Doğrunun Denkleminin Bulunması
Bir doğru hakkında aşağıdakilerden biri biliniyorsa doğrunun denklemi bulunabilir ve grafiği çizilebilir.
- Doğrunun bir noktası ve eğimi
- Doğrunun iki farklı noktası
- Doğrunun eksenleri kestiği iki farklı nokta
Aşağıdaki yöntemlerle elde edilen doğru denklemleri, kapalı formda \( ax + by + c = 0 \) ve (düşey olmayan doğrular için) açık formda \( y = mx + c \) şeklinde yazılabilir.
Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğru
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki nokta-eğim formülü kullanılarak bulunabilir.
\( A(x_1, y_1) \) noktasından geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( A(3, -5) \) noktasından geçen ve eğimi \( m = -2 \) olan doğrunun denklemi:
\( y - (-5) = -2(x - 3) \)
\( y + 5 = -2x + 6 \)
\( y = -2x + 1 \)
Bulduğumuz denklemde \( x = 3 \) yazdığımızda \( y = -5 \) elde edilir, ayrıca \( x \) katsayısı doğrunun eğimine eşittir. Bu iki kontrol denklemin verilen noktadan geçtiğini ve istenen eğime sahip olduğunu gösterir.
İSPATI GÖSTER
Koordinat düzleminde herhangi bir \( P(x, y) \) noktası tanımlayalım.
Denklemini bulmak istediğimiz doğrunun bir noktasını (\( A(x_1, y_1) \)) ve eğimini (\( m \)) biliyoruz.
Doğrunun geometrik yerini (yani denklemini), \( A \) ve \( P \) noktalarını birleştiren doğru parçasının eğimi \( m \) olacak şekilde kısıtlayabiliriz.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = m \)
Yukarıdaki eşitliği sadece denklemini elde etmek istediğimiz doğru üzerindeki noktalar sağlar.
Paydadaki ifadeyi karşıya aldığımızda bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini veren formülü elde ederiz.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
Aşağıda bir noktası ve eğimi verilen doğruların denklemlerini bulunuz.
(a) \( A(5, -2), \quad m = -3 \)
(b) \( A(-6, 7), \quad m = \frac{2}{3} \)
(c) \( A(2, 3), \quad m = 0 \)
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) noktasından geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi aşağıdaki nokta-eğim formülü ile bulunur.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
(a) seçeneği:
\( A(5, -2), \quad m = -3 \)
\( y - (-2) = -3(x - 5) \)
\( y + 2 = -3x + 15 \)
\( y = -3x + 13 \)
(b) seçeneği:
\( A(-6, 7), \quad m = \frac{2}{3} \)
\( y - 7 = \dfrac{2}{3}(x - (-6)) \)
\( y - 7 = \dfrac{2}{3}x + 4 \)
\( y = \dfrac{2}{3}x + 11 \)
(c) seçeneği:
\( A(2, 3), \quad m = 0 \)
\( y - 3 = 0(x - 2) \)
\( y = 3 \)
İki Noktası Bilinen Doğru
Farklı iki noktası bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki iki nokta formülü kullanılarak bulunabilir.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi:
\( x_1 \ne x_2 \) olmak üzere,
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( A(2, -3) \) ve \( B(8, 9) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi ve eğimi:
\( \dfrac{y - (-3)}{x - 2} = \dfrac{9 - (-3)}{8 - 2} \)
\( \dfrac{y + 3}{x - 2} = \dfrac{12}{6} \)
\( y + 3 = 2(x - 2) \)
\( y = 2x - 7 \)
\( m = 2 \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıda bir noktası ve eğimi bilinen doğru denkleminin ispatında, doğrunun geometrik yerini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = m \)
Bu durumda doğrunun iki noktasını bildiğimiz için, eğim değeri yerine eğim formülünü yazdığımızda iki noktası bilinen doğru denklemini veren formülü elde ederiz.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Bu formülde eşitliğin sağ tarafı iki noktadan geçen doğrunun eğimine eşittir. Düşey olmayan doğrularda alternatif olarak önce eğim hesaplanabilir, ardından nokta-eğim formülü kullanılarak doğrunun denklemi bulunabilir.
\( x_1 = x_2 \) olduğu durumda iki noktadan geçen doğru düşeydir ve denklemi \( x = x_1 \) olur.
Aşağıda iki noktası verilen doğruların denklemlerini bulunuz.
