Genelleştirilmiş İntegral
Bir fonksiyonun belirli integralinin alınabilmesi için aşağıdaki iki koşul sağlanmalıdır.
- \( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere, integral \( [a, b] \) şeklinde sonlu ve kapalı bir aralıkta alınmalıdır.
- Fonksiyon bu aralıkta sonsuz süreksizlik içermemelidir, bir diğer ifadeyle fonksiyonun bu aralıktaki tüm değerleri (\( m, M \in \mathbb{R} \) olmak üzere) bir \( f(x) \in [m, M] \) aralığında bulunmalıdır.
Bu iki koşulun sağlanması durumunda fonksiyonun belirli integrali her zaman bir reel sayı olarak tanımlı olur.
Genelleştirilmiş integral ya da diğer adıyla has olmayan integral, bu iki koşuldan birinin sağlanmadığı durumlarda ifadeyi belirli integralini hesaplayabileceğimiz bir forma getirmemizi sağlayan bir yöntemdir.
Genelleştirilmiş integral, her biri yukarıdaki iki koşuldan birinin sağlanmadığı duruma karşılık gelecek şekilde iki tipte olabilir.
- Tip I - Sonsuz integral aralığı: Bu durumda integralin sınır değerlerinden en az biri sonsuzdur. Bir diğer ifadeyle belirli integralde yatay yönde sonsuzluk söz konusudur.
- Tip II - Sonsuz süreksizlik: Bu durumda integral aralığında fonksiyonun sonsuz süreksizlik (ve dikey asimptot) içerdiği bir nokta bulunur. Bir diğer ifadeyle belirli integralde dikey yönde sonsuzluk söz konusudur.
Her iki durumda da amacımız ifadeyi belirli integral koşullarını sağlayan bir forma getirmek ve integral sonucu bir reel sayı olarak tanımlı ise bu değeri bulmaktır. Aşağıda göreceğimiz üzere, genelleştirilmiş integrali belirli integrale dönüştürmek için limit işlemi kullanılır.
Tip I: Sonsuz İntegral Aralığı
Bu integral tipinde integral işleminin sınır değerlerinden en az biri sonsuzdur. İfade bu şekliyle belirli integralin birinci koşulunu sağlamadığı için limit yardımıyla bu koşulu sağlayacak forma getirilir ve ifadenin belirli integrali alınır.
Üst Sınır Değeri Sonsuz
Fonksiyonun integralinin alındığı aralık \( [a, \infty) \) ise ve fonksiyon bu aralıkta sürekli ise genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( f \) fonksiyonu \( [a, \infty) \) aralığında sürekli ise,
\( \displaystyle\int_a^{\infty} {f(x)\ dx} = \lim_{t \to \infty} \displaystyle\int_a^t {f(x)\ dx} \)
Bu eşitlikte (ve aşağıda paylaşacağımız diğer benzer eşitliklerde) sol taraftaki integral bir genelleştirilmiş integral, limit içindeki integral ise belirli integraldir. Burada kullandığımız yöntem; integralin üst sınır değerini reel sayı bir değişken olarak tanımlayarak belirli integrali hesaplamak, daha sonra belirli integral sonucunun bu değişken pozitif sonsuza giderkenki limitini almaktır.
Fonksiyonun bu aralıktaki genelleştirilmiş integrali yukarıdaki limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise tanımlıdır. Limit ifadesi tanımsız ya da sonsuz ise bu aralıkta genelleştirilmiş integral de tanımsızdır.
Bir fonksiyonun bir aralıktaki genelleştirilmiş integrali bir reel sayı olarak tanımlı ise bu integral yakınsaktır, aksi takdirde ıraksaktır. Benzer şekilde, bir genelleştirilmiş integralin yakınsak olması integralin bir reel sayı olarak tanımlı olduğunu, ıraksak olması ise tanımsız ya da sonsuz olduğunu gösterir.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} {e^{-x}\ dx} \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulalım.
İntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} {e^{-x}\ dx} = \lim_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t {e^{-x}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to \infty} (-e^{-x})|_0^t \)
\( = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + e^0) \)
\( t \to \infty \) iken \( e^{-t} = \frac{1}{e^t} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = 0 + 1 = 1 \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri 1'dir.
