Koordinat Düzleminde Doğru
Her iki yönde sonsuza uzanan, düz ve tek boyutlu geometrik şekle doğru denir.
Tek bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer. Birbirinden farklı iki noktadan yalnızca bir doğru geçer. Birbirinden farklı üç ya da daha fazla noktadan aynı doğrunun geçebilmesi için bu noktalar doğrusal olmalıdır.
Doğrular genellikle \( d \) gibi küçük harflerle gösterilir. \( A \) ve \( B \) noktalarından geçen bir doğru, \( AB \) ya da \( \overleftrightarrow{AB} \) şeklinde de gösterilebilir.
\( AB \) doğru parçası \( [AB] \) ya da \( \overline{AB} \) ile, \( A \) noktasından başlayıp \( B \) yönünde uzanan ışın ise \( [AB \) ya da \( \overrightarrow{AB} \) ile gösterilir.
Doğrunun Denklemi
Koordinat düzlemindeki bir doğru, \( x \) ve \( y \) değişkenlerinden en az birini içeren birinci dereceden bir denklemle ifade edilir. Bu değişkenler doğru üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerlerini temsil eder. Doğrunun denkleminin birinci dereceden olması, değişkenlerin yalnızca birinci kuvvetlerinin bulunması ve birbirleriyle çarpılmaması anlamına gelir.
Doğrular en yaygın olarak açık ve kapalı denklemlerle ifade edilir.
Doğrunun Açık Denklemi
Doğrunun açık denkleminde \( y \) değişkeni yalnız bırakılır.
\( y = mx + c \)
\( y = 3x - 2 \)
\( m = 3, \quad c = -2 \)
Doğrunun Kapalı (Genel) Denklemi
Doğrunun kapalı ya da genel denkleminde tüm terimler eşitliğin bir tarafında toplanır ve diğer taraf sıfıra eşitlenir.
\( (a, b) \ne (0, 0) \) olmak üzere,
\( ax + by + c = 0 \)
Yukarıdaki denklemi kapalı formda yazalım.
\( 3x - y - 2 = 0 \)
\( a = 3, \quad b = -1, \quad c = -2 \)
\( b \ne 0 \) olduğu durumda, kapalı denklemi verilen bir doğrunun açık denklemi \( y \) değişkeni yalnız bırakılarak bulunabilir.
\( ax + by + c = 0 \)
\( y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \)
\( 5x - 2y - 12 = 0 \)
\( y \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( 2y = 5x - 12 \)
\( y = \dfrac{5}{2}x - 6 \)
\( b = 0 \) olduğu durumda, doğru \( x = −\frac{c}{a} \) biçiminde bir düşey doğrudur ve açık denklemi yazılamaz.
Doğrunun diğer denklem formlarından parametrik denklemini parametrik denklemler bölümünde, vektör denklemini uzay geometrisi bölümünde inceleyeceğiz.
Aşağıda kapalı denklemleri verilen doğruların açık denklemlerini yazınız.
(a) \( 3x - 2y + 5 = 0 \)
(b) \( 5x + 4y - 7 = 0 \)
(c) \( -4x + \dfrac{y}{3} + 6 = 0 \)
Çözümü GösterKapalı denklemi verilen bir doğrunun açık denklemini elde etmek için \( y \) değişkeni yalnız bırakılır.
(a) seçeneği:
\( 3x - 2y + 5 = 0 \)
\( 2y = 3x + 5 \)
\( y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2} \)
(b) seçeneği:
\( 5x + 4y - 7 = 0 \)
\( 4y = -5x + 7 \)
\( y = -\dfrac{5}{4}x + \dfrac{7}{4} \)
(c) seçeneği:
\( -4x + \dfrac{y}{3} + 6 = 0 \)
\( \dfrac{y}{3} = 4x - 6 \)
\( y = 12x - 18 \)
Aşağıda her seçenekte verilen nokta belirtilen doğru üzerinde olduğuna göre, her bir durum için \( a \) değerini bulunuz.
