Trigonometrik Değişken Değiştirme Yöntemi
Konu tekrarı için: Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali | Değişken Değiştirme Yöntemi
Trigonometrik değişken değiştirme yönteminde, aşağıdaki tablodaki üç köklü ifadeden birini içeren integral ifadelerine belirtilen şekilde değişken değiştirme uygulanır ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadenin integrali kolay alınabilir bir forma gelmesi sağlanır.
Bu yöntemde verilen integral ifadesi trigonometrik bir fonksiyon içermezken değişken değiştirme sonrasında trigonometrik bir ifadeye dönüşür.
| Köklü İfade | Değişken Değiştirme | Özdeşlik | \( \theta \) Tanım Aralığı |
|---|---|---|---|
| \( \sqrt{a^2 - b^2x^2} \) | \( x = \frac{a}{b}\sin{\theta} \) | \( \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} \) | \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) |
| \( \sqrt{a^2 + b^2x^2} \) | \( x = \frac{a}{b}\tan{\theta} \) | \( \sec^2{\theta} = 1 + \tan^2{\theta} \) | \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) |
| \( \sqrt{b^2x^2 - a^2} \) | \( x = \frac{a}{b}\sec{\theta} \) | \( \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1 \) | \( [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} \) |
Bu yöntem bir belirsiz integrale aşağıdaki şekilde uygulanır.
- Kök içindeki ifadenin formuna göre yukarıdaki tabloda belirtilen şekilde değişken değiştirilir.
- Yine tabloda belirtilen trigonometrik özdeşlik kullanılarak ifade kökten kurtarılır.
- Kökten mutlak değer içinde çıkan trigonometrik ifadeyi mutlak değerden kurtarmak için fonksiyonun pozitif değer aldığı aralık dikkate alınır.
- Elde edilen ifade düzenlenerek integrali kolay alınabilir bir forma getirilir ve integrali alınır.
- \( \theta \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır. Bu noktada değeri bilinmeyen trigonometrik fonksiyonlar için bir açısı \( \theta \) olan bir dik üçgen çizilir.
Bu yöntem bir belirli integrale uygulanırken aşağıdaki ek noktalara dikkat edilmelidir.
- Trigonometrik ifadenin belirli integral aralığındaki işaretine göre ifade mutlak değerden pozitif ya da negatif işaretli çıkarılır.
- Belirli integral \( \theta \) ya da (ifade tekrar \( x \) değişkeni cinsinden yazılarak) \( x \) değişkenine göre alınabilir.
Bu yöntem genellikle bu üç ifadenin kök içinde bulunduğu durumlarda kullanılıyor olsa da, kök içinde bulunmadığı durumlarda da kullanılabilir.
\( \sqrt{a^2 - b^2x^2} \) İçeren İfadeler
İntegrali alınan ifade \( \sqrt{a^2 - b^2x^2} \) ifadesi içeriyorsa \( x = \frac{a}{b}\sin{\theta} \) şeklinde değişken değiştirilir ve \( \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} \) özdeşliği kullanılarak ifade kökten kurtarılır.
Bu formdaki ifadelerin belirsiz integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int {\sqrt{4 - x^2}\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
Kök içindeki ifadeyi \( a^2 - b^2x^2 \) ifadesine benzetelim.
\( a^2 - b^2x^2 = 4 - x^2 \)
\( a = 2, \quad b = 1, \quad \dfrac{a}{b} = 2 \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = 2\sin{\theta}, \quad dx = 2\cos{\theta}\ d\theta \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {\sqrt{4 - x^2}\ dx} = \displaystyle\int {\sqrt{4 - (2\sin{\theta})^2}(2\cos{\theta})\ d\theta} \)
\( = 2\displaystyle\int {\sqrt{4 - 4\sin^2{\theta}}\cos{\theta}\ d\theta} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = 2\displaystyle\int {\sqrt{4(1 - \sin^2{\theta})}\cos{\theta}\ d\theta} \)
\( = 2\displaystyle\int {\sqrt{4\cos^2{\theta}}\cos{\theta}\ d\theta} \)
\( = 2\displaystyle\int {2\abs{\cos{\theta}}\cos{\theta}\ d\theta} \)
\( \cos{\theta} \ge 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( = 4\displaystyle\int {\cos^2{\theta}\ d\theta} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos^2{\theta} = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)
\( = 2\displaystyle\int {(1 + \cos(2\theta))\ d\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 2\theta + \sin(2\theta) + C \)
Adım 4: \( \theta \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = 2\theta + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + C \)
\( \theta \) değerini bulalım.
