İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
İki doğrunun birbirine göre durumu üç şekilde olabilir.
- Doğrular tek bir noktada kesişir.
- Bunun özel bir durumu olarak, doğrular dik kesişir.
- Doğrular çakışıktır.
- Doğrular paraleldir.
Bu bölümde bu durumları aşağıda denklemleri verilen iki doğru üzerinden inceleyeceğiz.
\( d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)
\( b_1 \ne 0 \) ise,
\( m_1 = -\dfrac{a_1}{b_1} \)
\( d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)
\( b_2 \ne 0 \) ise,
\( m_2 = -\dfrac{a_2}{b_2} \)
Kesişen Doğrular
Eğimleri tanımlı ve farklı iki doğru tek bir noktada kesişir. Ayrıca biri düşey diğeri düşey olmayan iki doğru da tek bir noktada kesişir.
Düşey olmayan iki doğrunun tek bir noktada kesişme koşulu:
\( m_1 \ne m_2 \)
Bu aynı zamanda doğruların kapalı denklemlerinde \( x \) ve \( y \) katsayılarının oranlarının farklı olması anlamına gelir.
\( \dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2} \)
Bu koşul düşey denklemleri de kapsayacak şekilde aşağıdaki şekilde de yazılabilir.
\( a_1b_2 - a_2b_1 \ne 0 \)
\( d_1: 2x - 5y + 3 = 0 \)
\( d_2: 3x + 2y - 6 = 0 \)
\( \dfrac{2}{3} \ne \dfrac{-5}{2} \)
Katsayıların oranları farklı olduğu için iki doğru tek bir noktada kesişir.
Dik Kesişen Doğrular
Tek bir noktada kesişen doğruların özel bir durumu olarak, düşey olmayan iki doğru dik (aralarındaki açı 90° olacak şekilde) kesişiyorsa eğimleri çarpımı \( -1 \) olur. Bu ifadenin karşıtı da doğrudur, yani iki doğrunun eğimleri çarpımı \( -1 \) ise bu doğrular dik kesişir.
\( d_1 \) ve \( d_2 \) iki doğru, \( m_1, m_2 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( d_1 \perp d_2 \Longleftrightarrow m_1m_2 = -1 \)
\( d_1: 3x + 2y - 4 = 0 \)
\( m_1 = -\dfrac{3}{2} \)
\( d_2: 2x - 3y + 3 = 0 \)
\( m_2 = -\dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3} \)
\( m_1m_2 = -\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = -1 \)
Doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olduğu için iki doğru tek bir noktada ve dik kesişir.
İSPATI GÖSTER
Bir çift yönlü koşullu önermeyi ispatlamak için her iki yöndeki koşullu önermeyi ayrı ayrı ispatlamalıyız.
İspat 1: \( (\Longrightarrow) \)
\( d_1 \perp d_2 \Longrightarrow m_1m_2 = -1 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının dik kesiştiğini kabul edelim.
Eğimleri \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğru çizelim. İşlem kolaylığı açısından bu doğruların orijinden geçtiğini varsayalım. Doğruların kesişim noktaları koordinat düzleminde herhangi bir noktaya taşındığında doğruların eğimleri değişmeyeceği için çarpımları da aynı kalacaktır.
\( C(1, 0) \) noktasından \( x \) eksenine dik bir doğru çizelim. \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 \) olduğu için bu doğrunun \( d_1 \) doğrusunu kestiği noktanın koordinatları \( A(1, m_1) \) olur.
\( m_1 = \dfrac{m_1}{1} \)
Benzer şekilde, \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 \) olduğu için bu doğrunun \( d_2 \) doğrusunu kestiği noktanın koordinatları \( B(1, m_2) \) olur.
