Belirli İntegral
Önceki bölümde bir \( [a, b] \) aralığını böldüğümüz alt aralık sayısını (\( n \)) artırarak (yani \( \Delta x_i \) aralıklarını daraltarak), hesapladığımız Riemann toplamının (\( S_n \)) eğrinin altında kalan gerçek alan değerine (\( A \)) yaklaşmasını sağlayabileceğimizi gösterdik. Buna göre \( n \) sonsuza giderken (yani aralıkların genişliği sıfıra yaklaşırken) Riemann toplamının gerçek alan değerine eşit olacağını söyleyebiliriz.
Buna göre, Riemann toplamı formülünün \( n \) sonsuza giderkenki limiti, fonksiyonun grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alanın gerçek değerine eşit olur.
\( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) olmak üzzere,
\( A = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x_i} \)
\( \Delta x_i \): \( i \). aralığın genişliği
\( x_i^* \): \( i \). aralıkta dikdörtgenin yüksekliğini belirlemek için seçilen \( x \) değeri
\( f(x_i^*) \): \( i \). aralıktaki dikdörtgenin yüksekliği
Yukarıdaki limit bir reel sayı olarak tanımlı ise bu limit değerine \( f \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki Riemann integrali ya da belirli integrali denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir.
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x_i} \)
Bu limit bir reel sayı olarak tanımlıysa fonksiyon bu aralıkta integrali alınabilir bir fonksiyondur.
Bu gösterimdeki \( \int \) sembolü kendisinden sonra gelen fonksiyonun integralinin alınacağını, \( dx \) ifadesi integral alma işleminin \( x \) değişkenine göre yapılacağını, \( a \) ve \( b \) sayıları da integralin alındığı değer aralığını ifade eder.
İntegral işlemindeki \( \int \) sembolünün ve \( dx \) ifadesinin sırasıyla Riemann toplamındaki \( \sum \) ve \( \Delta x \) ile benzerliği dikkate alındığında, integral işlemi genişlikleri sonsuz küçüklükte \( dx \) ve yükseklikleri \( f(x) \) olan sonsuz sayıdaki dikdörtgenin alanlarını toplama işlemi olarak düşünülebilir.
Bir integral işleminde integral değişkeni olarak herhangi bir harf seçilebilir. Buna göre aşağıdaki ifadeler aynı integral işlemini ifade eder.
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_a^b {f(t)\ dt} = \displaystyle\int_a^b {f(u)\ du} \)
İntegrali alınan fonksiyon \( [a, b] \) aralığında sürekli olduğu sürece, yukarıdaki limit değeri Riemann toplamında seçilen aralık genişlikleri ve \( x^* \) değerini belirlemek için kullanılan yöntemden (sol, sağ, orta nokta, alt ya da üst Riemann toplamı) bağımsız olur.
Önceki bölümde gördüğümüz üzere, bir fonksiyonun belirli bir \( [a, b] \) aralığındaki belirli integrali fonksiyonun bu aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan net alanı verir.
Şimdi integralin limit tanımını kullanarak bir örnek yapalım.
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun \( [0, 2] \) aralığındaki integral değerini, integralin limit tanımını ve sağ Riemann toplamı yöntemini kullanarak hesaplayalım.
Önce Riemann toplam formülünü yazalım.
\( S_n = \sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x_i} \)
\( [0, 2] \) aralığını \( n \) eşit aralığa bölelim. Aralıklar eşit genişlikte olduğu için \( \Delta x \) değerini sabit olarak alabiliriz.
\( \Delta x = \dfrac{2 - 0}{n} = \dfrac{2}{n} \)
Sağ Riemann toplamı yönteminde \( i \). aralıkta dikdörtgenin yüksekliği için kullanacağımız \( x_i^* \) değeri aralığın üst sınırının apsis değeri olur.
Buna göre \( i. \) aralığın üst sınırı \( x = 0 \) noktasından \( \Delta x \cdot i \) uzaklıkta olur.
\( x_i^* = 0 + \Delta x \cdot i = \dfrac{2i}{n} \)
\( f(x_i^*) = \left( \dfrac{2i}{n} \right)^2 \)
Bu değerleri Riemann toplam formülünde yerine koyalım.