Alt Sınır Değeri Sonsuz
Fonksiyonun integralinin alındığı aralık \( (-\infty, b] \) ise ve fonksiyon bu aralıkta sürekli ise genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( f \) fonksiyonu \( (-\infty, b] \) aralığında sürekli ise,
\( \displaystyle\int_{-\infty}^b {f(x)\ dx} = \lim_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^b {f(x)\ dx} \)
Fonksiyonun bu aralıktaki genelleştirilmiş integrali yukarıdaki limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise tanımlıdır. Limit ifadesi tanımsız ya da sonsuz ise bu aralıkta genelleştirilmiş integral de tanımsızdır.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 {\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulalım.
İntegralin alt sınırı negatif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 {\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} = \lim_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^0 {\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 1})|_t^0 \)
\( = \lim_{t \to -\infty} (\sqrt{0^2 + 1} - \sqrt{t^2 + 1}) \)
\( t \to -\infty \) iken \( \sqrt{t^2 + 1} \) ifadesi pozitif sonsuza gider.
\( = 1 - \infty = -\infty \)
Buna göre verilen integral ifadesi ıraksaktır.
Her İki Sınır Değeri Sonsuz
Fonksiyonun integralinin alındığı aralık \( (-\infty, \infty) \) ise ve fonksiyon bu aralıkta sürekli ise bu aralıktaki genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( f \) fonksiyonu \( (-\infty, \infty) \) aralığında sürekli ise,
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{-\infty}^c {f(x)\ dx} \) \( + \displaystyle\int_c^{\infty} {f(x)\ dx} \)
Bu tanımda toplamı alınan iki integral, yukarıda tanımladığımız alt ya da üst sınırları sonsuz olan I. tipte genelleştirilmiş integrallerdir.
Formüldeki \( x = c \) noktası \( (a, b) \) aralığında herhangi bir nokta olarak seçilebilir.
\( (-\infty, \infty) \) aralığındaki genelleştirilmiş integralin yakınsak olması için hem \( \int_{-\infty}^c {f(x)\ dx} \) hem de \( \int_c^{\infty} {f(x)\ dx} \) genelleştirilmiş integrali yakınsak olmalıdır. Bu integrallerden en az birinin ıraksak olması durumunda \( \int_{-\infty}^{\infty} {f(x)\ dx} \) genelleştirilmiş integrali de ıraksak olur.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulalım.
İntegralin alt ve üst sınırı sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} = \displaystyle\int_{-\infty}^c {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \) \( + \displaystyle\int_c^{\infty} {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \)
\( c \) değeri olarak \( c = 0 \) seçelim ve \( (-\infty, 0] \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} = \lim_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^0 {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to -\infty} (\arctan{x})|_t^0 \)
\( = \lim_{t \to -\infty} (\arctan{0} - \arctan{t}) \)
\( t \to -\infty \) iken arc tanjant fonksiyonu \( -\frac{\pi}{2} \) değerine yaklaşır.
\( = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \)
\( [0, \infty) \) aralığı için (ikinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} = \lim_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to \infty} (\arctan{x})|_0^t \)
\( = \lim_{t \to \infty} (\arctan{t} - \arctan{0}) \)
\( t \to \infty \) iken arc tanjant fonksiyonu \( \frac{\pi}{2} \) değerine yaklaşır.
\( = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \)
\( (-\infty, \infty) \) aralığı için genelleştirilmiş integrali bulmak için \( (-\infty, 0] \) ve \( [0, \infty) \) aralıkları için bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \pi \)'dir.
Tip II: Sonsuz Süreksizlik
Bu integral tipinde fonksiyon \( [a, b] \) kapalı aralığındaki bir \( x = c \) noktasında sonsuz süreksizlik içerir, aralıktaki diğer tüm noktalarda ise süreklidir. İfade bu şekliyle belirli integralin ikinci koşulunu sağlamadığı için limit yardımıyla bu koşulu sağlayacak forma getirilir ve belirli integrali alınır.
Üst Sınır Noktası Süreksiz
Fonksiyonun sonsuz süreksizlik içerdiği nokta integralin üst sınır noktası ise genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( f \) fonksiyonu \( x = b \) noktasında sonsuz süreksizlik içeriyorsa,
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \lim_{t \to b^-} \displaystyle\int_a^t {f(x)\ dx} \)
Bu eşitlikte (ve aşağıda paylaşacağımız diğer benzer eşitliklerde) sol taraftaki integral bir genelleştirilmiş integral, limit içindeki integral ise belirli integraldir. Burada kullandığımız yöntem; sonsuz süreksizliğe sahip integralin üst sınır değerini reel sayı bir değişken olarak tanımlayarak belirli integrali hesaplamak, daha sonra belirli integral sonucunun bu değişken integralin üst sınır değerine soldan yaklaşırkenki limitini almaktır.
