Doğrunun Simetriği
Konu tekrarı için: Simetri Tipleri | Noktanın Simetriği
Bir doğrunun eksenlere, bir doğruya ya da bir noktaya göre simetriğini bulmak için o doğrunun denklemindeki değişkenlere belirli dönüşümler uygulanır.
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri noktasına göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Benzer şekilde; bir doğrunun diğer bir doğruya göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Bir doğrunun kendisine göre simetriği yine kendisi olur.
Bir doğrunun bir noktaya ya da diğer bir doğruya göre simetriğinin aynı nokta ya da doğruya göre ikinci kez simetriği alındığında orijinal doğru elde edilir.
Bir doğrunun farklı simetrileri için uygulanması gereken dönüşümler aşağıda belirtilmiştir.
\( x \) Eksenine Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( x \) eksenine göre simetriği alınırken denklemde \( y \) işaret değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( y \longmapsto -y \)
\( d': ax - by + c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( x - 2(-y) - 2 = 0 \)
\( x + 2y - 2 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( x \) eksenine göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
Bir doğrunun diğer bir doğruya (eksene) göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Noktanın simetriği sayfasında ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, bir \( A(a, b) \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği alınırken apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(a, -b) \)
Bunu tersten ifade edersek, \( d' \) doğrusu üzerindeki her simetrik \( A'(x, y) \) noktasının \( x \) eksenine göre tekrar simetriği alındığında \( d \) doğrusu üzerindeki \( A(x, -y) \) noktası elde edilir.
\( A(x, -y) \) noktaları \( d \) doğrusu üzerinde oldukları için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( d: a(x) + b(-y) + c = 0 \)
Buna göre \( A'(x, y) \) noktalarının geometrik yeri, yani \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': ax - by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktanın bu eksene göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( x \) eksenini aynı noktada keser.
\( y \) Eksenine Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( y \) eksenine göre simetriği alınırken denklemde \( x \) işaret değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( x \longmapsto -x \)
\( d': -ax + by + c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (-x) - 2y - 2 = 0 \)
\( -x - 2y - 2 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y \) eksenine göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
Bir doğrunun diğer bir doğruya (eksene) göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Noktanın simetriği sayfasında ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, bir \( A(a, b) \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği alınırken ordinat aynı kalır, apsis işaret değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-a, b) \)
Bunu tersten ifade edersek, \( d' \) doğrusu üzerindeki her simetrik \( A'(x, y) \) noktasının \( y \) eksenine göre tekrar simetriği alındığında \( d \) doğrusu üzerindeki \( A(-x, y) \) noktası elde edilir.
\( A(-x, y) \) noktaları \( d \) doğrusu üzerinde oldukları için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( d: a(-x) + b(y) + c = 0 \)
Buna göre \( A'(x, y) \) noktalarının geometrik yeri, yani \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': -ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y \) eksenini kestiği noktanın bu eksene göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( y \) eksenini aynı noktada keser.
Orijine Göre
Bir \( d \) doğrusunun orijine göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) işaret değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( x \longmapsto -x, \quad y \longmapsto -y \)
\( d': -ax - by + c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (-x) - 2(-y) - 2 = 0 \)
\( -x + 2y - 2 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun orijine göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri noktasına göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Noktanın simetriği sayfasında ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, bir \( A(a, b) \) noktasının orijine göre simetriği alınırken apsis ve ordinat işaret değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-a, -b) \)
Bunu tersten ifade edersek, \( d' \) doğrusu üzerindeki her simetrik \( A'(x, y) \) noktasının orijine göre tekrar simetriği alındığında \( d \) doğrusu üzerindeki \( A(-x, -y) \) noktası elde edilir.
\( A(-x, -y) \) noktaları \( d \) doğrusu üzerinde oldukları için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( d: a(-x) + b(-y) + c = 0 \)
Buna göre \( A'(x, y) \) noktalarının geometrik yeri, yani \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': -ax - by + c = 0 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin katsayılarının oranı değişmediği için, doğrunun kendisinin ve simetriğinin eğimleri aynı olur (doğrular paralel olur).
\( y = x \) Doğrusuna Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) yer değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( x \longmapsto y, \quad y \longmapsto x \)
\( d': ay + bx + c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d': y - 2x - 2 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
Bir doğrunun diğer bir doğruya göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Noktanın simetriği sayfasında ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, bir \( A(a, b) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınırken apsis ve ordinat yer değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(b, a) \)
Bunu tersten ifade edersek, \( d' \) doğrusu üzerindeki her simetrik \( A'(x, y) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre tekrar simetriği alındığında \( d \) doğrusu üzerindeki \( A(y, x) \) noktası elde edilir.
