Üstel Fonksiyon Denklemleri
Bu bölümde bazı üstel fonksiyon denklem tiplerini ve her biri için çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Sabit Değer
Bir üstel ifadenin sabit bir reel sayıya eşitliğinde denklem logaritma ifadesine çevrilir ve değişken yalnız bırakılır.
\( a^x = k \) ise,
\( x = \log_a{k} \)
\( 3 \cdot 5^{2x + 1} = 9 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\( 5^{2x + 1} = 3 \)
\( 2x + 1 = \log_5{3} \)
\( x = \dfrac{\log_5{3} - 1}{2} \)
Eşit Tabanlar
Tabanları aynı iki üstel ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
Bu noktada üstel fonksiyonların tabanlarının sıfırdan büyük ve birden farklı olma koşulunu tekrar hatırlatalım, çünkü bu kural tabanın \( 0 \), \( 1 \) ya da negatif olma durumlarında geçerli olmayacaktır.
\( a^x = a^y \Longrightarrow x = y \)
\( 3^{3x - 1} = 3^{x + 3} \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\( 3x - 1 = x + 3 \)
\( x = 2 \)
Eşitlenebilir Tabanlar
Tabanları farklı ama eşitlenebilir iki üstel ifadenin eşitliğinde önce tabanlar eşitlenir. Elde edilen üstel ifadelerin üsleri birbirine eşittir.
\( 2^{2x + 4} = (\frac{1}{2})^{2x} \) ise,
\( 2^{2x + 4} = 2^{-2x} \)
\( 2x + 4 = -2x \)
\( x = -1 \)
\( 27^{x + 2} = (\frac{1}{81})^{1 - 2x} \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\( 3^{3(x + 2)} = 3^{-4(1 - 2x)} \)
\( 3x + 6 = -4 + 8x \)
\( x = 2 \)
Farklı Tabanlar
Tabanları farklı ve eşitlenebilir olmayan iki üstel ifadenin eşitliğinde iki tarafın uygun bir tabanda logaritması alınır ve değişken yalnız bırakılır. Çözüm değerleri logaritma cinsinden bulunur.
\( 2^{2x - 1} = 3^{x + 4} \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\( \log{2^{2x - 1}} = \log{3^{x + 4}} \)
\( (2x - 1)\log{2} = (x + 4)\log{3} \)
\( 2x\log{2} - \log{2} = x\log{3} + 4\log{3} \)
\( 2x\log{2} - x\log{3} = 4\log{3} + \log{2} \)
\( x(2\log{2} - \log{3}) = 4\log{3} + \log{2} \)
\( x = \dfrac{4\log{3} + \log{2}}{2\log{2} - \log{3}} \)
Değişken Değiştirme
Bir denklemde değişken içeren tüm üstel ifadeler ortak bir ifade cinsinden yazılabiliyorsa denklem aşağıdaki adımlar takip edilerek değişken değiştirme yöntemi ile çözülebilir.
- Üstel ifadelerin yerine geçecek ifade için yeni bir değişken tanımlanır.
- Üstel ifadeler bu yeni değişken cinsinden yazılır ve bu şekilde üstel ifade içermeyen daha sade bir denklem elde edilir.
- Elde edilen denklem standart denklem çözme yöntemleri ile çözülür.
- Yeni değişken için bulunan çözüm değerleri tanım kümesi kontrolleri yapılarak denklemin orijinal değişkenine dönüştürülür.
\( 9^x - 3^x = 6 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\( 3^{2x} - 3^x - 6 = 0 \)
\( 3^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - t - 6 = 0 \)
\( (t + 2)(t - 3) = 0 \)
\( t = -2 \) ya da \( t = 3 \) olur.
\( t \) değişkenini denklemin orijinal değişkenine dönüştürelim.
\( 3^x = t = -2 \)
Üstel bir ifade negatif değer alamayacağı için \( t = -2 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( 3^x = t = 3 \Longrightarrow x = 1 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{1\} \)
\( 3^{2x - 12} = \dfrac{1}{81} \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( 3^{2x - 12} = \dfrac{1}{81} \)
\( = \dfrac{1}{3^4} = 3^{-4} \)
Tabanları eşit ve 0, 1, -1'den farklı iki üstel ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 2x - 12 = -4 \)
\( x = 4 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{4\} \)
\( 5^{4x + 11} = 125^{x - 3} \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( 5^{4x + 11} = 125^{x - 3} \)
\( = (5^3)^{x - 3} = 5^{3x -9} \)
Tabanları eşit ve 0, 1, -1'den farklı iki üstel ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 4x + 11 = 3x - 9 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -20 \} \)
\( \dfrac{(e^{2x + 4})^2}{e^4} = e^{2x} \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{e^{4x + 8}}{e^4} = e^{2x} \)
\( e^{4x + 8 - 4} = e^{2x} \)
\( e^{4x + 4} = e^{2x} \)
Tabanları aynı iki üstel ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 4x + 4 = 2x \)
\( x = -2 \) bulunur.