Fonksiyonun bu aralıktaki genelleştirilmiş integrali yukarıdaki limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise tanımlıdır. Limit ifadesi tanımsız ya da sonsuz ise bu aralıkta genelleştirilmiş integral de tanımsızdır.
\( \displaystyle\int_0^3 {\dfrac{1}{\sqrt{6 - 2x}}\ dx} \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulalım.
İntegralin üst sınır değeri olan \( x = 3 \) değeri paydayı sıfır yaptığı için bu noktada sonsuz süreksizlik oluşur, bu yüzden üst sınır noktası sonsuz süreksizlik içeren II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^3 {\dfrac{1}{\sqrt{6 - 2x}}\ dx} = \lim_{t \to 3^-} \displaystyle\int_0^t {\dfrac{1}{\sqrt{6 - 2x}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to 3^-} (-\sqrt{6 - 2x})|_0^t \)
\( = \lim_{t \to 3^-} (-\sqrt{6 - 2t} + \sqrt{6 - 2(0)}) \)
\( t \to 3^- \) iken \( \sqrt{6 - 2t} \) ifadesi 0'a yaklaşır.
\( = 0 + \sqrt{6} = \sqrt{6} \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \sqrt{6} \) dır.
Alt Sınır Noktası Süreksiz
Fonksiyonun sonsuz süreksizlik içerdiği nokta integralin alt sınır noktası ise genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında sonsuz süreksizlik içeriyorsa,
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \lim_{t \to a^+} \displaystyle\int_t^b {f(x)\ dx} \)
Fonksiyonun bu aralıktaki genelleştirilmiş integrali yukarıdaki limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise tanımlıdır. Limit ifadesi tanımsız ya da sonsuz ise bu aralıkta genelleştirilmiş integral de tanımsızdır.
\( \displaystyle\int_1^e {\dfrac{1}{x(\ln{x})^2}\ dx} \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulalım.
İntegralin alt sınır değeri olan \( x = 1 \) değeri \( \ln{x} \) ifadesini ve paydayı sıfır yaptığı için bu noktada sonsuz süreksizlik oluşur, bu yüzden alt sınır noktası sonsuz süreksizlik içeren II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_1^e {\dfrac{1}{x(\ln{x})^2}\ dx} = \lim_{t \to 1^+} \displaystyle\int_t^e {\dfrac{1}{x(\ln{x})^2}\ dx} \)
\( u = \ln{x} \) ve \( du = \frac{1}{x}\ dx \) değişken değiştirmesi ile ifadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to 1^+} (-\dfrac{1}{\ln{x}})|_t^e \)
\( = \lim_{t \to 1^+} (-\dfrac{1}{\ln{e}} + \dfrac{1}{\ln{t}}) \)
\( t \to 1^+ \) iken \( \ln{t} \) ifadesi 0'a pozitif taraftan yaklaşır, dolayısıyla \( \frac{1}{\ln{t}} \) ifadesi pozitif sonsuza gider.
\( = -1 + \infty = +\infty \)
Buna göre verilen integral ifadesi ıraksaktır.
Ara Bir Nokta Süreksiz
Fonksiyonun sonsuz süreksizlik içerdiği nokta \( (a, b) \) açık aralığında bir \( x = c \) noktası ise genelleştirilmiş integral aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) açık aralığında bir \( x = c \) noktasında sonsuz süreksizlik içeriyorsa,
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_a^c {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_c^b {f(x)\ dx} \)
Bu tanımda toplamı alınan iki integral, yukarıda tanımladığımız sonsuz süreksizlik içeren II. tipte genelleştirilmiş integrallerdir.
Tanımdaki \( x = c \) noktası I. tipte olduğu gibi \( (a, b) \) aralığında seçilen herhangi bir nokta değil, sonsuz süreksizliğin oluştuğu noktadır.
İntegral aralığındaki ara bir noktada süreksizlik içeren bir genelleştirilmiş integralin yakınsak olması için hem \( \int_a^c {f(x)\ dx} \) hem de \( \int_c^b {f(x)\ dx} \) genelleştirilmiş integrali yakınsak olmalıdır. Bu integrallerden en az birinin ıraksak olması durumunda \( \int_a^b {f(x)\ dx} \) integrali de ıraksak olur.
\( \displaystyle\int_0^9 {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulalım.
