}}} \)
\( = \dfrac{1}{\ln{3}}\displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{\ln{\abs{u}}}{\ln{3}} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\ln{\abs{3^x + 1}}}{\ln{3}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{\ln{x^3}}{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterLogaritma üs kuralını uygulayalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{\ln{x^3}}{x}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{3\ln{x}}{x}\ dx} \)
\( = 3\displaystyle\int {\dfrac{\ln{x}}{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \ln{x} \)
\( du = \dfrac{dx}{x} \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = 3\displaystyle\int {u\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{3u^2}{2} + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{3(\ln{x})^2}{2} + C \)
\( \displaystyle\int {e^{x + e^x + e^{e^x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterVerilen integrali, üslü ifadenin tabanı ve üslerin toplamı aynı kalacak şekilde düzenleyelim.
\( \displaystyle\int {e^{x}e^{e^x}e^{e^{e^x}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = e^{e^x} \)
\( du = e^xe^{e^x}dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = \displaystyle\int {e^u\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = e^u + C \)
\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( = e^{e^{e^x}} + C \)
\( \displaystyle\int{\dfrac{1}{\log_{\sqrt[3]{x}}7}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterLogaritma ifadesini integralini daha kolay alabileceğimiz forma getirelim.
\( \dfrac{1}{\log_{\sqrt[3]{x}}{7}} = \dfrac{1}{\log_{x^{\frac{1}{3}}}{7}} \)
\( = \dfrac{1}{3\log_x{7}} \)
Bir logaritma ifadesinin çarpmaya göre tersi alındığında tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirir.
\( = \dfrac{\log_7{x}}{3} \)
Bu ifadeyi verilen integral ifadesinde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int{\dfrac{1}{\log_{\sqrt[3]{x}}7}}\ dx = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int {\log_7{x}}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{3}\left( x\log_7{x} - \dfrac{x}{\ln{7}} \right) + C \)
\( = \dfrac{x\log_7{x}}{3} - \dfrac{x}{3\ln{7}} + C \)
\( \displaystyle\int_{25}^{125} \dfrac{\log_x{5}}{x\ln{x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \log_x{5} \) ifadesine taban değiştirme uygulayalım.
\( \log_x{5} = \dfrac{\log_e{5}}{\log_e{x}} = \dfrac{\ln{5}}{\ln{x}} \)
\( \displaystyle\int_{25}^{125} \dfrac{\log_x{5}}{x\ln{x}}\ dx = \displaystyle\int_{25}^{125} \dfrac{\ln{5}}{x(\ln{x})^2}\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \ln{x} \)
\( du = \dfrac{dx}{x} \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(25) = \ln{25} = \ln{5^2} = 2\ln{5} \)
\( u(125) = \ln{125} = \ln{5^3} = 3\ln{5} \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{2\ln{5}}^{3\ln{5}} \dfrac{\ln{5}}{u^2}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( -\dfrac{\ln{5}}{u} \right)|_{2\ln{5}}^{3\ln{5}} \)
\( = \left( -\dfrac{\ln{5}}{3\ln{5}} - \left( -\dfrac{\ln{5}}{2\ln{5}} \right) \right) \)
\( = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \) bulunur.