Üstel Fonksiyon Uygulamaları
Bu bölümde üstel fonksiyonların bazı uygulamalarına değineceğiz.
Bileşik Faiz Hesaplama
Bankada vadeli bir hesap açarak 1000 TL yatırdığımızı düşünelim. Bankanın hesaptaki paraya her yıl sabit %10 bileşik faiz uyguladığını varsayarsak, her yıl sonunda hesaptaki bakiye aşağıdaki gibi olacaktır.
| Yıl | Yıl Başı Bakiye | Kazanılan Faiz | Yıl Sonu Bakiye |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1.000 \) | \( 1.000 \cdot \%10 = 100 \) | \( 1.100 \) |
| \( 2 \) | \( 1.100 \) | \( 1.100 \cdot \%10 = 110 \) | \( 1.210 \) |
| \( 3 \) | \( 1.210 \) | \( 1.210 \cdot \%10 = 121 \) | \( 1.331 \) |
| \( 4 \) | \( 1.331 \) | \( 1.331 \cdot \%10 = 133,10 \) | \( 1.464,10 \) |
| \( 5 \) | \( 1.464,10 \) | \( 1.464,10 \cdot \%10 = 146,41 \) | \( 1.610,51 \) |
Dikkat edilirse her yıl kazanılan faiz tutarı sabit olmayıp, önceki yılların faizlerinin ana paraya eklenmesiyle her yıl artmaktadır.
Bu hesaplama bir üstel fonksiyon şeklinde yazılarak herhangi bir yıl sonunda hesaptaki bakiye hesaplanabilir.
\( A \): İlk başta yatırdığımız ana para
\( r \): Yıllık faiz oranı (%)
\( t \): Faiz işletilen yıl sayısı
\( B \): t yıl sonunda hesaptaki bakiye olmak üzere,
\( B = A(1 + r)^t \)
Yukarıdaki örneğe göre 8. yıl sonunda hesaptaki bakiyeyi hesaplayalım.
\( B = A(1 + r)^t \)
\( B = 1000(1 + \frac{10}{100})^8 = 1000(1,10)^8 = 2.143,59 \)
Nüfus Artışı
İnsan, hayvan, hücre, bakteri gibi canlıların sayılarının artışı da birer üstel fonksiyon olarak modellenebilir. Faiz hesaplamasında kullandığımız formülü buraya da aynı şekilde uygulayabiliriz.
\( A \): İlk baştaki canlı sayısı
\( r \): Her periyottaki büyüme oranı (%)
\( t \): Toplam periyot sayısı
\( B \): Dönem sonundaki canlı sayısı olmak üzere,
\( B = A(1 + r)^t \)
Bir bakteri türü 5 dk'da bir ikiye bölünmektedir. İlk başta sadece bir bakteri varsa 3 saat sonunda kaç bakteri olur?
Bakteri sayısı 5 dk'da bir iki katına çıktığı için büyüme oranı %100 olur.
3 saat içinde bakterilerin 2'ye bölündüğü 5 dakikalık 36 periyot vardır.
\( A \): İlk baştaki bakteri sayısı (= 1)
\( r \): Her periyottaki büyüme oranı (= %100)
\( t \): Toplam periyot sayısı (= 36)
\( B \): Dönem sonundaki bakteri sayısı olmak üzere,
\( B = A(1 + r)^t \)
\( B = 1(1 + \frac{100}{100})^{36} = 2^{36} = 68.719.476.736 \)
\( t \) başlangıçtan itibaren dakika cinsinden geçen zaman olmak üzere, bir bakteri türünün sayısı \( f(t) = 540(\frac{4}{3})^t \) fonksiyonu ile belirlenmektedir.
Buna göre, bakteri sayısı 1. ve 3. dakikalar arasında ne kadar artmıştır?
Çözümü Göster3. dakika sonundaki bakteri sayısını hesaplayalım.
\( f(3) = 540\left( \dfrac{4}{3} \right)^3 = 1280 \)
1. dakika sonundaki bakteri sayısını hesaplayalım.
\( f(1) = 540\left( \dfrac{4}{3} \right)^1 = 720 \)
Buna göre 1. ve 3. dakikalar arasında bakteri sayısı \( 1280 - 720 = 560 \) adet artmıştır.
Bir tüpte bulunan bakterilerinin dakika cinsinden \( t \) anındaki miktarı aşağıdaki formülle hesaplanıyor.
\( B(t) = B_0e^{0,04t} \)
\( B_0 \): Başlangıçtaki bakteri miktarı
\( t \): Geçen süre (dk)
Buna göre bir tüpte verilen bakteri miktarı 600'den 30.000'e kaç dakikada çıkar?