Dik \( OCA \) üçgeninin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
\( \abs{OA}^2 = 1^2 + m_1^2 \)
\( \abs{OA} = \sqrt{1^2 + m_1^2} \)
Aynı şekilde dik \( OCB \) üçgeninin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
\( \abs{OB}^2 = 1^2 + m_2^2 \)
\( \abs{OB} = \sqrt{1^2 + m_2^2} \)
\( OBA \) üçgeni de dik üçgen olduğu için hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
\( \abs{AB}^2 = \abs{OA}^2 + \abs{OB}^2 \)
\( \abs{m_1 - m_2}^2 = (\sqrt{1^2 + m_1^2})^2 + (\sqrt{1^2 + m_2^2})^2 \)
\( m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2 = 1^2 + m_1^2 + 1^2 + m_2^2 \)
İki taraftaki ortak terimleri sadeleştirdiğimizde dik doğruların eğimlerinin çarpımını -1 olarak buluruz.
\( -2m_1m_2 = 2 \)
\( m_1m_2 = -1 \)
Buna göre \( d_1 \perp d_2 \) ise \( m_1m_2 = -1 \) olur.
İspat 2: \( (\Longleftarrow) \)
\( d_1 \perp d_2 \Longleftarrow m_1m_2 = -1 \)
Doğruların eğimleri çarpımının \( -1 \) olduğunu kabul edelim.
Doğruların eğim açılarına sırasıyla \( \alpha_1 \) ve \( \alpha_2 \) diyelim.
Bir doğrunun eğim açısının tanjant değeri doğrunun eğimini verir.
\( m_1 = \tan{\alpha_1} \)
\( m_2 = \tan{\alpha_2} \)
Tanjant fark formülünü kullanalım.
\( \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \dfrac{\tan{\alpha_1} - \tan{\alpha_2}}{1 + \tan{\alpha_1}\tan{\alpha_2}} \)
Tanjant ifadeleri yerine eğim değerlerini koyalım.
\( \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \)
\( m_1m_2 = -1 \) olarak veriliyor.
\( = \dfrac{m_1 - m_2}{1 + (-1)} = \dfrac{m_1 - m_2}{0} \)
Bu sonuç \( \tan(\alpha_1 - \alpha_2) \) ifadesinin tanımsız olduğunu gösterir.
Tanjant fonksiyonu 90° için tanımsız olur.
\( \alpha_1 - \alpha_2 = 90° \)
Buna göre iki doğrunun eğim açıları arasında 90° vardır, dolayısıyla doğrular birbirini dik keser.
Buna göre \( m_1m_2 = -1 \) ise \( d_1 \perp d_2 \) olur.
Her iki koşullu önerme doğru olduğuna göre, verilen çift yönlü koşullu önerme doğrudur.
Bu kuralın bir istisnası olarak; yatay ve düşey iki doğru birbirini dik kesiyor olsa da, eğimleri sırasıyla 0 ve tanımsız olduğu için eğimleri çarpımı \( -1 \) olmaz.
Çakışık Doğrular
Çakışık iki doğrunun tüm noktaları ortaktır ve denklemlerinin ortak çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. İki doğrunun çakışık olması için kapalı denklemlerindeki tüm katsayılar sıfırdan farklı bir sayı ile orantılı olmalıdır.
İki doğrunun çakışık olma koşulu:
\( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( (a_1, b_1, c_1) = k(a_2, b_2, c_2) \)
\( d_1: -6x - 3y + 9 = 0 \)
\( d_2: 2x + y - 3 = 0 \)
\( (-6, -3, 9) = k(2, 1, -3) \)
\( k = -3 \ne 0 \) bu eşitliği sağladığı için iki doğru çakışıktır.
\( d_1: x - 2 = 0 \)
\( d_2: 4x - 8 = 0 \)
\( (1, 0, -2) = k(4, 0, -8) \)
\( k = \frac{1}{4} \ne 0 \) bu eşitliği sağladığı için iki doğru çakışıktır.
Düşey olmayan çakışık doğruların eğimleri eşittir, ancak eğimleri eşit iki doğru çakışık olmak zorunda değildir, aşağıda göreceğimiz üzere paralel de olabilir.