\( S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {\left( \dfrac{2i}{n} \right)^2\dfrac{2}{n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{\dfrac{8i^2}{n^3}} \)
\( n \) bu ifadede sabit bir sayı olduğu için toplamın dışına alabiliriz.
\( = \dfrac{8}{n^3}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{i^2} \)
Diziler konusunda gördüğümüz toplam formüllerini kullanalım.
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{i^2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
\( = \dfrac{8}{n^3} \cdot \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
\( = \dfrac{8}{n^3} \cdot \dfrac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} \)
\( = \dfrac{8n^3 + 12n^2 + 4n}{3n^3} \)
Hesaplamak istediğimiz belirli integral değeri bu Riemann toplamının \( n \) sonsuza giderkenki limitine eşittir.
\( A = \lim\limits_{n \to \infty} S_n \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{8n^3 + 12n^2 + 4n}{3n^3} \)
Her bir terimin limiti tanımlı olduğu için, limit toplam kuralı ile ifadeyi limitlerin toplamı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{8n^3}{3n^3} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{12n^2}{3n^3} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{4n}{3n^3} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{8}{3} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{4}{n} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{4}{3n^2} \)
\( n \) sonsuza giderken 2. ve 3. terimlerin limiti sıfırdır.
\( = \dfrac{8}{3} + 0 + 0 = \dfrac{8}{3} \)
Buna göre \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun \( [0, 2] \) aralığındaki belirli integral değerini, yani fonksiyonun bu aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı \( \frac{8}{3} \) olarak buluruz.
Aynı örneği sol Riemann toplamı yöntemi ile hesaplayarak aynı sonucu bulup bulmayacağımızı kontrol edelim.
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun \( [0, 2] \) aralığındaki integral değerini, integralin limit tanımını ve sol Riemann toplamı yöntemini kullanarak hesaplayalım.
Sol Riemann toplamı yönteminde \( i. \) aralıkta dikdörtgenin yüksekliği için kullanacağımız \( x_i^* \) değeri aralığın alt sınırının apsis değeri olur.
Buna göre \( i. \) aralığın üst sınırı \( x = 0 \) noktasından \( \Delta x \cdot (i - 1) \) uzaklıkta olur.
\( x_i^* = 0 + \Delta x \cdot (i - 1) = \dfrac{2(i - 1)}{n} \)
\( f(x_i^*) = \left( \dfrac{2(i - 1)}{n} \right)^2 \)
Bu değerleri Riemann toplam formülünde yerine koyalım.
\( S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {\left( \dfrac{2(i - 1)}{n} \right)^2\dfrac{2}{n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{\dfrac{8(i - 1)^2}{n^3}} \)
\( n \) bu ifadede sabit bir sayı olduğu için toplamın dışına alabiliriz.
\( = \dfrac{8}{n^3}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{(i - 1)^2} \)
Diziler konusunda gördüğümüz toplam formüllerini kullanalım.
\( = \dfrac{8}{n^3} \cdot \dfrac{(n - 1)n(2(n - 1) + 1)}{6} \)
\( = \dfrac{8}{n^3} \cdot \dfrac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} \)
\( = \dfrac{8n^3 - 12n^2 + 4n}{3n^3} \)
Hesaplamak istediğimiz belirli integral değeri bu Riemann toplamının \( n \) sonsuza giderkenki limitine eşittir.
\( A = \lim\limits_{n \to \infty} S_n \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{8n^3 - 12n^2 + 4n}{3n^3} \)
Her bir terimin limiti tanımlı olduğu için, limit toplam kuralı ile ifadeyi limitlerin toplamı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{8n^3}{3n^3} - \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{12n^2}{3n^3} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{4n}{3n^3} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{8}{3} - \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{4}{n} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{4}{3n^2} \)
\( n \) sonsuza giderken 2. ve 3. terimlerin limiti sıfırdır.
\( = \dfrac{8}{3} - 0 + 0 = \dfrac{8}{3} \)
Sol Riemann toplamı yöntemi ile de aynı sonucu elde etmiş olduk.