(a) \( A(3, -1), \quad 3x - 2y + a + 5 = 0 \)
(b) \( B(a - 1, 2a + 1), \quad 4x - 3y + 9 = 0 \)
(c) \( C\left( 2a + 3, \dfrac{a - 5}{2} \right), \quad y = \dfrac{x - 3}{2} \)
Çözümü GösterBir doğru üzerindeki noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar.
(a) seçeneği:
\( A(3, -1), \quad 3x - 2y + a + 5 = 0 \)
\( A \) noktasının koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.
\( 3(3) - 2(-1) + a + 5 = 0 \)
\( 9 + 2 + a + 5 = 0 \)
\( a = -16 \)
(b) seçeneği:
\( B(a - 1, 2a + 1), \quad 4x - 3y + 9 = 0 \)
\( B \) noktasının koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.
\( 4(a - 1) - 3(2a + 1) + 9 = 0 \)
\( 4a - 4 - 6a - 3 + 9 = 0 \)
\( a = 1 \)
(c) seçeneği:
\( C\left( 2a + 3, \dfrac{a - 5}{2} \right), \quad y = \dfrac{x - 3}{2} \)
\( C \) noktasının koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.
\( \dfrac{a - 5}{2} = \dfrac{(2a + 3) - 3}{2} \)
\( a - 5 = 2a \)
\( a = -5 \)
Doğrunun Eksenleri Kestiği Noktalar
Doğrunun \( x \) Eksenini Kestiği Nokta
\( x \) ekseni üzerindeki tüm noktaların ordinatı sıfır olduğu için, bir doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisini bulmak için doğru denkleminde \( y = 0 \) yazılır ve denklem \( x \) için çözülür.
\( 2x - 3y + 6 = 0 \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulalım.
\( y = 0 \) yazarak denklemi \( x \) için çözelim.
\( 2x - 3(0) + 6 = 0 \)
\( x = -3 \)
Buna göre, doğru \( x \) eksenini \( (-3, 0) \) noktasında keser.
Doğrunun \( y \) Eksenini Kestiği Nokta
\( y \) ekseni üzerindeki tüm noktaların apsisi sıfır olduğu için, bir doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için doğru denkleminde \( x = 0 \) yazılır ve denklem \( y \) için çözülür.
\( 2x - 3y + 6 = 0 \) doğrusunun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulalım.
\( x = 0 \) yazarak denklemi \( y \) için çözelim.
\( 2(0) - 3y + 6 = 0 \)
\( y = 2 \)
Buna göre, doğru \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser.
Doğrunun açık denklemindeki sabit terim aynı zamanda doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını verir.
Yukarıdaki örnekteki doğrunun açık denklemi:
\( y = \dfrac{2}{3}x + \textcolor{red}{2} \)
Denklemde \( x = 0 \) yazalım.
\( y = \dfrac{2}{3}(0) + 2 = \textcolor{red}{2} \)
Özel Bazı Doğrular
Yatay Doğrular
\( x \) eksenine paralel doğruların üzerindeki tüm noktaların ordinatı sabittir, bu nedenle yatay doğruların denklemi \( x \) değişkeni içermez ve \( c \) bir reel sayı olmak üzere \( y = c \) formundadır.
\( x \) ekseni de yatay bir doğrudur ve denklemi \( y = 0 \) şeklindedir.
Düşey Doğrular
\( y \) eksenine paralel doğruların üzerindeki tüm noktaların apsisi sabittir, bu nedenle düşey doğruların denklemi \( y \) değişkeni içermez ve \( c \) bir reel sayı olmak üzere \( x = c \) formundadır.
\( y \) ekseni de düşey bir doğrudur ve denklemi \( x = 0 \) şeklindedir.
Düşey bir doğru, \( x \) eksenindeki tek bir değerin sonsuz sayıda görüntüsü olduğundan bir fonksiyonun grafiği olamaz. Düşey olmayan doğrular ise \( y = mx + n \) formunda yazılabilir ve birer fonksiyon belirtir.
1. ve 2. Açıortay Doğruları
Aşağıda grafikleri verilen \( y = x \) ve \( y = -x \) doğruları sırasıyla birinci açıortay ve ikinci açıortay doğruları olarak adlandırılırlar. Birinci açıortay doğrusu, I. ve III. bölgedeki dik açıları, ikinci açıortay doğrusu da II. ve IV. bölgedeki dik açıları ortalar.