İntegral aralığında ara bir nokta olan \( x = 1 \) değeri paydayı sıfır yaptığı için bu noktada sonsuz süreksizlik oluşur, bu yüzden ara bir noktası sonsuz süreksizlik içeren II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
Formüldeki \( c \) değeri sonsuz süreksizliğin oluştuğu \( x = 1 \) değeri olur.
\( \displaystyle\int_0^9 {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} = \displaystyle\int_0^1 {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} \) \( + \displaystyle\int_1^9 {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} \)
\( [0, 1) \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_0^1 {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} = \lim_{t \to 1^-} \displaystyle\int_0^t {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to 1^-} (3\sqrt[3]{x - 1})|_0^t \)
\( = \lim_{t \to 1^-} (3\sqrt[3]{t - 1} - 3\sqrt[3]{0 - 1}) \)
\( t \to 1^- \) iken \( \sqrt[3]{t - 1} \) ifadesi 0'a yaklaşır.
\( = 0 - (-3) = 3 \)
\( (1, 9] \) aralığı için (ikinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_1^9 {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} = \lim_{t \to 1^+} \displaystyle\int_t^9 {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to 1^+} (3\sqrt[3]{x - 1})|_t^9 \)
\( = \lim_{t \to 1^+} (3\sqrt[3]{9 - 1} - 3\sqrt[3]{t - 1}) \)
\( t \to 1^+ \) iken \( \sqrt[3]{t - 1} \) ifadesi 0'a yaklaşır.
\( = 6 - 0 = 6 \)
\( [0, 9] \) aralığı için genelleştirilmiş integrali bulmak için \( [0, 1) \) ve \( (1, 9] \) aralıkları için bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.
\( \displaystyle\int_0^9 {\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x - 1)^2}}\ dx} = 3 + 6 = 9 \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri 9'dur.
Her ne kadar kullanılan integral sembolleri aynı olsa da, genelleştirilmiş integral belirli integralden farklı bir işlemdir. I. tipte genelleştirilmiş integralde sınır değerlerinden en az biri sonsuz olduğu için bu integralin belirli integralden ayırt edilmesi kolaydır, ancak II. tipte böyle bir ayrım söz konusu olmadığı için dikkatli olunmalı ve sonsuz süreksizlik içeren bir aralıkta genelleştirilmiş integral yerine belirli integral alınmamalıdır.
İntegral aralığında sonsuz süreksizliğe sahip bir noktayı gözden kaçırmamız durumunda nasıl yanlış sonuç elde edebileceğimizi bir örnekle gösterelim.
\( \displaystyle\int_0^{\pi} \tan{x}\ dx \) integralinin sonucunu bulalım.
Tanjant fonksiyonunun verilen aralıkta sonsuz süreksizlik içerdiği gerçeğini gözden kaçırdığımızı varsayarak ifadenin integralini önce (hatalı bir şekilde) normal belirli integral yöntemi ile alalım.
\( \displaystyle\int_0^{\pi} \tan{x}\ dx = (\ln{\abs{\sec{x}}})|_0^\pi \)
\( = \ln{\abs{\sec{\pi}}} - \ln{\abs{\sec{0}}} \)
\( = \ln{\abs{-1}} - \ln{\abs{1}} \)
\( = \ln{1} - \ln{1} \)
\( = 0 - 0 = 0 \)
Her ne kadar reel sayı bir sonuç elde etmiş olsak da, tanjant fonksiyonu bu aralıktaki \( x = \frac{\pi}{2} \) noktasında sonsuz süreksizlik içerir, dolayısıyla integrali belirli integral yerine genelleştirilmiş integral yöntemi ile almamız gerekir.
Ara bir noktası sonsuz süreksizlik içeren II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
Formüldeki \( c \) değeri sonsuz süreksizliğin oluştuğu \( x = \frac{\pi}{2} \) değeri olur.
\( \displaystyle\int_0^{\pi} \tan{x}\ dx = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan{x}\ dx \) \( + \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \tan{x}\ dx \)
\( [0, \frac{\pi}{2}) \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan{x}\ dx = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}^-} \displaystyle\int_0^t \tan{x}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}^-} (\ln{\abs{\sec{x}}})|_0^t \)
\( = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}^-} (\ln{\abs{\sec{t}}} - \ln{\abs{\sec{0}}}) \)
\( = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}^-} (\ln{\abs{\sec{t}}} - \ln{\abs{1}}) \)
\( = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}^-} \ln{\abs{\sec{t}}} \)
Aşağıdaki sekant grafiğinde görebileceğimiz üzere, \( t \to \frac{\pi}{2}^- \) iken \( \sec{t} \) ifadesi pozitif sonsuza gider, dolayısıyla doğal logaritma ifadesi de pozitif sonsuza gider.