Fonksiyonların İntegralinin Alınabilirliği
Aşağıdaki iki tip fonksiyonun \( [a, b] \) aralığında integrali tanımlıdır, bir diğer ifadeyle yukarıda tanımladığımız limit değeri seçilen aralık genişliğinden ve \( x^* \) değerini belirlemek için kullanılan yöntemden bağımsız olarak aynı sonucu verir.
- Bu aralıkta sürekli olan fonksiyonlar
- Bu aralıkta sonlu sayıda sıçrama süreksizliği olan parçalı fonksiyonlar
\( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonunun \( [1, 9] \) aralığındaki integral değerini, integralin limit tanımını ve sağ Riemann toplamı yöntemini kullanarak hesaplayın.
Çözümü GösterÖnce Riemann toplam formülünü yazalım.
\( S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x_i} \)
\( [1, 9] \) aralığını \( n \) eşit aralığa bölelim. Aralıklar eşit genişlikte olduğu için \( \Delta x \) değerini sabit olarak alabiliriz.
\( \Delta x = \dfrac{9 - 1}{n} = \dfrac{8}{n} \)
Sağ Riemann toplamı yönteminde \( i \). aralıkta dikdörtgenin yüksekliği için kullanacağımız \( x_i^* \) değeri aralığın üst sınırının apsis değeri olur.
Buna göre \( i. \) aralığın üst sınırı \( x = 1 \) noktasından \( \Delta x \cdot i \) uzaklıkta olur.
\( x_i^* = 1 + \Delta x \cdot i = 1 + \dfrac{8i}{n} \)
\( f(x_i^*) = \left( 1 + \dfrac{8i}{n} \right)^2 + 1 \)
\( = 1^2 + 2 \cdot \dfrac{8i}{n} + \left( \dfrac{8i}{n} \right)^2 + 1 \)
\( = \dfrac{64i^2}{n^2} + \dfrac{16i}{n} + 2 \)
Bu değerleri Riemann toplam formülünde yerine koyalım.
\( S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {\left( \dfrac{64i^2}{n^2} + \dfrac{16i}{n} + 2 \right)\dfrac{8}{n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \left( \dfrac{512i^2}{n^3} + \dfrac{128i}{n^2} + \dfrac{16}{n} \right) \)
Toplam işlemini terimlere dağıtabiliriz. Ayrıca \( n \) bu ifadede sabit bir sayı olduğu için toplamın dışına alabiliriz.
\( = \dfrac{512}{n^3}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{i^2} + \dfrac{128}{n^2}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{i} + \dfrac{16}{n}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{1} \)
Diziler konusunda gördüğümüz toplam formüllerini kullanalım.
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{i} = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{i^2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
\( = \dfrac{512}{n^3} \cdot \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \dfrac{128}{n^2} \cdot \dfrac{n(n + 1)}{2} + \dfrac{16}{n} \cdot n \)
İfadeyi tek bir paydada birleştirelim.
\( = \dfrac{1024n^3 + 1536n^2 + 512n}{6n^3} + \dfrac{384n^3 + 384n^2}{6n^3} + \dfrac{96n^3}{6n^3} \)
\( = \dfrac{1504n^3 + 1920n^2 + 512n}{6n^3} \)
Hesaplamak istediğimiz belirli integral değeri bu Riemann toplamının \( n \) sonsuza giderkenki limitine eşittir.
\( A = \lim\limits_{n \to \infty} {S_n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1504n^3 + 1920n^2 + 512n}{6n^3} \)
Her bir terimin limiti tanımlı olduğu için, limit toplam kuralı ile ifadeyi limitlerin toplamı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1504n^3}{6n^3} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1920n^2}{6n^3} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{512n}{6n^3} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{752}{3} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{320}{n} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{256}{3n^2} \)
\( n \) sonsuza giderken 2. ve 3. terimlerin limiti sıfırdır.
\( = \dfrac{752}{3} + 0 + 0 = \dfrac{752}{3} \)
Buna göre \( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonunun \( [1, 9] \) aralığındaki belirli integral değerini, yani fonksiyonun bu aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı \( \dfrac{752}{3} = 250,666... \) olarak buluruz.
Bu değerin aynı zamanda önceki bölümde Riemann toplamı yöntemiyle bulduğumuz tahmini alan değerlerinin yaklaştığı değer olduğunu hatırlatalım.
\( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonunun \( [1, 9] \) aralığındaki integral değerini, integralin limit tanımını ve sol Riemann toplamı yöntemini kullanarak hesaplayın.
Çözümü GösterÖnce Riemann toplam formülünü yazalım.
\( S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x_i} \)
\( [1, 9] \) aralığını \( n \) eşit aralığa bölelim. Aralıklar eşit genişlikte olduğu için \( \Delta x \) değerini sabit olarak alabiliriz.
\( \Delta x = \dfrac{9 - 1}{n} = \dfrac{8}{n} \)
Sol Riemann toplamı yönteminde \( i \). aralıkta dikdörtgenin yüksekliği için kullanacağımız \( x_i^* \) değeri aralığın alt sınırının apsis değeri olur.
Buna göre \( i. \) aralığın üst sınırı \( x = 1 \) noktasından \( \Delta x \cdot (i - 1) \) uzaklıkta olur.
\( x_i^* = 1 + \Delta x \cdot i = 1 + \dfrac{8(i - 1)}{n} \)
\( f(x_i^*) = (1 + \dfrac{8(i - 1)}{n})^2 + 1 \)
\( = 1^2 + 2 \cdot \dfrac{8(i - 1)}{n} + \left( \dfrac{8(i - 1)}{n} \right)^2 + 1 \)
\( = \dfrac{64(i - 1)^2}{n^2} + \dfrac{16(i - 1)}{n} + 2 \)
Bu değerleri Riemann toplam formülünde yerine koyalım.
\( S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {\left( \dfrac{64(i - 1)^2}{n^2} + \dfrac{16(i - 1)}{n} + 2 \right)\dfrac{8}{n}} \)
\( = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \left( \dfrac{512(i - 1)^2}{n^3} + \dfrac{128(i - 1)}{n^2} + \dfrac{16}{n} \right) \)
Toplam işlemini terimlere dağıtabiliriz. Ayrıca \( n \) bu ifadede sabit bir sayı olduğu için toplamın dışına alabiliriz.
\( = \dfrac{512}{n^3}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{(i - 1)^2} + \dfrac{128}{n^2}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{(i - 1)} + \dfrac{16}{n}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{1} \)
Diziler konusunda gördüğümüz toplam formüllerini kullanalım.
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{i} = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{i^2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
\( = \dfrac{512}{n^3} \cdot \dfrac{(n - 1)((n - 1) + 1)(2(n - 1) + 1)}{6} + \dfrac{128}{n^2} \cdot \dfrac{(n - 1)((n - 1) + 1)}{2} + \dfrac{16}{n} \cdot n \)
İfadeyi tek bir paydada birleştirelim.
\( = \dfrac{1024n^3 - 1536n^2 + 512n}{6n^3} + \dfrac{384n^3 - 384n^2}{6n^3} + \dfrac{96n^3}{6n^3} \)
\( = \dfrac{1504n^3 - 1920n^2 + 512n}{6n^3} \)
Hesaplamak istediğimiz belirli integral değeri bu Riemann toplamının \( n \) sonsuza giderkenki limitine eşittir.
\( A = \lim\limits_{n \to \infty} {S_n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1504n^3 - 1920n^2 + 512n}{6n^3} \)
Her bir terimin limiti tanımlı olduğu için, limit toplam kuralı ile ifadeyi limitlerin toplamı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1504n^3}{6n^3} - \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1920n^2}{6n^3} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{512n}{6n^3} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{752}{3} - \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{320}{n} + \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{256}{3n^2} \)
\( n \) sonsuza giderken 2. ve 3. terimlerin limiti sıfırdır.
\( = \dfrac{752}{3} - 0 + 0 = \dfrac{752}{3} \)
Buna göre \( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonunun \( [1, 9] \) aralığındaki belirli integral değerini, yani fonksiyonun bu aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı \( \dfrac{752}{3} = 250,666... \) olarak buluruz.
Bu değerin aynı zamanda önceki bölümde Riemann toplamı yöntemiyle bulduğumuz tahmini alan değerlerinin yaklaştığı değer olduğunu hatırlatalım.