Birinci açıortay doğrusu üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerleri birbirine eşittir (\( y = x \)). İkinci açıortay doğrusu üzerindeki noktaların apsis ve ordinat değerleri birbirinin zıt işaretlisidir (\( y = -x \)).
Bu iki doğru üzerindeki her noktanın \( x \) ve \( y \) eksenlerine uzaklıkları birbirine eşittir.
Doğrunun Katsayıları
Sabit Terimin Grafiğe Etkisi
Doğrunun açık denklemindeki sabit terim, doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını verir. Aşağıdaki grafikte \( x \) katsayıları aynı, sabit terimleri farklı üç doğrunun \( y \) eksenini her doğrunun sabit teriminin belirttiği noktada kestiği görülebilir.
\( x \) Katsayısının Grafiğe Etkisi
Doğrunun açık denklemindeki \( x \) katsayısı doğrunun dikliğinin büyüklüğünü ve yönünü belirler. Aşağıdaki grafikte sabit terimleri aynı, \( x \) katsayıları farklı beş doğrunun \( y \) eksenini aynı noktada kestiği görülebilir.
Önümüzdeki bölümde doğrunun açık denklemindeki \( x \) katsayısını doğrunun eğimi olarak tanımlayacağız.
Aşağıdaki doğruların koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulunuz.
(a) \( 2x + 5y - 20 = 0 \)
(b) \( 6x + y = 0 \)
(c) \( y = -4 \)
(d) \( x = 7 \)
Çözümü GösterBir doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisini bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazılır ve denklem \( x \) için çözülür.
Bir doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için denklemde \( x = 0 \) yazılır ve denklem \( y \) için çözülür.
(a) seçeneği:
\( 2x + 5y - 20 = 0 \)
\( y = 0 \) için denklemi çözelim.
\( 2x + 5(0) - 20 = 0 \)
\( x = 10 \)
\( x = 0 \) için denklemi çözelim.
\( 2(0) + 5y - 20 = 0 \)
\( y = 4 \)
Buna göre doğru \( x \) eksenini \( (10, 0) \) noktasında, \( y \) eksenini \( (0, 4) \) noktasında keser.
(b) seçeneği:
\( 6x + y = 0 \)
\( y = 0 \) için denklemi çözelim.
\( 6x + 0 = 0 \)
\( x = 0 \)
\( x = 0 \) için denklemi çözelim.
\( 6(0) + y = 0 \)
\( y = 0 \)
Buna göre doğru \( x \) ve \( y \) eksenlerini \( (0, 0) \) noktasında yani orijinde keser.
(c) seçeneği:
\( y = -4 \)
\( y = -4 \) doğrusu yatay bir doğru olup sadece \( y \) eksenini \( (0, -4) \) noktasında keser.
(d) seçeneği:
\( x = 7 \)
\( x = 7 \) doğrusu dikey bir doğru olup sadece \( x \) eksenini \( (7, 0) \) noktasında keser.
Koordinat düzlemindeki \( 3x - y - 12 = 0 \) doğrusu üzerindeki \( A(n, -3n) \) ve \( B(2m, 3m) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) noktaları \( 3x - y - 12 = 0 \) doğrusu üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( A(n, -3n) \) noktası:
\( 3n - (-3n) - 12 = 0 \)
\( n = 2 \)
\( A(n, -3n) = A(2, -6) \)
\( B(2m, 3m) \) noktası:
\( 3(2m) - 3m - 12 = 0 \)
\( m = 4 \)
\( B(2m, 3m) = B(8, 12) \)
\( \abs{AB} \) uzaklığını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(8 - 2)^2 + (12 - (-6))^2} \)
\( = \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( K(2a + 7, 6) \) ve \( L(4a + 3, -14) \) noktaları veriliyor.
\( [KL] \) doğrusunun orta noktası \( 2y + x - 6 = 0 \) doğrusu üzerinde olduğuna göre, bu noktanın apsis ve ordinatının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( [KL] \) doğrusunun orta noktasına \( M(x_0, y_0) \) diyelim.