\( A(y, x) \) noktaları \( d \) doğrusu üzerinde oldukları için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( d: a(y) + b(x) + c = 0 \)
Buna göre \( A'(x, y) \) noktalarının geometrik yeri, yani \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': ay + bx + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = x \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( y = x \) doğrusunu aynı noktada keser.
\( y = -x \) Doğrusuna Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) işaret ve yer değiştirir.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( x \longmapsto -y, \quad y \longmapsto -x \)
\( d': -ay - bx + c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (-y) - 2(-x) - 2 = 0 \)
\( -y + 2x - 2 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
Bir doğrunun diğer bir doğruya göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Noktanın simetriği sayfasında ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, bir \( A(a, b) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınırken apsis ve ordinat işaret ve yer değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-b, -a) \)
Bunu tersten ifade edersek, \( d' \) doğrusu üzerindeki her simetrik \( A'(x, y) \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre tekrar simetriği alındığında \( d \) doğrusu üzerindeki \( A(-y, -x) \) noktası elde edilir.
\( A(-y, -x) \) noktaları \( d \) doğrusu üzerinde oldukları için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( d: a(-y) + b(-x) + c = 0 \)
Buna göre \( A'(x, y) \) noktalarının geometrik yeri, yani \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': -ay - bx + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = -x \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( y = -x \) doğrusunu aynı noktada keser.
Bir Noktaya Göre
Bir \( d \) doğrusunun \( S(m, n) \) noktasına göre simetriği alınırken denklemde \( x \) yerine \( 2m - x \), \( y \) yerine \( 2n - y \) yazılır.
\( d: ax + by + c = 0 \)
Simetri noktası: \( S(m, n) \)
\( x \longmapsto 2m - x, \quad y \longmapsto 2n - y \)
\( d': a(2m - x) + b(2n - y) + c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
Simetri noktası: \( S(1, 2) \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (2(1) - x) - 2(2(2) - y) - 2 = 0 \)
\( 2 - x - 8 + 2y - 2 = 0 \)
\( x - 2y + 8 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun bir \( S(m, n) \) noktasına göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri noktasına göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Noktanın simetriği sayfasında ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, bir \( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre simetriği alınırken \( x \) yerine \( 2m - x \), \( y \) yerine \( 2n - y \) yazılır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, 2n - b) \)
Bunu tersten ifade edersek, \( d' \) doğrusu üzerindeki her simetrik \( A'(x, y) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre tekrar simetriği alındığında \( d \) doğrusu üzerindeki \( A(2m - x, 2n - y) \) noktası elde edilir.
\( A(2m - x, 2n - y) \) noktaları \( d \) doğrusu üzerinde oldukları için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( d: a(2m - x) + b(2n - y) + c = 0 \)
Buna göre \( A'(x, y) \) noktalarının geometrik yeri, yani \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': a(2m - x) + b(2n - y) + c = 0 \)
\( d \) ve \( d' \) doğrularının eğimi aynı olur, \( d' \) doğrusunun denkleminde \( d \) doğrusuna göre sadece sabit terim değişir.
Alternatif bir yöntem olarak, \( d \) doğrusu üzerindeki bir noktanın \( S \) noktasına göre simetriği olan nokta bulunur. Daha sonra bu noktadan geçen ve eğimi \( d \) doğrusunun eğimi ile aynı olan doğrunun denklemi yazılır.
\( y = n \) Doğrusuna Göre
Bir \( d \) doğrusunun yatay bir \( y = n \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( y \) yerine \( 2n - y \) yazılır.
\( d: ax + by + c = 0 \)
Simetri doğrusu: \( y = n \)
\( y \longmapsto 2n - y \)
\( d': ax + b(2n - y) + c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
Simetri doğrusu: \( y = 3 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( x - 2(2(3) - y) - 2 = 0 \)
\( x - 12 + 2y - 2 = 0 \)
\( x + 2y - 14 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = n \) doğrusuna göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
Bir doğrunun diğer bir doğruya göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Noktanın simetriği sayfasında ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, bir \( A(a, b) \) noktasının \( y = n \) doğrusuna göre simetriği alınırken noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı apsis değerli noktaya göre simetriği alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(a, 2n - b) \)
Bunu tersten ifade edersek, \( d' \) doğrusu üzerindeki her simetrik \( A'(x, y) \) noktasının \( y = n \) doğrusuna göre tekrar simetriği alındığında \( d \) doğrusu üzerindeki \( A(x, 2n - y) \) noktası elde edilir.