\( \sin{\theta} = \dfrac{x}{2} \)
\( \theta = \arcsin{\dfrac{x}{2}} \)
Bir açısı \( \theta \) ve \( \sin{\theta} = \frac{x}{2} \) olan bir dik üçgen çizerek \( \theta \) açısının diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
\( \cos{\theta} = \dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{2} \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( = 2\arcsin{\dfrac{x}{2}} + 2 \cdot \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{2} + C \)
\( = 2\arcsin{\dfrac{x}{2}} + \dfrac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C \)
Bu formdaki ifadelerin belirli integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{3}{4}} {\dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 4x^2}}\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
Kök içindeki ifadeyi \( a^2 - b^2x^2 \) ifadesine benzetelim.
\( a^2 - b^2x^2 = 9 - 4x^2 \)
\( a = 3, \quad b = 2, \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{2} \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = \dfrac{3}{2}\sin{\theta}, \quad dx = \dfrac{3}{2}\cos{\theta}\ d\theta \)
Belirli integralin \( \theta \) için sınır değerlerini bulalım.
Sinüs fonksiyonu tersi alınabilir bir fonksiyon olarak \( \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığında tanımlıdır, dolayısıyla seçeceğimiz \( \theta \) değerleri bu aralıkta olmalıdır.
\( x = 0 \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( 0 = \dfrac{3}{2}\sin{\theta} \)
\( \sin{\theta} = 0 \)
\( \theta = 0 \)
\( x = \frac{3}{4} \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}\sin{\theta} \)
\( \sin{\theta} = \dfrac{1}{2} \)
\( \theta = \dfrac{\pi}{6} \)
Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{3}{4}} {\dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 4x^2}}\ dx} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{(\frac{3}{2}\sin{\theta})^2}{\sqrt{9 - 4(\frac{3}{2}\sin{\theta})^2}}\left( \dfrac{3}{2}\cos{\theta} \right)\ d\theta} \)
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{\sqrt{9 - 9\sin^2{\theta}}}\ d\theta} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{\sqrt{9(1 - \sin^2{\theta})}}\ d\theta} \)
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{\sqrt{9\cos^2{\theta}}}\ d\theta} \)
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{3\abs{\cos{\theta}}}\ d\theta} \)
\( \cos{\theta} \) ifadesi \( [0, \frac{\pi}{6}] \) aralığında pozitif olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( = \dfrac{9}{8}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {\sin^2{\theta}\ d\theta} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin^2{\theta} = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \)
\( = \dfrac{9}{16}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {(1 - \cos(2\theta))\ d\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{9}{16}\theta - \dfrac{9}{32}\sin(2\theta) \right)|_0^{\frac{\pi}{6}} \)
\( = \left( \dfrac{9}{16}\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{9}{32}\sin\left( 2 \cdot \dfrac{\pi}{6} \right) \right) - \left( \dfrac{9}{16}(0) - \dfrac{9}{32}\sin(2(0)) \right) \)
\( = \left( \dfrac{9\pi}{96} - \dfrac{9\sqrt{3}}{64} \right) - (0 - 0) \)
\( = \dfrac{9\pi}{96} - \dfrac{9\sqrt{3}}{64} \)
Alternatif olarak ifade tekrar \( x \) değişkeni cinsinden yazılarak belirli integral \( x \in [0, \frac{3}{4}] \) aralığında alınabilir.
\( \sqrt{a^2 + b^2x^2} \) İçeren İfadeler
İntegrali alınan ifade \( \sqrt{a^2 + b^2x^2} \) ifadesi içeriyorsa \( x = \frac{a}{b}\tan{\theta} \) şeklinde değişken değiştirilir ve \( \sec^2{\theta} = 1 + \tan^2{\theta} \) özdeşliği kullanılarak ifade kökten kurtarılır.
Bu formdaki ifadelerin belirsiz integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int {x\sqrt{9 + x^2}\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
Kök içindeki ifadeyi \( a^2 + b^2x^2 \) ifadesine benzetelim.
