Doğrusal Eşitsizlikler
Koordinat düzleminde bir doğru denkleminin çözüm kümesi, o denklemin grafiğidir. Bir doğrusal eşitsizliğin çözüm kümesi ise bir yarım düzlemdir, eşitsizliğin türüne göre doğru bu kümeye dahil olabilir ya da olmayabilir.
Bir noktanın bir doğruya göre konumu üç şekilde olabilir. Buna göre nokta doğrunun;
- Üzerinde olabilir (\( A \) noktası)
- Üst bölgesinde olabilir (\( B \) noktası)
- Alt bölgesinde olabilir (\( C \) noktası)
Bir noktanın doğruya göre konumunu belirlemek için, noktanın koordinatları doğrunun \( y = mx + c \) formundaki denkleminde yerine konur ve iki tarafın değerleri karşılaştırılır.
\( y_1 = mx_1 + c \Longleftrightarrow \) Nokta doğrunun üzerindedir (\( A \) noktası)
\( y_2 \gt mx_1 + c \Longleftrightarrow \) Nokta doğrunun üst bölgesindedir (\( B \) noktası)
\( y_3 \lt mx_1 + c \Longleftrightarrow \) Nokta doğrunun alt bölgesindedir (\( C \) noktası)
\( A(12, 60) \) noktasının \( y = 8x - 15 \) doğrusuna göre konumunu bulalım.
\( A \) noktasının koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım ve taraflar arasında oluşan eşitlik ya da eşitsizlik durumunu inceleyelim.
\( 60 \stackrel{?}{\lesseqgtr} 8(12) - 15 \)
\( 60 \lt 81 \)
Buna göre \( A \) noktası verilen doğrunun alt bölgesindedir.
Eşitsizliklerin Gösterimi
Bir doğru koordinat düzlemini doğrunun kendisi ve iki tarafında kalan yarım düzlemler olmak üzere üç ayrık kümeye ayırır. Bu kümeler aşağıdaki eşitlik ya da eşitsizliklerle ifade edilir.
Bu gösterimlerde taralı bölge eşitsizliği sağlayan noktaları temsil eder. Doğru çözüm kümesine dahilse sürekli, dahil değilse kesikli çizgiyle gösterilir.
| Grafik | Eşitlik/Eşitsizlik |
|---|---|
|
Doğru: \( y = mx + c \) Doğrunun üzerindeki noktalar |
|
Üst açık yarım düzlem: \( y \gt mx + c \) Doğrunun üst bölgesindeki noktalar |
|
Alt açık yarım düzlem: \( y \lt mx + c \) Doğrunun alt bölgesindeki noktalar |
|
Üst kapalı yarım düzlem: \( y \ge mx + c \) Doğrunun üzerindeki ve üst bölgesindeki noktalar |
|
Alt kapalı yarım düzlem: \( y \le mx + c \) Doğrunun üzerindeki ve alt bölgesindeki noktalar |
Aşağıda örnek bazı doğrusal eşitsizlikler ve koordinat düzleminde karşılık geldikleri bölgeler gösterilmiştir.
| Grafik | Eşitsizlik |
|---|---|
|
\( x \gt 0 \) Bu eşitsizlik apsis değeri sıfırdan büyük olan noktaları içerir. \( (3, -5) \) noktası eşitsizliği sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (-6, 2) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir. |
|
\( y \le 1 \) Bu eşitsizlik ordinat değeri 1'e eşit ya da 1'den küçük olan noktaları içerir. \( (-6, -5) \) noktası eşitsizliği sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (3, 4) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir. |
|
\( y \gt x \) Bu eşitsizlik ordinat değeri apsis değerinden büyük olan noktaları içerir. \( (-6, -1) \) noktası eşitsizliği sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (3, -5) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir. |
|
\( y \le -3x - 3 \) Bu eşitsizlik \( y = -3x - 3 \) doğrusunun üzerindeki ve alt bölgesindeki noktaları içerir. \( (-4, -2) \) noktası eşitsizliği sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (2, -2) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir. |
Eşitsizliklerin Koordinat Düzleminde Gösterimi
\( y \lesseqgtr mx + c \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümeleri koordinat düzleminde aşağıdaki adımlarla gösterilebilir.
- \( y = mx + c \) doğrusu çizilir. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) ya da \( \le \) ise doğru sürekli bir çizgi ile, \( \gt \) ya da \( \lt \) ise kesikli bir çizgi ile çizilir.
- Eşitsizlik sembolü \( \ge \) ya da \( \gt \) ise doğrunun üst, \( \le \) ya da \( \lt \) ise alt bölgesi taranır.