\( = +\infty \)
\( [0, \frac{\pi}{2}) \) aralığında pozitif sonsuz sonucu elde ettiğimiz için \( (\frac{\pi}{2}, \pi] \) aralığı için benzer bir hesaplama yapmamıza gerek yoktur.
Verilen integral ifadesi ıraksaktır.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} \cos{x}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} \cos{x}\ dx = \lim_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t \cos{x}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim_{t \to \infty} (\sin{x})|_0^t \)
\( = \lim_{t \to \infty} (\sin{t} - \sin{0}) \)
\( = \lim_{t \to \infty} \sin{t} \)
Sinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyon olduğu için \( t \to \infty \) iken belirli bir değere yaklaşmaz, dolayısıyla limiti tanımsızdır.
Buna göre verilen integral ifadesi ıraksaktır.
Verilen ifadeyi belirli integralin alan anlamı açısından düşündüğümüzde, periyodik bir fonksiyonun \( x \) ekseni ile arasında kalan alanın \( x \) sonsuza giderken kesin bir değeri olamayacağını görebiliriz.
\( \displaystyle\int_{e}^{\infty} \dfrac{6}{x\ln^4{x}}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{e}^{\infty} \dfrac{6}{x\ln^4{x}}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_{e}^{t} \dfrac{6}{x\ln^4{x}}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = \ln{x} \) ve \( du = \dfrac{1}{x}\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{2}{\ln^3{x}})|_{e}^{t} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{2}{\ln^3{t}} - (-\dfrac{2}{\ln^3{e}})) \)
\( t \to \infty\) iken \( -\dfrac{2}{\ln^3{t}} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-0 - (-\dfrac{2}{1^3})) \)
\( = 2 \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 2 \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \dfrac{4e^x}{e^{2x} + 1}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin alt sınırı negatif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 \dfrac{4e^x}{e^{2x} + 1}\ dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^0 \dfrac{4e^x}{e^{2x} + 1}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = e^x \) ve \( du = e^x\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (4\arctan{e^x})|_t^0 \)
\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (4\arctan{e^0} - 4\arctan{e^t}) \)
\( \arctan{e^0} = \arctan{1} = \dfrac{\pi}{4} \)
\( t \to -\infty \) iken \( e^t \) ifadesi sıfıra pozitif taraftan yaklaşır.
\( e^t \to 0^+ \) iken \( \arctan{e^t} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
Buna göre yukarıdaki limit ifadesinin sonucu aşağıdaki gibi olur.
\( = 4 \cdot \dfrac{\pi}{4} - 4 \cdot 0 \)
\( = \pi \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \pi \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_3^{\infty} \dfrac{4}{x^2 - 4}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_3^{\infty} \dfrac{4}{x^2 - 4}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_{3}^{t} \dfrac{4}{x^2 - 4}\ dx \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_3^t \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)}\ dx \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_3^t (\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2})\ dx \)
Kesirlerin ayrı ayrı integrallerini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{x - 2}} - \ln{\abs{x + 2}})|_3^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{\dfrac{x - 2}{x + 2}}})|_3^t \)
\( t \to \infty \) iken pay ve payda pozitif olacağı için mutlak değeri kaldırabiliriz.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{x - 2}{x + 2}})|_3^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{t - 2}{t + 2}} - \ln{\dfrac{3 - 2}{3 + 2}}) \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{t(1 - \frac{2}{t})}{t(1 + \frac{2}{t})}} - \ln{\dfrac{1}{5}}) \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{1 - \frac{2}{t}}{1 + \frac{2}{t}}} + \ln{5}) \)
\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{2}{t} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = \ln{1} + \ln{5} \)
\( = \ln{5} \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \ln{5} \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_2^{\infty} -\dfrac{7}{(2x + 3)(3x + 1)}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_2^{\infty} -\dfrac{7}{(2x + 3)(3x + 1)}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_2^t -\dfrac{7}{(2x + 3)(3x + 1)}\ dx \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_2^t (\dfrac{2}{2x + 3} - \dfrac{3}{3x + 1})\ dx \)
Kesirlerin ayrı ayrı integrallerini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{2x + 3}} - \ln{\abs{3x + 1}})|_2^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\abs{\dfrac{2x + 3}{3x + 1}}})|_2^t \)
\( t \to \infty \) iken pay ve payda pozitif olacağı için mutlak değeri kaldırabiliriz.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{2x + 3}{3x + 1}})|_2^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{2t + 3}{3t + 1}}- \ln{\dfrac{4 + 3}{6 + 1}}) \)
İlk terimin limitini bulmak için ifadeyi düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{2t + 3}{3t + 1}} = \lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{t(2 + \frac{3}{t})}{t(3 + \frac{1}{t})}} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{2 + \frac{3}{t}}{3 + \frac{1}{t}}} \)
\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{3}{t} \) ve \( \dfrac{1}{t} \) ifadeleri sıfıra yaklaşır.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{2 + 0}{3 + 0}} = \ln{\dfrac{2}{3}} \)
Buna göre yukarıdaki limit ifadesinin sonucu aşağıdaki gibi olur.