\( A(x, 2n - y) \) noktaları \( d \) doğrusu üzerinde oldukları için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( d: a(x) + b(2n - y) + c = 0 \)
Buna göre \( A'(x, y) \) noktalarının geometrik yeri, yani \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': ax + b(2n - y) + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( y = n \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( y = n \) doğrusunu aynı noktada keser.
\( x = m \) Doğrusuna Göre
Bir \( d \) doğrusunun dikey bir \( x = m \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) yerine \( 2m - x \) yazılır.
\( d: ax + by + c = 0 \)
Simetri doğrusu: \( x = m \)
\( x \longmapsto 2m - x \)
\( d': a(2m - x) + by + c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
Simetri doğrusu: \( x = 4 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( (2(4) - x) - 2y - 2 = 0 \)
\( 8 - x - 2y - 2 = 0 \)
\( x + 2y - 6 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( x = m \) doğrusuna göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
Bir doğrunun diğer bir doğruya göre simetriği, doğrunun üzerindeki her noktanın simetri doğrusuna göre simetriği olan noktalardan oluşur.
Noktanın simetriği sayfasında ispatıyla birlikte gösterdiğimiz üzere, bir \( A(a, b) \) noktasının \( x = m \) doğrusuna göre simetriği alınırken noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı ordinat değerli noktaya göre simetriği alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, b) \)
Bunu tersten ifade edersek, \( d' \) doğrusu üzerindeki her simetrik \( A'(x, y) \) noktasının \( x = m \) doğrusuna göre tekrar simetriği alındığında \( d \) doğrusu üzerindeki \( A(2m - x, y) \) noktası elde edilir.
\( A(2m - x, y) \) noktaları \( d \) doğrusu üzerinde oldukları için koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( d: a(2m - x) + b(y) + c = 0 \)
Buna göre \( A'(x, y) \) noktalarının geometrik yeri, yani \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': a(2m - x) + by + c = 0 \)
\( d \) doğrusunun \( x = m \) doğrusunu kestiği noktanın bu doğruya göre simetriği aynı nokta olacağı için, doğrunun kendisi ve simetriği \( x = m \) doğrusunu aynı noktada keser.
Paralel Bir Doğruya Göre
Bir \( d \) doğrusunun kendisine paralel olan bir \( d_s \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde sadece sabit terime dönüşüm uygulanır. Sabit terim dışında \( d \) doğrusunun ve simetriğinin eğimi aynı olur.
\( d: ax + by + c = 0 \)
\( d_s: ax + by + c_s = 0 \)
\( c \longmapsto 2c_s - c \)
\( d': ax + by + 2c_s - c = 0 \)
\( d: x - 2y - 2 = 0 \)
\( d_s: x - 2y + 3 = 0 \)
\( d' \) doğrusunun denklemi:
\( 2c_s - c = 2(3) - (-2) = 8 \)
\( x - 2y + 8 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( d \) doğrusu tanımlayalım.
\( d: ax + by + c = 0 \)
Simetri doğrusuna \( d_s \) diyelim.
Simetri doğrusu \( d \) doğrusuna paralel olduğu için iki doğrunun \( a \) ve \( b \) katsayıları aynıdır.
\( d_s: ax + by + c_s = 0 \)
\( d \) doğrusunun simetri doğrusuna göre simetriği olan doğruya \( d' \) diyelim.
\( d \) doğrusunun paralel simetri doğrusuna göre simetriği olan doğru da bu iki doğruya paralel olur, dolayısıyla \( a \) ve \( b \) katsayıları diğeri iki doğru ile aynı olur. Buna göre \( d' \) doğrusunun denklemini bulmak için \( c' \) sabit terimini bulmalıyız.
\( d': ax + by + c' = 0 \)
\( d \) doğrusu üzerinde herhangi bir \( (x_d, y_d) \) noktası alalım. Bu noktanın koordinatları \( d \) doğrusunun denklemini sağlar.
\( ax_d + by_d + c = 0 \)
\( ax_d + by_d = -c \)
Bu noktanın \( d_s \) doğrusuna göre simetriği olan noktaya \( (x', y') \) diyelim. Bu noktanın koordinatları \( d' \) doğrusunun denklemini sağlar.