- Özel bir durum olarak, sınır doğrusu \( x = m \) formunda düşey bir doğruysa \( x \gt m \) ve \( x \ge m \) için sağ taraf, \( x \lt m \) ve \( x \le m \) için sol taraf taranır.
Alternatif ve pratik bir yöntem olarak, doğru üzerinde bulunmayan bir test noktası seçilir ve koordinatları eşitsizlikte yerine konur. Eşitsizlik sağlanıyorsa noktanın bulunduğu taraf, sağlanmıyorsa diğer taraf taranır. İşlem kolaylığı açısından bu nokta (doğru üzerinde değilse) \( (0, 0) \) olarak seçilebilir.
Eşitsizlik Sistemlerinin Gösterimi
Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemdeki tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan noktaların kümesidir. Geometrik olarak bu küme, eşitsizliklerin ayrı ayrı taradığı bölgelerin kesişimidir.
Aşağıda örnek bazı eşitsizlik sistemleri ve koordinat düzleminde karşılık geldikleri bölgeler gösterilmiştir.
| Grafik | Eşitsizlik Sistemi |
|---|---|
|
\( \begin{cases} x \lt 0 \\ y \gt 0 \end{cases} \) Bu eşitsizlik sistemi apsis değeri negatif ve ordinat değeri pozitif olan noktaları içerir. \( (-6, 2) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (1, -5) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir. |
|
\( \begin{cases} y \ge 0 \\ y \le -x + 8 \\ y \lt x + 8 \end{cases} \) \( (5, 0) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (-8, -2) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir. |
|
\( \begin{cases} y \ge 3x - 9 \\ y \ge -4x - 16 \\ y \lt -\frac{1}{2}x + 1 \\ y \gt -x - 6 \end{cases} \) \( (0, -3) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (-6, -5) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir. |
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan bölgeleri koordinat düzleminde gösteriniz.
\( 2x - y \ge 4 \)
\( y \lt -2x + 8 \)
Çözümü GösterHer bir eşitsizliğin karşılık geldiği doğru denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( 2x - y = 4 \) doğrusu eksenleri \( (0, -4) \) ve \( (2, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( y = -2x + 8 \) doğrusu eksenleri \( (0, 8) \) ve \( (4, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \lt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( (0, 0) \) orijin noktasını kullanarak her bir doğrunun hangi tarafının taranacağını (eşitsizliğin çözüm kümesini gösterdiğini) belirleyelim.
\( 2x - y \ge 4 \) eşitsizliği için:
\( 2(0) - 0 \ge 4 \)
\( 0 \ge 4 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için doğrunun orijin tarafında olmayan tarafı taranır.
\( y \lt -2x + 8 \) eşitsizliği için:
\( 0 \lt -2(0) + 8 \)
\( 0 \lt 8 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağladığı için doğrunun orijin tarafında kalan tarafı taranır.
Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin karşılık geldiği bölgelerin kesişimi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir.
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan bölgeleri koordinat düzleminde gösteriniz.
\( x \ge 0 \)
\( y \le 4 \)
\( 2x + y \gt 2 \)
Çözümü GösterHer bir eşitsizliğin karşılık geldiği doğru denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( x = 0 \) doğrusu \( y \) eksenidir. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( y = 4 \) doğrusu \( y \) eksenini \( (0, 4) \) noktasında keser. Eşitsizlik sembolü \( \le \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( 2x + y = 2 \) doğrusu eksenleri \( (0, 2) \) ve \( (1, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \gt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( (0, 0) \) orijin noktasını kullanarak her bir doğrunun hangi tarafının taranacağını (eşitsizliğin çözüm kümesini gösterdiğini) belirleyelim.
\( x \ge 0 \) eşitsizliği için:
\( x = 0 \) doğrusunun sağ tarafında bu eşitsizlik sağlandığı için doğrunun sağ tarafı taranır.
\( y \le 4 \) eşitsizliği için:
\( y = 4 \) doğrusunun alt tarafında bu eşitsizlik sağlandığı için doğrunun alt tarafı taranır.
\( 2x + y \gt 2 \) eşitsizliği için:
\( (0, 0) \) orijin noktasını kullanarak hangi bölgenin taranacağını inceleyelim.
\( 2(0) + 0 \gt 2 \)
\( 0 \gt 2 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için doğrunun orijin tarafında olmayan tarafı taranır.
Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin karşılık geldiği bölgelerin kesişimi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir.
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan bölgeleri koordinat düzleminde gösteriniz.