\( 2^{x + 3} - 5\cdot 2^{x + 1} + 3 \cdot 2^{x + 2} = 80 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 2^{x + 3} - 5 \cdot 2^{x + 1} + 3 \cdot 2^{x + 2} = 80 \)
\( 2^2 \cdot 2^{x + 1} - 5 \cdot 2^{x + 1} + 3 \cdot 2^1 \cdot 2^{x + 1} = 80 \)
\( 2^{x + 1} \cdot (2^2 - 5 + 3 \cdot 2) = 80 \)
\( 2^{x + 1} \cdot 5 = 80 \)
\( 2^{x + 1} = 16 = 2^4 \)
Tabanları eşit ve 0, 1, -1'den farklı iki üstel ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( x + 1 = 4 \)
\( x = 3 \) bulunur.
\( 25^x + 5^x - 30 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( 25^x + 5^x - 30 = 0 \)
\( (5^x)^2 + 5^x - 30 = 0 \)
\( 5^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 + t - 30 = 0 \)
\( (t + 6)(t - 5) = 0 \)
\( t = -6 \) veya \( t = 5 \)
Bu değerleri \( 5^x = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( 5^x = t = -6 \)
Üstel ifadenin sonucu negatif olamayacağı için yukarıdaki eşitliği sağlayan \( x \) değeri yoktur, dolayısıyla \( t = -6 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( 5^x = t = 5 \Longrightarrow x = 1 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 1 \} \)
\( e^{2x} - 8e^x + 15 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( e^{2x} - 8e^x + 15 = 0 \)
\( (e^x)^2 - 8e^x + 15 = 0 \)
\( e^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 8t + 15 = 0 \)
\( (t - 3)(t - 5) = 0 \)
\( t = 3 \) veya \( t = 5 \)
Bu değerleri \( e^x = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( e^x = t = 3 \Longrightarrow x = \ln{3} \)
\( e^x = t = 5 \Longrightarrow x = \ln{5} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ln{3}, \ln{5}\} \)
\( e^x + 4e^{-x} = 5 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( e^x + 4e^{-x} = 5 \)
\( e^x + \dfrac{4}{e^x} = 5 \)
\( e^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t + \dfrac{4}{t} = 5 \)
\( t^2 - 5t + 4 = 0 \)
\( (t - 1)(t - 4) = 0 \)
\( t = 1 \) veya \( t = 4 \)
Bu değerleri \( e^x = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( e^x = t = 1 \Longrightarrow x = \ln{0} = 0 \)
\( e^x = t = 4 \Longrightarrow x = \ln{4} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{0, \ln{4}\} \)
\( 7^x(7^x - 14) + 3^y(3^y - 18) = -130 \)
olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımının değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 7^x = a \) ve \( 3^y = b \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( a(a - 14) + b(b - 18) + 130 = 0 \)
\( a^2 - 14a + b^2 - 18b + 130 = 0 \)
İki tam kare ifade elde etmek için verilen denklemde 130 sayısını 49 + 81 şeklinde ikiye ayıralım.
\( a^2 - 14a + 49 + b^2 - 18b + 81 = 0 \)
\( (a - 7)^2 + (b - 9)^2 = 0 \)
İki tam kare ifadenin toplamının sıfır olması için ifadeler ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
\( a - 7 = 0 \) ve \( b - 9 = 0 \)
\( a = 7 \) ve \( b = 9 \)
Bu denklemin \( a \) ve \( b \) kök değerlerini kullanarak orijinal denklemin \( x \) ve \( y \) kök değerlerini bulalım.
\( a = 7 \) için:
\( a = 7^x = 7 \Longrightarrow x = 1 \)
\( b = 9 \) için:
\( b = 3^y = 9 \Longrightarrow y = 2 \)
\( x \cdot y = 1 \cdot 2 = 2 \) bulunur.
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
\( e^a + e^b = 6 \)
\( 2e^a + e^{2b} = 11 \)
Çözümü GösterVerilen denklemlere aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( e^a = s \)
\( e^b = t \)
\( s + t = 6 \)
\( 2s + t^2 = 11 \)
İkinci denklemde \( t = 6 - s \) yazalım.