\( a^2 + b^2x^2 = 9 + x^2 \)
\( a = 3, \quad b = 1, \quad \dfrac{a}{b} = 3 \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = 3\tan{\theta}, \quad dx = 3\sec^2{\theta}\ d\theta \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {x\sqrt{9 + x^2}\ dx} = \displaystyle\int {3\tan{\theta}\sqrt{9 + (3\tan{\theta})^2}(3\sec^2{\theta})\ d\theta} \)
\( = 9\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^2{\theta}\sqrt{9 + 9\tan^2{\theta}}\ d\theta} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = 9\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^2{\theta}\sqrt{9(1 + \tan^2{\theta})}\ d\theta} \)
\( = 9\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^2{\theta}\sqrt{9\sec^2{\theta}}\ d\theta} \)
\( = 9\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^2{\theta}(3\abs{\sec{\theta}})\ d\theta} \)
\( \sec{\theta} \ge 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( = 27\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^3{\theta}\ d\theta} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
Trigonometrik integral bölümünde gördüğümüz yöntemi kullanarak tanjant ve sekant ifadelerinin birer kuvvetini ayıralım.
\( = 27\displaystyle\int {\sec^2{\theta}\tan{\theta}\sec{\theta}\ d\theta} \)
\( (\sec{\theta})' = \tan{\theta}\sec{\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 9\sec^3{\theta} + C \)
Adım 4: \( \theta \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( \theta \) değerini bulalım.
\( \tan{\theta} = \dfrac{x}{3} \)
\( \theta = \arctan{\dfrac{x}{3}} \)
Bir açısı \( \theta \) ve \( \tan{\theta} = \frac{x}{3} \) olan bir dik üçgen çizerek \( \theta \) açısının diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
\( \sec{\theta} = \dfrac{\sqrt{9 + x^2}}{3} \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( = 9\left( \dfrac{\sqrt{9 + x^2}}{3} \right)^3 + C \)
\( = \dfrac{\sqrt{(9 + x^2)^3}}{3} + C \)
\( \sqrt{b^2x^2 - a^2} \) İçeren İfadeler
İntegrali alınan ifade \( \sqrt{x^2 - b^2a^2} \) ifadesi içeriyorsa \( x = \frac{a}{b}\sec{\theta} \) şeklinde değişken değiştirilir ve \( \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1 \) özdeşliği kullanılarak ifade kökten kurtarılır.
Bu formdaki ifadelerin belirsiz integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{x^3\sqrt{x^2 - 1}}\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
Kök içindeki ifadeyi \( b^2x^2 - a^2 \) ifadesine benzetelim.
\( b^2x^2 - a^2 = x^2 - 1 \)
\( a = 1, \quad b = 1, \quad \dfrac{a}{b} = 1 \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = \sec{\theta}, \quad dx = \tan{\theta}\sec{\theta}\ d\theta \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{x^3\sqrt{x^2 - 1}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{(\sec{\theta})^3\sqrt{(\sec{\theta})^2 - 1}}\tan{\theta}\sec{\theta}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sec^2{\theta}\sqrt{\sec^2{\theta} - 1}}\ dx} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sec^2{\theta}\sqrt{\tan^2{\theta}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sec^2{\theta}\abs{\tan{\theta}}}\ dx} \)
\( \tan{\theta} \ge 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sec^2{\theta}}\ dx} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
\( = \displaystyle\int {\cos^2{\theta}\ dx} \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta))\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin(2\theta)}{4} + C \)
Adım 4: \( \theta \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin{\theta}\cos{\theta}}{2} + C \)
\( \theta \) değerini bulalım.
\( \sec{\theta} = x \)
\( \theta = \arcsec{x} \)
Bir açısı \( \theta \) ve \( \sec{\theta} = x \) olan bir dik üçgen çizerek \( \theta \) açısının diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
\( \sin{\theta} = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} \)
\( \cos{\theta} = \dfrac{1}{x} \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( = \dfrac{\arcsec{x}}{2} + \dfrac{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\frac{1}{x}}{2} + C \)
\( = \dfrac{\arcsec{x}}{2} + \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{2x^2} + C \)
Bu formdaki ifadelerin belirli integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}} {\dfrac{x}{\sqrt{4x^2 - 1}}\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
Kök içindeki ifadeyi \( b^2x^2 - a^2 \) ifadesine benzetelim.
\( b^2x^2 - a^2 = 4x^2 - 1 \)
\( a = 1, \quad b = 2, \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2} \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = \dfrac{1}{2}\sec{\theta}, \quad dx = \dfrac{1}{2}\tan{\theta}\sec{\theta}\ d\theta \)
Belirli integralin \( \theta \) için sınır değerlerini bulalım.
Sekant fonksiyonu tersi alınabilir bir fonksiyon olarak \( \theta \in [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} \) aralığında tanımlıdır, dolayısıyla seçeceğimiz \( \theta \) değerleri bu aralıkta olmalıdır.