Paralel Doğrular
Paralel iki doğru hiçbir noktada kesişmez ve bu doğruların denklemlerinin ortak çözüm kümesi boş kümedir. İki doğrunun paralel olması için kapalı denklemlerindeki \( x \) ve \( y \) katsayıları sıfırdan farklı bir sayı ile orantılı olmalı, sabit terimleri ise aynı sayıyla orantılı olmamalıdır.
Düşey olmayan paralel doğruların eğimleri eşittir (\( m_1 = m_2 \)).
İki doğrunun paralel olma koşulu:
\( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( (a_1, b_1) = k(a_2, b_2) \)
\( c_1 \ne kc_2 \)
\( d_1: 6x - 9y - 5 = 0 \)
\( d_2: 2x - 3y + 5 = 0 \)
\( (6, -9) = k(2, -3) \)
\( -5 \ne k(5) \)
Birinci eşitliği sağlayan \( k = 3 \) ikinci eşitliği sağlamadığı için iki doğru paraleldir.
Doğru Parçasının Orta Dikmesi
Bir doğru parçasının orta dikmesi, doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğrudur.
Aşağıda \( [AB] \) doğru parçasının orta dikmesi olan \( d \) doğrusu gösterilmiştir.
Bir \( [AB] \) doğru parçasının orta dikmesi olan \( d \) doğrusunun denklemi aşağıdaki adımlarla bulunur.
- Önce \( A \) ve \( B \) noktalarının koordinatlarından doğru parçasının orta noktası bulunur (\( C \) noktası).
- Ardından \( A \) ve \( B \) noktalarından geçen doğrunun eğimi bulunur.
- Orta dikmenin eğimi, bu eğimin negatif tersidir.
- Son olarak \( C \) orta noktasından geçen ve bulduğumuz eğime sahip doğrunun denklemi yazılır.
\( [AB] \) doğru parçası yataysa orta dikme düşey, düşeyse orta dikme yatay olur.
\( [AB] \) doğru parçasının orta dikmesi, \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir.
\( A(1, 2) \) ve \( B(-2, 4) \) noktalarından geçen doğru \( C(-1, a) \) ve \( D(a + 2, 3) \) noktalarından geçen doğruya paralel olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi aşağıdaki formülle bulunur.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( A \) ve \( B \) noktalarından geçen doğrunun eğimine \( m_{AB} \), \( C \) ve \( D \) noktalarından geçen doğrunun eğimine \( m_{CD} \) diyelim.
\( m_{AB} = \dfrac{4 - 2}{-2 - 1} = -\dfrac{2}{3} \)
\( m_{CD} = \dfrac{3 - a}{a + 2 - (-1)} = \dfrac{3 - a}{a + 3} \)
Paralel doğruların eğimleri eşittir.
\( m_{AB} = m_{CD} \)
\( -\dfrac{2}{3} = \dfrac{3 - a}{a + 3} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( -2a - 6 = 9 - 3a \)
\( a = 15 \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( K(a, 2) \), \( L(6, 5) \) ve \( M(3, 4) \) noktaları veriliyor.
\( [KL] \perp [LM] \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi aşağıdaki formülle bulunur.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m_{KL} = \dfrac{5 - 2}{6 - a} = \dfrac{3}{6 - a} \)
\( m_{LM} = \dfrac{4 - 5}{3 - 6} = \dfrac{1}{3} \)
Dik kesişen doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olur.
\( m_{KL} \cdot m_{LM} = -1 \)
\( \dfrac{3}{6 - a} \cdot \dfrac{1}{3} = -1 \)
\( 6 - a = -1 \)
\( a = 7 \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( (m + 1)x + (n - 3)y + 4 = 0 \) ve \( 3x + 2y - 1 = 0 \) doğruları çakışık olduğuna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİki doğrunun çakışık olması için kapalı denklemlerindeki tüm katsayılar sıfırdan farklı bir sayı ile orantılı olmalıdır.
\( (m + 1, n - 3, 4) = k(3, 2, -1) \)
Bu eşitliğin sağlanması için \( k = -4 \ne 0 \) olmalıdır.