(a) \( A(-2, 5), \quad B(4, 1) \)
(b) \( A(7, 0), \quad B(-3, -5) \)
(c) \( A(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}), \quad B(-\frac{3}{4}, \frac{1}{3}) \)
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki iki nokta formülü ile bulunur.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
(a) seçeneği:
\( A(-2, 5), \quad B(4, 1) \)
\( \dfrac{y - 1}{x - 4} = \dfrac{1 - 5}{4 - (-2)} \)
\( \dfrac{y - 1}{x - 4} = -\dfrac{2}{3} \)
\( 3y - 3 = -2x + 8 \)
\( 2x + 3y - 11 = 0 \)
(b) seçeneği:
\( A(7, 0), \quad B(-3, -5) \)
\( \dfrac{y - (-5)}{x - (-3)} = \dfrac{-5 - 0}{-3 - 7} \)
\( \dfrac{y + 5}{x + 3} = \dfrac{1}{2} \)
\( 2y + 10 = x + 3 \)
\( x - 2y - 7 = 0 \)
(c) seçeneği:
\( A(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}), \quad B(-\frac{3}{4}, \frac{1}{3}) \)
\( \dfrac{y - \frac{1}{3}}{x - (-\frac{3}{4})} = \dfrac{\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3})}{-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}} \)
\( \dfrac{y - \frac{1}{3}}{x + \frac{3}{4}} = -\dfrac{4}{5} \)
\( 5y - \dfrac{5}{3} = -4x - 3 \)
\( 4x + 5y + \dfrac{4}{3} = 0 \)
\( 12x + 15y + 4 = 0 \)
Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğru
Koordinat eksenlerini orijin dışında iki farklı noktada kesen doğru için, iki nokta formülüne ek olarak aşağıdaki formül de kullanılabilir.
\( p \ne 0, q \ne 0 \) olmak üzere,
Eksenleri \( A(p, 0) \) ve \( B(0, q) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi:
\( \dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1 \)
Bu denklem aşağıdaki formda da yazılabilir.
\( qx + py = pq \)
Eksenleri \( A(3, 0) \) ve \( B(0, 4) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi ve eğimi:
\( \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( 4x + 3y = 12 \)
\( y = -\dfrac{4}{3}x + 4 \)
İSPATI GÖSTER
İki noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Doğrunun eksenleri kestiği noktalara \( A(p, 0) \) ve \( B(0, q) \) diyelim.
\( \dfrac{y - 0}{x - p} = \dfrac{q - 0}{0 - p} \)
\( \dfrac{y}{x - p} = -\dfrac{q}{p} \)
İçleri aralarında yer değiştirelim.
\( \dfrac{y}{q} = -\dfrac{x - p}{p} \)
Eşitliği düzenleyelim.
\( \dfrac{y}{q} = -\dfrac{x}{p} + \dfrac{p}{p} \)
\( \dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1 \)
Aşağıda eksenleri kestiği noktalar verilen doğruların denklemlerini bulunuz.
(a) \( A(3, 0), \quad B(0, -4) \)
(b) \( A(-2, 0), \quad B(0, 7) \)
(c) \( A(\frac{2}{3}, 0), \quad B(0, -\frac{3}{5}) \)
Çözümü GösterEksenleri \( (p, 0) \) ve \( (0, q) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1 \)
(a) seçeneği:
\( A(3, 0), \quad B(0, -4) \)
\( \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{-4} = 1 \)
\( 4x - 3y = 12 \)
\( 4x - 3y - 12 = 0 \)
(b) seçeneği:
\( A(-2, 0), \quad B(0, 7) \)
\( \dfrac{x}{-2} + \dfrac{y}{7} = 1 \)
\( -7x + 2y = 14 \)
\( 7x - 2y + 14 = 0 \)
(c) seçeneği:
\( A(\frac{2}{3}, 0), \quad B(0, -\frac{3}{5}) \)
\( \dfrac{x}{\frac{2}{3}} + \dfrac{y}{-\frac{3}{5}} = 1 \)
\( \dfrac{3x}{2} - \dfrac{5y}{3} = 1 \)
\( 9x - 10y = 6 \)
\( 9x - 10y - 6 = 0 \)
Orijinden Geçen Doğru
Orijinden geçen ve düşey olmayan doğruların açık denklemlerinde sabit terim sıfırdır. Bu nedenle denklemleri aşağıdaki formdadır.