\( x = -1 \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( -1 = \dfrac{1}{2}\sec{\theta} \)
\( \sec{\theta} = -2 \)
\( \theta = \dfrac{2\pi}{3} \)
\( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}\sec{\theta} \)
\( \sec{\theta} = -\dfrac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \theta = \dfrac{5\pi}{6} \)
Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}} {\dfrac{x}{\sqrt{4x^2 - 1}}\ dx} = \displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} {\dfrac{\frac{1}{2}\sec{\theta}}{\sqrt{4(\frac{1}{2}\sec{\theta})^2 - 1}}\left( \dfrac{1}{2}\tan{\theta}\sec{\theta} \right)\ d\theta} \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} {\dfrac{\tan{\theta}\sec^2{\theta}}{\sqrt{\sec^2{\theta} - 1}}\ d\theta} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} {\dfrac{\tan{\theta}\sec^2{\theta}}{\sqrt{\tan^2{\theta}}}\ d\theta} \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} {\dfrac{\tan{\theta}\sec^2{\theta}}{\abs{\tan{\theta}}}\ d\theta} \)
\( \tan{\theta} \) ifadesi \( [\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}] \) aralığında negatif olduğu için mutlak değerden ters işaretli çıkar.
\( = -\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} {\sec^2{\theta}\ d\theta} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( -\dfrac{\tan{\theta}}{4} \right)|_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} \)
\( = -\dfrac{\tan{\frac{5\pi}{6}}}{4} - \left( -\dfrac{\tan{\frac{2\pi}{3}}}{4} \right) \)
\( = -\dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{4} + \dfrac{-\sqrt{3}}{4} \)
\( = -\dfrac{\sqrt{3}}{6} \)
Son bir yorum olarak, trigonometrik değişken değiştirme yöntemi daha önce kullandığımız değişken değiştirme yöntemlerinden farklı bir yöntemdir. \( x \) değişkenine bağlı bir ifadede standart değişken değiştirme yönteminde \( u = g(x) \) şeklinde değişken değiştirilirken ters değişken değiştirme olarak da adlandırılabilecek bu yöntemde \( x = g(\theta) \) şeklinde değişken değiştirilir.
Standart değişken değiştirme:
\( \displaystyle\int f(g(x))g'(x)\ dx \)
\( u = g(x), \quad du = g'(x)\ dx \)
\( \displaystyle\int f(u)\ du \)
Trigonometrik (ters) değişken değiştirme:
\( \displaystyle\int f(x)\ dx \)
\( x = g(\theta), \quad dx = g'(\theta)\ d\theta \)
\( \displaystyle\int f(g(\theta))g'(\theta)\ d\theta \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{3}{x\sqrt{x^2 - 9}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterKök içindeki ifadeyi \( b^2x^2 - a^2 \) ifadesine benzetelim.
\( b^2x^2 - a^2 = x^2 - 9 \)
\( a = 3, \quad b = 1, \quad \dfrac{a}{b} = 3 \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = 3\sec{\theta}, \quad dx = 3\tan{\theta}\sec{\theta}\ d\theta \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{3}{x\sqrt{x^2 - 9}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{3}{3\sec{\theta}\sqrt{(3\sec{\theta})^2 - 9}}(3\tan{\theta}\sec{\theta})\ d\theta} \)
\( = 3\displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}\sec{\theta}}{\sec{\theta}\sqrt{9\sec^2{\theta} - 9}}\ d\theta} \)
\( = 3\displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sqrt{9\sec^2{\theta} - 9}}\ d\theta} \)
\( = 3\displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sqrt{9(\sec^2{\theta} - 1)}}\ d\theta} \)
Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = 3\displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sqrt{9\tan^2{\theta}}}\ d\theta} \)
\( = 3\displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{3\abs{\tan{\theta}}}\ d\theta} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\abs{\tan{\theta}}}\ d\theta} \)
\( \tan{\theta} \ge 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( = \displaystyle\int {1\ d\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \theta + C \)
\( \theta \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( \theta \) değerini bulalım.
\( \sec{\theta} = \dfrac{x}{3} \)
\( \theta = \arcsec{\dfrac{x}{3}} \)
Bulduğumuz değeri yerine koyalım.
\( = \arcsec{\dfrac{x}{3}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{16}{\sqrt{(16 + x^2)^3}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterKök içindeki ifadeyi \( a^2 + b^2x^2 \) ifadesine benzetelim.