\( m + 1 = 3k = -12 \Longrightarrow m = -13 \)
\( n - 3 = 2k = -8 \Longrightarrow n = -5 \)
\( m + n = -13 + (-5) = -18 \) bulunur.
\( A(2, -3) \) noktasından geçen ve \( 4x - 2y + 7 = 0 \) doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü GösterDoğruların eğimlerine \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir (\( m_1 = m_2 \)).
Denklemi verilen doğrunun eğimini bulalım.
\( m_1 = -\dfrac{4}{-2} = 2 \)
Buna göre aradığımız ve bu doğruya paralel olan doğrunun eğimi de \( m_2 = 2 \) olur.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi için doğrunun nokta-eğim formülünü kullanalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-3) = 2(x - 2) \)
\( y + 3 = 2x - 4 \)
\( y = 2x - 7 \) bulunur.
\( B(-4, 1) \) noktasından geçen ve \( 3x + 5y - 15 = 0 \) doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü GösterDoğruların eğimlerine \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.
Birbirine dik ve herhangi bir düşey olmayan iki doğrunun eğimleri çarpımı \( -1 \) olur (\( m_1m_2 = -1 \)).
Denklemi verilen doğrunun eğimini bulalım.
\( m_1 = -\dfrac{3}{5} \)
Buna göre verilen doğruya dik olan doğrunun eğimini bulalım.
\( -\dfrac{3}{5} \cdot m_2 = -1 \Longrightarrow m_2 = \dfrac{5}{3} \)
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi için doğrunun nokta-eğim formülünü kullanalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 1 = \dfrac{5}{3}(x - (-4)) \)
\( y - 1 = \dfrac{5}{3}(x + 4) \)
\( y = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{23}{3} \) bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları dik kesiştiğine göre, \( \frac{m}{n} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğimlerine sırasıyla \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.
Doğruların eksenleri kestikleri noktaları kullanarak eğimlerini bulalım.
\( m_1 = \dfrac{4 - 0}{0 - m} = -\dfrac{4}{m} \)
\( m_2 = \dfrac{n - 0}{0 - (-3)} = \dfrac{n}{3} \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları dik kesiştiğine göre eğimleri çarpımı -1 olur.
\( m_1m_2 = -1 \)
\( -\dfrac{4}{m} \cdot \dfrac{n}{3} = -1 \)
\( \dfrac{n}{m} = \dfrac{3}{4} \)
\( \dfrac{m}{n} = \dfrac{4}{3} \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( d_1: 3x + y - 9 = 0 \) ve \( d_2: 2y - nx + m = 0 \) doğrularının ortak çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, \( n - m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının ortak çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, bu doğrular çakışıktır.
İki doğrunun çakışık olması için kapalı denklemlerindeki tüm katsayılar sıfırdan farklı bir sayı ile orantılı olmalıdır.
\( (3, 1, -9) = k(-n, 2, m) \)
Bu eşitliğin sağlanması için \( 2k = 1 \), dolayısıyla \( k = \frac{1}{2} \) olmalıdır.
\( 3 = k(-n) \Longrightarrow n = -6 \)
\( -9 = km \Longrightarrow m = -18 \)
\( n - m = -6 - (-18) = 12 \) bulunur.
Şekilde verilen \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine dik olduğuna göre, \( d_2 \) doğrusunun denklemi nedir?
Çözümü Göster\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eğimlerine sırasıyla \( m_1 \) ve \( m_2 \) diyelim.
Bir doğrunun eğimi aynı zamanda doğrunun eğim açısının tanjant değerine eşittir.
\( m_1 = \tan(\widehat{BCO}) = \dfrac{\abs{BO}}{\abs{CO}} \)
\( = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \)
Birbirini dik kesen doğruların eğimleri çarpımı -1 olur.
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
\( \dfrac{1}{2} \cdot m_2 = -1 \)
\( m_2 = -2 \)
\( B(0, 2) \) noktasından geçen ve eğimi \( m_2 = -2 \) olan doğrunun denklemini bulalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 2 = -2(x - 0) \)
\( y = -2x + 2 \) bulunur.