\( \dfrac{3}{2}x + 2y \gt 6 \)
\( 3x - y \le 3 \)
\( y \gt 2 \)
Çözümü GösterHer bir eşitsizliğin karşılık geldiği doğru denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( \frac{3}{2}x + 2y = 6 \) doğrusu eksenleri \( (0, 3) \) ve \( (4, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \gt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( 3x - y = 3 \) doğrusu eksenleri \( (0, -3) \) ve \( (1, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \le \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( y = 2 \) doğrusu \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser. Eşitsizlik sembolü \( \gt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( (0, 0) \) orijin noktasını kullanarak her bir doğrunun hangi tarafının taranacağını (eşitsizliğin çözüm kümesini gösterdiğini) belirleyelim.
\( \dfrac{3}{2}x + 2y \gt 6 \) eşitsizliği için:
\( \dfrac{3}{2}(0) + 2(0) \gt 6 \)
\( 0 \gt 6 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için doğrunun orijin tarafında olmayan tarafı taranır.
\( 3x - y \le 3 \) eşitsizliği için:
\( 3(0) - (0) \le 3 \)
\( 0 \le 3 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağladığı için doğrunun orijin tarafında kalan tarafı taranır.
\( y \gt 2 \) eşitsizliği için:
\( y = 2 \) doğrusunun üst tarafında bu eşitsizlik sağlandığı için doğrunun üst tarafı taranır.
Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin karşılık geldiği bölgelerin kesişimi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir.
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan bölgeleri koordinat düzleminde gösteriniz.
\( x \le -2 \)
\( y \gt \dfrac{x}{4} + 1 \)
\( y \lt -x -1 \)
Çözümü GösterHer bir eşitsizliğin karşılık geldiği doğru denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( x = -2 \) doğrusu \( y \) eksenini \( (-2, 0) \) noktasında keser. Eşitsizlik sembolü \( \le \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( y = \frac{x}{4} + 1 \) doğrusu eksenleri \( (0, 1) \) ve \( (-4, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \gt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( y = -x - 1 \) doğrusu eksenleri \( (0, -1) \) ve \( (-1, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \lt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( (0, 0) \) orijin noktasını kullanarak her bir doğrunun hangi tarafının taranacağını (eşitsizliğin çözüm kümesini gösterdiğini) belirleyelim.
\( y \gt \dfrac{x}{4} + 1 \) eşitsizliği için:
\( 0 \gt \dfrac{0}{4} + 1 \)
\( 0 \gt 1 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için doğrunun orijin tarafında olmayan tarafı taranır.
\( y \lt -x -1 \) eşitsizliği için:
\( 0 \lt -0 -1 \)
\( 0 \lt -1 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için doğrunun orijin tarafında olmayan tarafı taranır.
\( x \le -2 \) eşitsizliği için:
\( x = -2 \) doğrusunun sol tarafında bu eşitsizlik sağlandığı için doğrunun sol tarafı taranır.
Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin karşılık geldiği bölgelerin kesişimi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir.
Koordinat düzlemindeki \( A(3, -2) \) ve \( B(5, n) \) noktaları \( 2x + y - 7 = 0 \) doğrusunun farklı taraflarında bulunduğuna göre, \( n \)'nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen doğrunun açık denklemini yazalım.
\( y = -2x + 7 \)
\( A(3, -2) \) noktasının bu doğruya göre konumunu bulmak için koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.
\( -2 \stackrel{?}{\lesseqgtr} -2(3) + 7 \)
\( -2 \lt 1 \)
\( A \) noktasının ordinatı (\( y = -2 \)), \( x = 3 \) için doğrunun ordinatından (\( y = 1 \)) küçük olduğu için doğrunun altındaki bölgededir.
Buna göre \( B(5, n) \) noktası doğrunun üstündeki bölgede olmalıdır, dolayısıyla \( x = 5 \) için ordinatı doğrunun ordinatından büyük olmalıdır.
\( y \gt -2x + 7 \)
\( n \gt -2(5) + 7 \)
\( n \gt -3 \)
Bu eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değeri \( n = -2 \)'dir.
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan bölgeleri koordinat düzleminde gösteriniz.
\( y \le 2x + 5 \)
\( \dfrac{y}{3} \ge -x + 1 \)
\( x \ge 1 \)
\( y \lt 4 \)
Çözümü GösterHer bir eşitsizliğin karşılık geldiği doğru denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( y = 2x + 5 \) doğrusu eksenleri \( (0, 5) \) ve \( (-\frac{5}{2}, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \le \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( \frac{y}{3} = -x + 1 \) doğrusu eksenleri \( (0, 3) \) ve \( (1, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( x = 1 \) doğrusu \( x \) eksenini \( (1, 0) \) noktasında keser. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( y = 4 \) doğrusu \( y \) eksenini \( (0, 4) \) noktasında keser. Eşitsizlik sembolü \( \lt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( (0, 0) \) orijin noktasını kullanarak her bir doğrunun hangi tarafının taranacağını (eşitsizliğin çözüm kümesini gösterdiğini) belirleyelim.