\( M \) noktasının koordinatlarını orta nokta formülü ile bulalım.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( = \dfrac{2a + 7 + 4a + 3}{2} \)
\( = 3a + 5 \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)
\( = \dfrac{6 + (-14)}{2} \)
\( = -4 \)
\( M(3a + 5, -4) \)
\( M \) noktası \( 2y + x - 6 = 0 \) doğrusu üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( 2(-4) + 3a + 5 - 6 = 0 \)
\( a = 3 \)
\( M \) noktasının koordinatlarında \( a = 3 \) değerini yerine koyalım.
\( M(3(3) + 5, -4) = M(14, -4) \)
\( M \) noktasının koordinatları toplamı \( 14 + (-4) = 10 \) olarak bulunur.
Bir restoranda bir adet tavuk kanat 40 TL, bir adet nugget ise 60 TL'dir. Merve ile Tolga'nın toplam 800 TL paraları vardır ve paralarının tamamını kullanarak \( x \) adet tavuk kanat ile \( y \) adet nugget alacaklardır.
(a) Merve ile Tolga'nın alabilecekleri tavuk kanat ve nugget adetleri arasındaki bağıntıyı (denklemi) en sade haliyle yazınız.
(b) Merve ile Tolga 8 adet tavuk kanat alırlarsa kaç adet nugget alabilirler?
(c) Merve ile Tolga 4 adet nugget alırlarsa kaç adet tavuk kanat alabilirler?
(d) (a) seçeneğinde bulduğunuz denklemin grafiğini çiziniz ve (b) ile (c) seçeneklerinde bulduğunuz durumları bu grafik üzerinde işaretleyiniz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( x \) adet tavuk kanat için harcanan tutar \( 40x \) TL, \( y \) adet nugget için harcanan tutar \( 60y \) TL olur.
Toplam paraları 800 TL olduğuna göre toplam harcama denklemini kuralım.
\( 40x + 60y = 800 \)
Denklemin her terimini 20 ile sadeleştirelim.
\( 2x + 3y = 40 \)
(b) seçeneği:
Denklemde \( x = 8 \) yazalım.
\( 2(8) + 3y = 40 \)
\( 16 + 3y = 40 \)
\( y = 8 \) adet nugget
(c) seçeneği:
Denklemde \( y = 4 \) yazalım.
\( 2x + 3(4) = 40 \)
\( 2x + 12 = 40 \)
\( x = 14 \) adet tavuk kanat
(d) seçeneği:
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( y = 0 \) için:
\( 2x + 3(0) = 40 \)
\( x = 20 \)
\( x \) eksenini kestiği nokta: \( (20, 0) \)
\( x = 0 \) için:
\( 2(0) + 3y = 40 \)
\( y = \dfrac{40}{3} \)
\( y \) eksenini kestiği nokta: \( \left( 0, \dfrac{40}{3} \right) \)
Kanat ve nugget adetleri negatif olamayacağından grafik yalnızca I. bölgedeki doğru parçasından oluşur.
(b) şıkkındaki durum olan \( (8, 8) \) ve (c) şıkkındaki durum olan \( (14, 4) \) noktaları grafik üzerinde işaretlenmiştir.
Koordinat düzleminde \( d_1: 12x - 5y + 60 = 0 \) ve \( d_2: 20x + 15y - 180 = 0 \) doğruları ile \( x \) ekseni arasında kalan bölgenin çevresi kaçtır?
Çözümü Göster\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( d_1 \) doğrusunun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) yazılır ve denklem \( y \) için çözülür.
\( 12(0) - 5y + 60 = 0 \)
\( y = 12 \)
\( A(0, 12) \)
\( d_1 \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazılır ve denklem \( x \) için çözülür.
\( 12x - 5(0) + 60 = 0 \)
\( x = -5 \)
\( B(-5, 0) \)
\( d_2 \) doğrusunun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) yazılır ve denklem \( y \) için çözülür.
\( 20(0) + 15y - 180 = 0 \)
\( y = 12 \)
\( A(0, 12) \)
\( d_2 \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazılır ve denklem \( x \) için çözülür.