\( = \ln{\dfrac{2}{3}} - \ln{1} \)
\( = \ln{\dfrac{2}{3}} \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \ln{\dfrac{2}{3}} \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} (\dfrac{4}{1 + x} - \dfrac{8x}{1 + 2x^2})\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} (\dfrac{4}{1 + x} - \dfrac{8x}{1 + 2x^2})\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t (\dfrac{4}{1 + x} - \dfrac{8x}{1 + 2x^2})\ dx \)
Kesirlerin ayrı ayrı integrallerini alalım.
İkinci terimin integralini alınırken \( u = 1 + 2x^2 \) ve \( du = 4x\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (4\ln{\abs{1 + x}} - 2\ln{\abs{1 + 2x^2}})|_0^t \)
\( t \to \infty \) iken pay ve payda pozitif olacağı için mutlak değeri kaldırabiliriz.
\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{(1 + x)^2}{1 + 2x^2}})|_0^t \)
\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{(1 + t)^2}{1 + 2t^2}} - \ln{\dfrac{(1 + 0)^2}{1 + 2(0)^2}}) \)
\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} (\ln{\dfrac{1 + 2t + t^2}{1 + 2t^2}} - \ln{1}) \)
\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{t^2 + 2t + 1}{2t^2 + 1}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{t^2(1 + \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2})}{t^2(2 + \frac{1}{t^2})}} \)
\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{1 + \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}}{2 + \frac{1}{t^2}}} \)
\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{2}{t} \) ve \( \dfrac{1}{t^2} \) ifadeleri sıfıra yaklaşır.
\( = 2\lim\limits_{t \to \infty} \ln{\dfrac{1}{2}} \)
\( = -2\ln{2} \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( -2\ln{2} \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{5x^{0,99}}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin alt sınır değeri olan \( x = 0 \) değeri paydayı sıfır yaptığı için bu noktada sonsuz süreksizlik oluşur, bu yüzden alt sınır noktası sonsuz süreksizlik içeren II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{5x^{0,99}}\ dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \displaystyle\int_t^1 \dfrac{1}{5x^{0,99}}\ dx \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} \displaystyle\int_t^1 \dfrac{1}{5x^{\frac{99}{100}}}\ dx \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} \displaystyle\int_t^1 \dfrac{1}{5\sqrt[100]{x^{99}}}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (\dfrac{100\sqrt[100]{x}}{5})|_t^1 \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (20\sqrt[100]{1} - 20\sqrt[100]{t}) \)
\( t \to 0^+ \) iken \( \sqrt[100]{t} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = 20 - 0 = 20 \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 20 \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin alt ve üst sınırı sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx = \displaystyle\int_{-\infty}^c \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \) \( + \displaystyle\int_c^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \)
\( c \) değeri olarak \( c = 0 \) seçelim ve \( (-\infty, 0] \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^0 \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = x^4 + 4 \) ve \( du = 4x^3\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (-\dfrac{3}{x^4 + 4})|_t^0 \)
\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (-\dfrac{3}{0^4 + 4} - (-\dfrac{3}{t^4 + 4})) \)
\( t \to -\infty \) iken \( \dfrac{3}{t^4 + 4} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = -\dfrac{3}{4} + 0 = -\dfrac{3}{4} \)
\( [0, \infty) \) aralığı için (ikinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{3}{x^4 + 4})|_0^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{3}{t^4 + 4} - (-\dfrac{3}{0^4 + 4})) \)
\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{3}{t^4 + 4} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = 0 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\)
\( (-\infty, \infty) \) aralığı için genelleştirilmiş integrali bulmak için \( (-\infty, 0] \) ve \( [0, \infty) \) aralıkları için bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{12x^3}{(x^4 + 4)^2}\ dx = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} = 0 \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 0 \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_5^{\infty} 4xe^{-2x}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin üst sınırı pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_5^{\infty} 4xe^{-2x}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_5^{t} 4xe^{-2x}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = x \) ve \( dv = e^{-x}\ dx \) olmak üzere kısmi integral yöntemini kullanalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-2xe^{-2x} - e^{-2x})|_5^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} [(-2te^{-2t} - e^{-2t}) - (-10e^{-10} - e^{-10})] \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-e^{-2t}(2t + 1) + 11e^{-10}) \)
\( \lim\limits_{t \to 0^+} -e^{-2t}(2t + 1) \) limitini bulmak için önce ifadeyi \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği içerecek şekilde düzenleyelim.