\( y = mx + 0 = mx \)
Orijinden geçen ve eğimi \( m = 4 \) olan doğrunun denklemi:
\( y = 4x \)
| \( x \) | \( 3 \) | \( 5 \) | \( 8 \) | \( 15\) |
| \( y \) | \( 11 \) | \( 15 \) | \( 21 \) | \( 35 \) |
Yukarıdaki tabloda aralarında doğrusal bir ilişki bulunan \( x \) ve \( y \) değişkenlerine ait bazı değerler verilmiştir.
(a) \( x \) ile \( y \) arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini bulunuz.
(b) \( y = 27 \) için \( x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Aralarında doğrusal ilişki bulunan iki değişkenin genel denklemi \( y = mx + c \) biçimindedir.
Tablodan herhangi iki noktayı seçerek doğrunun eğimini bulalım.
Örneğin \( (3, 11) \) ve \( (5, 15) \) noktalarını kullanalım.
\( m = \dfrac{15 - 11}{5 - 3} = \dfrac{4}{2} = 2 \)
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi için doğrunun nokta-eğim formülünü kullanalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 11 = 2(x - 3) \)
\( y = 2x + 5 \)
(b) seçeneği:
Elde ettiğimiz denklemde \( y = 27 \) yazalım.
\( 27 = 2x + 5 \)
\( x = 11 \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( A(2, -1) \) ve \( B(-3, 4) \) noktalarından geçen doğrunun üzerindeki ordinatı 7 olan noktanın apsisi kaçtır?
Çözümü GösterOrdinatı 7 olan noktaya \( C \), apsisine \( a \) diyelim.
\( C(a, 7) \)
\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki iki nokta formülü ile bulunur.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( \dfrac{y - 4}{x - (-3)} = \dfrac{4 - (-1)}{(-3) - 2} \)
\( \dfrac{y - 4}{x + 3} = \dfrac{5}{-5} \)
\( y - 4 = -x - 3 \)
\( y = -x + 1 \)
\( C(a, 7) \) noktası bu doğrunun üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( 7 = -a + 1 \)
\( a = -6 \)
\( C \) noktasının apsis değeri \( -6 \) olarak bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( d \) doğrusu üzerinde koordinatları toplamı 20 olan noktanın ordinatı kaçtır?
Çözümü Göster\( d \) doğrusunun denklemini bulalım.
\( y = mx + c \)
\( m = \dfrac{3k}{2k} = \dfrac{3}{2} \)
Orijinden geçen doğrunun sabit terimi sıfır olur.
\( y = \dfrac{3}{2}x \)
Koordinatları toplamı 20 olan noktaya \( A(m, \frac{3}{2}m) \) diyelim.
\( A \) noktasının koordinatları toplamı 20 olarak veriliyor.
\( m + \dfrac{3}{2}m = 20 \)
\( 2m + 3m = 40 \)
\( m = 8 \)
\( A \) noktasının ordinatını bulalım.
\( \dfrac{3}{2}(8) = 12 \) bulunur.
\( x = 3t + 1 \)
\( y = 2t - 3 \)
şeklinde parametrik denklemi olan doğrunun kapalı denklemi nedir?
Çözümü GösterVerilen birinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( x = 3t + 1 \)
\( t = \dfrac{x - 1}{3} \)
Bu \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = 2t - 3 \)
\( y = 2(\dfrac{x - 1}{3}) - 3 \)
\( y + 3 = 2(\dfrac{x - 1}{3}) \)
\( 3y + 9 = 2x - 2 \)
\( 3y - 2x + 11 = 0 \) bulunur.
Birim karelerden oluşan şekildeki düzlemde \( K \) noktasının koordinatları \( (-1, -3) \) olduğuna göre, \( [LM] \) doğrusunun denklemini yazınız.
Çözümü Göster\( K \) noktasının koordinatlarını kullanarak bu düzlemde orijinin ve eksenlerin konumunu belirleyelim.
Birim kareleri kullanarak \( L \) ve \( M \) noktalarının koordinatlarını bulalım.
\( L(2, 2) \)
\( M(7, -4) \)
\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki iki nokta formülü ile bulunur.
\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( \dfrac{y - (-4)}{x - 7} = \dfrac{-4 - 2}{7 - 2} \)
\( \dfrac{y + 4}{x - 7} = \dfrac{-6}{5} \)
\( 5y + 20 = -6x + 42 \)
\( 6x + 5y - 22 = 0 \) bulunur.
\( 2x + y - 4 = 0 \) doğrusundan \( y \) eksenine indirilen dikmelerin orta noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( x = 0 \) için denklemi çözelim.
