Üstel Fonksiyonların Grafiği
Üstel fonksiyonların grafiği taban değerinin \( (0, 1) \) aralığında olma ya da 1'den büyük olma durumuna göre farklılık gösterir.
İnteraktif uygulama: Üstel Fonksiyonun Tabanı
Taban Birden Büyükse
Tabanın birden büyük olduğu durumda (\( a \gt 1 \)) üstel fonksiyonların grafiği aşağıdaki şekilde oluşur.
\( a \gt 1 \) için üstel fonksiyonların grafikleri ile ilgili önemli bazı noktalar aşağıdaki gibidir:
- Grafik tüm tanım aralığında artandır.
- Grafik \( x \) eksenine yaklaşır ama kesmez, dolayısıyla \( x \) ekseni grafiğin bir yatay asimptotudur.
- Grafik \( y \) eksenini her zaman \( (0, 1) \) noktasında keser ( \( a^0 = 1 \)).
- \( x \)'in negatif olduğu II. bölgede daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin altında kalır.
- \( x \)'in pozitif olduğu I. bölgede daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin üstünde kalır.
- Fonksiyon birebirdir.
- Fonksiyon \( \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) için örtendir.
Taban Sıfır ve Bir Aralığındaysa
Tabanın sıfır ve bir aralığında olduğu durumda (\( 0 \lt a \lt 1 \)) üstel fonksiyonların grafiği aşağıdaki şekilde oluşur.
\( 0 \lt a \lt 1 \) için üstel fonksiyonların grafikleri ile ilgili önemli bazı noktalar aşağıdaki gibidir:
- Grafik tüm tanım aralığında azalandır.
- Grafik \( x \) eksenine yaklaşır ama kesmez, dolayısıyla \( x \) ekseni grafiğin bir yatay asimptotudur.
- Grafik \( y \) eksenini her zaman \( (0, 1) \) noktasında keser ( \( a^0 = 1 \)).
- \( x \)'in negatif olduğu II. bölgede daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin altında kalır.
- \( x \)'in pozitif olduğu I. bölgede daha büyük tabanlı fonksiyonların grafiği daha küçük tabanlı fonksiyonların grafiğinin üstünde kalır.
- Fonksiyon birebirdir.
- Fonksiyon \( \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) için örtendir.
Üstel Fonksiyon Grafiklerinde Simetri
Çarpmaya göre birbirinin tersi olan tabanlara ait üstel fonksiyon grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir.
Bu simetrinin sebebi, çarpmaya göre birbirinin tersi olan tabanların çift fonksiyon olma koşulunu sağlıyor olmasıdır.
\( f(x) = 2^x \)
\( h(x) = (\frac{1}{2})^x \) olmak üzere,
\( h(-x) = (\frac{1}{2})^{-x} = 2^x = f(x) \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \)
\( f(x) = 3^{1 - x} \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözümü Göster\( f(x) = 3^{1 - x} = 3^1 \cdot 3^{-x} = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{x} \)
Üstel fonksiyonunun tabanı \( (0, 1) \) aralığında olduğu için fonksiyon grafiği azalandır.
Grafiğin \( y \) eksenini kestiği noktayı \( x = 0 \) vererek bulabiliriz.
\( f(0) = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{0} = 3 \)
Ek bir nokta olarak grafiği \( x = 1 \) apsisli noktadaki ordinat değerini bulalım.
\( f(1) = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{1} = 1 \)
Buna göre üstel fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur.