\( y \le 2x + 5 \) eşitsizliği için:
\( 0 \le 2(0) + 5 \)
\( 0 \le 5 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağladığı için doğrunun orijin tarafında kalan tarafı taranır.
\( \dfrac{y}{3} \ge -x + 1 \) eşitsizliği için:
\( \dfrac{0}{3} \ge -0 + 1 \)
\( 0 \ge 1 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için doğrunun orijin tarafında olmayan tarafı taranır.
\( x \ge 1 \) eşitsizliği için:
\( x = 1 \) doğrusunun sağ tarafında bu eşitsizlik sağlandığı için doğrunun sağ tarafı taranır.
\( y \lt 4 \) eşitsizliği için:
\( y = 4 \) doğrusunun alt tarafında bu eşitsizlik sağlandığı için doğrunun alt tarafı taranır.
Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin karşılık geldiği bölgelerin kesişimi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir.
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan bölgeleri koordinat düzleminde gösteriniz.
\( x + 2y \gt 12 \)
\( \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} \ge -6 \)
\( y + 2 \lt 0 \)
Çözümü GösterHer bir eşitsizliğin karşılık geldiği doğru denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( x + 2y = 12 \) doğrusu eksenleri \( (0, 6) \) ve \( (12, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \gt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = -6 \) doğrusu eksenleri \( (0, 18) \) ve \( (-12, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( y + 2 = 0 \) doğrusu \( y \) eksenini \( (0, -2) \) noktasında keser. Eşitsizlik sembolü \( \lt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( (0, 0) \) orijin noktasını kullanarak her bir doğrunun hangi tarafının taranacağını (eşitsizliğin çözüm kümesini gösterdiğini) belirleyelim.
\( x + 2y \gt 12 \) eşitsizliği için:
\( 0 + 2(0) \gt 12 \)
\( 0 \gt 12 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için doğrunun orijin tarafında olmayan tarafı taranır.
\( \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} \ge -6 \) eşitsizliği için:
\( \dfrac{0}{2} - \dfrac{0}{3} \ge -6 \)
\( 0 \ge -6 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağladığı için doğrunun orijin tarafında kalan tarafı taranır.
\( y + 2 \lt 0 \) eşitsizliği için:
\( y + 2 = 0 \) doğrusunun alt tarafında bu eşitsizlik sağlandığı için doğrunun alt tarafı taranır.
Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin karşılık geldiği bölgelerin kesişimi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir.
Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan bölgeleri koordinat düzleminde gösteriniz.
\( y \ge 3x - 1 \)
\( y \lt 3x - 4 \)
Çözümü GösterHer bir eşitsizliğin karşılık geldiği doğru denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( y = 3x - 1 \) doğrusu eksenleri \( (0, -1) \) ve \( (\frac{1}{3}, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) olduğu için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
\( y = 3x - 4 \) doğrusu eksenleri \( (0, -4) \) ve \( (\frac{4}{3}, 0) \) noktalarında keser. Eşitsizlik sembolü \( \lt \) olduğu için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
\( (0, 0) \) orijin noktasını kullanarak her bir doğrunun hangi tarafının taranacağını (eşitsizliğin çözüm kümesini gösterdiğini) belirleyelim.
\( y \ge 3x - 1 \) eşitsizliği için:
\( 0 \ge 3(0) - 1 \)
\( 0 \ge - 1 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağladığı için doğrunun orijin tarafında kalan tarafı taranır.
\( y \lt 3x - 4 \) eşitsizliği için:
\( 0 \lt 3(0) - 4 \)
\( 0 \lt -4 \)
\( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için doğrunun orijin tarafında olmayan tarafı taranır.
Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin karşılık geldiği bölgelerin kesişimi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir.
\( y = 3x - 1 \) ve \( y = 3x - 4 \) doğrularının eğimleri eşit olduğu için doğrular birbirine paraleldir.
Eşitsizliklerin çözüm kümeleri ortak bir taralı alan içermemektedir, dolayısıyla eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi boş küme olur.
\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 6x + 5y = 30 \), \( 2x + y = 2 \), \( x = 0 \) ve \( y = 0 \) doğrularının sınırlandırdığı bölgenin içinde kaç farklı \( (m, n) \) noktası vardır?