\( 2(0) + y - 4 = 0 \)
\( y = 4 \)
\( y = 0 \) için denklemi çözelim.
\( 2x + 0 - 4 = 0 \)
\( x = 2 \)
Buna göre doğru eksenleri \( (0, 4) \) ve \( (2, 0) \) noktalarında keser.
İstenen doğru \( 2x + y - 4 = 0 \) doğrusundan \( y \) eksenine indirilen dikmelerin orta noktasından geçtiğine göre, \( y \) eksenini aynı \( (0, 4) \) noktasında, \( x \) eksenini ise \( (1, 0) \) noktasında keser.
Eksenleri \( (p, 0) \) ve \( (0, q) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1 \)
\( \dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( y = -4x + 4 \) bulunur.
Uç noktalar dahil olmak üzere, \( (5, 5) \) ve \( (155, 30) \) noktalarını birleştiren doğru parçası üzerinde koordinatları tam sayı olan kaç nokta bulunur?
Çözümü Göster\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki iki nokta formülü ile bulunur.
\( \dfrac{y - y_1}{x - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( \dfrac{y - 5}{x - 5} = \dfrac{30 - 5}{155 - 5} \)
\( \dfrac{y - 5}{x - 5} = \dfrac{1}{6} \)
\( x - 5 = 6(y - 5) \)
\( x = 6y - 25 \)
Bu eşitlikte \( y \)'nin her tam sayı değeri için \( x \) de bir tam sayı değer alır.
Buna göre her \( y \in [5, 30] \) değeri için doğru parçası üzerinde koordinatları tam sayı olan bir nokta bulunur.
Bu aralıkta \( 30 - 5 + 1 = 26 \) tam sayı \( y \) değeri vardır.
Dolayısıyla verilen iki nokta arasında koordinatları tam sayı olan 26 nokta bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( d \) doğrusu üzerinde apsis ve ordinatının mutlak değerleri birbirine eşit olan noktaları bulunuz.
Çözümü GösterEksenleri \( (p, 0) \) ve \( (0, q) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1 \)
\( \dfrac{x}{12} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( x + 3y = 12 \)
\( y = -\dfrac{1}{3}x + 4 \)
Apsis ve ordinatının mutlak değerleri birbirine eşit olan noktalar \( A(a, a) \) ya da \( B(b, -b) \) formundadır.
\( A(a, a) \) formunda olan noktalar \( y = x \) doğrusu üzerinde, \( B(b, -b) \) formunda olan noktalar \( y = -x \) doğrusu üzerindedir.
\( y = x \) ve \( y = -x \) doğrularını çizelim ve \( d \) doğrusunun bir iki doğru ile kesişim noktalarını bulalım.
\( A \) noktasının koordinatlarını bulmak için \( d \) doğrusunun denkleminde \( (x, y) = (a, a) \) yazalım.
\( a = -\dfrac{1}{3}a + 4 \)
\( \dfrac{4}{3}a = 4 \)
\( a = 3 \)
\( A(a, a) = A(3, 3) \)
\( B \) noktasının koordinatlarını bulmak için \( d \) doğrusunun denkleminde \( (x, y) = (b, -b) \) yazalım.
\( -b = -\dfrac{1}{3}b + 4 \)
\( -\dfrac{2}{3}b = 4 \)
\( b = -6 \)
\( B(b, -b) = B(-6, 6) \)
\( d \) doğrusu üzerinde apsis ve ordinatının mutlak değeri birbirine eşit olan iki nokta aşağıdaki gibidir.
\( A(3, 3), \quad B(-6, 6) \)
Şekildeki \( ABCD \) karesinin \( C \) köşesi \( d: 3x + 5y = 0 \) doğrusu üzerinde olduğuna göre, \( D \) noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü Göster\( d \) doğrusunun denkleminini kullanarak \( C \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( C \) noktasının ordinatına \( 3k \) diyelim.
\( 3x = -5(3k) \)
\( x = -5k \)
\( C(-5k, 3k) \)
Buna göre karenin bir kenarının uzunluğu \( 3k \) olur.
\( D(-8k, 3k) \)
\( D \) noktasından ve orijinden geçen doğrunun eğimini bulalım.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( = \dfrac{3k - 0}{-8k - 0} = -\dfrac{3}{8} \)
Orijinden geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( y = mx \)
\( y = -\dfrac{3}{8}x \)