Çözümü GösterSoruda verilen değerleri formülde yerlerine yazalım.
\( 30000 = 600e^{0,04t} \)
\( \dfrac{30000}{600} = e^{0,04t} \)
\( e^{0,04t} = 50 \)
İki tarafın doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^{0,04t}} = \ln{50} \)
\( 0,04t = \ln{50} \)
\( t = \dfrac{\ln{50}}{0,04} \)
\( = 25\ln{50} \) bulunur.
Bir bakteri popülasyonu aşağıdaki formüle göre büyümektedir.
\( P = Ae^{kt} \)
\( A \): Başlangıçtaki bakteri sayısı
\( t \): Geçen süre (dakika)
\( k \): Bakteri sayısının birim zamanda artış oranı
\( P \): \( t \) süre sonundaki bakteri sayısı
Buna göre sayıları 15 dakikada 120'ye ve 45 dakikada 480'e ulaşan bir bakteri populasyonu, 105 dakikada hangi sayıya ulaşır?
Çözümü GösterBakteri sayısı 15 dakikada 120 oluyor.
\( 120 = Ae^{15k} \)
Bakteri sayısı 45 dakikada 480 oluyor.
\( 480 = Ae^{45k} \)
İkinci eşitliğin birinciye oranını alalım.
\( \dfrac{480}{120} = \dfrac{Ae^{45k}}{Ae^{15k}} \)
\( 4 = e^{45k - 15k} = e^{30k} \)
\( 2^2 = (e^{15k})^2 \)
\( 2 = e^{15k} \)
Bulduğumuz değeri birinci denklemde yerine yazalım.
\( 120 = Ae^{15k} = A(2) \)
\( A = 60 \)
Bakteri sayısının 105 dakika sonunda hangi sayıya ulaşacağını bulalım.
\( P = Ae^{kt} \)
\( = 60e^{105k} \)
\( = 60(e^{15k})^7 \)
\( = 60(2)^7 = 7680 \) bulunur.
Bir bakteri türünün sayısı bir saatte 3 katına çıkıyor.
Başlangıçta 1.000 tane olan bakteri sayısı yaklaşık kaç saat sonra 100 katına çıkar?
\( (\log{3} \approx 0,4) \)
Çözümü GösterBakterilerin sayısı 1 saatte 3 katına, 2 saatte \( 3^2 \) katına, 3 saatte \( 3^3 \) katına, \( t \) saatte \( 3^t \) katına çıkacaktır.
\( t \). saatteki bakteri sayısına \( A \) diyelim.
Başlangıçta 1000 bakteri olduğuna göre \( A \)'yı aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( A = 1000 \cdot 3^t \)
\( A \)'nın 1000'in 100 katı olduğu \( t \) zamanını bulalım.
\( 1000 \cdot 100 = 1000 \cdot 3^t \)
\( 100 = 3^t \)
İki tarafın 10 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log{100} = \log{3^n} \)
\( \log{10^2} = n\log{3} \)
\( 2 = n \cdot 0,4 \)
\( n = \dfrac{2}{0,4} = 5 \)
Buna göre bakteri sayısı yaklaşık olarak 5 saat sonra 100 katına çıkar.
X model yeni bir telefonun fiyatı 50.000 TL'dir. Bu telefonun fiyatı her sene %10 oranında azalmaktadır.
Bu telefonun fiyatının kaç yıl sonra 10.000 TL olacağını logaritma cinsinden bulunuz.
Çözümü GösterTelefonun bugünkü fiyatı 50.000 TL'dir.
Telefonun fiyatı 1. yıl sonunda \( 50000 \cdot \frac{90}{100} \) TL olur.
Telefonun fiyatı 2. yıl sonunda \( 50000 \cdot (\frac{90}{100})^2 \) TL olur.
Telefonun fiyatı 3. yıl sonunda \( 50000 \cdot (\frac{90}{100})^3 \) TL olur.
Telefonun fiyatı \( t \). yıl sonunda \( 50000 \cdot (\frac{90}{100})^t \) TL olur.
\( 50000\left( \dfrac{90}{100} \right)^t = 10000 \)
\( \left( \dfrac{9}{10} \right)^t = \dfrac{1}{5} \)
İki tarafın 10 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log\left( \dfrac{9}{10} \right)^t = \log{\dfrac{1}{5}} \)
\( t\log{\dfrac{9}{10}} = \log{\dfrac{1}{5}} \)
\( t(\log{9} - \log{10}) = \log{1} - \log{5} \)
\( t(\log{9} - 1) = 0 - \log{5} \)
\( t = \dfrac{\log{5}}{1 - \log{9}} \) bulunur.