\( a^2 + b^2x^2 = 16 + x^2 \)
\( a = 4, \quad b = 1, \quad \dfrac{a}{b} = 4 \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = 4\tan{\theta}, \quad dx = 4\sec^2{\theta}\ d\theta \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{16}{\sqrt{(16 + x^2)^3}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{16}{\sqrt{(16 + (4\tan{\theta})^2)^3}}(4\sec^2{\theta})\ d\theta} \)
\( = 64\displaystyle\int {\dfrac{\sec^2{\theta}}{\sqrt{(16 + 16\tan^2{\theta})^3}}\ d\theta} \)
Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = 64\displaystyle\int {\dfrac{\sec^2{\theta}}{\sqrt{(16(1 + \tan^2{\theta}))^3}}\ d\theta} \)
\( = 64\displaystyle\int {\dfrac{\sec^2{\theta}}{\sqrt{(16\sec^2{\theta})^3}}\ d\theta} \)
\( = 64\displaystyle\int {\dfrac{\sec^2{\theta}}{64\abs{\sec^3{\theta}}}\ d\theta} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sec^2{\theta}}{\abs{\sec^3{\theta}}}\ d\theta} \)
\( \sec{\theta} \ge 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sec{\theta}}\ d\theta} \)
\( = \displaystyle\int {\cos{\theta}\ d\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \sin{\theta} + C \)
\( \theta \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( \theta \) değerini bulalım.
\( \tan{\theta} = \dfrac{x}{4} \)
\( \theta = \arctan{\dfrac{x}{4}} \)
Bir açısı \( \theta \) ve \( \tan{\theta} = \frac{x}{4} \) olan bir dik üçgen çizerek \( \theta \) açısının diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
\( \sin{\theta} = \dfrac{x}{\sqrt{16 + x^2}} \)
Bulduğumuz değeri yerine koyalım.
\( = \dfrac{x}{\sqrt{16 + x^2}} + C \)
\( \displaystyle\int_{-\frac{7}{4}}^{\frac{7}{8}} {\dfrac{1}{\sqrt{49 - 16x^2}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterKök içindeki ifadeyi \( a^2 - b^2x^2 \) ifadesine benzetelim.
\( a^2 - b^2x^2 = 49 - 16x^2 \)
\( a = 7, \quad b = 4, \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{7}{4} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = \dfrac{7}{4}\sin{\theta}, \quad dx = \dfrac{7}{4}\cos{\theta}\ d\theta \)
Belirli integralin \( \theta \) için sınır değerlerini bulalım.
Sinüs fonksiyonu tersi alınabilir bir fonksiyon olarak \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığında tanımlıdır, dolayısıyla seçeceğimiz \( \theta \) değerleri bu aralıkta olmalıdır.
\( x = -\frac{7}{4} \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( -\dfrac{7}{4} = \dfrac{7}{4}\sin{\theta} \)
\( \sin{\theta} = -1 \)
\( \theta = -\dfrac{\pi}{2} \)
\( x = \frac{7}{8} \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( \dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{4}\sin{\theta} \)
\( \sin{\theta} = \dfrac{1}{2} \)
\( \theta = \dfrac{\pi}{6} \)
Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_{-\frac{7}{4}}^{\frac{7}{8}} {\dfrac{1}{\sqrt{49 - 16x^2}}\ dx} = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{1}{\sqrt{49 - 16(\frac{7}{4}\sin{\theta})^2}}\left( \dfrac{7}{4}\cos{\theta} \right)\ d\theta} \)
\( = \dfrac{7}{4}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\cos{\theta}}{\sqrt{49 - 49\sin^2{\theta}}}\ d\theta} \)
Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = \dfrac{7}{4}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\cos{\theta}}{\sqrt{49(1 - \sin^2{\theta})}}\ d\theta} \)
\( = \dfrac{7}{4}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\cos{\theta}}{\sqrt{49\cos^2{\theta}}}\ d\theta} \)
\( = \dfrac{7}{4}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\cos{\theta}}{7\abs{\cos{\theta}}}\ d\theta} \)
\( \cos{\theta} \) ifadesi \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}] \) aralığında pozitif olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\cos{\theta}}{\cos{\theta}}\ d\theta} \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} {1\ d\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{\theta}{4}|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} \)
\( = \dfrac{\pi}{6 \cdot 4} - \left( -\dfrac{\pi}{2 \cdot 4} \right) \)
\( = \dfrac{\pi}{6} \) bulunur.