\( \lim\limits_{t \to \infty} -e^{-2t}(2t + 1) = \lim\limits_{t \to \infty} - \dfrac{2t + 1}{e^{2t}} = \dfrac{\infty}{\infty} \)
Belirsizliği gidermek için L'Hospital kuralını kullanalım ve payın/paydanın türevini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} -e^{-2t} \)
\( t \to \infty \) iken \( e^{-2t} = \dfrac{1}{e^{2t}} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
Buna göre yukarıdaki limit ifadesinin sonucu aşağıdaki gibi olur.
\( = 0 + 11e^{-10} \)
\( = 11e^{-10} \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 11e^{-10} \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin alt ve üst sınırı sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx = \displaystyle\int_{-\infty}^c 3x^5e^{-x^6}\ dx \) \( + \displaystyle\int_c^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx \)
\( c \) değeri olarak \( c = 0 \) seçelim ve \( (-\infty, 0] \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^0 3x^5e^{-x^6}\ dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \displaystyle\int_t^0 3x^5e^{-x^6}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = -x^6 \) ve \( du = -6x^5\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (-\dfrac{e^{-x^6}}{2})|_t^0 \)
\( = \lim\limits_{t \to -\infty} (-\dfrac{e^{-0^6}}{2} - (-\dfrac{e^{-t^6}}{2})) \)
\( t \to -\infty \) iken \( \dfrac{e^{-t^6}}{2} = \dfrac{1}{2e^{t^6}} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = -\dfrac{1}{2} + 0 = -\dfrac{1}{2} \)
\( [0, \infty) \) aralığı için (ikinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t 3x^5e^{-x^6}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{e^{-x^6}}{2})|_0^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\dfrac{e^{-t^6}}{2} - (-\dfrac{e^{-0^6}}{2})) \)
\( t \to \infty \) iken \( \dfrac{e^{-t^6}}{2} = \dfrac{1}{2e^{t^6}} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = 0 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)
\( (-\infty, \infty) \) aralığı için genelleştirilmiş integrali bulmak için \( (-\infty, 0] \) ve \( [0, \infty) \) aralıkları için bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} 3x^5e^{-x^6}\ dx = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0 \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 0 \)'dır.
\( \displaystyle\int_0^{2e} 2x^3\ln(2x)\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin alt sınır değeri olan \( x = 0 \) değeri \( \ln(2x) \) ifadesini tanımsız yaptığı için bu noktada sonsuz süreksizlik oluşur, bu yüzden alt sınır noktası sonsuz süreksizlik içeren II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^{2e} 2x^3\ln(2x)\ dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \displaystyle\int_t^{2e} 2x^3\ln(2x)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = \ln(2x) \) ve \( dv = 2x^3\ dx \) olmak üzere kısmi integral yöntemini kullanalım.
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (\dfrac{x^4\ln(2x)}{2} - \dfrac{x^4}{8})|_t^{2e} \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} [(\dfrac{(2e)^4\ln(4e)}{2} - \dfrac{(2e)^4}{8}) - (\dfrac{t^4\ln(2t)}{2} - \dfrac{t^4}{8})] \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (8e^4(\ln{4} + 1) - 2e^4 - \dfrac{t^4\ln(2t)}{2} + \dfrac{t^4}{8}) \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (8e^4\ln{4} + 6e^4 - \dfrac{t^4\ln(2t)}{2} + \dfrac{t^4}{8}) \)
\( t \to 0^+ \) iken \( \dfrac{t^4}{8} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{t^4\ln(2t)}{2} \) limitini bulmak için önce ifadeyi \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği içerecek şekilde düzenleyelim.
\( \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{t^4\ln(2t)}{2} = \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{\ln(2t)}{2 \cdot \frac{1}{t^4}} = \dfrac{\infty}{\infty} \)
Belirsizliği gidermek için L'Hospital kuralını kullanalım ve payın/paydanın türevini alalım.