\( 20x + 15(0) - 180 = 0 \)
\( x = 9 \)
\( C(9, 0) \)
Bu noktaları koordinat düzleminde işaretleyelim.
İki doğru \( y \) eksenini aynı noktada kestiği için çevresi istenen bölge bir üçgen olur.
\( AOB \) bir dik üçgen olup aynı zamanda bir 5-12-13 özel üçgenidir.
\( \abs{AB} = 13 \)
\( AOC \) bir dik üçgen olup aynı zamanda bir 9-12-15 özel üçgenidir.
\( \abs{AC} = 15 \)
\( ABC \) üçgeninin çevresini bulalım.
\( \text{Ç}(ABC) = \abs{AB} + \abs{AC} + \abs{BC} \)
\( = 13 + 15 + 5 + 9 \)
\( = 42 \) bulunur.
\( 4x \pm 3y \pm 12 = 0 \) doğrularının oluşturduğu paralelkenarın alanı kaçtır?
Çözümü Göster\( 4x \pm 3y \pm 12 = 0 \) ifadesinin oluşturduğu dört doğruyu yazalım.
\( d_1: 4x + 3y + 12 = 0 \)
\( d_2: 4x + 3y - 12 = 0 \)
\( d_3: 4x - 3y + 12 = 0 \)
\( d_4: 4x - 3y - 12 = 0 \)
Bu doğruların eksenleri hangi noktalarda kestiğini bulalım.
\( d_1 \) doğrusu eksenleri \( C(-3, 0) \) ve \( D(0, -4) \) noktalarında keser.
\( d_2 \) doğrusu eksenleri \( A(3, 0) \) ve \( B(0, 4) \) noktalarında keser.
\( d_3 \) doğrusu eksenleri \( B(0, 4) \) ve \( C(-3, 0) \) noktalarında keser.
\( d_4 \) doğrusu eksenleri \( A(3, 0) \) ve \( D(0, -4) \) noktalarında keser.
Doğruları ve doğruların eksenleri kestiği noktaları koordinat düzleminde gösterelim.
Doğruların oluşturduğu paralelkenar, kenar uzunlukları eşit olduğu için aynı zamanda eşkenar dörtgendir.
\( ABCD \) eşkenar dörtgeninin alanı köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \abs{AC} \cdot \abs{BD} \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) bulunur.
\( ABC \) üçgeninin köşe noktalarından ikisi \( A(3, 2) \) ve \( B(1, -2) \) olup üçüncü \( C \) köşesi \( y = -x - 4 \) doğrusu üzerinde ve IV. bölgededir.
\( ABC \) üçgeninin alanı 12 birimkare olduğuna göre, \( C \) noktasının koordinatları nedir?
Çözümü Göster\( C \) noktasının apsisine \( a \) diyelim.
\( C \) noktası \( y = -x - 4 \) doğrusu üzerinde olduğuna göre ordinatı \( -a - 4 \) olur.
\( C(a, -a - 4) \)
Üç köşesinin koordinatları bilinen üçgenin alan formülünü yazalım.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)
\( A(x_1, y_1) = A(3, 2) \)
\( B(x_2, y_2) = B(1, -2) \)
\( C(x_3, y_3) = C(a, -a - 4) \)
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{[3(-2) + 1(-a - 4) + a(2)] - [1(2) + a(-2) + 3(-a - 4)]} \)
\( 12 = \dfrac{1}{2} \abs{-6 - a - 4 + 2a - (2 - 2a - 3a - 12)} \)
\( 24 = \abs{6a} \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( 6a = 24 \)
\( a = 4 \)
\( C \) noktasının koordinatlarında \( a = 4 \) değerini yerine koyalım.
\( C(4, -4 - 4) = C(4, -8) \)
Bulduğumuz \( C \) noktası IV. bölgededir.
Durum 2:
\( 6a = -24 \)
\( a = -4 \)
\( C \) noktasının koordinatlarında \( a = -4 \) değerini yerine koyalım.
\( C(-4, -(-4) - 4) = C(-4, 0) \)
Bulduğumuz \( C \) noktası \( x \) ekseni üzerindedir.
Buna göre \( C \) noktasının koordinatları \( (4, -8) \) olarak bulunur.