Nüfusu 40.000 kişi olan bir şehrin nüfusu her onyılda bir %20 artmaktadır.
Bu şehrin nüfusu yaklaşık kaç yıl sonra 10 katına çıkar?
(\( \log{2} = 0,3; \log{3} = 0,5 \))
Çözümü GösterŞehrin nüfusu 1. onyıl sonunda \( 40000 \cdot (1 + \frac{20}{100}) \) olur.
Şehrin nüfusu 2. onyıl sonunda \( 40000 \cdot (1 + \frac{20}{100})^2 \) olur.
Şehrin nüfusu 3. onyıl sonunda \( 40000 \cdot (1 + \frac{20}{100})^3 \) olur.
Şehrin nüfusu \( t \). onyıl sonunda \( 40000 \cdot (1 + \frac{20}{100})^t \) olur.
Nüfusun kaç onyıl sonunda 10 katına çıkacağını bulmak için bir denklem yazılım.
\( 40000 \cdot 10 = 40000\left( 1 + \dfrac{20}{100} \right)^t \)
\( 10 = \left( \dfrac{6}{5} \right)^t \)
İki tarafın 10 tabanın logaritmasını alalım.
\( \log{10} = \log{\left( \dfrac{12}{10} \right)^t} \)
\( t\log{\dfrac{12}{10}} = 1 \)
\( t\log{\dfrac{2^2 \cdot 3}{10}} = 1 \)
\( t(\log{2^2} + \log{3} - \log{10}) = 1 \)
\( t(2\log{2} + \log{3} - 1) = 1 \)
\( t(2(0,3) + 0,5 - 1) = 1 \)
\( t = \dfrac{1}{0,1} = 10 \)
Buna göre şehrin nüfusu 10 onyıl, yani 100 yıl sonunda 10 katına çıkar.
Sayısı her 4 saatte 2 katına çıkan bir bakteri türünün sayısı kaç saatte 3 katına çıkar?
Çözümü GösterEn baştaki bakteri sayısına \( a \), bakteri türünün saatteki büyüme hızına %\( r \) diyelim.
Bakteri türünün sayısı her 4 saatte 2 katına çıkıyor.
\( a(1 + r)^4 = 2a \)
\( (1 + r)^4 = 2 \)
\( 1 + r = \sqrt[4]{2} \)
\( r = \sqrt[4]{2} - 1 \)
Bakteri türünün sayısının 3 katına çıkma süresine \( t \) diyelim.
\( a(1 + r)^t = 3a \)
\( (1 + \sqrt[4]{2} - 1)^t = 3 \)
\( (\sqrt[4]{2})^t = 3 \)
\( 2^{\frac{t}{4}} = 3 \)
\( 2^t = 3^4 \)
\( t = \log_{2}{3^4} \)
\( = 4\log_{2}{3} \) saat bulunur.
Bir göldeki balık nüfusu her yıl bir önceki yıldaki nüfusun 2 katının 5 fazlasına çıkmaktadır. Başlangıçta gölde 150 balık bulunduğuna göre, 18 yıl sonunda kaç balık bulunur?
Çözümü GösterBaşlangıçta gölde bulunan balık sayısına \( x \) diyelim ve balık nüfusunun \( t \) yıl sonraki nüfus formülünü yazabilmek için ilk birkaç yılın nufüsunu inceleyelim.
En baştaki nüfus: \( x \)
1. yılın sonunda nüfus: \( 2x + 5 \)
2. yılın sonunda nüfus: \( 2(2x + 5) + 5 = 4x + 5(1 + 2) \)
3. yılın sonunda nüfus: \( 2(4x + 5(1 + 2)) + 5 = 8x + 5(1 + 2 + 4) \)
4. yılın sonunda nüfus: \( 2(8x + 5(1 + 2 + 4)) + 5 = 16x + 5(1 + 2 + 4 + 8) \)
Buna göre \( t \). yıl sonundaki nüfusu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( t \). yılın sonunda nüfus: \( 2^tx + 5(1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1}) \)
Ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin terimler toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^n = 2^{n+1} - 1 \)
Bu formülü kullanarak \( t \). yılın sonundaki nüfusu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( t \). yılın sonunda nüfus: \( 2^tx + 5(2^t - 1) \)
18 yıl sonundaki nüfusu hesaplayalım.
\( = 2^{18} \cdot 150 + 5(2^{18} - 1) \)
\( = 2^{18} \cdot 150 + 5 \cdot 2^{18} - 5 \)
\( = 155 \cdot 2^{18} - 5 \) bulunur.