Çözümü GösterVerilen doğruların eksenleri kestiği noktaları bulalım.
Doğruların denklemlerinde \( x = 0 \) koyduğumuzda \( y \) eksenini kestiği nokta, \( y = 0 \) koyduğumuzda \( x \) eksenini kestiği nokta bulunur.
\( 6x + 5y = 30 \) doğrusu \( x \) eksenini \( (5, 0) \), \( y \) eksenini \( (0, 6) \) noktasında keser.
\( 2x + y = 2 \) doğrusu \( x \) eksenini \( (1, 0) \), \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser.
Verilen doğruların sınırlandırdığı alanı koordinat düzleminde çizelim.
Verilen denklemlerde \( y \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( y = -\dfrac{6x}{5} + 6 \)
\( y = -2x + 2 \)
\( x \in \{1, 2, 3, 4 \} \) için verilen bölgenin içinde kalan \( y \) değerlerini aşağıdaki eşitsizlikleri kullanarak bulalım.
\( -2x + 2 \lt y \lt -\dfrac{6x}{5} + 6 \)
\( x \gt 0 \)
\( y \gt 0 \)
Durum 1: \( x = 1 \)
\( -2(1) + 2 \lt y \lt -\dfrac{6(1)}{5} + 6 \)
\( 0 \lt y \lt \dfrac{24}{5} \)
Bu durumda aşağıdaki noktalar istenen bölge içinde kalır.
\( (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) \)
Durum 2: \( x = 2 \)
\( -2(2) + 2 \lt y \lt -\dfrac{6(2)}{5} + 6 \)
\( -2 \lt y \lt \dfrac{18}{5} \)
Bu durumda aşağıdaki noktalar istenen bölge içinde kalır.
\( (2, 1), (2, 2), (2, 3) \)
Durum 3: \( x = 3 \)
\( -2(3) + 2 \lt y \lt -\dfrac{6(3)}{5} + 6 \)
\( -4 \lt y \lt \dfrac{12}{5} \)
Bu durumda aşağıdaki noktalar istenen bölge içinde kalır.
\( (3, 1), (3, 2) \)
Durum 4: \( x = 4 \)
\( -2(4) + 2 \lt y \lt -\dfrac{6(4)}{5} + 6 \)
\( -6 \lt y \lt \dfrac{6}{5} \)
Bu durumda aşağıdaki noktalar istenen bölge içinde kalır.
\( (4, 1) \)
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 4 + 3 + 2 + 1 = 10 \) nokta vardır.
Koordinat düzlemindeki \( A(2, -3) \) ve \( B(5, 9) \) noktaları \( ax - 2y + 3 = 0 \) doğrusunun farklı taraflarında bulunduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterNoktalar doğrunun farklı taraflarında yer aldığına göre, noktaların koordinatlarını doğrunun kapalı denkleminde yerine yazdığımızda sonuçlar zıt işaretli olmalıdır.
\( A(2, -3) \) noktasının koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.
\( 2a - 2(-3) + 3 = 2a + 9 \)
\( B(5, 9) \) noktasının koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.
\( 5a - 2(9) + 3 = 5a - 15 \)
Bu iki ifade iki durumda zıt işaretli olabilir.
Durum 1: \( A \) için pozitif, \( B \) için negatif
\( 5a - 15 \lt 0 \lt 2a + 9 \)
Bu eşitsizliği iki eşitsizliğe ayırarak çözelim.
\( 0 \lt 2a + 9 \Longrightarrow a \gt -\dfrac{9}{2} \)
\( 5a - 15 \lt 0 \Longrightarrow a \lt 3 \)
İki aralığın kesişimi bu durum için geçerli çözümü verir.
\( -\dfrac{9}{2} \lt a \lt 3 \)
Durum 2: \( A \) için negatif, \( B \) için pozitif
\( 2a + 9 \lt 0 \lt 5a - 15 \)
Bu eşitsizliği iki eşitsizliğe ayırarak çözelim.
\( 0 \lt 5a - 15 \Longrightarrow a \gt 3 \)
\( 2a + 9 \lt 0 \Longrightarrow a \lt -\dfrac{9}{2} \)
İki aralığın kesişimi bu durum için geçerli çözümü verir.
\( a \in \emptyset \)
Buna göre \( a \) tam sayı değerleri aşağıdaki aralıkta bulunur.
\( -4 \le a \le 2 \)
\( a \)'nın bu aralıkta alabileceği \( 2 - (-4) + 1 = 7 \) tam sayı değeri vardır.