\( 2s + (6 - s)^2 = 11 \)
\( 2s + 36 - 12s + s^2 = 11 \)
\( s^2 - 10s + 25 = 0 \)
\( (s - 5)^2 = 0 \)
\( s = 5 \)
\( t = 6 - s = 1 \)
Bu değerleri yukarıdaki ifadelerde yerine koyarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.
\( e^a = s = 5 \)
\( a = \ln{5} \)
\( e^b = t = 1 \)
\( b = \ln{1} = 0 \)
Çözüm kümesi: \( (a, b) = (\ln{5}, 0) \)
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
\( 2^x + 7^{y + 1} = 407 \)
\( 2^{x + 1} - 7^y = 79 \)
Çözümü Göster\( 2^x + 7 \cdot 7^y = 407 \)
\( 2 \cdot 2^x - 7^y = 79 \)
Verilen denklemlere aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( 2^x = s \)
\( 7^y = t \)
\( s + 7t = 407 \)
\( 2s - t = 79 \)
İkinci eşitliği 7 ile çarpıp birinci eşitlikle taraf tarafa toplayalım.
\( 15s + 0 = 407 + 7 \cdot 79 = 960 \)
\( s = 64 = 2^x \)
\( x = 6 \)
Bulduğumuz değeri birinci eşitlikte yerine yazalım.
\( 2^6 + 7 \cdot 7^y = 407 \)
\( 7^y = 49 \Longrightarrow y = 2 \)
Çözüm kümesi: \( (x, y) = (6, 2) \)
\( 2^x + 2^{y+2} = 17\sqrt{2} \)
\( 2^{x+3}+ 2^y = 12\sqrt{2} \)
olduğuna göre, \( x + y \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 2^x = a \) ve \( 2^y = b \) diyelim.
\( 2^x + 4 \cdot 2^y = 17\sqrt{2} \)
\( a + 4b = 17\sqrt{2} \)
\( 8 \cdot 2^x + 2^y = 12\sqrt{2} \)
\( 8a + b = 12\sqrt{2} \)
Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = \sqrt{2} \)
\( b = 4\sqrt{2} \)
\( 2^{x+y} = 2^x \cdot 2^y = a \cdot b \)
\( = \sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \)
\( = 8 = 2^3 \)
\( x + y = 3 \) bulunur.
Aşağıda verilen denklemin çözüm kümesini bulunuz.
\( \dfrac{2e^x}{(e^x - 4)^2} = 1 \)
Çözümü Gösterİçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2e^x = (e^x - 4)^2 \)
\( e^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( 2t = (t - 4)^2 \)
\( 2t = t^2 - 8t + 16 \)
\( t^2 - 10t + 16 = 0 \)
\( (t - 2)(t - 8) = 0 \)
\( t = 2 \) veya \( t = 8 \)
Bu değerleri \( e^x = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( e^x = t = 2 \Longrightarrow x = \ln{2} \)
\( e^x = t = 8 \Longrightarrow x = \ln{8} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ln{2}, \ln{8}\} \)
\( 27^x + 9 = 9^x + 3^{x + 2} \) denkleminin kaç reel kökü vardır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyonu düzenleyelim.
\( 3^{3x} + 9 = 3^{2x} + 9 \cdot 3^x \)
\( 3^x = t \) dönüşümü uygulayalım.
\( t^3 + 9 = t^2 + 9t \)
Tüm terimleri tek tarafta toplayıp denklemi sıfıra eşitleyelim.
\( t^3 - t^2 - 9t + 9 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( t^2(t - 1) - 9(t - 1) = 0 \)
\( (t - 1)(t^2 - 9) = 0 \)
\( (t - 1)(t - 3)(t + 3) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
\( t = 1 \), \( t = 3 \) ya da \( t = -3 \)
\( 3^x = t = 1 \Longrightarrow x = 0 \)
\( 3^x = t = 3 \Longrightarrow x = 1 \)
Bir üstel ifadenin sonucu negatif olamayacağı için \( 3^x = t = -3 \) için geçerli bir çözüm yoktur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0, 1\} \)
Buna göre verilen denklemin 2 reel kökü vardır.
\( \dfrac{2^x - 2}{2^{1 - x} - 1} = -8 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( \dfrac{2^x - 2}{2 \cdot 2^{-x} - 1} = -8 \)
\( \dfrac{2^x - 2}{\frac{2}{2^x} - 1} = -8 \)
\( 2^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( \dfrac{t - 2}{\frac{2}{t} - 1} = -8 \)
\( t - 2 = -\frac{16}{t} + 8 \)
Eşitliğin iki tarafını \( t \) ile çarpalım.