Köşe noktalarının koordinatları \( A(0, 0) \), \( B(6, 0) \) ve \( C(0, 8) \) olan üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözümü GösterNoktaları koordinat düzleminde işaretlediğimizde oluşan üçgenin dik kenarları eksenler üzerinde olan bir dik üçgen olduğunu görürüz.
\( [AB] \) kenarının orta noktasına \( D \) diyelim.
\( D\left( \dfrac{0 + 8}{2}, \dfrac{0 + 0}{2} \right) = D(4, 0) \)
\( [AB] \) kenarı \( x \) ekseni üzerinde olduğundan, bu kenara ait orta dikme düşey bir doğru olur.
\( x = 4 \)
\( [AC] \) kenarının orta noktasına \( E \) diyelim.
\( E\left( \dfrac{0 + 0}{2}, \dfrac{0 + 6}{2} \right) = E(0, 3) \)
\( [AC] \) kenarı \( y \) ekseni üzerinde olduğundan, bu kenara ait orta dikme yatay bir doğru olur.
\( y = 3 \)
Kenar orta dikmelerinin kesişim noktasını bulmak için bu iki doğruyu kesiştirelim.
\( x = 4 \) ve \( y = 3 \) doğruları \( (4, 3) \) noktasında kesişir.
Buna göre kenar orta dikmelerinin kesişim noktası \( K(4, 3) \) olarak bulunur.
Koordinat düzleminde \( A(1, 7) \) ve \( B(5, k) \) noktaları veriliyor.
\( [AB] \) doğru parçasının orta dikme doğrusu orijinden geçtiğine göre, \( k \)'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterOrta dikme doğrusu üzerindeki noktalar \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktadır.
Doğru orijinden (\( O(0, 0) \)) geçtiğine göre \( O \) noktasının \( A \) ve \( B \) noktalarına olan uzaklıkları birbirine eşittir.
\( \abs{OA} = \abs{OB} \)
Bir \( P(x_1, y_1) \) noktasının orijine olan uzaklığı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \abs{OP} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \)
\( \abs{OA} = \abs{OB} \) eşitliğini kuralım.
\( \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{5^2 + k^2} \)
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( 1 + 49 = 25 + k^2 \)
\( 50 = 25 + k^2 \)
\( k^2 = 25 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
\( k = 5 \) veya \( k = -5 \)
Buna göre \( k \)'nin alabileceği değerler çarpımı \( 5 \cdot (-5) = -25 \) olarak bulunur.
\( A(-2, 6) \) ve \( B(8, 2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta dikmesinin \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisi nedir?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) noktalarının orta noktasına \( C(a, b) \) diyelim.
İki noktanın orta noktasının apsis ve ordinat değerleri noktaların apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
\( a = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3 \)
\( b = \dfrac{6 + 2}{2} = 4 \)
\( C(a, b) = C(3, 4) \)
\( [AB] \) doğru parçasının eğimine \( m_{AB} \) diyelim.
\( m_{AB} = \dfrac{2 - 6}{8 - (-2)} = -\dfrac{2}{5} \)
\( [AB] \) doğru parçasına çizilen orta dikme doğru parçasına dik olduğu için eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olur.
Çizilen orta dikmenin eğimine \( m_C \) diyelim.
\( m_{AB} \cdot m_C = -1 \)
\( -\dfrac{2}{5} \cdot m_C = -1 \)
\( m_C = \dfrac{5}{2} \)
\( C(3, 4) \) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{5}{2} \) olan doğrunun denklemini yazalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 4 = \dfrac{5}{2}(x - 3) \)
Bu denklemin \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( y = 0 \) verelim.
\( 0 - 4 = \dfrac{5}{2}(x - 3) \)
\( x - 3 = -\dfrac{8}{5} \)
\( x = \dfrac{7}{5} \)
Buna göre \( [AB] \) doğru parçasının orta dikmesi \( x \) eksenini \( \frac{7}{5} \) apsisli noktada keser.