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{(\ln(2t))'}{(2 \cdot \frac{1}{t^4})'} \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} (-\dfrac{t^4}{8}) \)
\( t \to +0 \) iken \( -\dfrac{t^4}{8} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
Buna göre yukarıdaki limit ifadesinin sonucu aşağıdaki gibi olur.
\( = 8e^4\ln{4} + 6e^4 - 0 + 0 \)
\( = 2e^4(4\ln{4} + 3) \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 2e^4(4\ln{4} + 3) \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(x^2 + 1)(\arccot(x) + 1)}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegralin üst sınır değeri pozitif sonsuz olduğu için I. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(x^2 + 1)(\arccot(x) + 1)}\ dx = \lim\limits_{t \to \infty} \displaystyle\int_0^t \dfrac{1}{(x^2 + 1)(\arccot(x) + 1)}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = \arccot(x) + 1 \) ve \( du = -\dfrac{1}{x^2 + 1}\ dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\ln{\abs{\arccot{x} + 1}})|_0^t \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (-\ln{\abs{\arccot{t} + 1}} - (-\ln{\abs{\arccot{0} + 1}})) \)
\( t \to \infty \) iken \( \arccot{t} \) ifadesi \( 0 \) değerine yaklaşır.
\( \arccot{0} = \dfrac{\pi}{2} \)
\( = -\ln{1} + \ln(\dfrac{\pi}{2} + 1) \)
\( = -0 + \ln{(\frac{\pi}{2} + 1)} \)
\( = \ln(\dfrac{\pi}{2} + 1) \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( \ln(\dfrac{\pi}{2} + 1) \) olarak bulunur.
\( \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt[4]{(x + 1)^2}}\ dx \) integralinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise integral değerini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegrali düzenleyelim.
\( \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt[4]{(x + 1)^2}}\ dx = \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \)
İntegral aralığında ara bir nokta olan \( x = -1 \) değeri paydayı sıfır yaptığı için bu noktada sonsuz süreksizlik oluşur, bu yüzden ara bir noktası sonsuz süreksizlik içeren II. tipte genelleştirilmiş integral formülünü kullanalım.
Formüldeki \( c \) değeri sonsuz süreksizliğin oluştuğu \( x = -1 \) değeri olur.
\( \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \displaystyle\int_{-10}^{-1} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \) \( + \displaystyle\int_{-1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \)
\( [-10, -1) \) aralığı için (birinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_{-10}^{-1} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \lim\limits_{t \to -1^-} \displaystyle\int_{-10}^t \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( [-10, -1) \) aralığı için:
\( \lim\limits_{t \to -1^-} \displaystyle\int_{-10}^t \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \lim\limits_{t \to -1^-} \displaystyle\int_{-10}^t \dfrac{1}{\sqrt{-x - 1}}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = -x - 1 \) ve \( du = -dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( = \lim\limits_{t \to -1^-} (-2\sqrt{-x - 1})|_{-10}^t \)
\( = \lim\limits_{t \to -1^-} (-2\sqrt{-t - 1} - (-2\sqrt{-(-10) - 1})) \)
\( t \to -1^- \) iken \( 2\sqrt{-t - 1} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = 0 + 2\sqrt{9} = 6 \)
\( [-1, 15) \) aralığı için (ikinci terim) genelleştirilmiş integral formülünü yazalım.
\( \displaystyle\int_{-1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \lim\limits_{t \to -1^+} \displaystyle\int_t^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( (-1, 15] \) aralığı için:
\( \lim\limits_{t \to -1^+} \displaystyle\int_{-1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\abs{x + 1}}}\ dx = \lim\limits_{t \to -1^+} \displaystyle\int_{-1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{x + 1}}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( u = x + 1 \) ve \( du = dx \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( = \lim\limits_{t \to -1^+} (2\sqrt{x + 1})|_t^{15} \)
\( = \lim\limits_{t \to -1^+} (2\sqrt{15 + 1} - 2\sqrt{t + 1}) \)
\( t \to -1^+ \) iken \( 2\sqrt{t + 1} \) ifadesi sıfıra yaklaşır.
\( = 2\sqrt{16} - 0 = 8 \)
\( [-10, 15] \) aralığı için genelleştirilmiş integrali bulmak için \( [-10, -1) \) ve \( (-1, 15] \) aralıkları için bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.
\( \displaystyle\int_{-10}^{15} \dfrac{1}{\sqrt[4]{(x + 1)^2}}\ dx = 6 + 8 = 14 \)
Buna göre verilen integral ifadesi yakınsaktır ve değeri \( 14 \) olarak bulunur.