\( t^2 - 2t = -16 + 8t \)
\( t^2 - 10t + 16 = 0 \)
\( (t - 2)(t - 8) = 0 \)
\( t = 2 \) veya \( t = 8 \)
Bu değerleri \( 2^x = t \) ifadesinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.
\( 2^x = t = 2 \Longrightarrow x = 1 \)
\( 2^x = t = 8 \Longrightarrow x = 3 \)
Çözüm adımlarında eşitliğin iki tarafını \( t \) ile çarparak ifadelerin derecesini artırdığımız için denkleme geçersiz bir çözüm eklenmiş olabilir, bu yüzden bulduğumuz iki değeri orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapalım.
\( x = 1 \) için:
\( \dfrac{2^1 - 2}{2^{1 - 1} - 1} = -8 \)
Eşitliğin sol tarafının paydası sıfır olduğu için \( x = 1 \) geçersiz bir çözümdür.
\( x = 3 \) için:
\( \dfrac{2^3 - 2}{2^{1 - 3} - 1} = -8 \)
\( \dfrac{6}{-\frac{3}{4}} = -8 \)
Eşitlik sağlandığı için \( x = 3 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{3\} \)
\( 2^x + 4^x + 8^x - x = 4 \) denklemini sağlayan kaç \( x \) değeri vardır?
Çözümü Göster\( x \) terimini eşitliğin sağ tarafına alalım.
\( 2^x + 4^x + 8^x = x + 4 \)
Eşitliğin iki tarafını ayrı fonksiyonlar olarak düşünürsek eşitliği sağlayan \( x \) değerleri bu iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktalarının apsis değerleridir.
\( y = 2^x + 4^x + 8^x \) fonksiyonu tabanı birden büyük, dolayısıyla artan üç üstel ifadenin toplamından oluşur, dolayısıyla kendisi de artandır.
\( a^x \) formundaki tüm üstel ifadeler \( y \) eksenini \( (0, 1) \) noktasında kestiği için bu fonksiyon \( y \) eksenini \( (0, 3) \) noktasında keser ve tüm reel sayılarda pozitiftir.
\( 2^0 + 4^0 + 8^0 = 3 \)
Eşitliğin sağ tarafı \( y = x + 4 \) doğrusal fonksiyonudur.
Doğru \( y \) eksenini \( x = 4 \) noktasında kestiği için bu noktada üstel fonksiyonun üstündedir. \( x \) pozitif sonsuza giderken üstel fonksiyon çok hızlı büyüdüğü için doğrunun tekrar üzerine çıkacağından emin olabiliriz (bunu bir değer tablosu oluşturarak da teyit edebiliriz).
Buna göre iki grafiğin kesiştiği (değerlerinin birbirine eşit olduğu) iki \( x \) değeri olmalıdır.
Her iki grafiği çizdiğimizde fonksiyonların tam kesişim noktalarını bulamasak da iki noktada kesiştiklerini görebiliriz.
Aşağıda verilen denklemin \( x \) için genel çözümünü bulunuz.
\( e^{\cos{\ln{x}}} = 1 \)
Çözümü GösterEşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^{\cos{\ln{x}}}} = \ln{1} \)
\( \cos{\ln{x}} = 0 \)
Kosinüs fonksiyonu aşağıdaki durumlarda sıfır olur.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \ln{x} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( x = e^{\frac{\pi}{2} + \pi k} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ldots, e^{\frac{\pi}{2}}, e^{\frac{3\pi}{2}}, e^{\frac{5\pi}{2}}, \ldots\} \)
\( 4^x - 2^{x + 1} \) fonksiyonu \( y = k \) doğrusunu tek noktada kesiyorsa \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyonu düzenleyelim.
\( 4^x - 2^{x + 1} = 2^{2x} - 2 \cdot 2^x \)
\( 2^x = t \) dönüşümü uygulayalım.
\( = t^2 - 2t \)
Elde ettiğimiz fonksiyonla doğrunun kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( t^2 - 2t = k \)
\( t^2 - 2t - k = 0 \)
Eğer bir fonksiyon ve bir doğru tek noktada kesişiyorsa ortak çözümleri tek elemanlı olur, yani ortak çözümden elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantı (deltası) sıfıra eşit olur.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 0 \)
\( 4 + 4k = 0 \)
\( k = -1 \) bulunur.