\( ax' + by' + c' = 0 \)
\( ax' + by' = -c' \)
\( (x_d, y_d) \) ve \( (x', y') \) noktalarının orta noktası \( d_s \) doğrusu üzerinde olmalıdır. Bu orta noktanın koordinatları \( d_s \) doğrusunun denklemini sağlar.
\( a\left( \dfrac{x_d + x'}{2} \right) + b\left( \dfrac{y_d + y'}{2} \right) + c_s = 0 \)
\( \dfrac{a(x_d + x')}{2} + \dfrac{b(y_d + y')}{2} + c_s = 0 \)
\( \dfrac{ax_d + ax' + by_d + by'}{2} + c_s = 0 \)
\( \dfrac{(ax_d + by_d) + (ax' + by')}{2} + c_s = 0 \)
Parantez içindeki ifadeler yerine yukarıda bulduğumuz değerleri yazalım.
\( \dfrac{(-c) + (-c')}{2} + c_s = 0 \)
\( c' = 2c_s - c \)
Buna göre \( d' \) doğrusunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( d': ax + by + 2c_s - c = 0 \)
\( d: 2x + y + 1 = 0 \) doğrusunun aşağıdaki eksenler ve doğrulara göre simetriğini bulunuz.
(a) \( x \) eksenine göre
(b) \( y \) eksenine göre
(c) orijine göre
(d) \( y = x \) doğrusuna göre
(e) \( y = -x \) doğrusuna göre
(f) \( S(-4, 1) \) noktasına göre
(g) \( y = 3 \) doğrusuna göre
(h) \( x = -7 \) doğrusuna göre
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Bir doğrunun \( x \) eksenine göre simetriği alınırken denklemde \( y \) işaret değiştirir.
\( d: 2x + y + 1 = 0 \)
\( y \longmapsto -y \)
\( d': 2x + (-y) + 1 = 0 \)
\( d': 2x - y + 1 = 0 \)
(b) seçeneği:
Bir doğrunun \( y \) eksenine göre simetriği alınırken denklemde \( x \) işaret değiştirir.
\( d: 2x + y + 1 = 0 \)
\( x \longmapsto -x \)
\( d': 2(-x) + y + 1 = 0 \)
\( d': -2x + y + 1 = 0 \)
(c) seçeneği:
Bir doğrunun orijine göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) işaret değiştirir.
\( d: 2x + y + 1 = 0 \)
\( x \longmapsto -x, \quad y \longmapsto -y \)
\( d': 2(-x) + (-y) + 1 = 0 \)
\( d': -2x - y + 1 = 0 \)
(d) seçeneği:
Bir doğrunun \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) yer değiştirir.
\( d: 2x + y + 1 = 0 \)
\( x \longmapsto y, \quad y \longmapsto x \)
\( d': 2y + x + 1 = 0 \)
(e) seçeneği:
Bir doğrunun \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği alınırken denklemde \( x \) ve \( y \) işaret ve yer değiştirir.
\( d: 2x + y + 1 = 0 \)
\( x \longmapsto -y, \quad y \longmapsto -x \)
\( d': 2(-y) + (-x) + 1 = 0 \)
\( d': -2y - x + 1 = 0 \)
(f) seçeneği:
Bir doğrunun \( S(m, n) \) noktasına göre simetriği alınırken aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( d: 2x + y + 1 = 0 \)
\( x \longmapsto 2m - x, \quad y \longmapsto 2n - y \)
Simetri noktası \( S(-4, 1) \) olmak üzere,
\( d': 2(2(-4) - x) + (2(1) - y) + 1 = 0 \)
\( d': -2x - y - 13 = 0 \)
(g) seçeneği:
Bir doğrunun yatay bir \( y = n \) doğrusuna göre simetriği alınırken aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( d: 2x + y + 1 = 0 \)
\( y \longmapsto 2n - y \)
Simetri doğrusu \( y = 3 \) olmak üzere,
\( d': 2x + (2(3) - y) + 1 = 0 \)
\( d': 2x - y + 7 = 0 \)
(h) seçeneği:
Bir doğrunun dikey bir \( x = m \) doğrusuna göre simetriği alınırken aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( d: 2x + y + 1 = 0 \)
\( x \longmapsto 2m - x \)
Simetri doğrusu \( x = -7 \) olmak üzere,
\( d': 2(2(-7) - x) + y + 1 = 0 \)
\( d': -2x + y - 27 = 0 \)